في المجتمع الحديثيمكن أن تكون القدرة على إجراء العمليات باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في التطورات العلمية والتقنية. والدليل على ذلك يمكن العثور عليه في تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. وباستخدام مثل هذه الحسابات، يتم تحديد مسارات حركة مجموعة واسعة من الأجسام، بما في ذلك الأجسام الفضائية. أمثلة مع الحل المعادلات التربيعيةلا تُستخدم فقط في التنبؤ الاقتصادي، وفي تصميم وتشييد المباني، ولكن أيضًا في الظروف اليومية الأكثر اعتيادية. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات المشي لمسافات طويلة، وفي الأحداث الرياضية، وفي المتاجر عند إجراء عمليات الشراء وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.
دعونا نقسم التعبير إلى العوامل المكونة له
يتم تحديد درجة المعادلة من خلال القيمة القصوى لدرجة المتغير الذي يحتوي عليه التعبير. إذا كانت تساوي 2، فإن هذه المعادلة تسمى تربيعية.
إذا تحدثنا بلغة الصيغ، فيمكن دائمًا إحضار التعبيرات المشار إليها، بغض النظر عن مظهرها، إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير مربع بمعامله)، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون حر، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في الحالة التي تفتقر فيها كثيرة الحدود إلى أحد العناصر المكونة لها، باستثناء المحور 2، فإنها تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. يجب النظر أولاً في أمثلة حل مثل هذه المشكلات، وقيم المتغيرات التي يسهل العثور عليها.
إذا كان التعبير يبدو وكأنه يحتوي على حدين على الجانب الأيمن، وبشكل أكثر دقة ax 2 وbx، فإن أسهل طريقة للعثور على x هي وضع المتغير خارج الأقواس. الآن ستبدو معادلتنا كما يلي: x(ax+b). بعد ذلك، يصبح من الواضح أن x=0، أو أن المشكلة تكمن في العثور على متغير من التعبير التالي: ax+b=0. وهذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج عنه صفر فقط إذا كان أحدهما صفرًا.
مثال
س=0 أو 8س - 3 = 0
ونتيجة لذلك، نحصل على جذرين للمعادلة: 0 و0.375.
ويمكن للمعادلات من هذا النوع أن تصف حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة تؤخذ على أنها أصل الإحداثيات. هنا يأخذ التدوين الرياضي الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2 /2. ومن خلال استبدال القيم الضرورية، ومساواة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهولات المحتملة، يمكنك معرفة الوقت الذي يمر من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكننا سنتحدث عن هذا لاحقًا.
تحليل التعبير
القاعدة الموضحة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشكلات بشكل أكبر الحالات الصعبة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.
× 2 - 33س + 200 = 0
هذا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةاكتمل. أولاً، دعونا نحول التعبير ونقوم بتحليله. هناك اثنان منهم: (x-8) و(x-25) = 0. ونتيجة لذلك، لدينا جذرين 8 و25.
تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف التاسع لهذه الطريقة بالعثور على متغير في التعبيرات ليس فقط من الدرجة الثانية، ولكن حتى من الرتبتين الثالثة والرابعة.
على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير، هناك ثلاثة منها، وهي (x+1) و(x-3) و(x+ 3).
ونتيجة لذلك، يصبح من الواضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -1؛ 3.
الجذر التربيعي
حالة أخرى معادلة غير مكتملةالترتيب الثاني هو تعبير ممثل في لغة الحروف بحيث يتكون الجانب الأيمن من المكونين ax 2 و c. وهنا للحصول على قيمة المتغير ينقل الحد الحر إلى الطرف الأيمن وبعد ذلك يتم استخراجه من طرفي المساواة الجذر التربيعي. تجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة يكون هناك عادةً جذرين للمعادلة. يمكن أن تكون الاستثناءات الوحيدة هي المعادلات التي لا تحتوي على حد على الإطلاق، حيث يكون المتغير يساوي صفرًا، وكذلك متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة، لا توجد حلول على الإطلاق، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه مع الجذور. ينبغي النظر في أمثلة حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.
