В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.
Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:
Перемножая эти числа, получим:
Но по формулам тригонометрии
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.
Из равенства (1) вытекают соотношения:
Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что
Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.
Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула
В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.
Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:
Перемножая эти числа, получим:
Но по формулам тригонометрии
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.
Из равенства (1) вытекают соотношения:
Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что
Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.
Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула
Комплексные числа - это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или .
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой :
Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.
Самая популярная модель множества комплексных чисел - это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).
Операции над комплексными числами.
На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.
1.1 Сложение.
(Как видно, данная операции в точности соответствует )
1.2 Вычитание , аналогично, производится по следующему правилу:
2. Умножение.
3. Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Тригонометрическая форма.
Модулем комплексного числа z называется следующая величина:
,
очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.
Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.
Оказывается, что
z = ρ(cosφ+isinφ) .
Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы :
Последнюю формулу называют Формулой Муавра . Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа :
таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица . Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости :
Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел.Множество жекомплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Сложение комплексных чисел
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Умножение комплексных чисел
Основное равенство комплексных чисел:
Произведение комплексных чисел:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
Деление комплексных чисел
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .
2 Вопрос. Комплексная плоскость. Модуль и аргументы комплексных чисел
Каждому комплексному числу z = a + i*b можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + i*d . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью .
Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором точки с координатами (a;b) . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:
Изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.
Пусть комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z| .
Угол, образованный радиус-вектором числа с осью, называетсяаргументом числа и обозначаетсяarg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 доили в диапазоне от -до. Кроме того у числааргумент не определен.
С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:
причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен /2или 3*/2.
Получим еще одну полезную формулу. Пусть z = a + i*b . Тогда ,