دعونا الآن نحل مشكلة جلب نظام اعتباطي من القوى إلى مركز معين، أي استبدال نظام معين من القوى بآخر مكافئ له، ولكنه أبسط بكثير، أي يتكون، كما سنرى، من فقط قوة واحدة وزوج.

دع نظام القوى التعسفي يعمل على جسم صلب (الشكل 40، أ).

دعونا نختار نقطة ما O كمركز التخفيض، وباستخدام النظرية المثبتة في الفقرة 11، ننقل جميع القوى إلى المركز O، ونضيف الأزواج المقابلة (انظر الشكل 37، ب). ثم سيعمل نظام القوى على الجسم

مطبق في المركز O، ونظام من الأزواج التي تساوي لحظاتها، حسب الصيغة (18)، ما يلي:

يتم استبدال القوى المتقاربة المطبقة عند النقطة O بقوة واحدة R المطبقة عند النقطة O. في هذه الحالة، أو وفقًا للمساواة (19)،

لجمع جميع الأزواج الناتجة، تحتاج إلى إضافة متجهات العزم لهذه الأزواج. ونتيجة لذلك، سيتم استبدال نظام الأزواج بزوج واحد، لحظة أو، على أساس المساواة (20)،

وكما هو معروف فإن قيمة R تساوي مجموع هندسيتسمى جميع القوى المتجه الرئيسي للنظام ؛ وتسمى القيمة التي تساوي المجموع الهندسي لعزوم جميع القوى بالنسبة للمركز O اللحظة الرئيسية لنظام القوى بالنسبة لهذا المركز.

وهكذا، فقد أثبتنا النظرية التالية حول اختزال نظام القوى: أي نظام قوى يؤثر على جسم جامد تمامًا، عند اختزاله إلى مركز مختار تعسفيًا O، يتم استبداله بقوة واحدة R، تساوي المتجه الرئيسي لـ نظام القوة ويتم تطبيقه في مركز التخفيض O، وزوج واحد مع لحظة تساوي اللحظة الرئيسية لنظام القوى بالنسبة إلى المركز O (الشكل 40، ب).

لاحظ أن القوة R ليست نتيجة نظام القوى هذا هنا، لأنها تحل محل نظام القوى ليس بمفرده، بل مع زوج.

يترتب على النظرية المثبتة أن نظامين من القوى لهما نفس المتجهات الرئيسية والعزوم الرئيسية بالنسبة لنفس المركز متكافئان (شروط تكافؤ أنظمة القوة).

دعونا نلاحظ أيضًا أن قيمة R لا تعتمد بشكل واضح على اختيار المركز O. يمكن أن تتغير القيمة بشكل عام عندما يتغير موضع المركز O بسبب التغيرات في قيم لحظات القوى الفردية. لذلك، من الضروري دائمًا الإشارة إلى المركز الذي يتم تحديده به النقطة الرئيسية.

يمكن تطبيق طريقة جلب قوة واحدة إلى نقطة معينة على أي عدد من القوى. لنفترض أنه في بعض نقاط الجسم (الشكل 1.24) يتم تطبيق قوى ف 1 ف 2، ف 3و F4.مطلوب جلب هذه القوى إلى هذه النقطة عنطائرة. دعونا أولا نعرض القوة المطبقة عند هذه النقطة أ.دعونا نطبق (انظر الفقرة 16) عند هذه النقطة عنقوتان متساويتان في القيمة لقوة معينة، ومتوازيتان لها وموجهتان في اتجاهين متعاكسين. ونتيجة لجلب القوة، نحصل على القوة , يتم تطبيقه عند النقطة O، واثنين من القوى مع الكتف . عن طريق القيام بنفس الشيء بالقوة , تطبق عند هذه النقطة في،سوف نحصل على السلطة , تطبق عند هذه النقطة عن،واثنين من القوى ذات الكتف، وما إلى ذلك. نظام مسطح من القوى المطبقة عند النقاط أ، ب، جو د،لقد استبدلنا بالقوى المتقاربة , تطبق عند نقطة ما عن،وأزواج القوى مع لحظات، لحظات متساويةالقوى المعطاة بالنسبة إلى نقطة ما عن:

الشكل 1.24

يمكن الاستعاضة عن القوى المتقاربة عند نقطة ما بقوة واحدة تساوي المجموع الهندسي للمكونات،

تسمى هذه القوة، التي تساوي المجموع الهندسي للقوى المعطاة الناقل الرئيسي لنظام القوةو تدل .