في هذه الحالة، جذور المعادلة ستكون الرقمين -4 و4.
حساب مساحة الأرض
ظهرت الحاجة لهذا النوع من الحسابات في العصور القديمةلأن تطور الرياضيات بطرق عديدة في تلك الأوقات البعيدة تم تحديده من خلال الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.
يجب علينا أيضًا أن نفكر في أمثلة لحل المعادلات التربيعية بناءً على مسائل من هذا النوع.
لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بـ 16 مترًا. يجب أن تجد طول الموقع وعرضه ومحيطه إذا علمت أن مساحته 612 م2.
للبدء، دعونا أولاً ننشئ المعادلة الضرورية. لنرمز بـ x إلى عرض المساحة، فيكون طولها (x+16). يتبين من ما كتب أن المساحة يتم تحديدها بواسطة التعبير x(x+16)، والذي، وفقًا لشروط مسألتنا، هو 612. وهذا يعني أن x(x+16) = 612.
حل المعادلات التربيعية الكاملة، وهذا التعبير هو بالضبط، لا يمكن أن يتم بنفس الطريقة. لماذا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر لا يزال يحتوي على عاملين، إلا أن حاصل ضربهما لا يساوي 0 على الإطلاق، لذلك يتم استخدام طرق مختلفة هنا.
مميز
أولا وقبل كل شيء، دعونا نجري التحولات اللازمة، ثم مظهرسيبدو هذا التعبير كما يلي: x 2 + 16x - 612 = 0. وهذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في شكل يتوافق مع المعيار المحدد مسبقًا، حيث a=1، b=16، c=-612.
قد يكون هذا مثالاً على حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز. هنا يتم إجراء الحسابات اللازمة وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. هذه الكمية المساعدة لا تجعل من الممكن العثور على الكميات المطلوبة في معادلة من الدرجة الثانية فحسب، بل تحدد عدد الخيارات الممكنة. إذا كان D > 0، فهناك اثنان منهم؛ بالنسبة لـ D=0 يوجد جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
عن الجذور وصيغتها
في حالتنا، المميز يساوي: 256 - 4(-612) = 2704. وهذا يشير إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعرف k، فيجب الاستمرار في حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. انها تسمح لك لحساب الجذور.
وهذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلا، لأن أبعاد قطعة الأرض لا يمكن قياسها بكميات سالبة، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م، ومن هنا نحسب الطول: 18 +16=34، والمحيط 2(34+18)=104(م2).
أمثلة ومشاكل
نواصل دراستنا للمعادلات التربيعية. سيتم تقديم الأمثلة والحلول التفصيلية للعديد منها أدناه.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
دعونا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة، ونقوم بإجراء تحويل، أي أننا سنحصل على نوع المعادلة التي تسمى عادةً بالمعيارية، ونساويها بالصفر.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
بإضافة تلك المتشابهة، نحدد المميز: D = 49 - 48 = 1. هذا يعني أن معادلتنا سيكون لها جذرين. لنحسبهما وفق الصيغة المذكورة أعلاه، مما يعني أن الأول منهما يساوي 4/3، والثاني يساوي 1.
2) الآن دعونا نحل ألغازًا من نوع مختلف.
لنكتشف ما إذا كان هناك أي جذور هنا x 2 - 4x + 5 = 1؟ للحصول على إجابة شاملة، دعونا نختصر كثيرة الحدود إلى الصورة المعتادة المقابلة ونحسب المميز. في المثال أعلاه، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية، لأن هذا ليس جوهر المشكلة على الإطلاق. في هذه الحالة، D = 16 - 20 = -4، مما يعني عدم وجود جذور حقًا.
نظرية فييتا
من السهل حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه والمميز، عندما يتم أخذ الجذر التربيعي من قيمة الأخير. ولكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك، هناك طرق عديدة للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميتها على اسم من عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وحقق مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. ويمكن رؤية صورته في المقال.
وكان النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير على النحو التالي. لقد أثبت أن جذور المعادلة تضيف عددًا إلى -p=b/a، وحاصل ضربها يتوافق مع q=c/a.
الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.
3س2 + 21س - 54 = 0
للتبسيط، دعونا نحول التعبير:
× 2 + 7س - 18 = 0
دعونا نستخدم نظرية فييتا، وهذا سيعطينا ما يلي: مجموع الجذور هو -7، وحاصل ضربها هو -18. من هنا نستنتج أن جذور المعادلة هي الأرقام -9 و 2. وبعد التحقق، سنتأكد من أن هذه القيم المتغيرة تتناسب بالفعل مع التعبير.
الرسم البياني والمعادلة القطع المكافئ
ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية والمعادلات التربيعية ارتباطًا وثيقًا. وقد سبق تقديم أمثلة على ذلك في وقت سابق. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. تسمى هذه العلاقة، المرسومة على شكل رسم بياني، بالقطع المكافئ. يتم عرض أنواعها المختلفة في الشكل أدناه.
أي قطع مكافئ له قمة، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت a>0، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية، وعندما تكون a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
تساعد التمثيلات المرئية للدوال في حل أي معادلات، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى رسومية. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي السيني عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس باستخدام الصيغة المعطاة للتو x 0 = -b/2a. ومن خلال استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة، يمكنك معرفة y 0، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ، الذي ينتمي إلى المحور الإحداثي.
تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني
هناك الكثير من الأمثلة على حل المعادلات التربيعية، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا ننظر إليهم. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a>0 ممكن فقط إذا كان y 0 يأخذ القيم السلبية. و ل<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. وإلا د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
من الرسم البياني للقطع المكافئ يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي أنه إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي للدالة التربيعية، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالصفر وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x يسهل إنشاء رسم بياني.
من التاريخ
باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير تربيعي، لم يقتصر الأمر في الأيام الخوالي على إجراء حسابات رياضية وتحديد مساحات الأشكال الهندسية. لقد احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات الكبرى في مجالات الفيزياء وعلم الفلك، وكذلك لوضع التنبؤات الفلكية.
وكما يشير العلماء المعاصرون، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل أربعة قرون من عصرنا. وبطبيعة الحال، كانت حساباتهم مختلفة جذريا عن تلك المقبولة حاليا وتبين أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجودها أرقام سلبية. كما أنهم لم يكونوا على دراية بالتفاصيل الدقيقة الأخرى التي يعرفها أي تلميذ حديث.
وربما حتى قبل علماء بابل، بدأ الحكيم الهندي بودهاياما في حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور المسيح. صحيح أن المعادلات من الدرجة الثانية، وطرق الحل التي قدمها، كانت الأبسط. وإلى جانبه، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بمسائل مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر، ولكن في وقت لاحق تم استخدامها في أعمالهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت وغيرهم الكثير.
فيديو تعليمي 2: حل المعادلات التربيعية
محاضرة: المعادلات التربيعية
معادلة
معادلة- وهذا نوع من المساواة في عباراتها متغير.
حل المعادلة- يعني العثور على رقم بدلاً من المتغير الذي يجعله متساويًا صحيحًا.
قد يكون للمعادلة حل واحد، أو عدة حلول، أو لا شيء على الإطلاق.
لحل أي معادلة يجب تبسيطها قدر الإمكان إلى الشكل:
خطي: أ*س = ب;
مربع: أ*س 2 + ب*س + ج = 0.
أي أنه يجب تحويل أي معادلات إلى الصورة القياسية قبل حلها.
يمكن حل أي معادلة بطريقتين: التحليلية والرسومية.
على الرسم البياني، يعتبر حل المعادلة هو النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور OX.
المعادلات التربيعية
يمكن تسمية المعادلة تربيعية إذا كانت تأخذ الشكل التالي عند تبسيطها:
أ*س 2 + ب*س + ج = 0.
في نفس الوقت أ، ب، جهي معاملات المعادلة التي تختلف عن الصفر. أ "X"- جذر المعادلة. يُعتقد أن المعادلة التربيعية لها جذرين أو قد لا يكون لها حل على الإطلاق. قد تكون الجذور الناتجة هي نفسها.
"أ"- المعامل الذي يقع قبل الجذر التربيعي.
