في درس الفيديو هذا، قمت بتحليل بالتفصيل مشكلة خطيرة إلى حد ما 15 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، والتي تحتوي على عدم المساواة اللوغاريتمية والعقلانية الكسرية. يتم إيلاء اهتمام خاص لنظرية بيزوت (لإيجاد جذور كثيرات الحدود)، وكذلك طريقة قسمة كثيرات الحدود بزاوية (للتحليل).

سنقوم في هذا الدرس بتحليل نظام المتباينتين من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات:

⎧⎩⎨⎪⎪ سجل7−2x(س+6) ≥0س− س−3س+6−س2 +27x+90س2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6) )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \right.

حل نظام عدم المساواة

كما ترون، يتكون النظام من متباينة لوغاريتمية، بالإضافة إلى متباينة كسرية عقلانية كلاسيكية، ولكن في عملية الحل سنكتشف أن هذه المتباينة ليست بسيطة كما قد تبدو للوهلة الأولى. لنبدأ باللوغاريتمي. للقيام بذلك، سنكتبها بشكل منفصل:

سجل7−2x(س+6) ≥ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0

مثل أي عدم المساواة اللوغاريتمية، يتم تقليل هذا البناء إلى الشكل الكنسيأي على اليسار نترك كل شيء دون تغيير أما على اليمين نكتبه على النحو التالي:

سجل7−2x(س+6) ≥ سجل7−2x 1

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1

كيفية استخدام أسلوب الترشيد

الآن دعونا نستخدم طريقة الترشيد. اسمحوا لي أن أذكركم أنه إذا كانت لدينا متباينة في الصورة

سجلك (خ)و(خ)⋃ سجلك (خ)ز(س)،

((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ يمين)،

ثم يمكننا الانتقال إلى هذا البناء:

(و (خ) -ز(خ))(ك (خ)−1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

وبالطبع فإن هذه المتباينة لا تأخذ في الاعتبار مجال تعريف اللوغاريتم:

و (خ) >0

f\يسار(x\يمين)>0

ز (خ) >0

ز\يسار(س\يمين)>0

1≠ك (خ) >0

1\ne ك\يسار(x\يمين)>0

لذلك، في الدور و (خ)الأفعال f\left(x\right). وظيفة خطية س+6س+6، وفي الدور ز (خ) g\left(x\right) هي ببساطة 1. لذلك، نعيد كتابة المتباينة اللوغاريتمية للنظام كما يلي:

(س+6−1) (7−2x−1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

آخر 1 هو واحد س−1 x-1، والذي يقع في القوس الثاني. كل هذه أقل من أو تساوي 0. علامة عدم المساواة عند التنفيذ من هذا التحولتم حفظه. فيما يلي نماذج مماثلة في كل قوس:

(س+5) (6−2س) ≥0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

تطبيق طريقة الفاصل

من الواضح أن لدينا متباينة بسيطة يمكن حلها بسهولة باستخدام طريقة الفترة. دعونا نساوي كل قوس بـ 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\to =-5

6−2=0→2=6

س = 3

دعونا نحدد كل هذه النقاط (هناك نقطتان من هذا القبيل) على خط الإحداثيات. لاحظ أنها مظللة:

دعونا نلاحظ العلامات. للقيام بذلك، خذ أي رقم أكبر من 3. الرقم الأول سيكون "ناقص". ثم تتناوب العلامات في كل مكان، لأنه لا توجد جذور للتعدد. نحن مهتمون بعلامة أقل من أو يساوي، أي علامة الطرح. قم بالطلاء على المناطق المطلوبة. اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند حل المتباينات باستخدام الطريقة الفاصلة، نعوض بـ 1 مليار في التعبير الأخير الذي حصلنا عليه قبل الانتقال إلى المعادلات.

لذلك وجدنا مجموعات. ولكن، كما تعلمون، هذا ليس حلا لعدم المساواة بعد. الآن نحن مطالبون بإيجاد مجال تعريف اللوغاريتم. للقيام بذلك، نكتب الوظائف التالية:

التداخل الخاطئ لهياكل المعادلة

\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

إذن، حصلنا على ثلاثة متطلبات متزامنة، أي أنه يجب تلبية جميع هذه المتباينات في وقت واحد. لنرسم خطًا موازيًا لإجابة مرشحنا:

لقد حصلنا على الإجابة النهائية للعنصر الأول من النظام:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3,5 \right). عند هذه النقطة، لدى العديد من الطلاب سؤال. انظر، 3 - من ناحية تم اقتلاعها، ولكن على ومن ناحية أخرى، هذه النقطة ملونة. فكيف نميزها كنتيجة للتعامل بشكل صحيح وإلى الأبد مع هذه المشكلة، تذكر قاعدة واحدة بسيطة.