بناءً على حجم إسقاطات المتجه الرئيسي على محاور الإحداثيات نجد وحدة المتجه الرئيسي:

واستنادا إلى قاعدة إضافة أزواج من القوى، يمكن استبدالها بالزوج الناتج، الذي يساوي عزمه المجموع الجبري لعزوم القوى المعطاة بالنسبة إلى النقطة عنويسمى النقطة الرئيسيةنسبة إلى النقطة المرجعية

وبالتالي، يتم تقليل نظام المستوى التعسفي للقوى إلى قوة واحدة(الناقل الرئيسي لنظام القوة) و لحظة واحدة(اللحظة الرئيسية لنظام القوى).

من الضروري أن نفهم أن المتجه الرئيسي المائة ليس محصلة نظام معين من القوى، لأن هذا النظام لا يعادل قوة واحدة. وبما أن المتجه الرئيسي يساوي المجموع الهندسي للقوى في نظام معين، فلا يعتمد حجمه ولا اتجاهه على اختيار مركز التخفيض. تعتمد قيمة وعلامة العزم الرئيسي على موضع مركز الاختزال، حيث أن أذرع الأزواج المكونة تعتمد على الموضع النسبي للقوى والنقطة (المركز) بالنسبة إلى التي يتم أخذ العزوم إليها.

حالات خاصة لتخفيض نظام القوات:

1) ; النظام في حالة توازن، أي. لتحقيق توازن نظام القوى المستوي، من الضروري والكافي أن يكون المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي مساويًا للصفر في نفس الوقت.

محاضرة 5

ملخص: جلب القوة إلى مركز معين. جلب نظام القوى إلى مركز معين. شروط التوازن النظام المكانيقوى متوازية. شروط التوازن لنظام القوى المستوي. نظرية الثلاث لحظات. المشاكل التي يمكن تحديدها بشكل ثابت وغير محددة بشكل ثابت. توازن نظام الهيئات.

جلب نظام القوات إلى مركز محدد. شروط التوازن

جلب القوة إلى مركز معين.

يتم العثور على محصلة نظام القوى المتقاربة مباشرة باستخدام جمع القوى وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع. من الواضح أنه يمكن حل مشكلة مماثلة لنظام تعسفي من القوى إذا وجدنا طريقة لها تسمح لنا بنقل جميع القوى إلى نقطة واحدة.

نظرية نقل القوة الموازية . يمكن للقوة المؤثرة على جسم جامد تمامًا أن تنتقل من نقطة معينة إلى أي نقطة أخرى في الجسم، دون تغيير التأثير الذي تمارسه، وذلك بإضافة زوجين مع عزم يساوي عزم القوة المنقولة بالنسبة إلى النقطة حيث يتم نقل القوة.

لتؤثر قوة عند النقطة أ. لا يتغير تأثير هذه القوة إذا تم تطبيق قوتين متوازنتين عند النقطة ب. النظام الناتج من ثلاث قوى هو قوة مساوية، ولكنها مطبقة عند النقطة B، وزوج من العزم. تسمى عملية استبدال القوة بقوة وزوج من القوى بإحضار القوة إلى مركز معين B.

جلب نظام القوى إلى مركز معين.

النظرية الرئيسيةالإحصائيات (بوينسوت).

يمكن عمومًا اختزال أي نظام تعسفي للقوى المؤثرة على جسم صلب إلى قوة وزوج من القوى. تسمى عملية استبدال نظام القوى بقوة واحدة وزوج واحد من القوى جلب نظام القوى إلى مركز معين.

الناقل الرئيسي للنظام قوةويسمى ناقلات يساوي مجموع المتجهاتهذه القوات.

النقطة الرئيسية للنظام قوةبالنسبة إلى النقطة O من الجسم، يسمى المتجه مساويًا للمجموع المتجه لعزوم جميع قوى النظام بالنسبة لهذه النقطة.

صيغ لحساب المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية

صيغ لحساب المعامل وجيب التمام الاتجاه

المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية

شروط توازن نظام القوى.

شكل المتجهات.

لتحقيق توازن نظام تعسفي من القوى المطبقة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون المتجه الرئيسي لنظام القوة مساويًا للصفر وأن يكون العزم الرئيسي لنظام القوة بالنسبة إلى أي مركز اختزال مساويًا أيضًا لـ صفر.

الشكل الجبري.

