Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано , снежинка Коха , треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. .. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является фрактал "Снежинка Коха". Строится она на основе равностороннего треугольника.
Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.

Каждая сторона делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны).

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4, 3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4....

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность даёт иакже и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации). Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Площадь первоначального треугольника была равна 1. Площадь каждого нового треугольника равна 1/9 от плошади предыдущего. Площадь первоначального треугольника была равна 1.. После добавления трёх треугольников площадь увеличивается на 3/9=1/3. Затем каждый раз будет добавляться вчетверо больше треугольников, чем на предыдущем этапе. Следовательно, площадь, добавляемая на каждом этапе, будет составлять 4/9 от площади, добвледущнной на предыдущем этапе.

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + ...
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен.

Треугольник Серпинского ( http://elementy.ru/posters/fractals/Sierpinski)

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский . Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.
Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.


Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится, на экран выводится точка.

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• С течением времени стремится к бесконечности.
• Стремится к нулю.
• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
• Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Фракталы Пьера Фату

К алгебраическим фракталам относят фракталы Фату.
Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.
Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании

Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную.

Первым, кто применил компьютер лдля расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.

Множество Мандельброта

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» (« Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность »). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя. Википедия
Множество Мандельброта — классический образец фрактала.

Множество Мандельброта — это множество таких точек С на комплексной плоскости :

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага.

Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.


Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.


Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A 1 A 2 A 3 . Отмечают любую начальную точку B 0 . Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B 1 - середину отрезка с концами в этой вершине и в B 0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A 1). То же самое повторяют с точкой B 1 , чтобы получить B 2 . Потом получают точки B 3 , B 4 , и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности B i , то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100 , 500 и 2500 точек.

100, 500 и 2500 точек" align="center" />

Некоторые свойства

Фрактальная размерность log 2 3 ≈ 1,584962 ... . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N (δ/2) = 3N (δ) . Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N 0 из них (N (1) = N 0) , то N(1/2) = 3N 0 , N (1/4) = 32N 0 , ..., N (1/2k) = 3kN0 . Отсюда получается, что N (δ) пропорционально, и по определению фрактальной размерности она равна как раз log 2 3 .
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4 , то есть становится всё меньше и стремится к 0 . Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные - черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).

Варианты Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского.

Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.


Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log 3 8 , вычисляется аналогично размерности треугольника.

Пирамида Серпинского.

Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log 2 5 . У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Губка Менгера.

Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log 3 20 . Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27 ), но при этом бесконечно большая площадь.

В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ … Википедия

Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия

Треугольник Серпинского Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. Построение Берётся сплошной… … Википедия

Ковёр (квадрат) Серпинского Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вац … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений это алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (IFS, как правило являющимися… … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений алгоритм сжатия изображений c … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Книги

• Математика - это красиво! , Анна Вельтман. О чем эта книга Эта необычная тетрадь покажет вам, что математика может быть красивой, а гармония в изобразительном искусстве основана на числах. На страницах этойграфической тетради, с…
• Сложение однобитных чисел. Треугольник Паскаля, салфетка Серпинского и теорема Куммера , С. Б. Гашков. В книге рассказывается о любопытной связи задачи о сложении чисел в двоичной записи с алгеброй логики, многочленами Жегалкина, треугольником Паскаля, салфеткой Серпинского и теоремой Куммера…

Треугольник Серпинского - фрактал , один из двумерных аналогов множества Кантора , предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году . Также известен как «салфетка» Серпинского.

Треугольник Серпинского

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника . Получается множество T 1 {\displaystyle T_{1}} , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество T 2 {\displaystyle T_{2}} , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность T 0 ⊃ T 1 ⊃ ⋯ ⊃ T n ⊃ … {\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset \dots \supset T_{n}\supset \dots } , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов - вершин исходного треугольника T 0 {\displaystyle T_{0}} . 2. Вероятностное пространство (0 ; 1) {\displaystyle (0;1)} разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору. 3. Задаётся некоторая начальная точка P 0 {\displaystyle P_{0}} , лежащая внутри треугольника T 0 {\displaystyle T_{0}} . 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского. 1. Генерируется случайное число n ∈ (0 ; 1) {\displaystyle n\in (0;1)} . 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число. 3. Строится точка P i {\displaystyle P_{i}} с новыми координатами: x i = x i − 1 + x A 2 ; y i = y i − 1 + y A 2 {\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{A}}{2}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+y_{A}}{2}}} , где: x i − 1 , y i − 1 {\displaystyle x_{i-1},y_{i-1}} - координаты предыдущей точки P i − 1 {\displaystyle P_{i-1}} ; x A , y A {\displaystyle x_{A},y_{A}} - координаты активной точки-аттрактора. 5. Возврат к началу цикла.

Свойства

Построение итеративным методом

Построение методом хаоса

Примечания

Ссылки

L-система

L-система или система Линденмайера - это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.

