Стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми .

Разность между числом искомых неизвестных усилий и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы . Степень статической неопределимости всегда равна числу избыточных (лишних) связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую геометрически неизменяемую систему. Избыточными могут быть как внешние (опорные) связи, так и внутренние, накладывающие определенные ограничения на перемещение сечений системы друг относительно друга.

Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Геометрически изменяемой называется такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).

Изображенная на рис. 12.1 рама имеет семь внешних (опорных) связей. Для определения усилий в этих связях (опорных реакций) можно составить всего лишь три независимых уравнения равновесия. Следовательно, данная система имеет четыре избыточных связи, а это означает, что она четыре раза статически неопределима. Таким образом, степень статической неопределимости для плоских рам равна:

где R - число опорных реакций.

Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называется замкнутым . Прямоугольная рама, изображенная на рисунке 12.2, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим .

Включение шарнира в узел рамы, в которой сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня снимает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным или простым (рис. 12.3).

В общем случае каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий c стержней, снижает степень статической неопределимости на c -1 , так как такой шарнир заменяет c -1 одиночных шарниров (рис. 12.3). Таким образом, степень статической неопределимости системы при наличии замкнутых контуров определяется по формуле.

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, в которых реактивные факторы и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Данные системы классифици­руются по степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости представляет собой разность между числом неизвестных реакций и числом уравнений равновесия. Степень статической неопредели­мости системы определяет количество дополнительных уравнений (уравне­ния перемещений), которые необходимо составить при раскрытии статической неопределимости.

В статически определимых стержневых системах усилия возникают только от действия внешней нагрузки. В статически неопределимых стерж­невых системах усилия возникают не только от внешних нагрузок, но и в ре­зультате неточности изготовления отдельных элементов системы, изменения температуры элементов системы и т.д. При отклонении действительных про­дольных размеров стержней от номинальных (расчётных) при сборке стати­чески неопределимых систем возникают дополнительные, так называемые монтажные усилия и напряжения. При изменении температуры статически неопределимой стержневой системы в ее элементах возникают дополнитель­ные, так называемые температурные усилия и напряжения.

Расчет статически неопределимых стержней и стержневых систем вы­полняется по следующей методике.

1. Проводится анализ схемы закрепления и определяется степень статиче­ской неопределимости стержневой системы.

2. Рассматривается статическая сторона задачи, т.е. составляются уравне­ния равновесия.

3. Анализируется геометрическая сторона задачи. Система рассматрива­ется в деформированном состоянии, устанавливается взаимосвязь между де­формациями или перемещениями отдельных элементов системы. Полученные уравнения являются уравнениями совместности перемещений (деформаций). Количество уравнений совместности перемещений (деформа­ции) равно степени статической неопределимости системы.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука перемещения или деформации элементов системы выражаются через дейст­вующие в них внутренние усилия и с учётом этого записываются уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде.

5. Решая совместно уравнения равновесия и совместности перемещений в развёрнутом виде определяются неизвестные реакции, т.е. раскрывается ста­тическая неопределимость стержневой системы.

6. Дальнейший расчёт на прочность и жёсткость аналогичен расчёту статически определимых систем.

Методика решения статически неопределимых стержней и стержневых систем показана на примерах решения различных задач.

Пример 1. Ступенчатый стержень, защемлённый с обеих сторон, нагружен силами F (рис.10,а). Требуется раскрыть статическую неопределимость стержня и определить площадь поперечного сечения.

Исходные данные: длина участка стержня l , площадь поперечного сечения стержня А модуль продольной упругости материала стержня Е , допускаемое напряжение .

Заданная стержневая система.

1. В результате действия внешних сил на стержень возникают две опорные реакции R 1 и R 2 . Уравнений равновесия для плоской стержневой системы можно составить одно следовательно стержень один раз статически неопределим (рис. 10,6).

2. Рассматривается статическая сторона задачи. Выбирается расчётная схема (рис. 10,6) и составляется уравнение равновесия:

3. Анализируется условие деформирования стержня и геометрическая сторона задачи, составляется уравнение совместности перемещений.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. Условно принимая, что реакции R 1 и R 2 известны, определяются нормальные силы на участках

На основе закона Р.Гука записываются выражения перемещений на каждом участке, и затем составляется уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

Рис.10. Заданный стержень, расчетная схема стержня, эпюры нормальной силы, нормального напряжения и перемещений

5. Совместное решение уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде позволяет определить неизвестные реакции Статическая неопределимость стержня раскрыта.

