يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هو مؤكد و تكامل غير محددق؟

إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل أبسط التكاملات وغيرها ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.

نحن ندرس المفهوم « أساسي »

كان التكامل معروفًا مرة أخرى في مصر القديمة. بالطبع لا في الشكل الحديثولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.

كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى فهم أساسي للأساسيات. التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول النهايات والمشتقات، الضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .

بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ مقالتنا حول كيفية حساب المشتقات.

المشتق المضاد موجود للجميع وظائف مستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.

مثال بسيط:

لكي لا يتم حساب المشتقات العكسية باستمرار وظائف أوليةفمن الملائم تلخيصها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

تكامل محدد

عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل، وكتلة الجسم غير المتجانس، والمسافة المقطوعة حركة غير متساويةالمسار وأكثر من ذلك بكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد كبير لا نهائي من الحدود متناهية الصغر.

على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.

كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟ باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا كسرها شبه منحرف منحني، محدودة بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للوظيفة، إلى أجزاء صغيرة بلا حدود. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:

تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.

« أساسي »

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

قواعد لحساب التكاملات للدمى

خصائص التكامل غير المحدد

كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه سننظر في التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة الطلاب المهنية، وأي ثلاثية أو تكامل الخطعلى سطح مغلق سوف تكون قادرا على القيام بذلك.

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حل تكامل محدد عبر الإنترنت. في الأساس حساب التكامل المحددهو العثور على رقم يساوي المساحة تحت الرسم البياني للدالة. لحل هذه المشكلة، من الضروري تحديد حدود التكامل والدالة المراد تكاملها. بعد التكامل، سيجد النظام مشتقًا عكسيًا لـ وظيفة معينة، سوف نحسب قيمها عند النقاط الواقعة على حدود التكامل، ونجد الفرق بينها، والذي سيكون الحل للتكامل المحدد. لحل تكامل غير محدد تحتاج إلى استخدام مماثل آلة حاسبة على الانترنتالموجود على موقعنا على الرابط - حل التكامل غير المحدد.

نحن نسمح حساب التكامل المحدد على الانترنتبسرعة وبشكل موثوق. سوف تحصل دائما على القرار الصحيح. علاوة على ذلك، بالنسبة للتكاملات الجدولية، سيتم تقديم الإجابة بشكل كلاسيكي، أي يتم التعبير عنها من خلال ثوابت معروفة، مثل الرقم "pi" و"الأس" وما إلى ذلك. جميع الحسابات مجانية تماما ولا تتطلب التسجيل. من خلال حل التكامل المحدد معنا، ستوفر على نفسك من العمليات الحسابية المعقدة والمستهلكة للوقت، أو من خلال حل التكامل بنفسك، ستتمكن من التحقق من الحل الذي حصلت عليه.

لكي تتعلم اتخاذ القرار تكاملات محددةضروري:

1) أن تكون قادرة على يجدالتكاملات غير المحددة.

2) أن تكون قادرة على احسبتكامل محدد.

كما ترون، لكي تتقن التكامل المحدد، يجب أن يكون لديك فهم جيد إلى حد ما للتكاملات غير المحددة "العادية". لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.

في منظر عامويكتب التكامل المحدد على النحو التالي:

ما الذي يضاف مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ أكثر حدود التكامل.

الحد الأدنى للتكامل
الحد الأعلى للتكامليشار إليه بشكل قياسي بالحرف .
يسمى الجزء شريحة التكامل.

قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية، القليل من "اللعنة" على التكامل المحدد.

ما هو التكامل المحدد؟يمكنني أن أخبرك عن قطر القطعة، وحدود المجاميع التكاملية، وما إلى ذلك، لكن الدرس ذو طبيعة عملية. ولذلك، سأقول أن التكامل المحدد هو رقم. نعم، نعم، الرقم الأكثر عادية.

هل للتكامل المحدد معنى هندسي? يأكل. وجيد جدا. المهمة الأكثر شعبية هي حساب المساحة باستخدام تكامل محدد.

ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.

كيفية حل تكامل محدد؟باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المألوفة في المدرسة:

من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على قطعة منفصلة من الورق، ويجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.

