لنفكر في شبه منحرف منحني يحده محور الثور، المنحنى y=f(x) وخطين مستقيمين: x=a وx=b (الشكل 85). لنأخذ قيمة عشوائية لـ x (فقط ليس a وليس b). لنعطيها زيادة h = dx ونفكر في شريط يحده خطوط مستقيمة AB وCD، ومحور الثور والقوس BD ينتميان إلى المنحنى قيد النظر. سوف نسمي هذا الشريط شريطًا أوليًا. تختلف مساحة شريط أولي عن مساحة المستطيل ACQB بالمثلث المنحني الأضلاع BQD، ومساحة الأخير أقل من مساحة المستطيل BQDM بأضلاعه BQ = =h= dx) QD=Ay ومساحة تساوي hAy = Ay dx. مع انخفاض الجانب h، يتناقص الجانب Du أيضًا وفي نفس الوقت مع h يميل إلى الصفر. ولذلك، فإن مساحة BQDM متناهية الصغر من الدرجة الثانية. مساحة الشريط الأولي هي زيادة المساحة، ومساحة المستطيل ACQB، التي تساوي AB-AC ==/(x) dx> هي تفاضل المساحة. وبالتالي، فإننا نجد المنطقة نفسها من خلال تكامل تفاضلها. في الشكل قيد النظر، يتغير المتغير المستقل l: من a إلى b، وبالتالي فإن المساحة المطلوبة 5 ستكون مساوية 5= \f(x) dx. (ط) مثال 1. لنحسب المساحة المحصورة بالقطع المكافئ y - 1 -x*، والخطوط المستقيمة X =--Fj-، x = 1 والمحور O* (الشكل 86). في الشكل. 87. الشكل. 86. 1 هنا f(x) = 1 - l?، حدود التكامل هي a = - و £ = 1، لذلك J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. لنحسب المساحة المحددة بالجيب y = sinXy ومحور الثور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf المثال 3. احسب المساحة المحددة بقوس الشكل الجيبي ^у = sin jc، المحاط بين نقطتي تقاطع متجاورتين مع محور الثور (على سبيل المثال، بين نقطة الأصل والنقطة ذات الإحداثي السيني i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية فمن الواضح أن هذه المنطقة ستكون مرتين المزيد من المساحةالمثال السابق. ومع ذلك، دعونا نقوم بالحسابات: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o بالفعل، تبين أن افتراضنا صحيح. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها المحور الجيبي والثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الحسابات الأولية إلى أن المساحة ستكون أكبر بأربع مرات مما كانت عليه في المثال 2. ومع ذلك، بعد إجراء الحسابات، نحصل على "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. هذه النتيجة تتطلب التوضيح. لتوضيح جوهر الأمر، نحسب أيضًا المساحة المحدودة بنفس الجيوب الأنفية y = sin l: ومحور الثور في المدى من l إلى 2i. بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. وهكذا نرى أن هذه المنطقة أصبحت سلبية. وبمقارنتها بالمساحة المحسوبة في التمرين 3 نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ولكن الإشارات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر، § 4)، فسنحصل على 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 ما حدث في هذا المثال ليس حادثًا. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل محور الثور، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين، عند حسابها باستخدام التكاملات. في هذه الدورة سنأخذ بعين الاعتبار دائمًا المناطق التي لا تحتوي على علامات. ولذلك، فإن الإجابة في المثال الذي تمت مناقشته للتو ستكون: المساحة المطلوبة هي 2 + |-2| = 4. مثال 5. لنحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور، والقطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x+\. مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع المنطقة المطلوبة OAB تتكون من جزأين: OAM وMAV. بما أن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ مع الخط المستقيم، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y = mx. (نحن بحاجة فقط إلى العثور على نهاية النقطة أ). بحل النظام نجد l; = ~. ولذلك، لا بد من حساب المساحة في أجزاء، المربع الأول. OAM ثم رر. المركبة الفضائية: .... جي 3 2، 3 جي x بي 3 1/2 يو 2. QAM-^x. وهذا يعني أنه لا يتم أخذ الخطوط مثل قطع الفطر بعين الاعتبار، والتي يتناسب جذعها جيدًا مع هذا الجزء، ويكون الغطاء أوسع بكثير.

