كيفية العثور على n في التقدم الحسابي. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي

يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا جدًا من فروع الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "الحصول على الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأرقام تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

n هو رقمه التسلسلي؛

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق وسيتزايد مثل هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة السبب تسلسل رقمييسمى "زيادة".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، إذا كان من الضروري، على سبيل المثال، العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح، من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المسألة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل عشوائي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

التقدم الهندسيتتميز بمعدلات تغير كبيرة مقارنة بالحسابات. وليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من المتتابعة الهندسية يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام المتتابعة إلى أس n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280

عند دراسة الجبر في المدرسة الثانوية (الصف التاسع)، أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسل العددي، والذي يتضمن التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.

المتوالية الحسابية أو الجبرية هي مجموعة من الأعداد النسبية المرتبة، يختلف كل حد منها عن سابقه بقيمة ثابتة معينة. وتسمى هذه القيمة الفرق. وهذا هو، معرفة أي عضو في سلسلة مرتبة من الأرقام والفرق، يمكنك استعادة التقدم الحسابي بأكمله.

دعونا نعطي مثالا. سيكون التسلسل التالي من الأرقام بمثابة تقدم حسابي: 4، 8، 12، 16، ...، لأن الفرق في هذه الحالة هو 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). لكن مجموعة الأرقام 3، 5، 8، 12، 17 لم يعد من الممكن أن تعزى إلى نوع التقدم قيد النظر، لأن الفرق بالنسبة لها ليس قيمة ثابتة (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

صيغ مهمة

دعونا الآن نقدم الصيغ الأساسية التي ستكون ضرورية لحل المسائل باستخدام التقدم الحسابي. دعونا نشير بالرمز a n إلى العضو n في التسلسل، حيث n هو عدد صحيح. نشير إلى الفرق بالحرف اللاتيني d. ثم التعبيرات التالية صالحة:

لتحديد قيمة الحد n، الصيغة التالية مناسبة: a n = (n-1)*d+a 1 .
لتحديد مجموع حدود n الأولى: S n = (a n +a 1)*n/2.

لفهم أي أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول في الصف التاسع، يكفي أن نتذكر هاتين الصيغتين، لأن أي مشاكل من النوع قيد النظر تعتمد على استخدامها. يجب أن تتذكر أيضًا أن فرق التقدم يتم تحديده بواسطة الصيغة: d = a n - a n-1.

المثال رقم 1: العثور على مصطلح غير معروف

دعونا نعطي مثالا بسيطا على التقدم الحسابي والصيغ التي يجب استخدامها لحلها.

دع التسلسل 10، 8، 6، 4، ... معطى، تحتاج إلى العثور على خمسة حدود فيه.

ويترتب على شروط المسألة أن الحدود الأربعة الأولى معروفة. ويمكن تعريف الخامس بطريقتين:

دعونا أولا نحسب الفرق. لدينا: د = 8 - 10 = -2. وبالمثل، يمكنك أن تأخذ أي عضوين آخرين يقفان بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال، د = 4 - 6 = -2. وبما أنه من المعروف أن d = a n - a n-1، فإن d = a 5 - a 4، ومنه نحصل على: a 5 = a 4 + d. نعوض بالقيم المعروفة: a 5 = 4 + (-2) = 2.
وتتطلب الطريقة الثانية أيضًا معرفة اختلاف التتابع المعني، لذا عليك أولاً تحديده كما هو موضح أعلاه (d = -2). مع العلم أن الحد الأول a 1 = 10، نستخدم صيغة الرقم n في التسلسل. لدينا: أ ن = (ن - 1) * د + أ 1 = (ن - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*ن. بالتعويض بـ n = 5 في التعبير الأخير، نحصل على: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

كما ترون، كلا الحلين أدى إلى نفس النتيجة. لاحظ أنه في هذا المثال يكون فرق التقدم d قيمة سالبة. تسمى هذه التسلسلات بالتناقص، لأن كل حد تالٍ أقل من الحد السابق.

المثال رقم 2: اختلاف التقدم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً، ونعطي مثالاً عن كيفية القيام بذلك

من المعروف أن الحد الأول عند البعض يساوي 6 والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.