6. Строятся эпюры N z , σ z , δ (рис 10). Записывается условие прочности

и определяется площадь поперечного сечения стержня

Пример 2. Абсолютно жёсткий брус шарнирно крепится к стержням и опирается на шарнирно неподвижную опору (рис. 11,а). К брусу приложена сила F. Требуется раскрыть статическую неопределимость стержневой системы и определить величину допускаемой силы [F].

Исходные данные: длины стержней и длины участков бруса заданы в долях а , площади поперечного сечения стержней A 1 = 2A и A 2 =А, модуль упругости материала стержней Е, допускаемое напряжение .

Рис.11,а Рис. 11,б

1. Заданная стержневая система один раз статически неопределима, поскольку неизвестных реакций четыре - Н, R, R 1 , R 2 , а уравнений равновесия для плоской системы сил - три.

2. Рассматривается статическая сторона задачи (рис. 11,6). Составляются уравнения равновесия

3. Анализируется геометрическая сторона задачи (рис. 11,в) и составляется уравнение совместности перемещений. Из подобия треугольников имеем:

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука определяются выражения деформаций , и затем записывается уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

5. Совместное решение уравнений равновесия и развёрнутого уравнения совместности перемещений позволяет определить величины усилий в стержнях через внешнюю нагрузку N 1 =0,442P, N 2 = 0,552Р. Статическая неопределимость системы раскрыта.

Из условия прочности I стержня

допускаемая нагрузка равна

Из условия прочности II стержня

допускаемая нагрузка равна

Окончательно принимаем для стержневой системы меньшее значение . При этом рабочие напряжения во II стержне будут равны допускаемым, а первый стержень будет недогружен.

Вопросы и задания для самопроверки,

1. Какие стержни и стержневые системы называются статически неопределёнными?

2. Как определяется степень статической неопределимости?

3. Что представляют собой уравнения совместности перемещений?

4. Какие усилия и напряжения называются монтажными?

5. Какие усилия и напряжения называются температурными?

6. Перечислите основные этапы расчётов на прочность и жёсткость ста­тически неопределимых систем при растяжении (сжатии).

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО - ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

РАСЧЕТЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТ­КОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

Абсолютно жесткий брус К, нагруженный силами F;, удерживается в равновесии стальными стержнями длиной щ и крепится посредством опор­ных устройств. Требуется выполнить проектировочный расчет (найти пло­щади поперечных сечений стержней).

Последняя цифра соответствует номеру схемы (рис. 12... 14).

Данные варианта приведены в таблице 3.

В расчетах принять: Р =10 кН.

Таблица 3. Данные к задаче РПР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра сопротивления материалов

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО–СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ

Методические указания по выполнению расчетно-графического задания по сопротивлению материалов для студентов всех специальностей

Составитель: В.Д. Моисеенко

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 8 от 29.06.01

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

Введение. Объем и цель задания

Статически-неопределимой шарнирно-стержневой системой называется такая, в которой усилия в стержнях и реакции в опорах нельзя определить только из условия равновесия.

На рис.1 показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней. Усилия N 1 и N 2 в стержнях этого кронштейна легко определяются из условия равновесия системы сходящихся сил, приложенных к вырезанному узлу С, так как два уравнения для этой системы сил с двумя неизвестными решаются.

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1,б), то усилия в стержнях прежним образом уже определены быть не могут, так как для узла С по-прежнему можно составить только два уравнения статического равновесия (ΣХ = 0; ΣY = 0), а число неизвестных усилий равно трем. Имеем один раз статически неопределимую систему.

Усложняя конструкцию и вводя новые стержни, можно получить два раза статически неопределимую систему (см. рис. 1,в), три раза и т.д. Следовательно, под n раз статически неопределимой системой понимается такая система, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на n единиц.

Необходимые для решения задачи дополнительные уравнения можно найти, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая связи между перемещениями и деформациями элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместимости деформаций.

На рис.2 приведены схемы некоторых статически неопределимых систем.

