لنبدأ بالمربع المفضل لدينا.
مثال 9
تربيع عدد مركب
هنا يمكنك اتباع طريقتين، الطريقة الأولى هي إعادة كتابة الدرجة كحاصل ضرب العوامل وضرب الأعداد وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.
الطريقة الثانية هي استخدام الصيغة المدرسية المعروفة للضرب المختصر:
بالنسبة للرقم المركب، من السهل استخلاص صيغة الضرب المختصرة الخاصة بك:
يمكن استخلاص صيغة مماثلة لمربع الفرق، وكذلك لمكعب المجموع ومكعب الفرق. لكن هذه الصيغ أكثر صلة بمشكلات التحليل المعقدة. ماذا لو كنت بحاجة إلى رفع عدد مركب إلى القوة الخامسة أو العاشرة أو المائة مثلاً؟ من الواضح أنه يكاد يكون من المستحيل تنفيذ مثل هذه الخدعة في شكل جبري؛ في الواقع، فكر في كيفية حل مثال مثل؟
وهنا يأتي الشكل المثلثي للرقم المركب للإنقاذ وما يسمى صيغة موافر: إذا تم تمثيل عدد مركب على شكل مثلثي، فإنه عند رفعه إلى قوة طبيعية تكون الصيغة التالية صحيحة:
انها مجرد الفاحشة.
مثال 10
نظرا لعدد مركب، أوجد.
ما الذي يجب القيام به؟ تحتاج أولاً إلى تمثيل هذا الرقم في شكل مثلثي. سوف يلاحظ القراء اليقظون أننا في المثال 8 قمنا بالفعل بما يلي:
ثم، وفقا لصيغة Moivre:
لا سمح الله، لا تحتاج إلى الاعتماد على الآلة الحاسبة، ولكن في معظم الحالات يجب تبسيط الزاوية. كيفية تبسيط؟ بالمعنى المجازي، تحتاج إلى التخلص من المنعطفات غير الضرورية. ثورة واحدة هي راديان أو 360 درجة. دعونا معرفة عدد المنعطفات لدينا في الحجة. للراحة، نجعل الكسر صحيحا:، وبعد ذلك يصبح من الواضح أنه يمكنك تقليل ثورة واحدة:. أتمنى أن يفهم الجميع أن هذه هي نفس الزاوية.
وبذلك تكون الإجابة النهائية مكتوبة على النحو التالي:
الاختلاف المنفصل لمشكلة الأسي هو الأسي للأعداد التخيلية البحتة.
مثال 12
رفع الأعداد المركبة إلى القوى
هنا أيضا، كل شيء بسيط، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر المساواة الشهيرة.
إذا تم رفع الوحدة التخيلية إلى قوة زوجية، فإن طريقة الحل تكون كما يلي:
إذا تم رفع الوحدة الوهمية إلى قوة فردية، فإننا "نضغط" على واحدة "و"، ونحصل على قوة زوجية:
إذا كان هناك ناقص (أو أي معامل حقيقي)، فيجب أولاً فصله:
استخراج الجذور من الأعداد المركبة المعادلة التربيعية ذات الجذور المعقدة
دعونا نلقي نظرة على مثال:
لا يمكن استخراج الجذر؟ لو نحن نتحدث عنهحول الأعداد الحقيقية، فمن المستحيل حقا. من الممكن استخراج الجذر في الأعداد المركبة! وبشكل أكثر دقة، اثنينجذر:
هل تم العثور على الجذور حقًا كحل للمعادلة؟ دعونا نتحقق:
وهو ما يجب التحقق منه.
غالبًا ما يتم استخدام تدوين مختصر؛ حيث يتم كتابة كلا الجذرين على سطر واحد تحت "نفس المشط": .
وتسمى هذه الجذور أيضًا اقتران الجذور المعقدة.
كيفية استخراج الجذور التربيعيةمن الأرقام السالبة أعتقد أن الجميع يفهم: ،،،، إلخ. في جميع الحالات اتضح اثنيناقتران الجذور المعقدة.
مثال 13
حل المعادلة التربيعية
دعونا نحسب المميز:
المميز سالب، وليس للمعادلة حل في الأعداد الحقيقية. ولكن يمكن استخراج الجذر بأعداد مركبة!
وباستخدام الصيغ المدرسية المعروفة نحصل على جذرين: – جذور مركبة مترافقة
وبالتالي، فإن المعادلة لها جذرين مركبين مترافقين:،
الآن يمكنك حل أي معادلة من الدرجة الثانية!
بشكل عام، أي معادلة ذات كثيرة حدود من الدرجة "ن" لها جذور متساوية، وبعضها قد يكون معقدًا.
مثال بسيط لحلها بنفسك:
مثال 14
أوجد جذور المعادلة وقم بتحليل ذات الحدين من الدرجة الثانية.
يتم إجراء التخصيم مرة أخرى وفقًا لصيغة المدرسة القياسية.
لنبدأ بالمربع المفضل لدينا.
مثال 9
تربيع عدد مركب
هنا يمكنك اتباع طريقتين، الطريقة الأولى هي إعادة كتابة الدرجة كحاصل ضرب العوامل وضرب الأعداد وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.
الطريقة الثانية هي استخدام الصيغة المدرسية المعروفة للضرب المختصر:
بالنسبة للرقم المركب، من السهل استخلاص صيغة الضرب المختصرة الخاصة بك:
يمكن استخلاص صيغة مماثلة لمربع الفرق، وكذلك لمكعب المجموع ومكعب الفرق. لكن هذه الصيغ أكثر صلة بمشكلات التحليل المعقدة. ماذا لو كنت بحاجة إلى رفع عدد مركب إلى القوة الخامسة أو العاشرة أو المائة مثلاً؟ من الواضح أنه يكاد يكون من المستحيل تنفيذ مثل هذه الخدعة في شكل جبري؛ في الواقع، فكر في كيفية حل مثال مثل؟
وهنا يأتي الشكل المثلثي للرقم المركب للإنقاذ وما يسمى صيغة موافر: إذا تم تمثيل عدد مركب على شكل مثلثي، فإنه عند رفعه إلى قوة طبيعية تكون الصيغة التالية صحيحة:
انها مجرد الفاحشة.
مثال 10
نظرا لعدد مركب، أوجد.
ما الذي يجب القيام به؟ تحتاج أولاً إلى تمثيل هذا الرقم في شكل مثلثي. سوف يلاحظ القراء اليقظون أننا في المثال 8 قمنا بالفعل بما يلي:
ثم، وفقا لصيغة Moivre:
لا سمح الله، لا تحتاج إلى الاعتماد على الآلة الحاسبة، ولكن في معظم الحالات يجب تبسيط الزاوية. كيفية تبسيط؟ بالمعنى المجازي، تحتاج إلى التخلص من المنعطفات غير الضرورية. ثورة واحدة هي راديان أو 360 درجة. دعونا معرفة عدد المنعطفات لدينا في الحجة. للراحة، نجعل الكسر صحيحا:، وبعد ذلك يصبح من الواضح أنه يمكنك تقليل ثورة واحدة:. أتمنى أن يفهم الجميع أن هذه هي نفس الزاوية.
وبذلك تكون الإجابة النهائية مكتوبة على النحو التالي:
الاختلاف المنفصل لمشكلة الأسي هو الأسي للأعداد التخيلية البحتة.
مثال 12
رفع الأعداد المركبة إلى القوى
هنا أيضا، كل شيء بسيط، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر المساواة الشهيرة.
إذا تم رفع الوحدة التخيلية إلى قوة زوجية، فإن طريقة الحل تكون كما يلي:
إذا تم رفع الوحدة الوهمية إلى قوة فردية، فإننا "نضغط" على واحدة "و"، ونحصل على قوة زوجية:
إذا كان هناك ناقص (أو أي معامل حقيقي)، فيجب أولاً فصله:
استخراج الجذور من الأعداد المركبة المعادلة التربيعية ذات الجذور المعقدة
دعونا نلقي نظرة على مثال:
لا يمكن استخراج الجذر؟ إذا كنا نتحدث عن أرقام حقيقية، فهذا مستحيل حقًا. من الممكن استخراج الجذر في الأعداد المركبة! وبشكل أكثر دقة، اثنينجذر:
هل تم العثور على الجذور حقًا كحل للمعادلة؟ دعونا نتحقق:
وهو ما يجب التحقق منه.
غالبًا ما يتم استخدام تدوين مختصر؛ حيث يتم كتابة كلا الجذرين على سطر واحد تحت "نفس المشط": .
وتسمى هذه الجذور أيضًا اقتران الجذور المعقدة.
أعتقد أن الجميع يفهم كيفية استخراج الجذور التربيعية من الأرقام السالبة: ،،،، إلخ. في جميع الحالات اتضح اثنيناقتران الجذور المعقدة.