خطوات حل التكامل المحدد هي كما يلي:

1) أولا نجد وظيفة مضاد(تكامل غير محدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد لم تتم إضافتها أبدًا. التسمية تقنية بحتة، والعصا العمودية لا تحمل أي معنى رياضي في الواقع، فهي مجرد علامة. لماذا هناك حاجة للتسجيل نفسه؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.

2) عوّض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتق العكسي: .

3) عوّض بقيمة الحد الأدنى في دالة المشتقة العكسية: .

4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق، أي نجد الرقم.

هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.

على سبيل المثال، التكامل غير موجود، حيث أن قطعة التكامل غير مدرجة في مجال تعريف التكامل (القيم الموجودة تحت الجذر التربيعيلا يمكن أن تكون سلبية). إليك مثال أقل وضوحًا: . مثل هذا التكامل أيضًا غير موجود، لأنه لا يوجد مماس عند نقاط القطعة. بالمناسبة، من لم يقرأها بعد؟ المواد المنهجية الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- الوقت للقيام بذلك هو الآن. سيكون أمرًا رائعًا المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.

لكي يكون هناك تكامل محدد على الإطلاق، من الضروري أن تكون الدالة التكاملية متصلة على فترة التكامل.

مما سبق، تتبع التوصية المهمة الأولى: قبل أن تبدأ في حل أي تكامل محدد، عليك التأكد من أن الدالة التكاملية مستمرة على فترة التكامل. عندما كنت طالبًا، تعرضت لحادثة مرارًا وتكرارًا عندما كافحت لفترة طويلة للعثور على مشتق عكسي صعب، وعندما وجدته أخيرًا، أجهدت ذهني في سؤال آخر: "ما نوع هذا الهراء الذي تبين أنه كان؟ ؟" في نسخة مبسطة، يبدو الوضع كما يلي:

???!!!

لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر!

إذا لحل (في عمل اختباري، في الاختبار، الامتحان) يُعرض عليك إعجاب متكامل غير موجود

فأنت بحاجة إلى إعطاء إجابة مفادها أن التكامل غير موجود وتبرير السبب.

هل يمكن أن يكون التكامل المحدد مساوياً لـ رقم سلبي? ربما. وعدد سلبي. والصفر. قد يكون الأمر لا نهاية له، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائق، والتي تعطى محاضرة منفصلة.

هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ولعل هذا الوضع يحدث بالفعل في الممارسة العملية.

– يمكن حساب التكامل بسهولة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز.

ما هو الرياضيات العليا الذي لا غنى عنه؟ وبطبيعة الحال، دون كل أنواع الخصائص. لذلك، دعونا نتناول بعض خصائص التكامل المحدد.

في التكامل المحدد، يمكنك إعادة ترتيب الحدود العليا والدنيا، مع تغيير الإشارة:

على سبيل المثال، في التكامل المحدد، قبل التكامل، من المستحسن تغيير حدود التكامل إلى الترتيب "العادي":

- في هذا النموذج يكون التكامل أكثر ملاءمة.

كما هو الحال مع التكامل غير المحدد، التكامل المحدد له خصائص خطية:

- وهذا لا ينطبق فقط على وظيفتين، ولكن أيضًا على أي عدد من الوظائف.

في تكامل محدد يمكن للمرء أن ينفذ استبدال متغير التكاملومع ذلك، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد، فإن هذا له تفاصيله الخاصة، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.

بالنسبة للتكامل المحدد، ينطبق ما يلي: التكامل بواسطة صيغة الأجزاء:

مثال 1

حل:

(١) نحذف الثابت من إشارة التكامل.

(2) التكامل عبر الجدول باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا . ومن المستحسن فصل الثابت الناشئ عن القوس ووضعه خارج القوس. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المستحسن - لماذا الحسابات الإضافية؟

(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز

.

أولًا، نعوض عن الحد الأعلى، ثم الحد الأدنى. نقوم بإجراء المزيد من الحسابات ونحصل على الإجابة النهائية.

مثال 2

حساب التكامل المحدد

هذا مثال عليك أن تحله بنفسك، الحل والإجابة موجودان في نهاية الدرس.

دعونا نعقد المهمة قليلاً:

مثال 3

حساب التكامل المحدد

حل:

(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.

(2) نتكامل حسب الجدول مع إخراج جميع الثوابت - فهي لن تشارك في استبدال الحدين الأعلى والأدنى.

(3) لكل من المصطلحات الثلاثة نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز:

الحلقة الضعيفة في التكامل المحدد هي الأخطاء الحسابية والارتباك الشائع في الإشارات. احرص! وأركز اهتمامًا خاصًا على المصطلح الثالث:

- المركز الأول في قائمة الأخطاء الناتجة عن عدم الانتباه، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا

(خاصة عندما يتم استبدال الحدود العليا والدنيا شفهيًا ولا يتم كتابتها بمثل هذه التفاصيل). مرة أخرى، ادرس المثال أعلاه بعناية.

تجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل التكامل المحدد ليست الوحيدة. مع بعض الخبرة، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال، أنا نفسي معتاد على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:

لقد استخدمت هنا قواعد الخطية لفظيًا وتكاملت لفظيًا باستخدام الجدول. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع تحديد الحدود:

(على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي دالة المشتقة العكسية "الكاملة"، استبدلت أولاً 4، ثم -2، وقمت مرة أخرى بتنفيذ جميع الإجراءات في ذهني.

ما هي عيوب الحل القصير؟ كل شيء هنا ليس جيدًا جدًا من وجهة نظر عقلانية الحسابات، لكنني شخصيًا لا أهتم - الكسور المشتركةأنا أعول على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك، هناك خطر متزايد لحدوث خطأ في الحسابات، لذلك من الأفضل لطالب الشاي استخدام الطريقة الأولى مع طريقة الحل "الخاصة بي"، ومن المؤكد أن العلامة ستضيع في مكان ما.

المزايا التي لا شك فيها للطريقة الثانية هي سرعة الحل وضغط التدوين وحقيقة أن المشتق العكسي

هو في قوس واحد.

تكامل محدد. أمثلة على الحلول

مرحبا مرة أخرى. على هذا الدرسسوف نحلل بالتفصيل شيئًا رائعًا باعتباره تكاملًا محددًا. هذه المرة ستكون المقدمة قصيرة. الجميع. لأن هناك عاصفة ثلجية خارج النافذة.

لكي تتعلم كيفية حل التكاملات المحددة عليك أن:

1) أن تكون قادرة على يجدالتكاملات غير المحددة.

2) أن تكون قادرة على احسبتكامل محدد.

كما ترون، لكي تتقن التكامل المحدد، يجب أن يكون لديك فهم جيد إلى حد ما للتكاملات غير المحددة "العادية". لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول. بالإضافة إلى ذلك، هناك دورات pdf ل تحضير سريع للغاية- إذا بقي لك يوم حرفيًا، فقد بقي نصف يوم.

بشكل عام، يتم كتابة التكامل المحدد على النحو التالي:

ما الذي يضاف مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ أكثر حدود التكامل.

الحد الأدنى للتكامل
الحد الأعلى للتكامليشار إليه بشكل قياسي بالحرف .
يسمى الجزء شريحة التكامل.

قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية، هناك أسئلة سريعة حول التكامل المحدد.

ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.

كيفية حل تكامل محدد؟باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المألوفة في المدرسة:

من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على قطعة منفصلة من الورق، ويجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.

خطوات حل التكامل المحدد هي كما يلي:

1) أولا نجد دالة المشتقة العكسية (التكامل غير المحدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد لم تتم إضافته. التسمية تقنية بحتة، والعصا العمودية لا تحمل أي معنى رياضي في الواقع، فهي مجرد علامة. لماذا هناك حاجة للتسجيل نفسه؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.

2) عوّض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتق العكسي: .

3) عوّض بقيمة الحد الأدنى في دالة المشتقة العكسية: .

4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق، أي نجد الرقم.

هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.

