سنتناول في هذا الدرس عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات (رابط فوري لمن يحتاجه). لا بأس، أحيانًا يحدث ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج العددي للمتجهات، مطلوب المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يبدو أننا ندخل في غابة الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الخشب عمومًا، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أكثر تعقيدًا من نفس المادة منتج نقطة، حتى المهام النموذجيةسيكون هناك أقل. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيقتنع الكثيرون أو اقتنعوا بالفعل، هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. كرر مثل التعويذة وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة اكتساب المعرفة الأساسية حول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي؛ لقد حاولت جمع المجموعة الأكثر اكتمالاً من الأمثلة التي غالبًا ما توجد في العمل العملي

ما الذي سيجعلك سعيدا على الفور؟ عندما كنت صغيرًا، كنت قادرًا على التوفيق بين كرتين وحتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن لن تضطر إلى التوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر في ذلك المتجهات المكانية فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات والعمل فيهما مساحة ثلاثية الأبعاد. إنه بالفعل أسهل!

تتضمن هذه العملية، تمامًا مثل المنتج العددي، اثنين من المتجهات. لتكن هذه الحروف خالدة.

الفعل نفسه يُشار إليه بـعلى النحو التالي : . هناك خيارات أخرى، لكنني معتاد على الإشارة إلى حاصل ضرب المتجهات للمتجهات بهذه الطريقة، بين قوسين مربعين مع علامة علامة متقاطعة.

وعلى الفور سؤال: إذا في المنتج العددي للمتجهاتهناك متجهان متضمنان، وهنا يتم ضرب متجهين أيضًا ما هو الفرق؟ الفرق الواضح هو أولاً وقبل كل شيء في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هي NUMBER:

نتيجة الضرب الاتجاهي للمتجهات هي VECTOR: أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق . في الواقع، هذا هو المكان الذي يأتي منه اسم العملية. في الأدبيات التعليمية المختلفة، قد تختلف التسميات أيضا؛

تعريف المنتج المتقاطع

أولا سيكون هناك تعريف بالصورة، ثم التعليقات.

تعريف: المنتج المتجهات غير خطيةناقلات, اتخذت بهذا الترتيب، يسمى المتجه، طولوهو رقميا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبني على هذه النواقل؛ ناقلات متعامد على المتجهات، ويتم توجيهه بحيث يكون للأساس اتجاه صحيح:

دعونا نحلل التعريف، هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام هنا!

لذا يمكن تسليط الضوء على النقاط الهامة التالية:

1) المتجهات الأصلية، المشار إليها بالأسهم الحمراء، حسب التعريف ليس على خط مستقيم. سيكون من المناسب النظر في حالة المتجهات الخطية بعد ذلك بقليل.

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب محدد بدقة: – "أ" مضروبة في "كن"، وليس "يكون" مع "أ". نتيجة مضاعفة المتجهاتهو VECTOR، المشار إليه باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي، نحصل على متجه متساوي في الطول ومعاكس في الاتجاه (لون التوت). أي أن المساواة صحيحة .

3) الآن دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جداً! طول المتجه الأزرق (وبالتالي المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات. في الشكل، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي، وبطبيعة الحال، فإن الطول الاسمي للمنتج المتجه لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

دعونا نتذكر واحدة من الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي المنتج الجوانب المجاورةبواسطة جيب الزاوية بينهما. لذلك، بناءً على ما ورد أعلاه، تكون صيغة حساب طول المنتج المتجه صالحة:

أؤكد أن الصيغة تدور حول طول المتجه، وليس حول المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

دعونا نحصل على الصيغة المهمة الثانية. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى قسمين مثلث متساوي. لذلك، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) باستخدام الصيغة:

4) لا أقل حقيقة مهمةهو أن المتجه متعامد مع المتجهات، أي . وبطبيعة الحال، فإن المتجه ذو الاتجاه المعاكس (سهم التوت) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلديه يمينتوجيه. في الدرس حول الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بتفاصيل كافية عنه اتجاه الطائرةوالآن سنكتشف ما هو الاتجاه الفضائي. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى . الجمع عقليا السبابةمع ناقلات و الاصبع الوسطىمع ناقلات. البنصر والإصبع الصغيراضغط عليه في راحة يدك. نتيجة ل إبهام- سوف يبحث المنتج المتجه عن الأعلى. هذا أساس موجه نحو اليمين (هذا هو الموجود في الشكل). الآن قم بتغيير المتجهات ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن، نتيجة لذلك، سوف يستدير الإبهام، وسوف ينظر المنتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. وهذا أيضًا أساس موجه نحو اليمين. قد يكون لديك سؤال: ما هو الأساس الذي ترك التوجه؟ "تعيين" لنفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات، والحصول على الأساس الأيسر والاتجاه الأيسر للفضاء (في هذه الحالة، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). من الناحية المجازية، فإن هذه القواعد "تلتف" أو توجه الفضاء نحو الداخل جوانب مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال، يتم تغيير اتجاه الفضاء بواسطة المرآة الأكثر عادية، وإذا "سحبت الكائن المنعكس من الزجاج المنظر"، ففي الحالة العامة يكون ذلك لن يكون من الممكن دمجها مع "الأصل". بالمناسبة، ضع ثلاثة أصابع أمام المرآة وقم بتحليل الانعكاس ;-)

... كم هو جيد أنك تعرف الآن عنه موجهة لليمين واليسارقواعد، لأن تصريحات بعض المحاضرين عن تغيير التوجه مخيفة =)

المنتج الاتجاهي للمتجهات الخطية المتسامتة

تمت مناقشة التعريف بالتفصيل، ويبقى أن نرى ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد، كما أن متوازي الأضلاع الخاص بنا "يطوي" أيضًا في خط مستقيم واحد. مساحة هذا، كما يقول علماء الرياضيات، منحطمتوازي الأضلاع يساوي الصفر. ويترتب على ذلك نفس الصيغة - جيب الزاوية صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا، مما يعني أن المساحة تساوي صفرًا

وهكذا إذاً و . يرجى ملاحظة أن منتج المتجه نفسه يساوي المتجه الصفري، ولكن في الممارسة العملية غالبًا ما يتم إهمال هذا ويتم كتابته أنه يساوي أيضًا الصفر.

حالة خاصة- المنتج المتجه للمتجه مع نفسه:

باستخدام المنتج الاتجاهي، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، و هذه المهمةمن بين أمور أخرى، سنقوم أيضا بتحليل.

لحل الأمثلة العملية قد تحتاج الجدول المثلثيللعثور على قيم الجيوب منه.

حسنًا، فلنشعل النار:

مثال 1

أ) أوجد طول المنتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات إذا

حل: لا، هذا ليس خطأ مطبعي، لقد تعمدت جعل البيانات الأولية في البنود هي نفسها. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفاً!

أ) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها طولالمتجه (المنتج المتقاطع). وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

إذا سئلت عن الطول، فإننا في الإجابة نشير إلى البعد - الوحدات.

ب) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول منتج المتجه:

إجابة:

مع العلم أن الإجابة لا تتحدث عن المنتج المتجه مطلقًا؛ مساحة الشكلوبناء على ذلك، فإن البعد هو وحدات مربعة.

نحن ننظر دائمًا إلى ما نحتاج إلى العثور عليه وفقًا للحالة، وعلى هذا الأساس نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية، ولكن هناك الكثير من الحرفيين بين المعلمين، والمهمة لديها فرصة جيدة للرجوع للمراجعة. على الرغم من أن هذا ليس مراوغة بعيدة الاحتمال - إذا كانت الإجابة غير صحيحة، فسيحصل المرء على انطباع بأن الشخص لا يفهم الأشياء البسيطة و/أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب أن تظل هذه النقطة تحت السيطرة دائمًا عند حل أي مشكلة في الرياضيات العليا وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ، كان من الممكن إرفاقه بشكل إضافي بالحل، ولكن من أجل تقصير الإدخال، لم أفعل ذلك. أتمنى أن يفهم الجميع ذلك ويكون بمثابة تسمية لنفس الشيء.

مثال شعبيل قرار مستقل:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

ترد صيغة العثور على مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس .

في الممارسة العملية، المهمة شائعة جدًا حقًا؛ يمكن للمثلثات أن تعذبك بشكل عام.

لحل المشاكل الأخرى سنحتاج إلى:

خصائص المنتج المتجه للنواقل

لقد نظرنا بالفعل في بعض خصائص المنتج المتجه، ومع ذلك، سأقوم بإدراجها في هذه القائمة.

بالنسبة للمتجهات العشوائية والأرقام العشوائية، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى، عادة لا يتم إبراز هذا العنصر في الخصائص، ولكنه مهم جدًا في من الناحية العملية. فليكن.

2) – تمت مناقشة الخاصية أيضًا أعلاه، وأحيانًا يطلق عليها اسم مكافحة التبادل. وبعبارة أخرى، فإن ترتيب المتجهات مهم.

3) - النقابي أو النقابيقوانين المنتجات ناقلات. يمكن نقل الثوابت بسهولة خارج المنتج المتجه. حقاً، ماذا عليهم أن يفعلوا هناك؟

4) – التوزيع أو التوزيعيةقوانين المنتجات ناقلات. لا توجد مشاكل في فتح الأقواس أيضًا.

للتوضيح، دعونا نلقي نظرة على مثال قصير:

مثال 3

اكتشف إذا

حل:يتطلب الشرط مرة أخرى إيجاد طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمة لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية، فإننا نأخذ الثوابت خارج نطاق حاصل الضرب المتجه.

(2) ننقل الثابت خارج الوحدة، و"تأكل" الوحدة علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(٣) والباقي واضح.

إجابة:

حان الوقت لإضافة المزيد من الخشب إلى النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . المشكلة هنا هي أن المتجهين "tse" و"de" يتم تقديمهما كمجموعات من المتجهات. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالمثالين رقم 3 و4 من الدرس المنتج النقطي للمتجهات. وللتوضيح سنقسم الحل إلى ثلاث مراحل:

1) في الخطوة الأولى، نعبر عن حاصل الضرب المتجه من خلال حاصل الضرب المتجه، في الواقع، دعونا نعبر عن المتجه بدلالة المتجه. لا توجد كلمة حتى الآن على أطوال!

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع، نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية، نقوم بنقل جميع الثوابت إلى ما هو أبعد من منتجات المتجهات. مع قليل من الخبرة، يمكن تنفيذ الخطوتين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحدان الأول والأخير يساويان صفر (متجه صفر) بسبب الخاصية اللطيفة. في المصطلح الثاني نستخدم خاصية عكس التبادل لمنتج متجه:

(5) نقدم مصطلحات مماثلة.

ونتيجة لذلك، تبين أن المتجه يتم التعبير عنه من خلال ناقل، وهو ما كان مطلوب تحقيقه:

2) في الخطوة الثانية، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) أوجد مساحة المثلث المطلوب:

يمكن كتابة المراحل 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة التي تم النظر فيها شائعة جدًا في الاختبارات، هنا مثال لحل مستقل:

مثال 5

اكتشف إذا

الحل السريعوالإجابة في نهاية الدرس. لنرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ;-)

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات

، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: في السطر العلوي من المحدد نكتب المتجهات الإحداثية، وفي السطرين الثاني والثالث "نضع" إحداثيات المتجهات، ونضعها بترتيب صارم- أولاً إحداثيات المتجه "ve"، ثم إحداثيات المتجه "ve المزدوج". إذا كانت هناك حاجة إلى ضرب المتجهات بترتيب مختلف، فيجب تبديل الصفوف:

مثال 10

تحقق مما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يتم التحقق بناء على أحد الأقوال هذا الدرس: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فإن حاصل ضربها المتجه يساوي صفر (متجه صفر): .

أ) ابحث عن المنتج المتجه:

وبالتالي، فإن المتجهات ليست على خط واحد.

ب) ابحث عن المنتج المتجه:

إجابة: أ) ليست على خط واحد، ب)

ربما تكون هنا جميع المعلومات الأساسية حول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا، حيث توجد مشكلات قليلة حيث يتم استخدام المنتج المختلط للمتجهات. في الواقع، كل شيء سيعتمد على التعريف، معنى هندسيواثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط للناقلات هو منتج من ثلاثةناقلات:

لذلك اصطفوا مثل القطار ولا يمكنهم الانتظار حتى يتم التعرف عليهم.

أولا، مرة أخرى، تعريف وصورة:

تعريف: العمل المختلط غير متحد المستوىناقلات, اتخذت بهذا الترتيب، مُسَمًّى حجم متوازي، مبني على هذه المتجهات، مزود بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحا، وعلامة "-" إذا كان الأساس يسارا.

دعونا نفعل الرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بالنسبة لنا بخطوط منقطة:

دعونا نتعمق في التعريف:

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب معينأي أن إعادة ترتيب المتجهات في المنتج، كما قد تتخيل، لا يحدث بدون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي، ألاحظ حقيقة واضحة: المنتج المختلط للمتجهات هو رقم: . في الأدبيات التعليمية، قد يكون التصميم مختلفًا بعض الشيء؛ فأنا معتاد على الإشارة إلى المنتج المختلط بالرمز "pe" ونتيجة العمليات الحسابية.

حسب التعريف المنتج المختلط هو حجم متوازي السطوح، مبني على المتجهات (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن العدد يساوي حجم متوازي السطوح المعطى.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نقلق مرة أخرى بشأن مفهوم اتجاه الأساس والمساحة. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا: .

مباشرة من التعريف يتبع صيغة حساب حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات.

من الواضح، في حالة المنتج المتجه، أن الترتيب الذي يتم به أخذ المتجهات مهم، علاوة على ذلك،

أيضًا، مباشرة من التعريف يترتب على ذلك بالنسبة لأي عامل عددي k (رقم) ما يلي صحيح:

عمل فني متجهالمتجهات الخطية تساوي المتجه الصفري. علاوة على ذلك، يكون الضرب الاتجاهي لمتجهين صفرًا إذا كانا على خط واحد فقط. (في حالة كون أحدهما متجهًا صفرًا، فمن الضروري أن نتذكر أن المتجه الصفري يكون على خط مستقيم مع أي متجه حسب التعريف).

المنتج ناقلات لديه خاصية التوزيع، إنه

التعبير عن منتج المتجه من خلال إحداثيات المتجهات.

دعونا نعطي متجهين

(كيفية العثور على إحداثيات المتجه من إحداثيات بدايته ونهايته - راجع المقالة المنتج النقطي للمتجهات، البند التعريف البديل للمنتج النقطي، أو حساب المنتج النقطي لمتجهين محددين بإحداثياتهما.)

لماذا تحتاج إلى منتج متجه؟

هناك طرق عديدة لاستخدام حاصل الضرب الاتجاهي، على سبيل المثال، كما هو مكتوب أعلاه، من خلال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يمكنك معرفة ما إذا كانا على خط واحد.

أو يمكن استخدامه كوسيلة لحساب مساحة متوازي الأضلاع المبني من هذه المتجهات. وبناء على التعريف، فإن طول المتجه الناتج هو مساحة متوازي الأضلاع المحدد.

هناك أيضًا عدد كبير من التطبيقات في الكهرباء والمغناطيسية.

آلة حاسبة لمنتج المتجهات عبر الإنترنت.

للعثور على منتج نقطةمتجهين باستخدام هذه الآلة الحاسبة، عليك إدخال السطر الأول من أجل ترتيب إحداثيات المتجه الأول، في الثانية - الثانية. يمكن حساب إحداثيات المتجهات من إحداثيات بدايتها ونهايتها (انظر المقالة المنتج النقطي للمتجهات، العنصر تعريف بديل للمنتج النقطي، أو حساب المنتج النقطي لمتجهين معطيين بإحداثياتهما.)

عمل فني متجههو ناقل كاذب، عمودي على الطائرة، مبنية من عاملين، وهي نتيجة العملية الثنائية "ضرب المتجهات" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. لا يمتلك المنتج المتجه خصائص التبادلية والترابطية (وهو مضاد للإبدال)، وعلى عكس المنتج القياسي للمتجهات، فهو متجه. تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية. على سبيل المثال، يتم كتابة الزخم الزاوي وقوة لورنتز رياضيا كمنتج متجه. يعتبر الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودي المتجهات - معامل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي منتج معامليهما إذا كانا متعامدين، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.

يمكن تعريف حاصل الضرب المتجه بطرق مختلفة، ومن الناحية النظرية، في الفضاء بأي بعد n، يمكن للمرء حساب حاصل ضرب المتجهات n-1، وبالتالي الحصول على متجه واحد عمودي عليهم جميعًا. ولكن إذا كان المنتج يقتصر على المنتجات الثنائية غير التافهة ذات النتائج المتجهة، فإن المنتج المتجه التقليدي يتم تعريفه فقط في الفضاءات ثلاثية الأبعاد وسبعة الأبعاد. تعتمد نتيجة الضرب المتجه، مثل المنتج العددي، على قياس الفضاء الإقليدي.

على عكس صيغة حساب متجهات المنتج العددية من الإحداثيات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد، تعتمد صيغة المنتج الاتجاهي على اتجاه نظام الإحداثيات المستطيل، أو بعبارة أخرى، "لامركزية".

تعريف:
المنتج المتجه للمتجه a والمتجه b في الفضاء R3 هو المتجه c الذي يلبي المتطلبات التالية:
طول المتجه c يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهين a و b وجيب الزاوية φ بينهما:
|ج|=|أ||ب|الخطيئة φ;
المتجه c متعامد مع كل من المتجهين a و b؛
يتم توجيه المتجه c بحيث يكون ثلاثي المتجهات abc أيمنًا؛
في حالة الفضاء R7، يلزم وجود ترابط ثلاثي المتجهات a، b، c.
تعيين:
ج===أ × ب

أرز. 1. مساحة متوازي الأضلاع تساوي معامل المنتج المتجه

الخصائص الهندسية للمنتج المتقاطع:
ضروري و حالة كافيةالعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين غير صفر هي تساوي حاصل ضربهما المتجه بالصفر.

وحدة المنتجات المتقاطعة يساوي المساحة سمتوازي الأضلاع شيدت على خفضت إلى بداية عامةناقلات أو ب(انظر الشكل 1).

لو ه- ناقل الوحدة، متعامد على المتجهات أو بواختار بحيث ثلاثة أ، ب، ه- صحيح، و سهي مساحة متوازي الأضلاع المبنية عليها (مختزلة إلى أصل مشترك)، فإن صيغة حاصل الضرب المتجه تكون صالحة:
=س ه

الشكل 2. حجم متوازي السطوح باستخدام المتجه والمنتج العددي للمتجهات؛ توضح الخطوط المنقطة إسقاطات المتجه c على a × b والمتجه a على b × c، والخطوة الأولى هي العثور على المنتجات العددية

لو ج- بعض المتجهات، π - أي طائرة تحتوي على هذا المتجه، ه- متجه الوحدة ملقاة في الطائرة π ومتعامد ل ج، ز- متجه الوحدة المتعامد مع المستوى π وتوجيهها بحيث الثلاثي من النواقل تخطيط القلبهو الصحيح، ثم لأي الكذب في الطائرة π ناقلات أالصيغة صحيحة:
=Pr e a |c|g
حيث Pr e a هو إسقاط المتجه e على a
|c|-معامل المتجه c

عند استخدام المنتجات المتجهة والعددية، يمكنك حساب حجم متوازي السطوح المبني على ناقلات مختزلة إلى أصل مشترك أ، بو ج. يسمى هذا المنتج المكون من ثلاثة نواقل مختلطًا.
V=|أ (ب×ج)|
يوضح الشكل أنه يمكن العثور على هذا الحجم بطريقتين: يتم الحفاظ على النتيجة الهندسية حتى عند تبديل المنتجات "العددية" و"المتجهة":
V=أ×ب ج=أ ب×ج

يعتمد مقدار حاصل الضرب الاتجاهي على جيب الزاوية بين المتجهات الأصلية، لذلك يمكن إدراك حاصل الضرب الاتجاهي على أنه درجة "تعامد" المتجهات، تمامًا كما يمكن رؤية حاصل الضرب القياسي على أنه درجة "التوازي" ". يساوي حاصل الضرب المتجه لمتجهي وحدة 1 (متجه الوحدة) إذا كانت المتجهات الأصلية متعامدة، ويساوي 0 (متجه صفر) إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.

التعبير عن المنتج الاتجاهي في الإحداثيات الديكارتية
إذا اثنين من المتجهات أو بمحددة بواسطة مستطيلة الإحداثيات الديكارتية، أو بتعبير أدق، يتم تمثيلها على أساس متعامد
أ=(أ س ,أ ص ,أ ض)
ب=(ب س،ب ذ،ب ض)
وإذا كان النظام الإحداثي أيمن، فإن حاصل الضرب المتجه له الشكل
=(أ y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
لتذكر هذه الصيغة:
ط =∑ε ijk أ ي ب ك
أين ε إيك- رمز ليفي سيفيتا.

7.1. تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى أ، ب، ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية يمينية إذا شوهد من نهاية المتجه الثالث ج، أقصر دورة من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب تكون عكس اتجاه عقارب الساعة، وثلاثية أعسر إذا كانت في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل 16).

يسمى المنتج المتجه للمتجه أ والمتجه ب المتجه ج، والذي:

1. عمودي على المتجهين a وb، أي c ^ a وc ^ ب؛

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17)، أي.

3. تشكل المتجهات a وb وc ثلاثية قائمة.

يُشار إلى المنتج المتقاطع بـ x b أو [a,b]. العلاقات التالية بين متجهات الوحدات أتبعها مباشرة من تعريف حاصل الضرب المتجه،ي وك

(انظر الشكل 18):
i x j = k، j x k = i، k x i = j.دعونا نثبت ذلك، على سبيل المثال

أنا xj = ك. ^ 1) ك ^ ط، ك

ي ; 2) |ك |=1، لكن |ط س ي

| = |أنا | و|ي | الخطيئة (90 درجة) = 1؛

3) المتجهات ط، ي و

شكل ثلاثيًا قائمًا (انظر الشكل 16).

المتجهات a xb و b xa متداخلة، ولها نفس الوحدات (تبقى مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير)، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثية a، b، a xb و a، b، b x a ذات اتجاه معاكس). لذلك com.axb = -(ب xa).

2. المنتج المتجه له خاصية الدمج فيما يتعلق بالعامل العددي، أي l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

دع ل> 0. المتجه l (a xb) متعامد مع المتجهين a وb. ناقل ( لالفأس بهو أيضا عمودي على المتجهات و ب(المتجهات أ، لولكن تكمن في نفس الطائرة). وهذا يعني أن المتجهات ل(أ إكس ب) و ( لالفأس بخطية. ومن الواضح أن اتجاهاتهم متطابقة. لديهم نفس الطول:

لهذا السبب ل(أ إكس ب)= لإكس بي. وقد ثبت بطريقة مماثلة ل ل<0.

3. متجهان غير صفريين a و بتكون على خط مستقيم إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه يساوي المتجه الصفري، أي a ||b<=>وكسب = 0.

على وجه الخصوص، i *i =j *j =k *k =0 .

4. المنتج المتجه له خاصية التوزيع:

(أ+ب)س ج = أ س ج + ب xs.

سوف نقبل بدون دليل.

7.3. التعبير عن المنتج الاتجاهي بدلالة الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الضرب الاتجاهي للمتجهات i، العلاقات التالية بين متجهات الوحدات أتبعها مباشرة من تعريف حاصل الضرب المتجه،و ك:

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتزامن مع اتجاه السهم، فإن المنتج يساوي المتجه الثالث إذا لم يتطابق، يتم أخذ المتجه الثالث بعلامة ناقص.

دع المتجهين a =a x i +a y معطى العلاقات التالية بين متجهات الوحدات أتبعها مباشرة من تعريف حاصل الضرب المتجه،+أ ض وو ب = ب س أنا+ب ي العلاقات التالية بين متجهات الوحدات أتبعها مباشرة من تعريف حاصل الضرب المتجه،+ب ض و. دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات عن طريق ضربها في كثيرات الحدود (وفقًا لخصائص المنتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أكثر إيجازًا:

وبما أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع توسيع محدد الدرجة الثالثة بدلالة عناصر الصف الأول (7.2) فمن السهل تذكره.

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من المتجهات

إيجاد مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

حسب تعريف المنتج المتجه للمتجهات أو ب |أ إكس بي | =|أ | * |b |sin g، أي أزواج S = |a x b |. وبالتالي، D S =1/2|a x b |.

تحديد عزم القوة حول نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة A و = أ بوالسماح عن- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن لحظة القوة ف نسبة إلى النقطة عنيسمى ناقل م،الذي يمر عبر النقطة عنو:

1) عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقاط يا، أ، ب؛

2) يساوي عدديًا حاصل ضرب القوة لكل ذراع

3) يشكل ثلاثيًا قائمًا مع المتجهات OA وAB.

لذلك، M = الزراعة العضوية × F.

إيجاد سرعة الدوران الخطية

سرعة ضدالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت، يتم تحديده بواسطة صيغة أويلر v =w xr، حيث r =OM، حيث O هي نقطة ثابتة في المحور (انظر الشكل 21).