Рис.2. Некоторые виды статически неопределимых систем

При изучении раздела "Статически неопределимые стержневые системы" и выполнении данного расчетно-графического задания студент должен усвоить особенности статически неопределимых систем; получить навыки в раскрытии статической неопределимости, в определении усилий в элементах конструкций и подборе площадей поперечных сечений из условия прочности.

В задании студенту необходимо выполнить следующую работу:

- определить усилия в стержнях и подобрать площади поперечных сечений от действия внешних нагрузок;

- определить дополнительные напряжения в стержнях от изменения температуры;

- определить дополнительные монтажные напряжения, вызванные неточностью изготовления стержней;

- подобрать сечения стержней по предельному состоянию.

Объем и форма выполнения расчетно-графического задания зависят от объема изучаемого курса и оговариваются преподавателем на практических занятиях.

1. Краткие теоретические сведения

При решении статически неопределимых задач следует придерживаться следующего порядка:

1.1. Рассмотреть статическую сторону задачи. Построить план сил и составить уравнения статики.

1.2. Рассмотреть геометрическую сторону задачи. Построить план перемещений. Составить дополнительные уравнения совместимости деформаций в таком количестве, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

1.3. Рассмотреть физическую сторону задачи. По законам физики (при температурном расчете) и по закону Гука выразить деформации в уравнениях их совместимости через неизвестные усилия, действующие в стержнях:

	∆l t =α ∆t l		∆l N =
				EF .

1.4. Произвести совместное решение уравнений статики, геометрии, физики и определить неизвестные усилия.

1.5. Используя условия прочности при сжатии или растяжении N/F = [ σ ], произвести подбор площадей поперечных сечений стержней.

1.6. При известных усилиях в стержнях и принятых площадях поперечных сечений вычислить нормальные напряжения по формуле

σ = N F .

2. Пример

Дано: Абсолютно жесткая балка АВ опирается, как показано на рис.3, нагружена равномерно-распределенной нагрузкой и силой Р.

Рис.3. Схема статически неопределимой системы

Исходные данные для расчета

Материал

[σ ]Р ,

[ σ ] СЖ ,

α ,

F СТ

2 105

125 10-7

1 105

165 10-7

Требуется:

Определить усилия (N CТ ; N М ), площади поперечных сечений (F СТ ;

F М ) и напряжения (σ C р Т ;σ М р ) в стальном (СТ ) и медном (М ) стерж-

нях от действия внешних нагрузок Р и q .

;σ М t

Определить дополнительные напряжения в стержнях (σ СТ t

от изменения температуры на ∆ t = + 20 o C.

Определить дополнительные напряжения в стержнях, вызванные

неточностью изготовления вертикального стержня ∆ = 0,1 cм.

4. Определить суммарные напряжения в стержнях от действия нагрузок, изменения температуры и неточности изготовления.

2.1. Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы на внешнее нагружение

P = 30 кН q = 15 кН/м

А С В

Рис.4. Исходная расчетная схема

2.1.1. Статическая сторона задачи

Статическая сторона задачи рассматривается планом сил. План сил - это расчетная схема, на которой показаны все силы (и известные, и неизвестные), приложенные к элементу шарнирно-стержневой системы, равновесие которого рассматривается (в нашем случае это жесткая балка АВ). Разрежем стальной и медный стержни и отброшенные их нижние части заменим внутренними усилиями (рис. 5).

P = 30 кН q = 15 кН/м

А С В

60°

			а =2 м
N ст
						В = 4 м

Рис. 5. План сил от внешних нагрузок

Из плана сил (см. рис. 5) записываем уравнения статического равновесия. Для ответа на первый вопрос задачи необходимо знать усилия в стержнях - стальном и медном. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры вычислять в данном случае нет необходимости. Поэтому из трёх

возможных уравнений статики (ΣX = 0; ΣY = 0 ; Σm c = 0 ) записываем

такое, в которое не входят реакции шарнирно-неподвижной опоры С:

∑ mC = 0

− N CТ a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0,

− N СТ 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0,866 4 = 0,

После алгебраических действий уравнение равновесия примет вид

NCТ + 1,73NМ = 45.

2.1.2. Геометрическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи рассматривается планом перемещений. План перемещений - это расчётная схема, на которой показано положение шарнирно-стержневой системы до и после нагружения. На плане перемещений указываем перемещения точек балки (АА1 и ВВ1 ),

абсолютные деформации медного и стального стержней (∆ l СТ ; ∆ l М )

(рис. 6). Причём в силу малых деформаций точки балки перемещаем по вертикали вверх или вниз, а деформации наклонных стержней отмечаем перпендикуляром.

						60°
∆ l ст
						∆l м
			4 м

Рис. 6. План перемещений от действия внешних нагрузок

По плану перемещений составляем уравнение совместимости деформаций. В первую очередь запишем соотношение перемещений точек балки из подобия треугольников АА1 С и СВВ1 (рис. 6):

Перемещения точек балки (АА1 и ВВ1 ) выразим через деформации

	стержней (∆ l CТ ; ∆ l М ):
	АА1 = ∆ l СТ
	Из треугольника ВВ1 В2 выразим:
	BB =	B1 B2		∆l М
		sin60o		sin60o .

Выражения (2.3) и (2.4) подставим в соотношение (2.2):

∆ lCТ sin 60o
∆l М

		∆ lCТ 0,866
			∆l М
			0,866 ∆ lСТ =		0,5∆ lМ .
	Это и есть уравнение
			совместимости деформации.

2.1.3. Физическая сторона задачи

Полученное уравнение совместимости деформации (2.5) в таком виде не решается с уравнением равновесия (2.1), потому что входящие в них неизвестные величины разного характера.

Абсолютные деформации ∆ l CТ и ∆ l М в уравнении (2.5) выразим

через усилия в стержнях по закону Гука:

∆l =

N СТ l СТ

NМ lМ

E СТ F СТ

Е М F М

Подставим числовые значения исходных данных, а F СТ выразим

через F М согласно исходным данным:

F СТ

4 ,откуда F СТ = 4 F М = 0,75F М ,

NСТ 1,2

NМ 1,9

и получим

105 0,75 F

1 105 F

После выполнения арифметических действий получим:

0,67NСТ = 0,95NМ .

Получили уравнение совместимости деформаций, записанное через усилия в стержнях.

2.1.4. Синтез

Решим совместно уравнения равновесия (2.1) и уравнение совместимости деформаций (2.6).

NCТ + 1,73NМ = 45

0,67NСТ = 0,95NМ .

Из второго уравнения системы выразим усилие N СТ :

N СТ +		NМ = 1,42NМ

и подставим в первое уравнение системы.

	1,42 NМ +1,73 NМ = 45					3,15 NМ = 45,
		N М =		14,3 кН , тогда		NСТ = 1,42 14,3 = 20,3 кН.

Положительный результат N СТ и N М подтверждает наши предположения сжатия стального стержня и растяжения медного стержня, значит, усилия в стержнях будут:

NСТ = –20,3 кН;

NМ = 14,3 кН.

2.1.5. Подбор поперечных сечений стержней

Подбор поперечных сечений стержней ведется по условию прочности при растяжении – сжатии:

N F ≤ [ σ] .

а) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения стального стержня будет определена:

N СТ

≥ 1,7 10− 4

[ σ СТ ] сж

F СТ

При этом согласно заданному отношению площадей

4 площадь

медного стержня должна быть равна:

4 1,7 10− 4

2,27 10− 4

б) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения медного стержня будет определена:

					≥ 1,7 10	− 4 м 2
		[ σ М ] рас.		84 103

При этом, согласно заданному отношению площадей, площадь стального стержня должна быть равна:

FСТ = 4 3 FМ = 4 3 1,7 10− 4 = 1,275 10− 4 м2 ..

Принимаем большие площади поперечных сечений стержней:

FСТ = 1,7 10− 4 м2 ;

FМ = 2,27 10− 4 м2 .

При принятых площадях поперечных сечений медного и стального стержней определим напряжения в этих стержнях.

			N СТ			− 20,3 10− 3 МН		= − 119,4 МПа,
							1,7 10− 4 м2
			F СТ
		р N М					14,3 10− 3 МН	63 МПа.
	σМ =						2,27 10− 4 м2

2 .2. Температурный расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы

Целью температурного расчета является определение дополнительных напряжений в медном и стальном стержнях от изменения температуры.

Допустим, система нагревается на ∆ t = 20 o C . Алгоритм решения остаётся прежним. Исходная расчетная схема представлена на рис. 7.

Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. С кинематической точки зрения это такие стержневые системы, число степеней свободы которых меньше числа связей. Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.8.14 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.