يمكن أن تتحول الأجزاء الجانبية إلى نقاط . إذا رأيت مثل هذا الشكل في الرسم، فلا ينبغي أن يربكك هذا، لأن هذه النقطة لها قيمتها دائمًا على المحور "x". وهذا يعني أن كل شيء على ما يرام مع حدود التكامل.

الآن يمكنك الانتقال إلى الصيغ والحسابات. لذا المنطقة قيمكن حساب شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة

لو و(س) ≥ 0 (يقع الرسم البياني للدالة أسفل المحور ثور)، الذي - التي مساحة شبه منحرف منحنييمكن حسابها باستخدام الصيغة

هناك أيضًا حالات عندما يكون كل من الجزء العلوي و الحد الأدنىالأرقام هي وظائف، على التوالي ذ = و(س) و ذ = φ (س) ، ثم يتم حساب مساحة هذا الشكل بواسطة الصيغة

. (3)

حل المشاكل معا

لنبدأ بالحالات التي يمكن فيها حساب مساحة الشكل باستخدام الصيغة (1).

مثال 1.ثور) ومستقيم س = 1 , س = 3 .

حل. لأن ذ = 1/س> 0 على القطعة، ثم يتم إيجاد مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة (1):

.

مثال 2.أوجد مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة، الخط س= 1 والمحور السيني ( ثور ).

حل. نتيجة تطبيق الصيغة (1):

إذا ثم ق= 1/2 ; إذا كان ذلك الحين ق= 1/3، الخ.

مثال 3.أوجد مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة محور الإحداثي ( ثور) ومستقيم س = 4 .

حل. الشكل المطابق لشروط المشكلة هو شبه منحرف منحني الأضلاع حيث يتحول الجزء الأيسر إلى نقطة. حدود التكامل هي 0 و 4. وبما أنه باستخدام الصيغة (1) نجد مساحة شبه المنحرف المنحني:

.

مثال 4.أوجد مساحة الشكل، محدودة بالخطوط، و يقع في الحي الأول.

حل. لاستخدام الصيغة (1)، لنتخيل مساحة الشكل المعطى حسب شروط المثال كمجموع مساحات المثلث أوابوشبه منحرف منحني اي بي سي. عند حساب مساحة المثلث أوابحدود التكامل هي حروف النقاط ياو أ، وبالنسبة لهذا الرقم اي بي سي- حروف النقاط أو ج (أهي نقطة تقاطع الخط الزراعة العضوية.والقطع المكافئ، و ج- نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور ثور). من خلال حل معادلات الخط المستقيم والقطع المكافئ بشكل مشترك (كنظام)، نحصل على (إحداثي النقطة أ) و (إحداثي نقطة أخرى من تقاطع الخط والقطع المكافئ وهو غير ضروري للحل). وبالمثل نحصل على (إحداثيات النقاط جو د). الآن لدينا كل ما نحتاجه لإيجاد مساحة الشكل. نجد:

مثال 5.أوجد مساحة شبه المنحرف المنحني بنك التنمية الآسيوي، إذا كانت معادلة المنحنى قرص مضغوطو الإحداثيات أو ب 1 و 2 على التوالي.

حل. دعونا نعبر عن معادلة المنحنى هذه من خلال اللعبة: يتم إيجاد مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة (1):

.

دعنا ننتقل إلى الحالات التي يمكن فيها حساب مساحة الشكل باستخدام الصيغة (2).

مثال 6.أوجد مساحة الشكل الذي يحده القطع المكافئ والمحور السيني ( ثور ).

حل. يقع هذا الشكل أسفل المحور السيني. ولذلك، لحساب مساحتها، سوف نستخدم الصيغة (2). حدود التكامل هي الإحداثي الإحداثي ونقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور ثور. لذلك،

مثال 7.أوجد المساحة المحصورة بين محور الإحداثي السيني ( ثور) وموجتين جيبيتين متجاورتين.

حل. يمكن إيجاد مساحة هذا الشكل باستخدام الصيغة (2):

.

فلنجد كل مصطلح على حدة:

.

.

وأخيرا نجد المنطقة:

.

مثال 8.أوجد مساحة الشكل المحصور بين القطع المكافئ والمنحنى.

حل. لنعبر عن معادلات الخطوط من خلال اللعبة:

يتم الحصول على المساحة وفقًا للصيغة (2).

,

أين أو ب- حروف النقاط أو ب. فلنجدها من خلال حل المعادلات معًا:

وأخيرا نجد المنطقة:

وأخيرًا، الحالات التي يمكن فيها حساب مساحة الشكل باستخدام الصيغة (3).

مثال 9.أوجد مساحة الشكل المحصور بين القطع المكافئة و .

في القسم السابق عن التحليل معنى هندسي تكامل محدد، لقد حصلنا على عدد من الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع:

S (G) = ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير سالبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ]،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير موجبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] .

تنطبق هذه الصيغ على حل المشكلات البسيطة نسبيًا. في الواقع، سيتعين علينا في كثير من الأحيان العمل مع شخصيات أكثر تعقيدًا. وفي هذا الصدد، سنخصص هذا القسم لتحليل خوارزميات حساب مساحة الأشكال التي تقتصر على وظائف في شكل صريح، أي. مثل y = f(x) أو x = g(y).

نظرية

دع الوظائف y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محددة ومستمرة على الفاصل الزمني [ a ; b ] و f 1 (x) ≥ f 2 (x) لأي قيمة x من [ a ; ب ] . ثم صيغة حساب مساحة الشكل G، المحصورة بالخطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) ستبدو هكذا S (G) = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س .

سيتم تطبيق صيغة مماثلة على مساحة الشكل الذي يحده الخطوط y = c و y = d و x = g 1 (y) و x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ز 2 (ص) - ز 1 (ص) د ص .

دليل

دعونا نلقي نظرة على ثلاث حالات تكون الصيغة صالحة لها.

في الحالة الأولى، مع الأخذ في الاعتبار خاصية إضافة المساحة، فإن مجموع مساحات الشكل الأصلي G وشبه المنحرف المنحني G1 يساوي مساحة الشكل G2. وهذا يعني ذلك

وبالتالي، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الثالثة للتكامل المحدد.

وفي الحالة الثانية تكون المساواة صحيحة: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( س) - و 1 (س)) د س

سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

إذا كانت كلتا الدالتين غير موجبة، نحصل على: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (س) - و 1 (س)) د س . سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة عندما يتقاطع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) مع المحور O x.

نشير إلى نقاط التقاطع بـ x i, i = 1, 2, . . . , ن - 1 . هذه النقاط تقسم المقطع [a؛ ب ] إلى أجزاء n x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . . ، ن، حيث α = س 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

لذلك،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) د x = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الخامسة للتكامل المحدد.

دعونا نوضح الحالة العامة على الرسم البياني.

يمكن اعتبار الصيغة S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x مثبتة.

الآن دعنا ننتقل إلى تحليل أمثلة لحساب مساحة الأشكال المحدودة بالخطين y = f (x) و x = g (y).

سنبدأ النظر في أي من الأمثلة من خلال إنشاء رسم بياني. ستسمح لنا الصورة بتمثيل الشخصيات المعقدة كنقابات لأكثر من ذلك أرقام بسيطة. إذا كان بناء الرسوم البيانية والأشكال عليها يسبب لك صعوبات، فيمكنك دراسة القسم الأساسي وظائف أولية، التحويل الهندسي للرسوم البيانية الوظيفية، وكذلك بناء الرسوم البيانية أثناء دراسة الوظيفة.

مثال 1

من الضروري تحديد مساحة الشكل المحدد بالقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 والخطوط المستقيمة y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

حل

لنرسم الخطوط على الرسم البياني النظام الديكارتيالإحداثيات

على القطعة [ 1 ; 4 ] الرسم البياني للقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 يقع أعلى الخط المستقيم y = - 1 3 x - 1 2. وفي هذا الصدد، للحصول على الإجابة نستخدم الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا، وكذلك طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 س 2 - 9 2 x 1 4 = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

الجواب: س(ز) = 13

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 2

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الخطوط y = x + 2، y = x، x = 7.

حل

في هذه الحالة، لدينا خط مستقيم واحد فقط موازي لمحور x. هذا هو س = 7. وهذا يتطلب منا أن نجد الحد الثاني للتكامل بأنفسنا.

دعونا نبني رسمًا بيانيًا ونرسم عليه الخطوط الواردة في بيان المشكلة.