على سبيل المثال، التكامل غير موجود لأن شريحة التكامل غير مدرجة في مجال التكامل (لا يمكن أن تكون القيم تحت الجذر التربيعي سالبة). إليك مثال أقل وضوحًا: . هنا على فترة التكامل الظليتحمل فواصل لا نهاية لهاعند النقاط ، وبالتالي فإن مثل هذا التكامل المحدد غير موجود أيضًا. بالمناسبة، من لم يقرأ المادة التعليمية بعد؟ الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- الوقت للقيام بذلك هو الآن. سيكون أمرًا رائعًا المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.

لذلك لكي يوجد تكامل محدد على الإطلاق، يكفي أن يكون التكامل مستمرًا على فترة التكامل.

مما سبق، تتبع التوصية المهمة الأولى: قبل أن تبدأ في حل أي تكامل محدد، عليك التأكد من أن الدالة التكاملية مستمرة على فترة التكامل. عندما كنت طالبًا، تعرضت لحادثة مرارًا وتكرارًا عندما كافحت لفترة طويلة للعثور على مشتق عكسي صعب، وعندما وجدته أخيرًا، أجهدت ذهني في سؤال آخر: "ما نوع هذا الهراء الذي تبين أنه كان؟ ؟" في نسخة مبسطة، يبدو الوضع كما يلي:

؟؟؟! لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر! ما هذا بحق الجحيم؟! عدم الاهتمام الأولي.

إذا عُرض عليك تكامل مثل أو للحصول على حل (في اختبار أو اختبار أو اختبار)، فأنت بحاجة إلى إعطاء إجابة مفادها أن هذا التكامل المحدد غير موجود وتبرير السبب.

! ملحوظة : وفي الحالة الأخيرة، لا يمكن حذف كلمة "معين"، لأن ينقسم التكامل مع انقطاعات النقطة إلى عدة تكاملات، في هذه الحالة إلى 3 تكاملات غير صحيحة، وتصبح صياغة "هذا التكامل غير موجود" غير صحيحة.

هل يمكن للتكامل المحدد أن يساوي عددًا سالبًا؟ربما. وعدد سلبي. والصفر. قد يكون الأمر لا نهاية له، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائق، والتي تعطى محاضرة منفصلة.

هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ولعل هذا الوضع يحدث بالفعل في الممارسة العملية.

– يمكن حساب التكامل بسهولة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز.

ما هو الرياضيات العليا الذي لا غنى عنه؟ وبطبيعة الحال، دون كل أنواع الخصائص. لذلك، دعونا نفكر في بعض خصائص التكامل المحدد.

في التكامل المحدد، يمكنك إعادة ترتيب الحدود العلوية والسفلية، وتغيير الإشارة:

على سبيل المثال، في التكامل المحدد، قبل التكامل، من المستحسن تغيير حدود التكامل إلى الترتيب "العادي":

- في هذا النموذج يكون التكامل أكثر ملاءمة.

- وهذا لا ينطبق فقط على وظيفتين، ولكن أيضًا على أي عدد من الوظائف.

في تكامل محدد يمكن للمرء أن ينفذ استبدال متغير التكاملومع ذلك، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد، فإن هذا له تفاصيله الخاصة، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.

بالنسبة للتكامل المحدد، ينطبق ما يلي: التكامل بواسطة صيغة الأجزاء:

مثال 1

حل:

(١) نحذف الثابت من إشارة التكامل.

(2) التكامل عبر الجدول باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا . ومن المستحسن فصل الثابت الناشئ عن القوس ووضعه خارج القوس. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المستحسن - لماذا الحسابات الإضافية؟

. أولًا، نعوض عن الحد الأعلى، ثم الحد الأدنى. نقوم بإجراء المزيد من الحسابات ونحصل على الإجابة النهائية.

مثال 2

حساب التكامل المحدد

هذا مثال عليك أن تحله بنفسك، الحل والإجابة موجودان في نهاية الدرس.

دعونا نعقد المهمة قليلاً:

مثال 3

حساب التكامل المحدد

حل:

(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.

(2) نتكامل حسب الجدول مع إخراج جميع الثوابت - فهي لن تشارك في استبدال الحدين الأعلى والأدنى.