Балка, изображенная на рис.8.14б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой  из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.

Прежде, чем приступать к расчету статически неопределимых систем, необходимо научиться определять степень их статической неопределимости. Одним из наиболее простых правил определения степени статической неопределимости является следующее:

, (8.3)

где  число связей, накладываемых на конструкцию;  число возможных независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Воспользуемся уравнением (8.3) для определения степени статической неопределимости систем, изображенных на рис 8.14.

Балка, изображенная на рис 8.14а, является один раз статически неопределимой, так как имеет три связи на левой опоре и одну связь на правой опоре. Независимых уравнений равновесия для такой балки можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости балки
. Неразрезная балка, изображенная на рис 8.14б также один раз статически неопределима, так как обладает двумя связями на левой опоре и по одной связи на промежуточной опоре и на правой опоре – всего четыре связи. Таким образом, степень ее статической неопределимости
.

Рама, изображенная на рис. 8.14в, три раза статически неопределима, так как обладает шестью связями в опорах. Независимых уравнений равновесия для этой рамы можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости для этой рамы из уравнения (8.3) равна:
. Степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.8.18,г равна четырем, так как рама обладает семью связями на опорах. Следовательно, степень ее статической неопределимости равна
.

Правило (8.3) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис 8.15 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (8.3), определить невозможно.

Внешне, система, приведенная на рис 8.15, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (8.3): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (8.3) нельзя. Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.

Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (Рис.8.16).

Рис.8.16. Простой шарнир

Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (Рис.8.17).

Рис.8.17. Сложный шарнир

Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:

, (8.4)

где
 число стержней, входящих в узел.

Пересчитаем сложный шарнир, изображенный на рис.8.17 в число простых шарниров с помощью формулы (8.4):
. Таким образом, сложный шарнир, изображенный на рис.8.17, можно заменить четырьмя простыми шарнирами.

Введем еще одно понятие  замкнутый контур .

Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.

Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (Рис.8.18).

Разрежем замкнутый контур вертикальным сечением и покажем внутренние силовые факторы, возникающие в месте сечения. В каждом из сечений возникают три внутренних фактора: поперечная сила , изгибающий момент
и продольная сила
. Всего на каждую из отсеченных частей контура кроме внешних сил действуют шесть внутренних факторов (Рис.8.18,б,в). Рассматривая равновесие одной из отсеченных частей, например, левой (Рис.8.18,б), выясняем, что задача три раза статически неопределима, так как для отсеченной части можно составить всего три независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил, действующих на отсеченную часть, шесть. Таким образом, степень статической неопределимости замкнутого контура равна
. Теорема доказана.

Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:

, (8.5)

где
 число замкнутых контура;
 число шарниров в пересчете на простые (8.4).

Пользуясь уравнением (8.5), определим степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15. Рама имеет пять контуров
, включая контур, образуемый опорными стержнями. Шарнир в узле D простой, так как соединяет два стержня. Шарнир в сечении К – сложный, так как соединяет четыре стержня. Число простых шарниров, которые могли бы заменить шарнир в сечении К, равно по формуле (8.4):
. Шарнир С также является сложным, так как соединяет три стержня. Для этого шарнира
. Кроме того, система имеет еще два простых шарнира, с помощью которых крепится к основанию. Таким образом, число простых шарниров в системе равно
. Подставляя число замкнутых контуров
и число простых шарниров
в формулу (8.5) определяем степень статической неопределимости рамы:
. Таким образом, изображенная на рис. 8.15 рама, семь раз статически неопределима. А это означает, что для расчета подобной системы необходимо составить дополнительно к трем уравнениям равновесия семь уравнений совместности деформаций. Решая полученную таким образом систему из 10 уравнений относительно неизвестных, входящих в эти уравнения, можно определить как величины реакций во внешних связях, так и внутренние усилия, возникающие в раме. Процедуру решения этой задачи можно несколько упростить, исключив из системы уравнений уравнения равновесия. Однако такой подход требует применения специальных методов решения, одним из которых является метод сил.

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Казань, 2006 г.

Составитель: Р.А.Каюмов

УДК 539.3

Расчет статически неопределимой стержневой системы, содержащей абсолютно жесткий элемент; Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / КазГАСУ; сост. Р.А. Каюмов. Казань, 2005, 24 с.