Racket (язык программирования)

Racket (ранее - PLTScheme) - мультипарадигменный язык программирования общего назначения, принадлежащий семейству Lisp/Scheme. Предоставляет среду языково-ориентированное программирование - одно из предназначений racket - создание, разработка и реализация языков программирования. Язык используется в различных контекстах: как скриптовый язык, как язык общего назначения, в обучении информатике, в научных исследованиях.

Платформа предоставляет пользователю реализацию языка Racket, включая развитую среду выполнения (англ. run time system), различные библиотеки, JIT-компилятор и т. д., а также среду разработки DrRacket (ранее известную, как DrScheme) написанную на Racket. Эта программная среда используется в учебном курсе ProgramByDesign массачусетского технологического института. Основной язык Racket отличает мощная макросистема, позволяющая создавать встраиваемые и предметно-ориентированные языки программирования, языковые конструкции (к примеру, классы и модули) и диалекты Racket с различной семантикой.

Система является свободным и открытым ПО, распространяемым на условиях LGPL. Расширения и пакеты, написанные сообществом, доступны на PLaneT, веб-дистрибутиве системы.

Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное сжатие изображений - алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (как правило являющимися аффинными преобразованиями) к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия при приемлемом визуальном качестве для реальных фотографий природных объектов. Из-за сложной ситуации с патентованием широкого распространения алгоритм не получил.

Делящаяся плитка

Делящаяся плитка (англ. rep-tile) - понятие геометрии мозаик, фигура, которую можно разрезать на меньшие копии самой фигуры. В 2012 обобщение делящихся мозаик с названием self-tiling tile set (набор плиток с самозамощением) было предложено английским математиком Ли Сэлоусом в журнале Mathematics Magazine .

Конечное правило подразделения

В математике конечное правило подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.

Кривая Пеано

Крива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.

Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.

Кривая Серпинского

Кривые Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского , является примером заполняющих пространство кривых.

Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ) равна 2 {\displaystyle 2} .
Евклидова длина кривой

равна l n = 2 3 (1 + 2) 2 n − 1 3 (2 − 2) 1 2 n {\displaystyle l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}}} ,

т. е. она растёт экпоненциально по n {\displaystyle n} , а предел при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } площади области, заключённой кривой S n {\displaystyle S_{n}} , составляет 5 / 12 {\displaystyle 5/12} квадрата (в Евклидовой метрике).

Логарифм

Логари́фм числа b {\displaystyle b} по основанию a {\displaystyle a} (от др.-греч. λόγος «слово; отношение» + ἀριθμός «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a {\displaystyle a} , чтобы получить число b {\displaystyle b} . Обозначение: log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b} , произносится: «логарифм b {\displaystyle b} по основанию a {\displaystyle a} ».

Из определения следует, что нахождение x = log a ⁡ b {\displaystyle x=\log _{a}b} равносильно решению уравнения a x = b {\displaystyle a^{x}=b} . Например, log 2 ⁡ 8 = 3 {\displaystyle \log _{2}8=3} , потому что 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} .

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием . Числа a , b {\displaystyle a,b} чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов .

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление - на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь».

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция y = log a ⁡ x {\displaystyle y=\log _{a}x} незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями 2 {\displaystyle 2} (двоичный), e {\displaystyle e} (натуральный логарифм) и 10 {\displaystyle 10} (десятичный).

Нанотехнологии на основе ДНК

Нанотехнологии на основе ДНК (англ. DNA nanotechnology) - разработка и производство искусственных структур из нуклеиновых кислот для технологического использования. В этой научной области нуклеиновые кислоты используются не как носители генетической информации в живых клетках, а в качестве материала для нужд небиологической инженерии наноматериалов.

В технологии используются строгие правила спаривания оснований нуклеиновых кислот, которые для формирования прочной жесткой структуры двойной спирали допускают только связывание вместе частей нитей с комплементарными последовательностями оснований. Исходя из этих правил, появляется возможность инженерного проектирования последовательности оснований, которая будет выборочной сборкой образовывать сложные целевые структуры с точно настроенными наноразмерными формами и свойствами. В основном, для создания материалов используется ДНК, однако были построены и структуры с включением других нуклеиновых кислот, таких как РНК и пептидо-нуклеиновые кислоты (ПНК), позволяя использовать для описания поля технологий название «нанотехнологии на основе нуклеотидных оснований» .

Основная концепция нанотехнологий на основе ДНК была впервые предложена в начале 1980-х годов Надрианом Симэном, и в середине 2000-х годов это поле для исследований начало привлекать широкий интерес. Исследователи, работающие в новой появляющейся области технологий, создали статические структуры, такие как двух- и трёхмерные кристаллические решётки, нанотрубки, многогранники и другие произвольные формы, а также - функциональные структуры, такие как молекулярные машины и ДНК-компьютеры.

