في حين أن جمع وطرح الأعداد المركبة يكون أكثر ملاءمة للقيام به في الصورة الجبرية، فإن الضرب والقسمة أسهل في القيام به باستخدام الصورة المثلثية للأعداد المركبة.
لنأخذ رقمين مركبين عشوائيين معطىين في شكل مثلثي:
بضرب هذه الأرقام نحصل على:
ولكن وفقا لصيغ علم المثلثات
وهكذا، عند ضرب الأعداد المركبة، يتم ضرب وحداتها والوسائط
أضعاف. نظرًا لأنه في هذه الحالة يتم تحويل الوحدات بشكل منفصل، والوسائط - بشكل منفصل، فإن إجراء الضرب في الشكل المثلثي أسهل من القيام به في الشكل الجبري.
من المساواة (1) تتبع العلاقات التالية:
وبما أن القسمة هي الفعل العكسي للضرب، فقد حصلنا على ذلك
بمعنى آخر، معامل حاصل القسمة يساوي نسبة معاملي المقسوم والمقسوم عليه، وحجة حاصل القسمة هي الفرق بين معاملات المقسوم والمقسوم عليه.
دعونا الآن نتناول هذا الأمر الحس الهندسيضرب الأعداد المركبة. توضح الصيغ (1) - (3) أنه للعثور على المنتج، يجب عليك أولاً زيادة معامل عدد المرات دون تغيير وسيطته، ثم زيادة وسيطة الرقم الناتج دون تغيير معامله. أول هذه العمليات هندسيًا تعني التجانس بالنسبة للنقطة O بمعامل، والثانية تعني الدوران بالنسبة للنقطة O بزاوية تساوي باعتبار هنا عامل واحد ثابت والآخر متغير، يمكننا صياغة النتيجة على النحو التالي: الصيغة
في حين أن جمع وطرح الأعداد المركبة يكون أكثر ملاءمة للقيام به في الصورة الجبرية، فإن الضرب والقسمة أسهل في القيام به باستخدام الصورة المثلثية للأعداد المركبة.
لنأخذ رقمين مركبين عشوائيين معطىين في شكل مثلثي:
بضرب هذه الأرقام نحصل على:
ولكن وفقا لصيغ علم المثلثات
وهكذا، عند ضرب الأعداد المركبة، يتم ضرب وحداتها والوسائط
أضعاف. نظرًا لأنه في هذه الحالة يتم تحويل الوحدات بشكل منفصل، والوسائط - بشكل منفصل، فإن إجراء الضرب في الشكل المثلثي أسهل من القيام به في الشكل الجبري.
من المساواة (1) تتبع العلاقات التالية:
وبما أن القسمة هي الفعل العكسي للضرب، فقد حصلنا على ذلك
بمعنى آخر، معامل حاصل القسمة يساوي نسبة معاملي المقسوم والمقسوم عليه، وحجة حاصل القسمة هي الفرق بين معاملات المقسوم والمقسوم عليه.
دعونا الآن نتناول المعنى الهندسي لضرب الأعداد المركبة. توضح الصيغ (1) - (3) أنه للعثور على المنتج، يجب عليك أولاً زيادة معامل عدد المرات دون تغيير وسيطته، ثم زيادة وسيطة الرقم الناتج دون تغيير معامله. أول هذه العمليات هندسيًا تعني التجانس بالنسبة للنقطة O بمعامل، والثانية تعني الدوران بالنسبة للنقطة O بزاوية تساوي باعتبار هنا عامل واحد ثابت والآخر متغير، يمكننا صياغة النتيجة على النحو التالي: الصيغة
أرقام معقدة- هذا هو الحد الأدنى من التوسع في العديد من المألوف لدينا أرقام حقيقية. الفرق الأساسي بينهما هو ظهور عنصر يعطي -1 عند التربيع، أي. أنا، أو.
يتكون أي عدد مركب من جزأين: حقيقي وخيالي:
ومن ثم يتبين أن مجموعة الأعداد الحقيقية تتطابق مع مجموعة الأعداد المركبة التي الجزء التخيلي فيها صفر.
النموذج الأكثر شيوعًا لمجموعة الأعداد المركبة هو المستوى العادي. سيكون الإحداثي الأول لكل نقطة هو الجزء الحقيقي منها، والثاني سيكون الجزء التخيلي منها. ثم سيكون دور الأعداد المركبة نفسها هو المتجهات التي تبدأ عند النقطة (0،0).
العمليات على الأعداد المركبة
في الواقع، إذا أخذنا في الاعتبار نموذج مجموعة الأعداد المركبة، فمن الواضح بشكل بديهي أن الجمع (الطرح) وضرب رقمين مركبين يتم إجراؤهما بنفس طريقة إجراء العمليات المقابلة على المتجهات. وهذا يعني منتج ناقلالمتجهات، لأن نتيجة هذه العملية هي متجهة مرة أخرى.
1.1 إضافة.
(كما ترون، هذه العملية تتوافق تمامًا)
1.2 الطرحوبالمثل يتم إنتاجه وفقًا للقاعدة التالية:
2. الضرب.
3. القسم.
يتم تعريفها ببساطة على أنها العملية العكسية للضرب.