لتحقيق توازن نظام تعسفي للقوى المطبقة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن تكون المجاميع الثلاثة لإسقاطات جميع القوى على المحور الإحداثيات الديكارتيةكانت تساوي صفرًا وكانت المجاميع الثلاثة لعزوم جميع القوى بالنسبة إلى محاور الإحداثيات الثلاثة تساوي أيضًا صفرًا.

شروط توازن النظام المكاني

قوى متوازية.

يعمل نظام القوى المتوازية على الجسم. دعونا نضع محور أوز موازيا للقوى.

المعادلات

لتحقيق توازن نظام مكاني للقوى المتوازية المؤثرة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون مجموع إسقاطات هذه القوى مساويًا للصفر ومجموع عزوم هذه القوى بالنسبة إلى محوري إحداثيات متعامدين على القوى أيضا تساوي الصفر.

- إسقاط القوة على محور أوز

نظام القوة المسطحة.

شروط التوازن لنظام القوى المستوي.

يعمل نظام الطائرة من القوى على الجسم. لنضع محوري الثور وأوي في مستوى عمل القوى.

المعادلات

لتحقيق توازن نظام مستو من القوى المؤثرة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون مجموع إسقاطات هذه القوى على كل من محوري الإحداثيات المستطيلين الموجودين في مستوى عمل القوى مساويًا للصفر ومجموع عزوم هذه القوى بالنسبة إلى أي نقطة تقع في مستوى عمل هذه القوى كان أيضًا صفرًا.

نظرية الثلاث لحظات.

لتحقيق توازن نظام مستوي للقوى المؤثرة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون مجموع عزوم قوى النظام هذه بالنسبة إلى أي ثلاث نقاط تقع في مستوى عمل القوى وألا تكون مستلقية عليها نفس الخط المستقيم يساوي الصفر.

المشاكل التي يمكن تحديدها بشكل ثابت وغير محددة بشكل ثابت.

بالنسبة لأي نظام مستوي من القوى المؤثرة على جسم صلب، هناك ثلاثة شروط توازن مستقلة. وبالتالي، بالنسبة لأي نظام قوى مستو، لا يمكن العثور على أكثر من ثلاثة مجاهيل من ظروف التوازن.

في حالة وجود نظام مكاني للقوى المؤثرة على جسم صلب، هناك ستة شروط توازن مستقلة. وبالتالي، بالنسبة لأي نظام مكاني للقوى، لا يمكن العثور على أكثر من ستة مجاهيل من ظروف التوازن.

تسمى المسائل التي لا يكون فيها عدد المجهول أكبر من عدد شروط التوازن المستقل لنظام معين من القوى المطبقة على جسم صلب يمكن تحديدها بشكل ثابت.

وبخلاف ذلك، تكون المشاكل غير محددة بشكل ثابت.

توازن نظام الهيئات.

دعونا ننظر في توازن القوى المطبقة على نظام من الهيئات المتفاعلة. يمكن ربط الأجسام ببعضها البعض باستخدام المفصلات أو بطريقة أخرى.

يمكن تقسيم القوى المؤثرة على نظام الهيئات قيد النظر إلى خارجية وداخلية.

خارجيتسمى القوى التي يتم بها التأثير على أجسام النظام قيد النظر من قبل أجسام غير مدرجة في نظام القوى هذا.

داخليتسمى قوى التفاعل بين هيئات النظام قيد النظر.

عند النظر في توازن القوى المطبقة على نظام من الأجسام، يمكن للمرء أن يقسم عقليًا نظام الأجسام إلى أجسام صلبة فردية وتطبيق شروط التوازن التي تم الحصول عليها لجسم واحد على القوى المؤثرة على هذه الأجسام. ستشمل شروط التوازن هذه القوى الخارجية والداخلية لنظام الأجسام. القوى الداخليةواستنادا إلى بديهية تساوي قوى الفعل ورد الفعل عند كل نقطة مفصلية لجسمين، فإنهما يشكلان نظام توازن القوى.

دعونا نوضح ذلك باستخدام مثال نظام مكون من جسمين ونظام قوى مستوي.

إذا خلقنا شروط التوازن لكل منهما صلبنظام الأجسام، ثم للجسم الأول

.

للجسم الثاني

بالإضافة إلى ذلك، من البديهية حول تساوي قوى الفعل ورد الفعل لجسمين متفاعلين لدينا .

المساواة المقدمة هي شروط التوازن القوى الخارجية، العمل على النظام.

رد فعل الختم.