ماذا يعني تقاطع المجموعات؟ هذه مجموعة يتم تضمينها في نفس الوقت في كل من المجموعة الأولى والثانية. بمعنى آخر، عند ملء الصورة المرسومة أدناه، نبحث عن النقاط التي تنتمي في نفس الوقت إلى الخطين الأول والثاني. وبالتالي، إذا كانت أي نقطة لا تنتمي إلى واحد على الأقل من هذه الخطوط، فبغض النظر عن كيفية ظهورها في السطر الثاني، فهي لا تناسبنا. وعلى وجه الخصوص، مع 3، تحدث القصة التالية بالضبط: من ناحية، في المرشحين للإجابة، النقطة 3 تناسبنا، لأنها مظللة، ولكن من ناحية أخرى، تتم إزالة 3 بسبب مجال تعريف اللوغاريتم، وبالتالي، في المجموعة النهائية، يجب حذف هذه النقطة. هذا كل شيء، الإجابة على عدم المساواة اللوغاريتمية الأولى للنظام لها ما يبررها تماما. وللسلامة سأكررها مرة أخرى:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3.5 \right)

حل عدم المساواة الكسرية

س− س−3س+6−س2 +27x+90س2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1

انتقل الآن -1 إلى اليسار:

س+1− س−3س+6−س2 +27x+90(س+6) (س+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \يمين))\لو 0

س+1 1 −س−3س+6−س2 +27x+90(س+6) (س+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right )\left(x+2 \right))\le 0

نأتي بالهيكل بأكمله إلى قاسم مشترك:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (س2 +27x+90)(س+6) (س+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

دعونا نوسع الأقواس:

(س+2) ( (س+1) (س+6) −(x−3))−س2 −27x−90(س+6) (س+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

س3 +6س2 +9س+2 س2 +12x+18− س2 −27x−90(س+6) (س+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

س3 +7س2 −6x−72(س+6) (س+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

ماذا يمكنك أن تقول عن عدم المساواة الناتجة؟ أولاً، إنه كسر كسري، حيث تم تحليل المقام بالفعل. ومن ثم، فإن الخيار الأفضل هو حل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفترة. ومع ذلك، لحلها باستخدام طريقة الفترات، من الضروري تحليل البسط. هذه هي الصعوبة الرئيسية، لأن البسط هو متعدد الحدود من الدرجة الثالثة. من يتذكر صيغة جذور الدرجة الثالثة؟ شخصيا، لا أتذكر. لكننا لسنا بحاجة لهذا.

كل ما نحتاجه هو نظرية بيزوت، أو بالأحرى ليس النظرية نفسها، بل إحدى أهم مترتباتها، والتي تنص على ما يلي: إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة لها جذر س1 ((x)_(1))، وهو عدد صحيح، فالمعامل الحر (في حالتنا 72) سيتم قسمته بالضرورة على س1 ((خ)_(1)). بعبارة أخرى، إذا أردنا إيجاد جذور هذه المعادلة التكعيبية، فكل ما علينا فعله هو البحث في العوامل التي تم تحليل 72 إليها.

فلنحلل العدد 72 إلى عوامل أولية:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

لذا، علينا مراجعة جميع مجموعات العددين اثنين وثلاثة للحصول على جذر واحد على الأقل للمقدار التكعيبي. للوهلة الأولى قد يبدو أن هذه مشكلة اندماجية، ولكن في الواقع كل شيء ليس مخيفا جدا. لنبدأ بالحد الأدنى للعدد:

س = 2

دعونا نتحقق مما إذا كان 2 هو الجواب. للقيام بذلك، دعونا نتذكر ما هو الجذر. هذا هو الرقم الذي، عند استبداله في كثيرة الحدود، يحوله إلى 0. فلنستبدل:

(2) =8+28−12−72<0

\يسار(2 \يمين)=8+28-12-72<0

لقد حصلنا على ذلك س−2 x-2 غير مناسب. دعونا نمضي قدما. لنأخذ 4:

(4) =64+112−24−72>0

\يسار(4 \يمين)=64+112-24-72>0

س = 4 x=4 أيضًا ليس جذرًا للبناء الذي قمنا به.