В данных методических указаниях кратко излагается методика расчета простейших ферменных конструкций с жестким элементом и приводится пример расчета.

Илл.6.

Рецензент канд.физ.-мат. наук, проф. Кафедры теоретической механики КГАСУ Шигабутдинов Ф.Г.

ã Казанский государственный архитектурно-строительный университет

ЗАДАНИЕ № 3

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ШАРНИРНО-стержневой системы

Для заданной шарнирно-стержневой системы (см.схему), состоящей из абсолютно жесткого бруса и упругих стержней с заданными соотношениями площадей поперечных сечений, требуется:

1. Установить степень статической неопределимости.

2. Найти усилия в стержнях.

3. Записать условия прочности для стержней от силовых воздействий и произвести подбор поперечных сечений стержней с учетом заданных соотношений площадей. Материал Ст-3, предел текучести принять равным 240 МПа = 24 кН/см 2 , коэффициент запаса прочности k = 1,5.

4. Найти напряжения в стержнях от неточности изготовления стержней d 1 = d 2 = d 3 = (см. табл.3). Если имеет знак плюс, то, значит, стержень сделан длиннее; если минус – короче.

5. Найти напряжения в стержнях от изменения температуры в стержнях на Dt° (см. табл.3). Коэффициент линейного расширения для стали 1/град.

6. Сделать проверку прочности системы при различных вариантах силовых и несиловых воздействий: 1) конструкция собрана, еще не нагружена, но произошел перепад температур; 2) случай, когда нет перепада температур, а конструкция собрана и нагружена. 3) случай, когда конструкция собрана, нагружена и произошел перепад температур.

7. Определить предельную грузоподъемность системы и истинный коэффициент запаса прочности, приняв постоянное соотношение между и .

Задание выполняется в полном объеме студентами специальностей ПГС и АД. Студенты других специальностей выполняют расчет системы только на внешнее нагружение по допускаемым напряжениям и по допускаемой нагрузке, исключив стержень 3.

Исходные данные для выполнения расчетно-графической работы выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем.

Схемы к заданию № 3

таблица 3

	А	Б	В	Г	Б	в	В
, кН	, кН/м	, м	, м	, м	, м	, м		, мм
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается шарнирно-стержневая система (рис.1), состоящая из жесткого бруса и деформируемых стержней, изготовленных с заданным соотношением площадей поперечных сечений, которое указывается в задании. Известны проектные нагрузки F , q ; размеры конструкции h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3 ; проектные колебания температуры: Dt 1 - в первом стержне, Dt 2 - во втором, Dt 3 - в третьем; неточности изготовления стержней, а именно d 1 – отличие от проектной длины в первом стержне, d 2 – во втором, d 3 – в третьем. Известны механические характеристики материала: модуль упругости Е = 2×10 4 кн/см 2 , предел текучести s т = 24 кн/см 2 , коэффициент температурного расширения a =125×10 -7 1/Град. Коэффициент запаса прочности k для этой конструкции принимается равным 1,5.

Необходимо решить 3 задачи:

1. Произвести подбор сечений стержней для изготовления этой системы из условия прочности этих стержней по допустимым напряжениям при проектных нагрузках.

2. Сделать заключение о допустимости проектных колебаний температуры и неточностей изготовления стержней.

3. Найти предельную грузоподъемность конструкции, допустимые нагрузки и истинный запас прочности.

Таким образом, работа состоит из проектировочного расчета, поверочного расчета, расчета предельных нагрузок для системы.

В РГР должны быть приведены 3 рисунка (выполненных в масштабе): исходная схема стержневой системы, силовая схема и кинематическая схема деформирования конструкции.

2. Метод сечений.

3. Закон Гука.

4. Удлинение от изменения температуры.

5. Предел прочности, допустимое напряжение, условие прочности.

6. Пластическое течение, предел текучести.

7. Статическая неопределимость.

8. Условие совместности деформаций.

9. Расчет по допускаемым напряжениям.

10. Расчет по теории предельного равновесия.

