Типовые динамические звенья сау. Типовые динамические звенья Основные типовые динамические звенья систем автоматического управления

Типовые звенья САУ и их характеристики

Типовые динамические звенья

Типовым динамическим звеном САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев - это признак для разбиения последних на три группы:

Позиционные звенья: 1, 2, 3, 4, 5, - не имеют нулевых корней, и, следовательно, в области низких частот (т.е. в установившемся режиме), имеют коэффициент передачи равный k.
Интегрирующие звенья: 6, 7, 8, - имеют нулевой корень-полюс, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности.
Дифференцирующие звенья: 9, 10 - имеют нулевой корень-ноль, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к нулю.

В зависимости от величины самовыравнивания различают три типа объектов управления: устойчивый (с положительным самовыравниванием); нейтральный (с нулевым самовыравниванием); неустойчивый (с отрицательным самовыравниванием). Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (наличие положительного полюса).

Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:
u(t) = F(Δ) , где Δ - ошибка регулирования.
Законы регулирования бывают:
- линейные:
или (3.1)
- нелинейные: .
Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом. Цифровые законы регулирования реализуются путем построения регуляторов с помощью средств вычислительной техники (микро ЭВМ или микропроцессорных систем).
Наличие в (3.1) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора:
1. P - пропорциональный;
2. I - интегральный;
3. PI - пропорционально интегральный (изодромный);
4. PD - пропорционально дифференциальный;
5. и более сложные варианты - PID , PIID , PIDD , ...
Нелинейные законы регулирования подразделяются на:
1. функциональные;
2. логические;
3. оптимизирующие;
4. параметрические.
В составе структуры САУ содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(Δ). Закон регулирования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем.

6.4. Временные характеристики звеньев САУ

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал Y(t) определяется следующим соотношением:

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

Таблица 3.1

Изображение по Лапласу и оригиналы

Изображение	Оригинал f(t)

Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Временные характеристики типовых звеньев

Тип звена	Передаточные функции	Временные функции
Позиционные звенья
Усилительное
Апериодическое 1-го порядка
Апериодическое 2-го порядка T 1 ≥2T 2
Колебательное 0<ξ<1
Консервативное
Интегрирующие звенья
Интегрирующее идеальное
Интегрирующее инерционное
Изодромное 1-го порядка
Изодромное 2-го порядка
Дифференцирующие звенья
Идеальное дифференцирующее
Дифференцирующее инерционное
Форсирующее 1-го порядка
	6.4. Частотные характеристики звеньев САУ

В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.
Если задана передаточная Функция W(р), то путём подставки p=jω получаем частотную передаточную функцию W(jω), которая является комплексным выражением т.е. W(jω)=U(ω)+jV(ω), где U(ω) - вещественная составляющая, а V(ω) - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

W(jω)=A(ω)e jφ(ω) (3.2)

Где - модуль; - аргумент частотной передаточной функции.

Функция A(ω), представленная при изменении частоты от 0 до получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Функция Φ(ω), представленная при изменении частоты от 0 до называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного - АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка - ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.
Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.). При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо ω откладывается lg(ω) и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз. При построений л.а.ч.х. на оси ординат единицей измерения является децибел [дБ], который представляет собой соотношение L=20 lg А(ω). Один децибел представляет собой увеличение амплитуды выхода в раз. Верхняя полуплоскость л.а.х. соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоте среза ω ср , при которой амплитуда выходного сигнала равна входной.
Для л.ф.ч.х. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 3.2.

Рис 3.2. Схема координат для логарифмических характеристик

Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы, т.е. строить асимптотические л.ч.х.. Особенно удобно использовать логарифмические частотные характеристики при анализе всей системы, когда результирующая передаточная функция после разложения на множители приводится к виду:
(3.3)
т.е. передаточную функцию любой САУ в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующего вида:
- где: K r , r, T, ξ, - постоянные величины, причём K r >0, r>0, T>0, 0<ξ<1.
В этом случае построение л.а.х. производится по выражению

Построение л.ф.х. производится по выражению
Таким образом, результирующая л.а.х. определяется суммированием л.а.х. составляющих типовых звеньев, а результирующая л.ф.х. - соответственно суммированием л.ф.х. составляющих типовых звеньев.

Что такое динамическое звено? На предыдущих занятиях мы рассматривали отдельные части системы автоматического управления и называли их элементами системы автоматического управления. Элементы могут иметь различный физический вид и конструктивное оформление. Главное, что на такие элементы подается некоторый входной сигнал х( t ) , и как отклик на этот входной сигнал, элемент системы управления формирует некоторый выходной сигнал у( t ) . Далее мы установили, что связь между выходным и входным сигналами определяется динамическими свойствами элемента управления, которые можно представить в виде передаточной функции W(s). Так вот, динамическим звеном называется любой элемент системы автоматического управления, имеющий определенное математическое описание, т.е. для которого известна передаточная функция.

Рис. 3.4. Элемент (а) и динамическое звено (б) САУ.

Типовые динамические звенья – это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. К типовым звеньям относятся:

пропорциональное звено;

апериодическое звено I-ого порядка;

апериодическое звено II-ого порядка;

колебательное звено;

интегрирующее звено;

идеальное дифференцирующее звено;

форсирующее звено I-ого порядка;

форсирующее звено II-ого порядка;

звено с чистым запаздыванием.

Пропорциональное звено

Пропорциональное звено иначе еще называется безынерционным .

1. Передаточная функция.

Передаточная функция пропорционального звена имеет вид:

W (s ) = K где К – коэффициент усиления.

Пропорциональное звено описывается алгебраическим уравнением:

у(t ) = K · х(t )

Примерами таких пропорциональных звеньев могут служить, рычажный механизм, жесткая механическая передача, редуктор, электронный усилитель сигналов на низких частотах, делитель напряжения и др.

4. Переходная функция .

Переходная функция пропорциональное звена имеет вид:

h(t) = L -1 = L -1 = K · 1(t)

5. Весовая функция.

Весовая функция пропорционального звена равна:

w(t) = L -1 = K ·δ(t)

Рис. 3.5. Переходная функция, весовая функция, АФЧХ и АЧХ пропорционального звена.

6. Частотные характеристики .

Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ пропорционального звена:

W(j ω ) = K = K +0 ·j

A(ω ) =
= K

φ(ω) = arctg(0/K) = 0

L(ω) = 20·lg = 20·lg(K)

Как следует из представленных результатов, амплитуда выходного сигнала не зависит от частоты. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ¥, как правило на высоких частотах, коэффициент усиления становится меньше и стремиться к нулю при ω → ∞. Таким образом, математическая модель пропорционального звена является некоторой идеализацией реальных звеньев .

Апериодическое звено I -ого порядка

Апериодические звенья иначе еще называются инерционными .

1. Передаточная функция.

Передаточная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:

W (s ) = K /(T · s + 1)

где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. Поскольку постоянная времени характеризует некоторый временной интервал , то ее величина должна быть всегда положительной, т.е. (T > 0).

2. Математическое описание звена.

Апериодическое звено I-ого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

T · d у(t )/ dt + у(t ) = K ·х(t )

3. Физическая реализация звена.

Примерами апериодического звена I-ого порядка могут служить: электрический RC-фильтр; термоэлектрический преобразователь; резервуар с сжатым газом и т.п.

4. Переходная функция .

Переходная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:

h(t) = L -1 = L -1 = K – K·e -t/T = K·(1 – e -t/T )

Рис. 3.6. Переходная характеристика апериодического звена I-го порядка.

Переходный процесс апериодического звена I-ого порядка имеет экспоненциальный вид. Установившееся значение равно: h уст = K. Касательная в точке t = 0 пересекает линию установившегося значения в точке t = T. В момент времени t = T переходная функция принимает значение: h(T) ≈ 0.632·K, т.е. за время T переходная характеристика набирает только около 63% от установившегося значения.

Определим время регулирования T у для апериодического звена I-ого порядка. Как известно из предыдущей лекции, время регулирования – это время, после которого разница между текущим и установившимся значениями не будет превышать некоторой заданной малой величины Δ. (Как правило, Δ задается как 5 % от установившегося значения).

h(T у) = (1 – Δ)·h уст = (1 – Δ)·K = K·(1 – e - T у/ T), отсюда е - T у/ T = Δ, тогда T у /T = -ln(Δ), В итоге получаем T у = [-ln(Δ)]·T.

При Δ = 0,05 T у = - ln(0.05)·T ≈ 3·T.

Другими словами, время переходного процесса апериодического звена I-ого порядка приблизительно в 3 раза превышает постоянную времени.

При исследовании систем управления они обычно представляются в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Динамическим звеном называют устройство любого физического вида и конструктивного оформления, имеющее вход и выход, как показано на рисунке 2.1, и для которого задано уравнение (обычно дифференциальное), связывающее сигналы на входе и выходе.

Рисунок 2.1 – Схема динамического звена

Классификация динамических звеньев производится по виду дифференциального уравнения. Одними и теми же дифференциальными уравнениями могут описываться устройства любого типа (электрические, электромеханические, гидравлические, тепловые и т.п.), что позволяет использовать для проектирования различных устройств одинаковые подходы.

Если уравнение, связывающее сигналы , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий вид:

где – постоянные коэффициенты; .

Однако вид дифференциального уравнения не является единственным признаком, по которому проводится сравнение динамических звеньев.

Основными характеристиками звеньев являются:

Дифференциальные уравнения движения;

Передаточные функции;

Временные характеристики (переходная функция, импульсная (весовая) функция;

Частотные характеристики (амплитудно-частотные характеристики, амлитудно-фазовые частотные характеристики, логарифмические частотные характеристики).

Передаточной функцией звенаназывается отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях. Подвергнем уравнение (2.1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями:

Отсюда получим

Отношение (2.2) не зависит от изображений сигналов и определяется только параметрами самого динамического звена , , имеет вид дробно-рациональной функции.

Уравнение вида

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Временные характеристики обусловливают динамические свойства звена. Они определяются на выходе звена при подаче на вход типовых сигналов.

Переходная функция или переходная характеристика представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равного единице (рисунок 2.2). Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия можно отнести мгновенное изменение нагрузки электрогенератора, возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы.

Рисунок 2.2 – Единичная ступенчатая (а) и переходная (б) функции

Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции определяется как

Чтобы определить изображение переходной функции при известной передаточной функции звена необходимо выполнить следующую операцию:

Оригинал находят с помощью обратного преобразования Лапласа (приложение Б), применяемого к (1.5).

импульсная переходная функция или весовая функция – это реакция звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или – функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

Дельта-функция определяется выражением

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что

то есть она имеет единичную площадь. Эту функцию можно описать как короткий, но мощный импульс. Дельта-функция также является распространенным входным воздействием в автоматических системах. Например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый предохранителями и т.п.

Нетрудно установить, что изображение -функции определяется

Изображение функции веса есть передаточная функция:

Поэтому для нахождения оригинала импульсной переходной функции необходимо применить обратное преобразование Лапласа к передаточной функции звена (системы).

Дельта-функция и функция веса некоторого звена изображены на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 – Дельта функция (а) и функция веса (б)

Переходная и импульсная функции связаны соотношениями

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции. Частотные характеристики получают при рассмотрении движения звена (системы) при подаче на его вход гармонического воздействия.

Функцию , которую получают из передаточной функции (2.2):

называют частотной передаточной функцией.

Частотная передаточная функция, как функция комплексного аргумента, может быть представлена в виде

где – действительная (вещественная) часть ; – мнимая часть ; – модуль (амплитуда) ; – аргумент (фаза) .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части функции являются функциями частоты, поэтому частотная передаточная функция используется и представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Таким образом, в ТАУ рассматривают следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф вектора (кривая, описываемая концом этого вектора), построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Физический смысл частотных характеристик можно определить следующим образом. При гармоническом воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика – сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Общий вид частотных характеристик представлен на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Частотные характеристики:

амплитудно-фазовая (а), амплитудно-частотная (б), фазо-частотная (в), вещественная частотная (г), мнимая частотная (д)характеристики

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе:

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют график зависимости фазо-частотной характеристики (ФЧХ) от логарифма частоты. При построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а на отметке, соответствующей значению , пишут само значение . Довольно часто ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта.

Единицей является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

При построении ЛФЧХ отсчет углов идет по оси ординат в обычном масштабе в градусах или радианах.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку (частоте соответствует бесконечно удаленная точка: при ). Так как , то начало координат чаще всего берется в точке .

8. Интегрирующее звено с замедлением

Здесь – коэффициент усиления звена, – постоянная времени, с.

Все элементы системы независимо от их конструктивного исполнения и назначения по своим динамическим свойствам можно подразделить на ограниченное число типовых динамических. Под типовым динамическим звеном понимают элемент системы направленного действия, описываемый в динамике дифференциальным уравнением не выше второго порядка или алгебраическим уравнением. Классифицируют звенья именно по виду уравнения динамики.

Все звенья можно разделить на два типа: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.

Звено является неминимально-фазовым, если его передаточная функция имеет положительные нули или полюса, у таких звеньев фазовая характеристика не соответствует дифференциальному уравнению. Для минимально-фазовых звеньев фазочастотная характеристика однозначно определяется амплитудно-частотной характеристикой.

Динамические звенья могут быть устойчивыми, если после приложения и снятия воздействия его выходная переменная стремится к значению до момента приложения воздействия (т.е. возвращается в исходное состояние); нейтральными (астатическими), если при ступенчатом воздействии выходная переменная изменяется с постоянной скоростью (астатизм первого порядка) или постоянным ускорением (астатизм второго порядка); а после приложения и снятия воздействия приходит в новое устойчивое состояние; неустойчивые, если выходная переменная после приложения и снятия возмущения изменяется, не приходя к некоторому устойчивому состоянию.

Рассмотрим минимально-фазовые звенья. По типу уравнений динамики их можно классифицировать следующим образом.

Простейшие звенья: а) безынерционное (усилительное, пропорциональное); б) идеально-интегрирующее, идеально-дифференцирующее;

Звенья первого порядка: а) инерционное звено первого порядка (апериодическое); б) форсирующее звено; в) реально-дифференцирующее звено первого порядка; г) интегро-дифференцирующее (инерционно-форсирующее) первого порядка.

Звенья второго порядка: а) апериодическое (инерционное) звено второго порядка; б) колебательное; в) консервативное.

Особые звенья: звено запаздывания и иррациональные звенья.

Рассмотрим типовые звенья, их уравнения динамики, передаточные функции и характеристики.

§1. Простейшие звенья.

1) Безынерционное звено.

Выходной сигнал этого звена по форме повторяет входной сигнал. Уравнение динамики

K - коэффициент пропорциональности, который может быть определен по статической характеристике

Уравнение звена в изображениях

и передаточная функция

Получим, заменив в выражении передаточной функции оператор Лапласа p на оператор Фурье jщ.

(реакция на ступенчатый сигнал)

Рисунок 3.1

Реакция на импульс

Звено устойчивое.

АФЧХ получим изменяя частоту от нуля до бесконечности. Из выражения W(jщ) видно, что комплексный коэффициент усиления не зависит от частоты и не будет смещения вектора W(jщ). Таким образом АФЧХ этого звена представляет собой точку на вещественной оси, отстоящую на расстояние K от начала координат.

Рисунок 3.2

Логарифмические амплитудно и фазочастотные характеристики:

Таким образом ЛАЧХ пройдет параллельно оси частот на расстоянии от нее (20 Lg K) определяемым коэффициентом передачи, фазовый сдвиг во всем диапазоне частот равен нулю.

Рисунок 3.3

Примеры безынерционных звеньев: зубчатая передача, рычажная передача, делитель напряжения, усилитель.

2) Идеально-интегрирующее звено.

Выходной сигнал этого звена равен интегралу от входного, уравнение динамики имеет следующий вид:

Где - время интегрирования.