لنفكر في عارضة، أحد طرفيها AB مثبت في الحائط. يسمى هذا النوع من تثبيت نهاية الشعاع AB الختم عند هذه النقطةب. دع نظام القوى المستوي يؤثر على الشعاع. دعونا نحدد القوى التي يجب تطبيقها على النقطة B من الحزمة إذا تم التخلص من جزء من الحزمة AB. يتم تطبيق قوى التفاعل الموزعة على قسم الشعاع (B). إذا تم استبدال هذه القوى بقوى مركزة أولية ثم تم إحضارها إلى النقطة B، فعند النقطة B نحصل على قوة (المتجه الرئيسي لقوى رد الفعل) وزوج من القوى مع لحظة M (المتجه الرئيسي لقوى رد الفعل بالنسبة إلى النقطة ب). لحظة م تسمى اللحظة الختاميةأو لحظة التوجيه.يمكن استبدال قوة التفاعل بمكونين و .

الختم، على عكس المفصلة، ​​لا يخلق فقط رد فعل غير معروف من حيث الحجم والاتجاه، ولكن أيضًا زوج من القوى مع لحظة غير معروفة M في الختم.

يمكن تطبيق الطريقة الموصوفة لجلب قوة واحدة إلى نقطة معينة على أي عدد من القوى. لنفترض أنه في نقاط من الجسم أ، ب، جو د(الشكل 19) القوى المطبقة 1 , 2 , 3 و 4 . مطلوب جلب هذه القوى إلى هذه النقطة عنطائرة. دعونا أولا نعطي القوة 1 , تطبق عند هذه النقطة أ.دعونا نطبق عند هذه النقطة عنقوتين ’ 1 و ’’ 1 ، بشكل منفصل يساوي في معامل قوة معينة 1 ، موازيًا له وموجهًا نحوه الجانبين المتقابلين. نتيجة لجلب القوة 1 سوف نحصل على السلطة ’ 1 ، مطبق عند هذه النقطة عن، واثنين من القوات 1 ’’ 1 (يتم تمييز القوى التي تشكل الزوج بشرطات) بالكتف أ 1. عن طريق القيام بنفس الشيء بالقوة 2 ، مطبق عند هذه النقطة في، نحصل على القوة 2 ، مطبق عند هذه النقطة عن، واثنين من القوات 2 ’’ 2 مع الكتف 2إلخ.

نظام مستوي للقوى المطبقة عند النقاط أ, في, معو د، لقد استبدلنا بالقوى المتقاربة ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 و ’ 4 ، مطبق عند هذه النقطة عنوأزواج القوى ذات العزوم المساوية لعزوم القوى المعطاة بالنسبة للنقطة عن:

م 1 = ف 1 أ 1 = م س ( 1); م 2 = ف 2 أ 2 = م س (2)؛

م 3 = – ف 3 أ 3 = م س ( 3); م 4 = – ف 4 أ 4 = م س (4).

يمكن استبدال القوى المتقاربة عند نقطة ما بقوة واحدة " ، يساوي المجموع الهندسي للمكونات،

" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i .(16)

تسمى هذه القوة، التي تساوي المجموع الهندسي للقوى المعطاة الناقل الرئيسي لنظام القوات.

بناءً على قاعدة إضافة أزواج من القوى، يمكن استبدالها بالزوج الناتج، الذي يساوي عزمه المجموع الجبري لعزوم القوى المعطاة بالنسبة إلى النقطة عن:

م o = م 1 + م 2 + م 3 + م 4 = ط = س (ط).(17)

قياسا على المتجه الرئيسي، اللحظة م 0أزواج تساوي المجموع الجبري لعزوم جميع القوى بالنسبة لمركز الاختزال عن، مُسَمًّى اللحظة الرئيسية للنظام بالنسبة إلى مركز التخفيض المعطى O.لذلك، في الحالة العامة، يتم استبدال نظام القوى المسطح نتيجة الاختزال إلى نقطة معينة O بنظام مكافئ يتكون من قوة واحدة - المتجه الرئيسي - وزوج واحد، تسمى لحظة هذه القوة بالعزم الرئيسي للقوة. نظام معين من القوى بالنسبة لمركز التخفيض.

