С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения
Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.
1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0) и прямая L :
Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить прямую L 1 , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение прямых L и L 1 (точка M 1)
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
 | (5) |
Подставим значения x и y в (4):
где x 1 =mt" +x" , y 1 =pt" +y" .
Пример 1. Найти проекцию точки M 0 (1, 3) на прямую
Т.е. m =4, p =5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M" (x" , y" )=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x" =2, y" =-3. Подставим значения m, p, x 0 , y 0 , x", y" в (5"):
2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и прямая L :
Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить плоскость α , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M 1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
| (10) |
Подставим значения x и y в (9):
| m (mt +x" )+p (pt +y" )+l (lt +z" )−m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
| m 2 t +mx" +p 2 t +py" +l 2 t +ly" −m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.
В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.
Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.
Определение 1
Проекция точки на прямую – это или сама точка, если она принадлежит заданной прямой, или основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.
Рассмотрим рисунок ниже: точка H 1 служит проекцией точки М 1 на прямую a , а точка М 2 , принадлежащая прямой, является проекцией сама себя.
Данное определение верно для случая на плоскости и в трехмерном пространстве.
Чтобы на плоскости получить проекцию точки М 1 на прямую a , проводится прямая b , проходящая через заданную точку M 1 и перпендикулярная прямой a . Таким образом, точка пересечения прямых a и b будет проекцией точки М 1 на прямую a .
В трехмерном пространстве проекцией точки на прямую будет служить точка пересечения прямой a и плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a .
Нахождение координат проекции точки на прямую
Рассмотрим данный вопрос в случаях проецирования на плоскости и в трехмерном пространстве.
Пусть нам заданы прямоугольная система координат O x y , точка М 1 (x 1 , y 1) и прямая a . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Проложим через заданную точку М 1 (x 1 , y 1) прямую b перпендикулярно прямой a . Точку пересечения маркируем как H 1 . Точка Н 1 будет являться точкой проекции точки М 1 на прямую a .
Из описанного построения можно сформулировать алгоритм, который позволяет находить координаты проекции точки М 1 (x 1 , y 1) на прямую a:
Составляем уравнение прямой (если оно не задано). Для совершения этого действия необходим навык составления основных уравнений на плоскости;
Записываем уравнение прямой b (проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a). Здесь поможет статья об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой;
Определяем искомые координаты проекции как координаты точки пересечения прямых a и b . Для этого решаем систему уравнений, составляющие которой – уравнения прямых a и b .
Пример 1
На плоскости O x y заданы точки М 1 (1 , 0) и прямая a (общее уравнение – 3 x + y + 7 = 0). Необходимо определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Решение
Уравнение заданной прямой известно, поэтому, согласно алгоритму, переходим к шагу записи уравнения прямой b . Прямая b перпендикулярна прямой a , а значит нормальный вектор прямой a служит направляющим вектором прямой b . Тогда направляющий вектор прямой b запишем как b → = (3 , 1) . Запишем и каноническое уравнение прямой b , поскольку нам также заданы координаты точки М 1 , через которую проходит прямая b:
Заключительным шагом определяем координаты точки пересечения прямых a и b . Перейдем от канонических уравнений прямой b к общему ее уравнению:
x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 · (x - 1) = 3 · y ⇔ x - 3 y - 1 = 0
Составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b и решим ее:
3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 · (- 3 x - 7) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 · (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2
В конечном итоге мы получили координаты проекции точки М 1 (1 , 0) на прямую 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .
Ответ: (- 2 , - 1) .
Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.
Пусть заданы координатные прямые O x и O y , а также точка М 1 (x 1 , y 1) . Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую O x вида y = 0 будет точка с координатами (x 1 , 0) . Так и проекция заданной точки на координатную прямую O y будет иметь координаты 0 , y 1 .
Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением B y + C = 0 ⇔ y = - C B , а прямую, параллельную оси ординат - A x + C = 0 ⇔ x = - C A.
Тогда проекциями точки М 1 (x 1 , y 1) на прямые y = - C B и x = - C A станут точки с координатами x 1 , - C B и - C A , y 1 .
Пример 2
Определите координаты проекции точки М 1 (7 , - 5) на координатную прямую O y , а также на прямую, параллельную прямой O y 2 y - 3 = 0 .
Решение
Запишем координаты проекции заданной точки на прямую O y: (0 , - 5) .
Запишем уравнение прямой 2 y - 3 = 0 в виде y = 3 2 . Становится видно, что проекция заданной точки на прямую y = 3 2 будет иметь координаты 7 , 3 2 .
Ответ: (0 , - 5) и 7 , 3 2 .
Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат O x y z , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и прямая a . Найдем координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Построим плоскость α , проходящую через точку М 1 и перпендикулярную прямой a . Проекцией заданной точки на прямую a станет точка пересечения прямой a и плоскости α . Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на прямую a:
Запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;
Составим уравнение плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);
Найдем искомые координаты проекции точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на прямую a – это будут координаты точки пересечения прямой α и плоскости α (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).
Пример 3
Задана прямоугольная система координат O x y z , и в ней – точка М 1 (0 , 1 , - 1) и прямая a . Прямой a соответствуют канонические уравнения вида: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Определите координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Решение
Используем указанный выше алгоритм. Уравнения прямой a известны, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем. Запишем уравнение плоскости α . Для этого определим координаты нормального вектора плоскости α . Из заданных канонических уравнений прямой a выделим координаты направляющего вектора этой прямой: (3 , - 4 , 1) , который будет являться нормальным вектором плоскости α , перпендикулярной прямой a . Тогда n → = (3 , - 4 , 1) – нормальный вектор плоскости α . Таким образом, уравнение плоскости α будет иметь вид:
3 · (x - 0) - 4 · (y - 1) + 1 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0
Теперь найдем координаты точки пересечения прямой а и плоскости α, для этого используем два способа:
- Заданные канонические уравнения позволяют получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 · (x + 2) = 3 · (y - 6) 1 · (x + 2) = 3 · (z + 1) 1 · (y - 6) = - 4 · (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0
Чтобы найти точки пересечения прямой 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 и плоскости 3 x - 4 y + z + 5 = 0 , решим систему уравнений:
4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5
В данном случае используем метод Крамера, но возможно применить любой удобный:
∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0
Таким образом, проекцией заданной точки на прямую a является точка c координатами (1 , 2 , 0)
- На основе заданных канонических уравнений легко записать параметрические уравнения прямой в пространстве:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 · λ y = 6 - 4 · λ z = - 1 + λ
Подставим в уравнение плоскости, имеющее вид 3 x - 4 y + z + 5 = 0 , вместо x , y и z их выражения через параметр:
3 · (- 2 + 3 · λ) - 4 · (6 - 4 · λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1
Вычислим искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости α по параметрическим уравнениям прямой a при λ = 1:
x = - 2 + 3 · 1 y = 6 - 4 · 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0
Таким образом, проекция заданной точки на прямую a имеет координаты (1 , 2 , 0)
Ответ: (1 , 2 , 0)
Напоследок отметим, что проекциями точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на координатные прямые O x , O y и O z буду являться точки с координатами (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0) и (0 , 0 , z 1) соответственно.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1-12. Проекция точки на плоскость или прямую
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р" точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Проекция Р" точки Р на плоскость является ос нованием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п = = {А, В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
X = At-\- хр, у = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.
3. Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
4. Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат проекции точки на прямую.
ПРИМЕР. Найти координаты проекции Р " точки Р(1,2,-1) на плоскость Зж - 2/4-22: - 4 = 0.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =
Гл. 1. Ансиитическая геометрия |
||||
= {3, -1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид |
||||
У-2 _ z-hl |
||||
2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р" этой прямой с задан |
||||
ной плоскостью. Положим |
||||
х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _ |
||||
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид |
||||
3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.
4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).
Ответ. Проекция Р" имеет координаты (7,0,1).
У с л о в ия ЗАДАЧ. Найти координаты |
проекции точки I^ на плос- |
||||
4х + бу -f 4z - |
|||||
2х + 6у"-2г-\-11 |
|||||
4 х - 5 2 / - г - 7 |
|||||
ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0. |
|||||
2х -h Юу + lOz - |
|||||
2х -МО2/ -f- lOz - |
|||||
Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди кулярной данной и пересекающей ее в точке Р". Поскольку точка Р " делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий
2 " ^ , УР" = |
2 ~ ^ . ^Р" = |
||||
где xp,yp,zp |
Координаты точ1си Р и xp^^ypf^zp/ - координаты |
||||
ее проекции Р" на данную прямую.
1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р " (см. задачу 1.12). Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем
1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;
б) найдем координаты точки пересечения Р " этой плоскости с за данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри ческой форме
X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.
Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе чение прямой и плоскости;
в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяем из условий (1). Получаем
XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур" - ур, ZQ = 22;р/ - zp.