دعونا نمضي قدما. أي واحد هو التالي؟ سس سوف نقوم بتفكيك؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نلاحظ حقيقة مثيرة للاهتمام: متى س−2 x-2 كانت كثيرة الحدود لدينا سلبية، وفي س = 4 x=4 وتبين أنها إيجابية. هذا يعني أنه في مكان ما بين النقطتين 2 و 4، يتقاطع كثير الحدود مع المحور سس. بمعنى آخر، في مكان ما في هذا الجزء يتحول رقمنا إلى 0. وهذا يعني أن هذه النقطة ستكون الرقم المطلوب. دعونا نفكر في العدد الصحيح الذي يقع بين 4 و 2. من الواضح أن 3 و3 فقط موجودان في الموسع، وبالتالي، يمكن أن يكون جذر تعبيرنا حقًا. فكر في هذا الخيار:

س = 3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\يسار(3 \يمين)=27+63-18-72=90-90=0

عظيم، تم تأكيد فرضيتنا. حقًا، س = 3 x=3 هو جذر البناء الذي لدينا. لكن كيف يساعدنا هذا في تحليل كثيرة الحدود هذه؟ بسيط جدا. وكل ذلك من نفس نظرية بيزوت يترتب عليه أنه إذا س1 ((x)_(1)) هو جذر كثيرة الحدود ص (خ) p\left(x \right)، وهذا يعني أنه يمكننا كتابة ما يلي:

س1 :ص(س) =س(س) (س− س1 )

((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)

وبعبارة أخرى، معرفة س1 ((x)_(1)) يمكننا التأكيد على أنه عند تحليل تعبيرنا إلى عوامل سيكون هناك عامل بالضرورة س1 ((خ)_(1)). في حالتنا، يمكننا أن نكتب أن كثيرة الحدود لها بالضرورة عامل في مفكوكها (س−3)\left(x-3 \right) لأن 3 هو جذره.

س3 +7س2 −6x−72س−3=س2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

بمعنى آخر، يمكننا إعادة كتابة متباينتنا من النظام على النحو التالي:

(س+3) (س2 +10x+24)(س+6) (س+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\\0

لاحظ أنه يوجد في القوس الثاني من البسط ثلاثية حدود مربعة، والتي يمكن تحليلها أيضًا بكل بساطة، فنحصل على:

(س+3) (س+6) (س+4)(س+6) (س+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\لو 0

هذا كل شيء، كل ما تبقى هو كتابة الجذور:

س = 3

≠−6(2 كيلو)

\ne -6\يسار(2 كيلو \يمين)

=−4

≠−2

دعونا نحدد كل هذه النقاط التي يمكن أن تكون حلاً للنظام على خط الإحداثيات سس:

من أجل تحديد العلامات، نأخذ أي رقم أكبر من 3، ونستبدله في كل من هذه الأقواس ونحصل على خمسة أرقام موجبة، أي أنه على يمين 3 توجد علامة زائد. ثم تتغير العلامات في كل مكان، ولكن في -6 لا شيء يتغير، لأن -6 هو جذر التعددية الثانية. نحن مهتمون بتلك المناطق التي تكون فيها إشارة الدالة سلبية، لذلك نقوم بتظليل "السلبيات".

في المجمل، يمكننا كتابة الحل للمتباينة الأصلية، وسيكون كما يلي:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

الخطوات النهائية

لقد حللنا عدم المساواة الثانية لنظامنا، ويبقى الآن حل النظام نفسه، أي تقاطع المجموعات التي حصلنا عليها. للقيام بذلك، أقترح بناء خط آخر موازٍ للخطين القديمين المسؤولين عن عدم المساواة اللوغاريتمية من النظام:

يمكننا كتابة الإجابة النهائية للعنصر الثاني من نظام المتباينات: (−6;−5] \left(-6;-5 \right). الآن يمكننا العودة إلى نظامنا وكتابة المجموعة النهائية:

س∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text() -5 \right]

النقاط الرئيسية

هناك عدة نقاط رئيسية في هذه المهمة:

1. يجب أن تكون قادرًا على حل عدم المساواة اللوغاريتمية باستخدام الانتقال إلى النموذج الأساسي.
2. يجب أن تكون قادرًا على التعامل مع عدم المساواة العقلانية الكسرية. هذه بشكل عام مادة من الصف الثامن إلى التاسع، لذا إذا كنت تعمل باستخدام اللوغاريتمات، فسوف تفهم عدم المساواة الكسرية.
3. نظرية بيزوت. النتيجة الأكثر أهمية لهذه النظرية هي حقيقة أن جذور كثيرة الحدود ذات المعاملات الصحيحة هي قواسم الحد الحر لها.