"ب"- يقف أمام المجهول في الدرجة الأولى.
"مع"هو الحد الحر للمعادلة.
على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة من الشكل:
2س2 -5س+3=0
فيه، "2" هو معامل الحد الرئيسي للمعادلة، و"-5" هو المعامل الثاني، و"3" هو الحد الحر.
حل المعادلة التربيعية
هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من الطرق لحل المعادلة التربيعية. ومع ذلك، في دورة الرياضيات المدرسية، تتم دراسة الحل باستخدام نظرية فييتا، وكذلك باستخدام المميز.
الحل التمييزي:
عند الحل باستخدام هذه الطريقة، من الضروري حساب المميز باستخدام الصيغة:
إذا وجدت خلال حساباتك أن المميز أقل من الصفر، فهذا يعني أن هذه المعادلة ليس لها حلول.
إذا كان المميز صفرًا، فإن المعادلة لها حلان متطابقان. في هذه الحالة، يمكن طي كثير الحدود باستخدام صيغة الضرب المختصرة في مربع المجموع أو الفرق. ثم قم بحلها كمعادلة خطية. أو استخدم الصيغة:
إذا كان المميز أكبر من الصفر فيجب عليك استخدام الطريقة التالية:
نظرية فييتا
إذا كانت المعادلة معطاة، أي أن معامل الحد الرئيسي يساوي واحدًا، فيمكنك استخدامها نظرية فييتا.
لذلك لنفترض أن المعادلة هي:
تم العثور على جذور المعادلة على النحو التالي:
معادلة تربيعية غير مكتملة
هناك عدة خيارات للحصول على معادلة تربيعية غير مكتملة، ويعتمد شكلها على وجود المعاملات.
1. إذا كانت المعاملات الثانية والثالثة صفراً (ب = 0، ج = 0)، فستبدو المعادلة التربيعية كما يلي:
هذه المعادلة سيكون لها حل فريد. لن تكون المساواة صحيحة إلا إذا كان حل المعادلة صفرًا.
آمل أنه بعد دراسة هذه المقالة سوف تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.
باستخدام التمييز، يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط؛ ولحل المعادلات التربيعية غير الكاملة، يتم استخدام طرق أخرى، ستجدها في مقال “حل المعادلات التربيعية غير الكاملة”.
ما المعادلات التربيعية تسمى كاملة؟ هذا معادلات من الشكل الفأس 2 + ب س + ج = 0حيث المعاملات a وb وc لا تساوي الصفر. إذن، لحل معادلة تربيعية كاملة، علينا حساب المميز D.
د = ب 2 – 4أ.
اعتمادًا على قيمة المميز، سنكتب الإجابة.
إذا كان المميز رقمًا سالبًا (D< 0),то корней нет.
إذا كان المميز صفرًا، فإن x = (-b)/2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D > 0)،
ثم x 1 = (-b - √D)/2a، وx 2 = (-b + √D)/2a.
على سبيل المثال. حل المعادلة × 2– 4س + 4= 0.
د = 4 2 - 4 4 = 0
س = (- (-4))/2 = 2
الجواب: 2.
حل المعادلة 2 × 2 + س + 3 = 0.
د = 1 2 – 4 2 3 = – 23
الجواب: لا جذور.
حل المعادلة 2 × 2 + 5س – 7 = 0.
د = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
× 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
الجواب: – 3.5؛ 1.
لذلك دعونا نتخيل حل المعادلات التربيعية الكاملة باستخدام الرسم البياني في الشكل 1.
باستخدام هذه الصيغ يمكنك حل أي معادلة تربيعية كاملة. عليك فقط أن تكون حذرا ل تمت كتابة المعادلة على أنها كثيرة الحدود بالشكل القياسي
أ × 2 + بكس + ج،وإلا قد ترتكب خطأ. على سبيل المثال، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 = 0، يمكنك أن تقرر بالخطأ أن
أ = 1، ب = 3، ج = 2. إذن
د = 3 2 – 4 1 2 = 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر حل المثال 2 أعلاه).