(3) لكل من المصطلحات الثلاثة نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز:

الحلقة الضعيفة في التكامل المحدد هي الأخطاء الحسابية والارتباك الشائع في الإشارات. احرص! وأركز اهتمامًا خاصًا على المصطلح الثالث: - المركز الأول في قائمة الأخطاء الناتجة عن عدم الانتباه، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا (خاصة عندما يتم استبدال الحدود العليا والدنيا شفهيًا ولا يتم كتابتها بمثل هذه التفاصيل). مرة أخرى، ادرس المثال أعلاه بعناية.

تجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل التكامل المحدد ليست الوحيدة. مع بعض الخبرة، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال، أنا نفسي معتاد على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:

لقد استخدمت هنا قواعد الخطية لفظيًا وتكاملت لفظيًا باستخدام الجدول. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع تحديد الحدود: (على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي دالة المشتقة العكسية "الكاملة"، استبدلت أولاً 4، ثم -2، وقمت مرة أخرى بتنفيذ جميع الإجراءات في ذهني.

ما هي عيوب الحل القصير؟ كل شيء هنا ليس جيدًا جدًا من حيث عقلانية الحسابات، لكنني شخصيًا لا أهتم - فأنا أحسب الكسور العادية على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك، هناك خطر متزايد لحدوث خطأ في الحسابات، لذلك من الأفضل لطالب الشاي استخدام الطريقة الأولى مع طريقة الحل "الخاصة بي"، ومن المؤكد أن العلامة ستضيع في مكان ما.

ومع ذلك، فإن المزايا التي لا شك فيها للطريقة الثانية هي سرعة الحل، وضغط التدوين وحقيقة أن المشتق العكسي يقع بين قوسين.

نصيحة: قبل استخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، من المفيد التحقق مما يلي: هل تم العثور على المشتق العكسي نفسه بشكل صحيح؟

لذلك، فيما يتعلق بالمثال قيد النظر: قبل استبدال الحدين العلوي والسفلي في وظيفة المشتق العكسي، فمن المستحسن التحقق من المسودة ما إذا كان التكامل غير المحدد قد تم العثور عليه بشكل صحيح؟ دعونا نفرق:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل غير المحدد بشكل صحيح. الآن يمكننا تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.

لن يكون مثل هذا الفحص غير ضروري عند حساب أي تكامل محدد.

مثال 4

حساب التكامل المحدد

هذا مثال لك لحل نفسك. حاول حلها بطريقة قصيرة ومفصلة.

تغيير متغير في تكامل محدد

بالنسبة للتكامل المحدد، تكون جميع أنواع البدائل صالحة بالنسبة للتكامل غير المحدد. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في استخدام البدائل، فيجب عليك قراءة الدرس بعناية طريقة الاستبدال في التكامل غير المحدد.

لا يوجد شيء مخيف أو صعب في هذه الفقرة. الجدة تكمن في السؤال كيفية تغيير حدود التكامل عند الاستبدال.

في الأمثلة، سأحاول تقديم أنواع البدائل التي لم يتم العثور عليها بعد في أي مكان على الموقع.

مثال 5

حساب التكامل المحدد

السؤال الرئيسيهنا لا يتعلق الأمر على الإطلاق بالتكامل المحدد، بل يتعلق بكيفية إجراء الاستبدال بشكل صحيح. دعونا ننظر جدول التكاملاتومعرفة كيف تبدو دالتنا التكاملية أكثر؟ من الواضح أنه بالنسبة للوغاريتم الطويل: . ولكن هناك تناقض واحد، في جدول التكامل تحت الجذر، وفي جدولنا - "x" للقوة الرابعة. تنبع فكرة الاستبدال أيضًا من المنطق - سيكون من الجيد تحويل الدرجة الرابعة بطريقة أو بأخرى إلى مربع. هذا حقيقي.

أولاً، نقوم بإعداد التكامل الخاص بنا للاستبدال:

من الاعتبارات المذكورة أعلاه، ينشأ البديل بشكل طبيعي تمامًا:
وهكذا سيكون كل شيء على ما يرام في القاسم: .
نكتشف ما سيتحول إليه الجزء المتبقي من التكامل، ولهذا نجد التفاضل:

بالمقارنة مع الاستبدال في التكامل غير المحدد، نضيف خطوة إضافية.

إيجاد حدود جديدة للتكامل.