Передаточная функция звена

Перейдем к выражению комплексного коэффициента передачи:

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика

Рисунок 3.4

б) функция веса и импульсная переходная характеристика

Рисунок 3.5

По импульсной переходной характеристике видно, что звено астатическое (астатизм первого порядка), после снятия возмущения выходная переменная приходит к новому установившемуся значению.

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

представляет собой отрицательный отрезок мнимой полуоси.

Рисунок 3.6

Логарифмические частотные характеристики.

ЛАЧХ определяется выражением

и представляет собой прямую с отрицательным угловым коэффициентом. При щ=1 , точка пересечения с осью lg соответствует уравнению

20lgK - 20lg = 0, lg = lg K, т.е. = K.

Поэтому ее можно построить рассчитав значение L(= 1) = 20lgK и через эту точку провести прямую с наклоном -20Дб/дек, или через точку lg=lgK.

Рисунок 3.7

Уравнение фазовой характеристики, т.е. фазовый сдвиг, постоянен и не зависит от частоты, а характеристика ФЧХ параллельна оси частот.

Наклон ЛАЧХ -20Дб/дек означает, что с увеличением частоты в 10 раз (1 декада) модуль амплитудной характеристики уменьшается на 20 Дб (в 10 раз).

Примеры звена:

3) Идеально-дифференцирующее звено.

Выходной сигнал этого звена пропорционален скорости изменения входного сигнала и уравнение звена

Уравнение в изображениях

Передаточная функция звена

Комплексный коэффициент передачи

Временные характеристики

а) переходная функция и характеристика

Рисунок 3.9

б) функция вес и импульсная переходная характеристика

Два импульса противоположной полярности.

Частотные характеристики.

АФЧХ строится по выражению и представляет собой положительный отрезок мнимой оси. .

Рисунок 3.10

Логарифмические характеристики

ЛАЧХ строится по выражению и представляет собой прямую с положительным угловым коэффициентом, она пересекает ось lgщ в точке

На частоте щ=1 L(щ) = 20lgK.

Таким образом, ЛАЧX можно построить рассчитав точку и отложив ее на оси lgщ провести прямую с наклоном +20Дб/дек или через точку (при щ=1) 20lgK с тем же наклоном.

Рисунок 3.11

наклон +20Дб/дек, означает, что с увеличением частоты в 10 раз модуль амплитудной характеристики увеличивается на 20Дб (в 10 раз).

Уравнение фазовой характеристики - т.е. фазовый сдвиг не зависит от частоты и ФЧХ проходит параллельно оси lgщ через отметку +90є.

§2. Звенья первого порядка.

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.

Это звено в динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка.

где T - постоянная времени, характеризующая инерционные свойства звена;

K - коэффициент пропорциональности, характеризует статизм звена (коэффициент статизма).

Запишем уравнение в изображениях

передаточная функция;

Заменой p на jщ перейдем к комплексному коэффициенту передачи

Временные характеристики звена

а) Переходная функция и характеристика

Уравнение экспоненты;

Корень характеристического уравнения > Tp +1 = 0

Рисунок 3.13

Согласно уравнению переходной характеристики h(t=T)=0,63K, т.е. за время равное одной постоянной времени выходная переменная достигает 0,63 от установившегося значения h(?).

h(t=3T) = 0,95 h(?); h(t=4T) = 0,98 h(?), т.е. переходный процесс за время равное 4T можно считать завершившимся (tпер=(3ч4)T).

Постоянную времени можно определить по графику h(t) (как показано на рисунке) используя свойство экспоненты - проекция под касательной на линию установившегося значения равна постоянной времени или определяя время за которое h(t) достигает значение 0,63 h(?).

Рисунок 3.14

В соответствии с видом временных характеристик звено является устойчивым.

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты 0 < щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.

Рисунок 3.15

При увеличении частоты вектор W(jщ) смещается по часовой стрелке и фазовый сдвиг меняется нуля до -90є.

Логарифмические характеристики.