لذلك، إذا لم تتم كتابة المعادلة على هيئة كثيرة حدود من الصورة القياسية، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة على هيئة كثيرة حدود من الصورة القياسية (أحادية الحد مع أعلى مؤشردرجات، وهذا هو أ × 2 ، ثم مع أقل – bxومن ثم عضو حر مع.
عند حل المعادلة التربيعية المختزلة والمعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجي في الحد الثاني، يمكنك استخدام صيغ أخرى. دعونا نتعرف على هذه الصيغ. إذا كان الحد الثاني في معادلة تربيعية كاملة له معامل زوجي (b = 2k)، فيمكنك حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.
تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند × 2 يساوي واحدًا والمعادلة تأخذ الشكل س 2 + بيكسل + ف = 0. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل، أو يمكن الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل أ، واقفاً عند × 2 .
يوضح الشكل 3 رسمًا تخطيطيًا لحل المربع المصغر 
المعادلات. دعونا نلقي نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.
مثال. حل المعادلة
3× 2 + 6س – 6 = 0.
دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1.
د = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108
√د = √108 = √(36 3) = 6√3
× 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
× 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3
يمكنك ملاحظة أن معامل x في هذه المعادلة هو رقم زوجي، أي b = 6 أو b = 2k، حيث k = 3. ثم دعونا نحاول حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم التخطيطي للشكل D 1 = 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(د 1) = √27 = √(3 9) = 3√3
× 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
س 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3. مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية قابلة للقسمة على 3 وبإجراء عملية القسمة نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x – 2 = 0 حل هذه المعادلة باستخدام صيغ المعادلة التربيعية المختزلة 
المعادلات الشكل 3.
د 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12
√(د ٢) = √١٢ = √(٣ ٤) = 2√3
س 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
× 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3.
كما ترون، عند حل هذه المعادلة باستخدام صيغ مختلفة، حصلنا على نفس الإجابة. لذلك، بعد أن أتقنت تمامًا الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1، ستتمكن دائمًا من حل أي معادلة تربيعية كاملة.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف ننظر ما يسمى المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.
ما هي المعادلة التربيعية؟
مهم!
يتم تحديد درجة المعادلة من خلال أعلى درجة يقف عندها المجهول.
إذا كانت القدرة القصوى للمجهول هي "2"، فلديك معادلة تربيعية.
أمثلة على المعادلات التربيعية
- 5س 2 − 14س + 17 = 0
- −س 2 + س +
= 01 3 - × 2 + 0.25س = 0
- س 2 − 8 = 0
مهم! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:
أ س 2 + ب س + ج = 0
يتم إعطاء الأرقام "أ" و"ب" و"ج".- "أ" هو المعامل الأول أو الأعلى؛
- "ب" هو المعامل الثاني؛
- "ج" عضو حر.
للعثور على "a" و"b" و"c" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالشكل العام للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c = 0".
دعونا نتدرب على تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" في المعادلات التربيعية.
| معادلة | احتمال | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- أ = −1
- ب = 1
- ج =
1 3
- أ = 1
- ب = 0.25
- ج = 0
- أ = 1
- ب = 0
- ج = −8
كيفية حل المعادلات التربيعية
على عكس المعادلات الخطيةلحل المعادلات التربيعية، خاصة صيغة للعثور على الجذور.
يتذكر!
لحل معادلة تربيعية تحتاج إلى:
- أحضر المعادلة التربيعية إلى الصورة العامة "ax 2 + bx + c = 0".
- وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن يبقى على الجانب الأيمن؛
استخدام الصيغة للجذور:
دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية استخدام الصيغة للعثور على جذور المعادلة التربيعية. دعونا نحل معادلة من الدرجة الثانية.
× 2 − 3س − 4 = 0 لقد تم بالفعل اختصار المعادلة "x 2 − 3x − 4 = 0" إلى الصيغة العامة "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها، نحن بحاجة فقط إلى تطبيق.
صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية
دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.
دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.
دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.
دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.
س 1;2 =
ويمكن استخدامه لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.
في الصيغة "x 1;2 =" غالبًا ما يتم استبدال التعبير الجذري
"b 2 − 4ac" للحرف "D" ويسمى مميزًا. تمت مناقشة مفهوم المُميِّز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المُميِّز".