انها بسيطة جدا. دعونا نلقي نظرة على الاستبدال والحدود القديمة للتكامل، .

أولًا، نعوض بالحد الأدنى للتكامل، وهو صفر، في تعبير الاستبدال:

ثم نعوض بالحد الأعلى للتكامل في تعبير الاستبدال، وهو جذر الثلاثة:

مستعد. وفقط...

لنواصل مع الحل.

(١) على حسب الاستبدال كتابة تكامل جديد بحدود تكامل جديدة.

(2) هذا هو أبسط تكامل للجدول، نقوم بتكامله فوق الجدول. من الأفضل ترك الثابت خارج الأقواس (ليس عليك القيام بذلك) حتى لا يتعارض مع العمليات الحسابية الإضافية. على اليمين نرسم خطًا يشير إلى الحدود الجديدة للتكامل - وهذا تمهيدًا لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.

(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز .

ونحن نسعى جاهدين لكتابة الإجابة في أقرب صورة ممكنة؛ وهنا استخدمت خصائص اللوغاريتمات.

هناك اختلاف آخر عن التكامل غير المحدد وهو أنه بعد إجراء الاستبدال، ليست هناك حاجة لتنفيذ أي بدائل عكسية.

والآن بعض الأمثلة ل قرار مستقل. ما هي البدائل التي يجب عليك إجراؤها - حاول التخمين بنفسك.

مثال 6

حساب التكامل المحدد

مثال 7

حساب التكامل المحدد

هذه أمثلة عليك أن تقررها بنفسك. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

وفي نهاية الفقرة بضع نقاط مهمة ظهر تحليلها بفضل زوار الموقع. الأول يتعلق مشروعية الاستبدال. وفي بعض الحالات لا يمكن القيام بذلك!وبالتالي، يبدو أن المثال 6 يمكن حله باستخدام الاستبدال المثلثي العالميومع ذلك، فإن الحد الأعلى للتكامل ("باي")غير مدرجة في مجال التعريفهذا الظل وبالتالي هذا الاستبدال غير قانوني! هكذا، يجب أن تكون وظيفة "الاستبدال" مستمرة في كل شيءنقاط قسم التكامل.

وفي بريد إلكتروني آخر، تم تلقي السؤال التالي: "هل نحتاج إلى تغيير حدود التكامل عندما ندرج دالة تحت العلامة التفاضلية؟" في البداية كنت أرغب في "رفض هذا الهراء" والإجابة تلقائيًا "بالطبع لا"، ولكن بعد ذلك فكرت في سبب مثل هذا السؤال واكتشفت فجأة أنه لا توجد معلومات لا يكفي. ولكن على الرغم من وضوحها، إلا أنها مهمة للغاية:

إذا أدخلنا الدالة تحت العلامة التفاضلية، فلا داعي لتغيير حدود التكامل! لماذا؟ لأنه في هذه الحالة لا يوجد انتقال فعلي إلى متغير جديد. على سبيل المثال:

وهنا يكون الجمع أكثر ملاءمة من الاستبدال الأكاديمي بـ "الرسم" اللاحق لحدود التكامل الجديدة. هكذا، إذا لم يكن التكامل المحدد معقدًا للغاية، فحاول دائمًا وضع الدالة تحت العلامة التفاضلية! إنه أسرع، وأكثر إحكاما، وهو أمر شائع - كما سترون عشرات المرات!

شكرا جزيلا على رسائلك!

طريقة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد

هناك حداثة أقل هنا. جميع حسابات المادة التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحددصالحة تماما للتكامل المحدد.
هناك تفصيل واحد فقط يعتبر زائدا في صيغة التكامل بالأجزاء، ويتم إضافة حدود التكامل:

يجب تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز مرتين هنا: بالنسبة للمنتج وبعد أن نأخذ التكامل.

على سبيل المثال، اخترت مرة أخرى نوع التكامل الذي لم يتم العثور عليه بعد في أي مكان على الموقع. المثال ليس أبسط، ولكنه مفيد للغاية.

مثال 8

حساب التكامل المحدد

دعونا نقرر.

دعونا نتكامل بالأجزاء:

من لديه صعوبة في التكامل فليراجع الدرس تكاملات الدوال المثلثية، وقد تمت مناقشته بالتفصيل هناك.