ومن الضروري أن نفهم أن الناقل الرئيسي ’ ليست محصلة نظام معين من القوى، لأن هذا النظام لا يعادل قوة واحدة ’. فقط في الحالة الخاصة عندما تختفي اللحظة الرئيسية، سيكون المتجه الرئيسي هو نتيجة نظام معين من القوى. نظرًا لأن المتجه الرئيسي يساوي المجموع الهندسي لقوى نظام معين، فلا يعتمد حجمه ولا اتجاهه على اختيار مركز التخفيض. حجم وعلامة اللحظة الرئيسية م 0تعتمد على موضع مركز التخفيض، حيث أن أذرع الأزواج المكونة تعتمد على الموضع النسبي للقوى والنقطة (المركز) بالنسبة إلى اللحظات التي يتم أخذها.

قد تحدث الحالات التالية لجلب نظام القوات:

1. " ≠ 0 ؛ م س ≠ 0 -حالة عامة يتم تقليل النظام إلى المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية.

2. " ≠ 0; م س = 0;يتم تقليل النظام إلى نتيجة واحدة تساوي المتجه الرئيسي للنظام.

3. " = 0; م س ≠ 0;يتم تقليل النظام إلى زوج من القوى التي تساوي عزمها اللحظة الرئيسية.

4. " = 0؛ م س = 0؛النظام في حالة توازن.

ويمكن إثبات ذلك في الحالة العامة متى " ≠ 0 و م س ≠ 0,هناك دائمًا نقطة يكون فيها العزم الرئيسي لنظام القوى مساويًا للصفر.

دعونا نفكر في نظام مستوي للقوى تم تقليله إلى هذه النقطة عن، أي. تم استبداله بالمتجه الرئيسي " ≠ 0 ، مطبق عند هذه النقطة عن، والنقطة الرئيسية م س ≠ 0(الشكل 20).

من أجل اليقين، نفترض أن اللحظة الرئيسية موجهة في اتجاه عقارب الساعة، أي. شهر< 0. دعونا نصور هذه اللحظة الرئيسية بزوج من القوى "" ، والتي يتم اختيار الوحدة الخاصة بها مساوية لوحدة المتجه الرئيسي " ، أي. ر =ص '' = ص '. إحدى القوى التي يتكون منها الزوج هي القوة "" – تنطبق في مركز التخفيض عن، قوة أخرى - في مرحلة ما مع، والذي يتم تحديد موضعه من الشرط: م س = OS*R.لذلك،

نظام التشغيل =. (18)

دعونا نضع بضع قوى "" بحيث القوة "" تم توجيهه في الاتجاه المعاكس للناقل الرئيسي " . عند هذه النقطة عن(الشكل 20) لدينا قوتان متساويتان ومتضادتان " و "" ، موجهة على طول خط مستقيم واحد؛ ويمكن التخلص منها (حسب البديهية الثالثة). لذلك، نسبة إلى هذه النقطة معاللحظة الرئيسية لنظام القوى قيد النظر تساوي الصفر، ويتم تقليل النظام إلى النتيجة .

§ 18. نظرية لحظة المحصلة (نظرية فارينيون)

في الحالة العامة (انظر الفقرة 17)، يتم تقليل نظام القوى المستوي التعسفي إلى المتجه الرئيسي " والنقطة الرئيسية م 0بالنسبة إلى مركز التخفيض المحدد، والعزم الرئيسي يساوي المجموع الجبري لعزوم القوى المعطاة بالنسبة إلى النقطة عن

م س = س (ط).(أ)

وقد تبين أنه من الممكن تحديد مركز التخفيض (في الشكل 20، النقطة مع) ، بالنسبة إلى اللحظة الرئيسية للنظام ستكون مساوية للصفر، وسيتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة واحدة مساوية في الحجم للمتجه الرئيسي ( ص = ص'). دعونا نحدد عزم النتيجة بالنسبة للنقطة عن. معتبرا أن الكتف نظام التشغيلالقوى متساوية ، نحصل على

M o () = R*OC = R = M o.(ب)

الكميتان، كل على حدة، تساويان الثالثة، متساويتان لبعضهما البعض، لذلك من المعادلتين (أ) و (ب) نجد

م س () = س (ط).(19)

المعادلة الناتجة تعبر عن نظرية فارينيون: إن لحظة نظام القوى المستوي الناتج بالنسبة إلى نقطة عشوائية تساوي المجموع الجبري لعزوم القوى المكونة بالنسبة إلى نفس النقطة.

ويترتب على ذلك من نظرية فارينون أن العزم الرئيسي لنظام القوى المستوي بالنسبة إلى أي نقطة تقع على خط عمل محصلتها يساوي الصفر.