Обычно строят асимптотические ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и очень легко рассчитываются. На низких частотах, второе слагаемое в выражении (*) очень мало и его можно не учитывать, при второе слагаемое дает значение 10lg2 = 3,01, а при увеличении частоты его вклад возрастает.

Поэтому асимптотическую ЛАЧХ строят следующим образом:

для частоты по уравнению - прямая параллельна оси частот;

для наклонную линию с наклоном -20 Дб/дек. Ошибка на частоте равна 3Дб, т.е. точная L(щ) на этой частоте проходит ниже на 3Дб (показана пунктиром).

Рисунок 3.16

Фазовая характеристика

Примеры звена:

Дифференциальным уравнением первого порядка описываются переходные процессы в магнитном усилителе (инерционный усилитель), тепловые процессы, процессы растворения и осаждения и другие технологические процессы.

Остальные звенья первого порядка можно рассматривать как соединения простейших звеньев и звена апериодического или как соединение простейших звеньев.

Форсирующее звено.

Рисунок 3.19

K1 - размерный коэффициент (сек.), K2 - безразмерный.

т.е. выходной сигнал пропорционален входному и скорости его изменения.

Комплексный коэффициент передачи

Временные характеристики звена

а)переходная функция и характеристика

Рисунок 3.20

б) функция веса и импульсная переходная характеристика

Рисунок 3.21

Звено устойчивое

Частотные характеристики

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению

при изменении частоты 0 < щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.

Рисунок 3.22

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика >

Асимптотическая ЛАЧХ - ломаная линия, на первом участке до - прямая параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстояние 20lgK, на частоте происходит излом и дальше характеристика проходит с наклоном +20 Дб/дек.

Рисунок 3.23

Реально-дифференцирующее звено

Это звено можно рассматривать как последовательное соединение идеально-дифференцирующего звена и апериодического первого порядка или как встречно-параллельное соединение безынерционного и идеально-интегрирующего звеньев.

Дифференциальное уравнение звена

Уравнение в изображениях и передаточная функция

Комплексный коэффициент передачи

Временная характеристика звена

а) переходная функция и характеристика

т.е. аналогична функции веса апериодического звена первого порядка.

Рисунок 3.26

б) функция веса и импульсная переходная характеристика.

Рисунок 3.27

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика при 0 < щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.

Рисунок 3.28

Логарифмическая асимптотическая амплитудно-частотная характеристика представляет собой ломаную линию, до - наклон +20 Дб/дек далее прямая параллельна оси частот.

и может быть получена как сумма ЛАЧХ двух последовательно соединенных апериодического и идеально-дифференцирующего звена.

Рисунок 3.29

Инерционно-форсирующее (интегро-дифференцирующее) звено.

Может быть получено как последовательное соединение апериодического первого порядка и форсирующего звена или встречно-параллельного соединения усилителя и апериодического звена первого порядка.

Дифференциальное уравнение звена:

Уравнение в изображениях и передаточная функция

Комплексный коэффициент передачи

Свойства этого звена зависят от соотношения постоянных времени, если < 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если > 1 - к дифференцирующему.

Временные характеристики звена.

а) переходная функция и характеристики.

Рисунок 3.34

б) функция веса и импульсная переходная характеристика.

Рисунок 3.35

Частотные характеристики звена.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты от нуля до бесконечности и вид ее также зависит от соотношения.

Рисунок 3.36

Логарифмические характеристики асимптотическая амплитудная также представляет собой ломаные линии и зависят от коэффициента в.

Рисунок 3.37

Неминимально-фазовые звенья

Звено является неминимально-фазовым звеном, если сдвиг по фазе при 0 < щ < ? превышает максимально возможное значение для данного типа уравнения динамики.

Звено является неминимально-фазовым, если его W(p) имеет положительный нуль или полюс (корень полинома числителя или знаменателя). Одной и той же АЧХ звена может соответствовать разные ФЧХ.

Устойчивое неминимально-фазовое инерционное звено первого порядка

Уравнение:

имеем положительный нуль

Корень положительное число.

при 0 < щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.

Временные характеристики.

при T2 > T1