- В функцию подставьте положительные числовые значения x {\displaystyle x} и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция f (x) = 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} :
Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.
Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.
Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция .
- В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} :
- Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения y {\displaystyle y} для противоположных значений x {\displaystyle x} не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
- Обратите внимание, что функцию f (x) = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} можно записать так: f (x) = (x + 1) 2 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
Определение
1. Функцияназываетсячетной
(нечетной
),
если вместе с каждым значением переменной
значение –х
также принадлежит
и выполняется равенство
Таким образом, функция может быть четной
или нечетной только тогда, когда ее
область определения симметрична
относительно начала координат на
числовой прямой (числа х
и –х
одновременно принадлежат
).
Например, функция
не является четной и нечетной, так как
ее область определения
не симметрична относительно начала
координат.
Функция
четная, так как
симметрична относительно начала
координат и.
Функция
нечетная, так как
и
.
Функция
не является четной и нечетной, так как
хотя
и симметрична относительно начала
координат, равенства (11.1) не
выполняются. Например,.
График четной функции симметричен
относительно оси Оу
, так как если
точка
тоже принадлежит графику. График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат, так как если
принадлежит графику, то и точка
тоже принадлежит графику.
При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.
Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
г) Если f
– четная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
,
то функция
–
четная.
д) Если f
– нечетная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
и четная (нечетная), то функция
–
четная (нечетная).
Доказательство . Докажем, например, б) и г).
б) Пусть
и
–
четные функции. Тогда,
поэтому.
Аналогично рассматривается случай
нечетных функций
и
.
г) Пусть f – четная функция. Тогда.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема
2. Любую функцию
,
заданную на множествеХ
, симметричном
относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
Доказательство
. Функцию
можно записать в виде
.
Функция
– четная, так как
,
а функция
– нечетная, поскольку.
Таким образом,
,
где
–
четная, а
–
нечетная функции. Теорема доказана.
Определение
2. Функция
называетсяпериодической
, если
существует число
,
такое, что при любом
числа
и
также
принадлежат области определения
и выполняются равенства
Такое число T
называетсяпериодом
функции
.
Из определения 1 следует, что если Т
– период функции
,
то и число –Т
тоже
является
периодом функции
(так
как при заменеТ
на –Т
равенство
сохраняется). С помощью метода
математической индукции можно показать,
что еслиТ
– период функцииf
,
то и
,
тоже является периодом. Отсюда следует,
что если функция имеет период, то она
имеет бесконечно много периодов.
Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.
Теорема 3. ЕслиТ – основной период функцииf , то остальные периоды кратны ему.
Доказательство
. Предположим
противное, то есть что существует период
функцииf
(
>0),
не кратныйТ
. Тогда, разделив
наТ
с остатком, получим
,
где
.
Поэтому
то есть
– период функцииf
,
причем
,
а это противоречит тому, чтоТ
–
основной период функцииf
.
Из полученного противоречия следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Хорошо известно, что тригонометрические
функции являются периодическими.
Основной период
и
равен
,
и
.
Найдем период функции
.
Пусть
- период этой функции. Тогда
(так как
.
илиилиили
.
Значение T
, определяемое
из первого равенства, не может быть
периодом, так как зависит отх
, т.е.
является функцией отх
, а не постоянным
числом. Период определяется из второго
равенства:
.
Периодов бесконечно много, при
наименьший
положительный период получается при
:
.
Это – основной период функции
.
Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле
Заметим, что если T
–
рациональное число, то
и
являются рациональными числами при
рациональномх
и иррациональными
при иррациональномх
. Поэтому
при любом рациональном числе T . Следовательно, любое рациональное числоT является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомn сколь угодно близким к нулю).
Теорема
4. Если функцияf
задана на множествеХ
и имеет
периодТ
, а функцияg
задана на множестве
,
то сложная функция
тоже имеет периодТ
.
Доказательство . Имеем, поэтому
то есть утверждение теоремы доказано.
Например, так как cos
x
имеет период
,
то и функции
имеют период
.
Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими .
Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить 
,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности
,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота - прямая предела 
.
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, 
.
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
|
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,... 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . 4. Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка:f (x 1), f (x 2),..., f (x a ),f (x b ), 5. Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a ; b ] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции. |
7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x ). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x ) , мы решаем неравенство f (x )0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x )0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).
Точка перегиба функции - это точка, в которой функция непрерывна и при переходе через которую функция меняет направление выпуклости.
Условия существования
Необходимое
условие существования точки перегиба:
если
функция дважды
дифференцируемая в некоторой выколотой
окрестности точки ,
то или 
.
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 - четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как }