ОБЩИЙ ПЛАН РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ

Вначале конструкцию освобождают от связей, заменяя их реакциями. Методом сечений вводят в рассмотрение внутренние продольные силы (нормальные силы), возникающие в стержнях. При этом направлять их нужно от сечения, т.е. условно считать стержни растянутыми. Определить реакции и продольные силы из уравнений равновесия не удается, т.к. в плоской задаче статики можно составить 3 независимых уравнения равновесия, число же неизвестных силовых факторов (реакций и продольных сил) больше трех. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, вытекающие из предположения о деформируемости стержней (уравнения совместности деформаций, связывающие удлинения стержней между собой). Вытекают они из геометрических соображений. При этом используется предположение о малости деформаций. Кроме того, необходимо учесть следующее правило знаков. Полную разницу между проектной длиной стержня l и конечной истинной длиной l кон обозначают через Dl . Следовательно, если стержень удлиняется, то , если укорачивается, то .

Как видно из рис.2, изменение длины стержня Dl складывается из удлинения Dl ( N ) , вызванного усилием осевого растяжения N , удлинения Dl (t) , вызванного изменением температуры, и неточности изготовления d .

Если температура понижается, то Dt < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d < 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Поскольку удлинения выражаются через продольные силы по формулам (1), то из уравнений совместности вытекают соотношения, связывающие между собой искомые усилия. Здесь и далее для упрощения записи используются следующие обозначения: продольная сила и напряжение в стержне с номером i .

В рассматриваемой РГР не требуется отыскивать реакции. Поэтому из 3-х уравнений равновесия достаточно оставить одно – условие равенства нулю моментов всех внешних и внутренних сил относительно оси, проходящей через центр шарнира D (рис.1). Решение полученной системы (уравнений равновесия и совместности деформаций) позволяет отыскать усилия в стержнях.

Далее проводятся проектировочный (задача 1) и поверочный (задача 2) расчеты методом допустимых напряжений. За опасное напряжение принимается предел текучести s т . Согласно метода допустимых напряжений конструкция считается вышедшей из строя, если напряжение достигло опасного значения хотя бы в одном стержне, т.е. оказался разрушенным хотя бы один из стержней:

Для обеспечения безопасности конструкции требуется наличие запаса прочности, т.е. должно выполняться условие прочности вида

, (3)

где k - коэффициент запаса, [s ] - допустимое напряжение.

Разрушение одного элемента конструкции не всегда означает потерю ее эксплуатационных свойств (т.е. обрушения). Другие элементы могут взять на себя нагрузку или ее часть, которую должен был нести разрушенный элемент. Это соображение используется в задаче 3, решаемой методом предельного равновесия, называемого еще методом допустимых нагрузок .

В постановке задачи предполагается, что силы Р и Q увеличиваются пропорционально (Р / Q = const), площади сечений стержней известны из решения задачи 1, материал стержней - упруго-идеально-пластический. При увеличении нагрузки сначала "потечет" один стержень, напряжение в нем при дальнейшей деформации не будет увеличиваться и по модулю останется равным пределу текучести s т (см.рис.3). Последующее увеличение нагрузок приведет к тому, что сначала во втором, а затем и в третьем стержнях начнется пластическое течение, т.е. напряжения достигнут предела текучести. Очевидно, что какими бы ни были в начале процесса монтажные или температурные напряжения, наконец наступает момент, когда во всех стержнях напряжения достигнут предела текучести (т.к. они не могут принять больших значений, согласно диаграмме деформирования на рис.3). Достигнутые значения сил F = F пр и Q = Q пр называются предельными, т.к. их увеличение невозможно, а система начнет неограниченно деформироваться. Поскольку усилия N i в предельном состоянии известны (т.к. выражаются через напряжения), то из уравнения равновесия определяется F пр . Из условия безопасности нагружения находятся допустимые нагрузки

Как видно из рассуждений при решении задачи 3, наличие изменений температуры или неточностей изготовления стержней не уменьшает грузоподъемности конструкции, если стержни изготовлены из упруго-идеально-пластического материала.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Преподаватель может конкретизировать задачу подбора стержней, потребовав использовать сортамент прокатной стали, например, подобрать составное сечение из уголков по таблицам сортамента (см. пример расчета).

2. При вычислениях достаточно оставлять 3 значащие цифры.

3. При подборе размеров стержней допускается 5 % перегрузки.

Пример расчета

Пусть дана шарнирно-стержневая система (рис.4). Известно, что

E = 2×10 4 кн/см 2 , s т = 24 кн/см 2 , a = 125×10 -7 1/град. (5)