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.
ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой
X - 1 _ у __ Z -\-1
Р ЕШЕНИЕ.
1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р". Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = -1;
в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = -1, получаем
жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова тельно, проекция точки Р на прямую есть Р"(0,0,1).
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяются из условий (1):
XQ = 2хр" - Хр = -2,
VQ = 2ур/ - 2/р = 1,
ZQ = 2zpf - zp = 0.
Ответ. Точка Q имеет координаты (-2,1,0).
Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ ке Р от^носителъно заданной прямой.
X - 1 |
||||||||
В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Проекция точки на прямую – определение.
Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.
Так что же называют проекцией точки на прямую?
Определение.
Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.
На приведенном ниже рисунке точка H 1 является проекцией точки M 1 на прямую a , а точка M 2 есть проекция самой точки М 2 на прямую a , так как М 2 лежит на прямой a .
Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.
На плоскости, чтобы построить проекцию точки М 1 на прямую a нужно провести прямую b , которая проходит через точку М 1 и перпендикулярна прямой a . Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М 1 на прямую a .
В трехмерном пространстве проекцией точки М 1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости , проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.
Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Координаты проекции точки на прямую на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy , задана точка , прямая a и требуется определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Решим эту задачу.
Проведем через точку М 1 прямую b , перпендикулярную прямой a , и обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Тогда H 1 – проекция точки М 1 на прямую a .
Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a :
Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.
Пример.
На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy
заданы точка и прямая a
, которой соответствует общее уравнение прямой вида 
Решение.
Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.
Получим уравнение прямой b
, которая проходит через точку М 1
и перпендикулярна прямой a
. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b
.Так как прямая b
перпендикулярна прямой a
, то нормальный вектор прямой a
является направляющим вектором прямой b
. Очевидно, нормальным вектором прямой является вектор с координатами , следовательно, направляющим вектором прямой b
является вектор . Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b
, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: .
Осталось найти координаты точки пересечения прямых a
и b
, которые дадут искомые координаты проекции точки М 1
на прямую a
. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b
к ее общему уравнению: . Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a
и b
, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье ):
Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
Пример.
На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Найдите координаты проекции точки М 1 на прямую АВ .
Решение.
Для нахождения координат проекции точки М 1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.
Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b , проходящей через точку М 1 перпендикулярно прямой АВ .
Из канонического уравнения прямой АВ
получим уравнение прямой с угловым коэффициентом : 
. Угловой коэффициент прямой АВ
равен , а угловой коэффициент прямой b
, которая перпендикулярна прямой АВ
, равен (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b
, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , имеет вид .
Чтобы определить координаты проекции точки на прямую АВ
осталось решить систему уравнений 
:
Ответ:
Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки на координатные прямые Ox и Oy , а также на прямые, им параллельные.
Очевидно, что проекцией точки на координатную прямую Ox , которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида , является точка с координатами . Аналогично, проекция точки на координатную прямую Oy имеет координаты .
Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида 
, а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида 
. Проекциями точки на прямые и являются точки с координатами и соответственно.
Пример.
Какие координаты имеют проекции точки на координатную прямую Oy и на прямую .
Решение.
Проекцией точки на прямую Oy является точка с координатами .
Перепишем уравнение прямой как . Теперь хорошо видно, что проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
И .
Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.
Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz , введенной в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz
, задана точка 
, прямая a
и требуется найти координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решим эту задачу.
Построим плоскость , которая проходит через точку М 1
перпендикулярно к прямой a
. Проекцией точки М 1
на прямую a
является точка пересечения прямой a
и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a
:
Рассмотрим решение примера.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz
задана точка и прямая a
, причем прямую a
определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
. Найдите координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решение.
Для определения координат проекции точки М 1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.
Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.
Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a
и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a
видны координаты направляющего вектора этой прямой: . Направляющий вектор прямой a
является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a
. То есть, 
- нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид .
Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости - они являются искомыми координатами проекции точки на прямую a . Покажем два способа их нахождения.
Первый способ.
Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей , которые определяют прямую a:
Координаты точки пересечения прямой 
и плоскости 
мы получим, решив систему линейных уравнений вида 
. Применим (если Вам больше нравиться или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):
Таким образом, точка с координатами является проекцией точки М 1 на прямую a .
Второй способ.
Зная канонические уравнения прямой a
, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве : 
. Подставим в уравнение плоскости вида вместо x
, y
и z
их выражения через параметр:
Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости по параметрическим уравнениям прямой a при :