معامل العدد المركب z هو الكمية التالية:
,
من الواضح أن هذا، مرة أخرى، مجرد معامل (طول) المتجه (أ،ب).
في أغلب الأحيان، يُشار إلى معامل العدد المركب على أنه ρ.
اتضح ذلك
ض = ρ(cosφ+isinφ).
ما يلي يتبع مباشرة من الشكل المثلثي لكتابة العدد المركب: الصيغ :
الصيغة الأخيرة تسمى صيغة موافر. الصيغة مشتقة منه مباشرة الجذر النوني لعدد مركب:
وبالتالي، هناك جذور n للعدد المركب z.
الرقم المركب هو رقم من الشكل حيث و هي أرقام حقيقية، ما يسمى وحدة خيالية. الرقم يسمى الجزء الحقيقي () رقم مركب، يسمى الرقم الجزء الخيالي () رقم معقد.
يتم تمثيل الأعداد المركبة بواسطة طائرة معقدة:
كما ذكرنا سابقًا، يشير الحرف عادةً إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. كثيرأو أرقام معقدةيُشار إليه عادةً بحرف "غامق" أو سميك. لذلك يجب وضع الحرف على الرسم للإشارة إلى حقيقة أن لدينا مستوى معقدًا.
الصورة الجبرية لعدد مركب. الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد المركبة
جمع الأعداد المركبة
لجمع عددين مركبين، عليك جمع أجزائهما الحقيقية والتخيلية:
ض 1 + ض 2 = (أ 1 + أ 2) + ط*(ب 1 + ب 2).
بالنسبة للأعداد المركبة، فإن قاعدة الدرجة الأولى صالحة: ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1 - المجموع لا يتغير من إعادة ترتيب الحدود.
طرح الأعداد المركبة
الإجراء مشابه لعملية الجمع، والخصوصية الوحيدة هي أنه يجب وضع المطروح بين قوسين، ثم يجب فتح الأقواس بالطريقة القياسية مع تغيير الإشارة:
ض 1 + ض 2 = (أ 1 – أ 2) + ط*(ب 1 – ب 2)
ضرب الأعداد المركبة
المساواة الأساسية للأعداد المركبة:
منتج الأعداد المركبة:
ض 1 * ض 2 = (أ 1 + i*ب 1)*(أ 2 + i*ب 2) = أ 1 *أ 2 + أ 1 *i*ب 2 + أ 2 *i*ب 1 + i 2 *ب 1 *ب 2 = أ 1 *أ 2 - ب 1 *ب 2 +i*(أ 1 *ب 2 +أ 2 *ب 1).
مثل المجموع، فإن حاصل ضرب الأعداد المركبة قابل للتبديل، أي أن المساواة صحيحة: .
تقسيم الأعداد المركبة
يتم تنفيذ تقسيم الأرقام بضرب المقام والبسط في التعبير المرافق للمقام.
2 سؤال. طائرة معقدة. معامل ووسائط الأعداد المركبة
كل رقم مركب z = a + i*b يمكن ربطه بنقطة بإحداثيات (a;b)، والعكس، كل نقطة بإحداثيات (c;d) يمكن ربطها برقم مركب w = c + i* د. وهكذا يتم إنشاء تطابق واحد لواحد بين نقاط المستوى ومجموعة الأعداد المركبة. ولذلك، يمكن تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على المستوى. عادة ما يسمى المستوى الذي يتم تصوير الأعداد المركبة عليه طائرة معقدة.
ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتم تصوير الأعداد المعقدة كمتجه يبدأ عند النقطة O، أي أن الرقم المركب z = a + i*b يتم تصويره كمتجه نصف قطر لنقطة ذات إحداثيات (a;b). وفي هذه الحالة ستكون صورة الأعداد المركبة من المثال السابق كما يلي: 
صورة مجموع عددين مركبين هي عبارة عن متجه يساوي مجموع المتجهات التي تمثل الأعداد و . بمعنى آخر، عند إضافة أعداد مركبة، تتم إضافة المتجهات التي تمثلها أيضًا.
دع الرقم المركب z = a + i*b يمثله متجه نصف القطر. ثم يسمى طول هذا المتجه وحدةالرقم z ويشار إليه بالرمز |z| .
|
|
تسمى الزاوية التي يشكلها متجه نصف القطر لعدد ما مع المحور دعوىالأرقام ويشار إليها بواسطة arg z. لا يتم تحديد وسيطة الرقم بشكل فريد، ولكن ضمن مضاعفات . ومع ذلك، عادةً ما يتم تحديد الوسيطة في النطاق من 0 أو في النطاق من -to. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي الرقم على وسيطة غير محددة.
باستخدام هذه العلاقة، يمكنك العثور على وسيطة عدد مركب:
علاوة على ذلك، فإن الصيغة الأولى صحيحة إذا كانت صورة العدد في الربع الأول أو الرابع، والثانية إذا كانت في الربع الثاني أو الثالث. إذا، فإن العدد المركب يتم تمثيله بواسطة متجه على محور Oy ووسيطته تساوي /2 أو 3*/2.
دعونا نحصل على صيغة مفيدة أخرى. دع ض = أ + ط*ب. ثم ،