(1) نكتب الحل وفقا لصيغة التكامل بالأجزاء.

(2) بالنسبة للمنتج نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز. بالنسبة للتكامل المتبقي، نستخدم خصائص الخطية، وتقسيمه إلى تكاملين. لا تخلط بين العلامات!

(4) قمنا بتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز على المشتقتين العكسيتين الموجودتين.

لأكون صادقًا، أنا لا أحب الصيغة. وإذا كان ذلك ممكنا، ... سأستغني عنه على الإطلاق! لننظر إلى الحل الثاني، من وجهة نظري، فهو أكثر عقلانية.

حساب التكامل المحدد

في المرحلة الأولى أجد التكامل غير المحدد:

دعونا نتكامل بالأجزاء:

تم العثور على وظيفة المشتق العكسي. ليس هناك فائدة من إضافة ثابت في هذه الحالة.

ما هي ميزة مثل هذا الارتفاع؟ ليست هناك حاجة إلى "تحمل" حدود التكامل؛ في الواقع، قد يكون من المرهق كتابة الرموز الصغيرة لحدود التكامل عشرات المرات

في المرحلة الثانية أتحقق(عادة في المسودة).

منطقي أيضا. إذا وجدت الدالة المشتقة العكسية بشكل غير صحيح، فسوف أقوم بحل التكامل المحدد بشكل غير صحيح. من الأفضل معرفة ذلك على الفور، فلنفرق بين الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على دالة المشتق العكسي بشكل صحيح.

المرحلة الثالثة هي تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز:

وهناك فائدة كبيرة هنا! في طريقة الحل "الخاصة بي"، هناك خطر أقل بكثير للارتباك في البدائل والحسابات - يتم تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز مرة واحدة فقط. إذا قام إبريق الشاي بحل تكامل مماثل باستخدام الصيغة (في الطريقة الأولى)، فإنه بالتأكيد سوف يخطئ في مكان ما.

يمكن تطبيق خوارزمية الحل المدروسة على أي تكامل محدد.

عزيزي الطالب اطبع واحفظ:

ماذا تفعل إذا تم إعطاؤك تكاملًا محددًا يبدو معقدًا أو لم يكن من الواضح على الفور كيفية حله؟

1) أولا نجد التكامل غير المحدد (دالة الاشتقاق العكسي). إذا كانت هناك مشكلة في المرحلة الأولى، فلا فائدة من مواصلة هز القارب مع نيوتن ولايبنيز. هناك طريقة واحدة فقط - لزيادة مستوى معرفتك ومهاراتك في حل المشكلة التكاملات غير المحددة.

2) نتحقق من دالة المشتق العكسي الموجودة عن طريق التمايز. إذا تم العثور عليه بشكل غير صحيح، فإن الخطوة الثالثة ستكون مضيعة للوقت.

3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز. نقوم بإجراء جميع الحسابات بعناية فائقة - وهذه هي الحلقة الأضعف في المهمة.

ولوجبة خفيفة، جزء لا يتجزأ من الحل المستقل.

مثال 9

حساب التكامل المحدد

الحل والجواب في مكان قريب.

الدرس الموصى به التالي حول هذا الموضوع هو كيفية حساب مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد؟
دعونا نتكامل بالأجزاء:

هل أنت متأكد أنك قمت بحلها وحصلت على نفس الإجابات؟ ؛-) وهناك إباحية لامرأة عجوز.

يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟

إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل أبسط التكاملات وغيرها ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.

نحن ندرس المفهوم « أساسي »

كان التكامل معروفًا في مصر القديمة. بالطبع، ليس في شكله الحديث، ولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.

كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول، ضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .

بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ عن كيفية القيام بذلك في مقالتنا.

يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار، فمن الملائم وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

تكامل محدد

عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد كبير لا نهائي من الحدود متناهية الصغر.

على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.

كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟ باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:

تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.

« أساسي »

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على

قواعد لحساب التكاملات للدمى

خصائص التكامل غير المحدد

كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه سننظر في التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة احترافية للطلاب، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.