المثال رقم 3: رسم التقدم

دعونا تعقيد المشكلة أكثر. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: تم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n الذي نستخدم فيه الصيغة، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، ولكنه عدد نسبي، لذا تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعونا نضيف الفرق الذي تم العثور عليه إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة

مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم

دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتتابعة الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.

تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.

أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، والتي تم تحديدها في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.

مثال رقم 5: المبلغ

الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.

دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، أصبح من الممكن حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بشكل تسلسلي، وهو ما سيقوم به الكمبيوتر بمجرد قيام الشخص بالضغط على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع نحصل على: S n = n * (a 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنه في بداية القرن الثامن عشر، تمكن الألماني الشهير، الذي كان لا يزال عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14 .

يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.

تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:

س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.

بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n، m، a 1 و d. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.

كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.

نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب الخطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و استراحة مهمة مشتركةفي مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.

المتوالية الحسابية والهندسية

المعلومات النظرية

المعلومات النظرية

	التقدم الحسابي	التقدم الهندسي
تعريف	التقدم الحسابي نهو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءاً من الثاني، مساوياً للعضو السابق مضافاً إليه نفس العدد د (د- فرق التقدم)	التقدم الهندسي ب نهي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد س (س- قاسم التقدم)
صيغة التكرار	لأي طبيعي ن أ ن + 1 = أ ن + د	لأي طبيعي ن ب ن + 1 = ب ن ∙ ف، ب ن ≠ 0
صيغة الحد n	أ ن = أ 1 + د (ن – 1)	ب n = ب 1 ∙ ف n - 1 , ب n ≠ 0
خاصية مميزة
مجموع الحدود n الأولى

أمثلة على المهام مع التعليقات

المهمة 1

في المتوالية الحسابية ( ن) أ 1 = -6, 2

وفقا لصيغة الحد n:

22 = أ 1+ د (22 - 1) = أ 1+ 21 د

حسب الشرط:

أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21 د .

من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 2

أوجد الحد الخامس للمتتالية الهندسية: -3؛ 6 ؛....

الطريقة الأولى (باستخدام صيغة n-term)

وفقًا لصيغة الحد n من التقدم الهندسي:

ب 5 = ب 1 ∙ ف 5 - 1 = ب 1 ∙ ف 4.

لأن ب 1 = -3,

الطريقة الثانية (باستخدام الصيغة المتكررة)

بما أن مقام التقدم هو -2 (q = -2)، إذن:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

إجابة : ب 5 = -48.

المهمة 3

في المتوالية الحسابية ( ن) 74 = 34; 76= 156. أوجد الحد الخامس والسبعين من هذا المتتابع.

بالنسبة للتقدم الحسابي، فإن الخاصية المميزة لها الشكل .

ومن هذا يلي:

دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

الجواب: 95.

المهمة 4

في المتوالية الحسابية ( أ ن) ن= 3n - 4. أوجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى.

للعثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي، يتم استخدام صيغتين:

أي منهم أكثر ملاءمة للاستخدام في هذه الحالة؟

بالشرط، تُعرف صيغة الحد التاسع من التقدم الأصلي ( ن) ن= 3n - 4. يمكنك أن تجد على الفور و أ 1، و 16دون أن يجد د. ولذلك، سوف نستخدم الصيغة الأولى.

الجواب: 368.

المهمة 5

في المتوالية الحسابية( ن) أ 1 = -6; 2= -8. أوجد الحد الثاني والعشرين من التقدم.

وفقا لصيغة الحد n:

أ 22 = أ 1 + د (22 – 1) = أ 1+ 21 د.

بشرط إذا أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21د . من الضروري العثور على اختلاف التقدم:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

إجابة : 22 = -48.

المهمة 6

تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بواسطة x.

عند الحل، سوف نستخدم صيغة الحد n ب ن = ب 1 ∙ ف ن - 1ل التقدم الهندسي. الفصل الأول من التقدم. للعثور على مقام التقدم q، عليك أن تأخذ أيًا من شروط التقدم المعطاة وتقسمها على الحد السابق. في مثالنا، يمكننا أن نأخذ ونقسم على. نحصل على أن q = 3. بدلاً من n، نستبدل 3 في الصيغة، لأنه من الضروري إيجاد الحد الثالث لمتوالية هندسية معينة.

باستبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغة، نحصل على: