Формула Остроградского - Грина
Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.
Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.
Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и
Тогда имеет место формула
где С - замкнутый контур области D.
Это формула Остроградского - Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D 1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D 2).
Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:
Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):
1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру
где С - любой замкнутый контур в D;
2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.
3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:
Докажем по схеме.
Докажем, что из.
Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .
Докажем, что из.
Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути
Рассмотрим функцию
Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что
Зададим частный прирост
х F (x,y)= F(х + х, у) -F (x,y)= = == =
(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x (всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6). Докажем, что из. Дана формула dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Очевидно, что = Р(х,у). Тогда По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что Докажем, что из 41. Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D 1 . Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина: В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е. Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3): дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D. Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4): Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной. Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина. Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная. Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными , Области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.) L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во. Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y). P*dx+Q*dy =U(x.y) Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф. Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой. Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0) Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.
Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2). Т. Для того, чтобы кр. Инт. Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования Зам. = отсюда получаем, что Пов. Инт. 1-го рода.Его св. и выч.
Пусть в точках пов. S С ПЛ. S пространства oxyz опред. Непрерывная ф. f(x,y.z) . Разобьем пов. S на n частей Si, ПЛ. КАЖДОЙ ЧАСТИ дельта Si, а диаметр Di i=1..m в каждой части Si выберем произвольную точку Mi от (xi, yi, zi) и cоставим сумму . Сумма называется интегральной для ф. f(x,y.z) по поверхности S если при интегр. Сумма имеет предел, то он наз. Пов интегралом 1-го рода
от ф. f(x,y.z) по поверхности S и обозначается = Свойства пов. Инт.
2) 3) S=s1+s2, Тогда 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что . Выч пов инт 1-го рода
сводиться к вычисленею2-го инт по обл Д, кот явл проекцией пов S на плоскость oxy, если пов s задана Ур z=z(x,y) то по винт равен . Если S задано в виде y=y(x, z), то … Пов инт 2-го рода
Пусть задана двусторонняя пов, после обхода такой пов не пересекая ее границы направление нормали к ней не меняется. Односторонныя пов: является Лист Мебиуса. Пусть в точке рассматриваемой двусторонней поверхности S в прстранстве oxyz определена ф. F(x,y,z). Выбронную сторону поверхности разбиваем на части Si i=1..m и проектируем их на корд плоскости. При этом пл пов ,берем со знаком «+», если выбрана верхняя сторона пов (если нормаль образует острый угол с oz, выб со зн «–» если выбрана нижняя сторона пов(ТУПОЙ УГОЛ)). Составим инт сумму Где – пл пов Si –части при если он сущ и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек в них, наз по инт 2-ого рода от ф. f(x,y,z) по пов s и обозначается: по опред пов интеграл будет = пределу интегр суммы. Аналогично опред инт по пов s , тогда общим видоим пов инт 2-го рода служит инт где P, Q, R непрерывные функции опред в точках двусторонней пов s. Если S замкнутая пов, то по инт по внешней стороне обозначается и по внутренней стороне . ds. Где ds элемент площади пов S , а cos , cos cos напр cos нармали n. Выбранной стороны пов. Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры. Пусть функции непрерывны в области D
ÌOxy
и на ее границе Г
; область D
– связная; Г
– кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина
: здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г
обходится против часовой стрелки. Пусть Т
– кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г
. Если функции P
(x
,y
,z
), Q
(x
,y
,z
), R
(x
,y
,z
) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т
и границы Г
, то имеет место формула Стокса
: (2.23) слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т
, которая остается слева при обходе кривой Г
. Если связная область W
ÌOxyz
ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т
, а функции P
(x
,y
,z
), Q
(x
,y
,z
), R
(x
,y
,z
) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W
и Т
, то имеет место формула Остроградского-Гаусса
: (2.24) слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т
; справа – тройной интеграл по области W
. Пример 1.
Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г
: , начиная от оси Ox
, по часовой стрелке (рис. 2.18). Решение.
Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P
(x
,y
)=x
-y
, Q
(x
,y
)=x
+y
. Имеем: Пример 2.
Вычислить интеграл , если Г
есть окружность в плоскости z
=2, обходимая против часовой стрелки. Решение.
По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т
: Итак, учитывая, что , имеем: Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D
ÌOxy
, на который проектировался круг Т
; D
: . Перейдем к полярным координатам: x
=r
cosj, y
=r
sinj, jÎ, r
Î. В итоге: Пример 3.
Найти поток П
Т
пирамиды W
: (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности. Решение.
Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W
-пирамиде: Пример 4.
Найти поток П
векторного поля через полную поверхность T
пирамиды W
: ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности. Решение.
Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V
– объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды). ,
,
где S D
– площадь круга D
: , равная . В итоге: – искомая работа силы.
T
:
.
так как проекция граней на плоскость Oxy
имеет нулевую площадь (рис. 2.21),