Для сборки этих структур используется множество методов, включая плиточное структурирование, где плитки собираются из более мелких структур, складывающиеся структуры, создаваемые с помощью метода ДНК-оригами, и динамически перестраиваемые структуры, создаваемые с использованием методов перемещения пряди. Исследовательское поле начинает использоваться в качестве инструмента для решения проблем фундаментальной науки в областях структурной биологии и биофизики, включая прикладные задачи кристаллографии и спектроскопии для определения структуры белка. Также ведутся изыскания для потенциального применения в масштабируемой молекулярной электронике и наномедицине.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию e , где e {\displaystyle e} - иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} , log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x} или иногда просто log ⁡ x {\displaystyle \log x} , если основание e {\displaystyle e} подразумевается. Обычно число x {\displaystyle x} под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты y = e x {\displaystyle y=e^{x}} , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность - размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X {\displaystyle X} обычно обозначается dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} .

Рекурсия

Реку́рсия - определение, описание, изображение какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя. Термин «рекурсия» используется в различных специальных областях знаний - от лингвистики до логики, но наиболее широкое применение находит в математике и информатике.

Серпинский, Вацлав

Ва́цлав Франци́ск Серпи́нский, в другой транскрипции - Серпиньский (польск. Wacław Franciszek Sierpiński; 14 марта 1882, Варшава - 21 октября 1969, там же) - польский математик и педагог, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.

Тетраэдр (Ботроп)

Тетраэдр (нем. Tetraeder) - стальная конструкция в виде тетраэдра с длиной ребра 60 м, опирающаяся на четыре 9-метровых бетонных опоры, используемая в качестве смотровой площадки, в городе Ботроп (федеральная земля Северный Рейн - Вестфалия). Тетраэдр расположен на вершине террикона Бекштрассе (нем. Beckstraße) шахты Проспер-Ганиэль (de: Bergwerk Prosper-Haniel) на высоте 105 м над уровнем моря. С верхней смотровой площадки открываются виды городов Боттроп, Эссен, Оберхаузен, Гладбек. При хорошей видимости дальность обзора достигает 40 км и позволяет различить даже телевизионную башню Rheinturm в Дюссельдорфе.

Ботропский Тетраэдр является тематическим пунктом регионального проекта «Путь индустриальной культуры» Рурского региона.

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Фрактальная размерность

Фракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension ) - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n -мерного множества можно определить с помощью формулы:

D = − lim ε → 0 ln ⁡ (N ε) ln ⁡ (ε) {\displaystyle D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon)}}} , где N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} - минимальное число n -мерных «шаров» радиуса ε {\displaystyle \varepsilon } , необходимых для покрытия множества.

Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.

Основная идея «дробной» (англ. fractured ) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional ) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений [⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.

Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха - бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия - это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

Фрактальное искусство

Фрактальное искусство - форма алгоритмического искусства, созданная путем вычисления фрактальных объектов и представляющая результаты вычислений как неподвижные изображения, анимацию и автоматически создаваемые медиафайлы. Фрактальное искусство зародилось в середине 1980-х годов. Это жанр компьютерного искусства и цифрового искусства, которые являются частью нового медиа-искусства. Вместе с тем фрактальное искусство являться одним из направлений так называемого «научного искусства».

Фрактальное искусство редко создается вручную. Обычно оно создается косвенно при помощи программного обеспечения, генерирующего фракталы через три этапа: установка параметров соответствующего программного обеспечения фрактала; выполнение возможно длительных вычислений; и оценки продукта. В некоторых случаях другие графические программы используются для последующей обработки созданных изображений. Нефрактальные изображения также могут быть включены в произведение искусства. Множество Жюлиа и Множество Мандельброта рассматриваются как иконы фрактального искусства.

Характеристики
Простейшие фракталы

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Построение треугольника Серпинского

Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»

Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.

Еще один способ получить треугольник Серпинского Игра Хаос

Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A 1 A 2 A 3 . Отмечают любую начальную точку B 0 . Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B 1 - середину отрезка с концами в этой вершине и в B 0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A 1). То же самое повторяют с точкой B 1 , чтобы получить B 2 . Потом получают точки B 3 , B 4 , и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности B i , то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.

Игра Хаос: 100, 500 и 2500 точек

Некоторые свойства

Фрактальная размерность log 2 3 ≈ 1,584962... . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N(δ/2) = 3N(δ). Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N 0 из них (N(1) = N 0), то N(1/2) = 3N 0 , N(1/4) = 3 2 N 0 , ..., N(1/2 k) = 3 k N 0 . Отсюда получается, что N(δ) пропорционально , и по определению фрактальной размерности она равна как раз log 2 3.

• Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0. Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
• Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2 n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные - черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).

Варианты

Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского . Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.

Ковер Серпинского, первые 5 итераций

Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log 3 8, вычисляется аналогично размерности треугольника.

Пирамида Серпинского . Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log 2 5. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Губка Менгера . Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log 3 20. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.