دعونا نلقي نظرة على مثال آخر للمعادلة التربيعية.
س 2 + 9 + س = 7س
في هذا النموذج، من الصعب جدًا تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج". دعونا أولاً نختصر المعادلة إلى الصورة العامة "ax 2 + bx + c = 0".
× 2 + 9 + س = 7س
س 2 + 9 + س − 7س = 0
س 2 + 9 − 6س = 0
س 2 − 6س + 9 = 0
الآن يمكنك استخدام الصيغة للجذور.
× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
س 1;2 =
| 6 |
| 2 |
س =
س = 3
الجواب: س = 3
هناك أوقات لا يكون فيها للمعادلات التربيعية جذور. يحدث هذا الموقف عندما تحتوي الصيغة على رقم سالب تحت الجذر. كوبيفسكايا الثانوية الريفية
.مدرسة ثانوية
10 طرق لحل المعادلات التربيعية
الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،
مدرس الرياضيات
قرية كوبيفو، 2007
1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية 1.1 المعادلات التربيعية في
بابل القديمة
1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية
1.3 المعادلات التربيعية في الهند 1.4 المعادلات التربيعية
الخوارزمي
1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر
1.6 حول نظرية فييتا
2. طرق حل المعادلات التربيعية
خاتمة
1. الأدب
تاريخ تطور المعادلات التربيعية
إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.
باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.
بالرغم من مستوى عالتطور الجبر في بابل، افتقرت النصوص المسمارية إلى مفهوم العدد السالب و الأساليب العامةحل المعادلات التربيعية.
1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.
لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.
عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.
وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.
المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"
يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x.
ومن هنا المعادلة:
(10 + س)(10 - س) = 96
100 - × 2 = 96
× 2 - 4 = 0 (1)
من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف فقط أرقام إيجابية.
إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة
ص(20 - ص) = 96,
ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)
ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).
1.3 المعادلات التربيعية في الهند
تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى واحد الشكل الكنسي:
اه 2+بس = ج، أ > 0. (1)
في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.
في الهند القديمةكانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تحجب الشمس النجوم بريقها كذلك" رجل متعلمكسوف مجد شخص آخر في المجالس الشعبية من خلال اقتراح وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.
هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.
المشكلة 13.
"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...
السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..
هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟
لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟
يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).
المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:
(س/8) 2 + 12 = س
يكتب بهاسكارا تحت ستار:
× 2 - 64س = -768
ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:
× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،
(س - 32) 2 = 256،
س - 32 = ± 16،
× 1 = 16، × 2 = 48.
1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي
وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:
1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج =بX.
2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.
3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.
4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج =بX.
5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+bx= س.
6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي:bx+ ج = الفأس 2 .
وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. المؤلف يحدد الحلول المعادلات المذكورة أعلاهباستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول
الخوارزمي، مثل كل علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه على وجه التحديد مشاكل عمليةلا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة الخوارزمي على الجزئيات أمثلة رقميةويضع قواعد الحل ثم البراهين الهندسية.
المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).
يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.
إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.
1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر - السابع عشرب
تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. هذا العمل الضخم الذي يعكس تأثير الرياضيات في كل من الدول الإسلامية و اليونان القديمة، يتميز بالاكتمال والوضوح في العرض. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.
القاعدة العامةحلول المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:
× 2+bx= ج،
لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.
اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية في منظر عامتمتلكها فيتنام، لكن فيتنام لم تتعرف إلا على الجذور الإيجابية. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.
1.6 حول نظرية فييتا
النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا في أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د».
لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، حروف العلة في،د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك
(أ+ب)س - س 2 =أب,
× 2 - (أ +ب)س + أب = 0,
س 1 = أ، س 2 =ب.
التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات الصيغ العامة، مكتوبة باستخدام الرموز، أنشأت فييت التوحيد في أساليب حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن ذلك نظرة حديثة. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.
2. طرق حل المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.