خلاف ذلك، هذه مهمة بسيطة، على الرغم من أنها ضخمة إلى حد ما، لحل نظام المعادلات. يمكن أيضًا أن تنشأ صعوبات معينة في حل النظام عند تقاطع جميع المجموعات، خاصة تلك المرتبطة بالنقطة 3. كل شيء بسيط للغاية هنا: فقط تذكر أن التقاطع يعني متطلبات التنفيذ المتزامن لجميع المتباينات، أي أن النقطة المطلوبة يجب أن تكون مظللة على المحاور الثلاثة. إذا لم يتم رسمها أو ثقبها على محور واحد على الأقل، فلا يمكن أن تكون هذه النقطة جزءًا من الإجابة.

امتحان الدولة الموحدة 2018. الرياضيات. مستوى الملف الشخصي. حل المعادلات والمتباينات. سادوفنيتشي يو.في.

م: 2018. - 96 ص.

هذا الكتاب مخصص لمسائل مشابهة للمشكلة 15 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (حل المعادلات والمتباينات). يتم النظر في طرق مختلفة لحل مثل هذه المشكلات، بما في ذلك الطرق الأصلية. سيكون الكتاب مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية ومدرسي الرياضيات والمدرسين.

شكل:قوات الدفاع الشعبي

مقاس: 860 كيلو بايت

شاهد، حمل:Drive.google

جدول المحتويات
مقدمة 4
الفصل 1. الطريقة الفاصلة لحل المتباينات 6
مشاكل للحل المستقل 10
الفصل 2. الكشف عن وحدات المعادلات والمتباينات 13
مشاكل للحل المستقل23
الفصل 3. المعادلات غير المنطقية والمتباينات 25
مشاكل للحل المستقل33
الفصل 4. المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات 35
4.1. الصيغ والحلول الأساسية للمعادلات والمتباينات البسيطة 35
4.2. تحويل مجموع وفرق اللوغاريتمات 36
مشاكل للحل المستقل41
4.3. طريقة الاستبدال المتغيرة 42
مشاكل للحل المستقل47
4.4. تقسيم عدم المساواة 49
مشاكل للحل المستقل55
4.5. الانتقال إلى أساس جديد 56
مشاكل للحل المستقل60
الفصل 5. المعادلات والمتباينات من النوع المختلط 61
مشاكل للحل المستقل68
الفصل 6. طريقة الفاصل اللوغاريتمي 70
مشاكل للحل المستقل75
الفصل 7. أنظمة المعادلات والمتباينات الجبرية 76
مشاكل للحل المستقل84
إجابات على مشاكل الحل المستقل 88

هذا الكتاب مخصص لمشاكل مشابهة للمشكلة 15 من ملف تعريف امتحان الدولة الموحد في الرياضيات (المعادلات والمتباينات). ينقسم الكتاب إلى فصول حسب الموضوع، وتعرض المادة في كل فصل “من البسيط إلى المعقد”.
ليس سرا أن المشاكل 16-19 (قياس التخطيط، مشكلة الكلمات، مشكلة المعلمة، مشكلة الأعداد الصحيحة) صعبة على الغالبية العظمى من خريجي المدارس الثانوية. ويمكن قول الشيء نفسه عن المشكلة 14 (القياس المجسم). لذلك، فإن المشكلة التي تم حلها رقم 15 (مع المشكلة 13) هي فرصة لزيادة درجاتك في اختبار الدولة الموحدة إلى مستوى جيد.
الفصول الثلاثة الأولى تحضيرية وتغطي حل المتباينات بطريقة الفترات والمعادلات والمتباينات التي تحتوي على معامل ومعادلات غير عقلانية والمتباينات.
الفصل الرابع هو الفصل الرئيسي في هذا الكتاب، حيث أن المشكلات الموجودة فيه هي الأقرب إلى المشكلة الحقيقية لامتحان الحالة الموحدة الخامس عشر في الرياضيات. وينقسم هذا الفصل إلى عدة فقرات، تستكشف كل منها طريقة لحل مثل هذه المشكلة.