Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Содержание

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где - кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи ”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным .

Сложное или составное движение точки - это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении - это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении - это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении - это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Сложное движение. Точка M движется относительно движущегося тела.

Пусть Oxyz - неподвижная система координат, O n x o y o z o - подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть - единичные векторы (орты), направленные вдоль осей x o , y o , z o подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор точки M в неподвижной системе определяется по формуле:
(1) ,
где - радиус-вектор точки O n - начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты x o , y o , z o точки относительно тела. А векторы являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2) ;
(3) .

Относительная скорость точки при сложном движении - это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы , определяющие положение тела. Относительные координаты точки x o , y o , z o являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая x o , y o , z o постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4) ;
(5) .

Переносная скорость точки при сложном движении - это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от - это скорость и ускорение начала подвижной системы координат O n : ; .

Найдем формулы для производных по времени от векторов . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела ”). Рассмотрим вектор , проведенный из точки A в точку B . Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6) , , .

Подставляем в (4) :

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5) , получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где - угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки x o , y o , z o .

Абсолютная скорость точки при сложном движении - это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) (2) и (4) .
(1) ;
(7)
.

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5) .
(7) .


.

В последнем члене применим (6) и (2) .

.
Тогда
.

Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.

Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:

• абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой СО.
• относительное движение - это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
• переносное движение - это движение второй СО относительно первой.

Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:

В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Кинематика сложного движения точки

Скорость

.

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть

.

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть

.

Кинематика сложного движения тела

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).

Релятивистская механика

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:

в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Литература

• Н. Г. Четаев . «Теоретическая механика». М.: Наука. 1987. 368 с.

Общая постановка задачи об относительном движении такова: движение точки определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами (системами отсчета), причем эти системы движутся заданным образом друг по отношению к другу. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движе­ния: траекторию, скорость и ускорение в своей системе отсчета. Ставится задача: зная движение одной системы отсчета по отно­шению к другой, найти связь между кинематическими элементами движения точки по отношению к каждой системе в отдельности. Предположим, что движение точки М в пространстве рассма­тривается в двух движущихся друг по отношению к другу системах координат: Oxyz , и (рис.41). В зависимости от содержания стоящей перед нами задачи одну из этих систем Oxyz примем за основную и назовем абсолютной системой и все кине­матические элементы его абсолютными. Другую систему назовем относительной и соответственно движение по отношению к этой системе, а также его кинематические элементы относитель­ными. Термины «абсолютный» и «относительный» имеют здесь ус­ловное значение; при рассмотрении движений может оказаться целе­сообразным то одну, то другую систему принимать за абсолютную. Элементы абсолютного движения будем обозначать подстрочным индексом «а », а относительного - индексом «r ».

Введем понятие переносного движения, элементы которого будем обозначать подстрочным индексом «е ». Переносным движением точки будем называть движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта относительной системы, через который в рассматриваемый момент времени проходит движущаяся точка. Понятие переносного движения нуждается в пояснении. Необхо­димо четко различать точку, абсолютное и относительное движение которой рассматривается, от той, неизменно связанной с относи­тельной системой точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. Обычно та и другая точка обо­значены одной буквой М , так как рисунок не передает движения; на самом деле это две различные точки, движущиеся друг по от­ношению к другу.

Остановимся на двух иллюстрациях понятия переносного дви­жения. Если человек идет по движущейся платформе, то можно рассматривать, во-первых, «абсолютное» движение человека по от­ношению к земле, во-вторых, «относительное» его движение по платформе. Переносным движением при этом будет являться движе­ние по отношению к земле того места платформы, по которому проходит в данный момент человек.

СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указан­ных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рас­смотрим качение без скольжения колеса вагона по рель­су. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движе­ние точки на ободе колеса является составным или сложным.

Введем следующие определения:

1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.

2. Движение точки относительно подвижной системы координат O 1 ξηζ называется населенным.

3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О 1 ξηζ , относи­тельно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.

Таким образом, переносное движение вызвано движением под­вижной системы координат по отношению к неподвижной. В приве­денном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О 1 ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.

Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив коор­динаты точки х, у,z как функции времени:

х=х(t ), у = у(t ), z = z (t ).

Уравнения относительного движения точки имеют вид

ξ = ξ (t ), η = η (t), ζ = ζ (t ).

В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравне­ния абсолютной траектории, а уравнения (11.77) - соответственно уравнения относительной траектории.

Различают также абсолютную, переносную и от­носительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсо­лютную скорость обозначают υ a , относительную - υ r , переносную - υ е Соответственно ускорения обознача­ют: ω а , ω r и ω е .

Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и под­вижной.

Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускоре­ний в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.

Теорема о сложении скоростей

Теорема . При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ a равна векторной сумме отно­сительной υ r и переносной υ е скоростей.

Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы коор­динат Оξηζ через ω . Положение точки М определяется радиусом-вектором r .

Установим соотношение между скоростями точки М по отноше­нию к двум системам координат - неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы

Из кинематики точки известно, что первая производная от ра­диуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ а - абсолютная скорость, =υ r - относительная скорость,

а ω xr = υ е - переносная ско­рость точки М. Следовательно,

υ а = υ r + υ е

Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:

В некоторых задачах кинематики требуется определить относи­тельную скорость υ r . Из (11.79) следует

υ r = υ а +(- υ е) .

Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с век­тором, равным по абсолютной величине, но противоположно направ­ленным переносной скорости.

До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета которую называем основной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними).

Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуz называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении можно движение осей во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе является для точки М переносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ипер), а ускорение этой точки - переносным ускорением точки М (обозначается арер). Таким образом,

Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).

В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перейдем.