بوجود الرسم البياني أمام أعيننا، يمكننا بسهولة تحديد أن الحد الأدنى للتكامل سيكون حدود نقطة تقاطع الرسم البياني للخط المستقيم y = x وشبه القطع المكافئ y = x + 2. للعثور على الإحداثي السيني نستخدم المعادلات:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

يتبين أن حدود نقطة التقاطع هي x = 2.

نلفت انتباهكم إلى حقيقة أن في مثال عامفي الرسم، تتقاطع الخطوط y = x + 2، y = x عند النقطة (2؛ 2)، لذلك قد تبدو مثل هذه الحسابات التفصيلية غير ضرورية. لقد قدمنا ​​​​مثل هذا الحل التفصيلي هنا فقط لأنه في المزيد الحالات الصعبةالحل قد لا يكون واضحا جدا. وهذا يعني أنه من الأفضل دائمًا حساب إحداثيات تقاطع الخطوط بشكل تحليلي.

على الفاصل الزمني [ 2 ; 7] الرسم البياني للدالة y = x يقع أعلى الرسم البياني للدالة y = x + 2. دعونا نطبق الصيغة لحساب المساحة:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

الجواب: س (ز) = 59 6

مثال 3

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الرسوم البيانية للوظائف y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2.

حل

دعونا نرسم الخطوط على الرسم البياني.

دعونا نحدد حدود التكامل. للقيام بذلك، نحدد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط عن طريق مساواة التعبيرات 1 x و - x 2 + 4 x - 2. بشرط ألا تكون x صفراً، فإن المساواة 1 x = - x 2 + 4 x - 2 تصبح معادلة لمعادلة الدرجة الثالثة - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 بمعاملات صحيحة. لتحديث ذاكرتك عن الخوارزمية الخاصة بحل مثل هذه المعادلات، يمكننا الرجوع إلى قسم "حل المعادلات التكعيبية".

جذر هذه المعادلة هو x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

بقسمة التعبير - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 على ذات الحدين x - 1، نحصل على: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

يمكننا إيجاد الجذور المتبقية من المعادلة x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 د = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3؛ س 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

لقد وجدنا الفاصل الزمني x ∈ 1؛ 3 + 13 2، حيث يكون الشكل G موجودًا فوق الخط الأزرق وتحت الخط الأحمر. وهذا يساعدنا على تحديد مساحة الشكل:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ع 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ع 1 = 7 + 13 3 - ع 3 + 13 2

الجواب: س (ز) = 7 + 13 3 - l 3 + 13 2

مثال 4

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على المنحنيات y = x 3، y = - log 2 x + 1 ومحور الإحداثي السيني.

حل

دعونا نرسم جميع الخطوط على الرسم البياني. يمكننا الحصول على الرسم البياني للدالة y = - log 2 x + 1 من الرسم البياني y = log 2 x إذا وضعناها بشكل متماثل حول المحور x وحركناها للأعلى بمقدار وحدة واحدة. معادلة المحور السيني هي y = 0.

دعونا نحدد نقاط تقاطع الخطوط.

كما يتبين من الشكل، فإن الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (0؛ 0). يحدث هذا لأن x = 0 هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة x 3 = 0.

x = 2 هو الجذر الوحيد للمعادلة - log 2 x + 1 = 0، وبالتالي فإن الرسوم البيانية للوظائف y = - log 2 x + 1 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (2؛ 0).

x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة x 3 = - log 2 x + 1 . في هذا الصدد، تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = - log 2 x + 1 عند النقطة (1؛ 1). العبارة الأخيرة قد لا تكون واضحة، لكن المعادلة x 3 = - log 2 x + 1 لا يمكن أن يكون لها أكثر من جذر واحد، لأن الدالة y = x 3 تتزايد بشكل صارم، والدالة y = - log 2 x + 1 هي يتناقص بشدة.

يتضمن الحل الإضافي عدة خيارات.

الخيار رقم 1

يمكننا أن نتخيل الشكل G كمجموع شبه منحرفين منحنيين يقعان فوق المحور السيني، يقع الأول منهما أدناه خط الوسطعلى القطعة x ∈ 0; 1، والثاني أسفل الخط الأحمر على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يعني أن المساحة ستكون مساوية S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

الخيار رقم 2

يمكن تمثيل الشكل G بالفرق بين شكلين، يقع أولهما فوق المحور x وتحت الخط الأزرق على المقطع x ∈ 0؛ 2، والثاني بين الخطين الأحمر والأزرق على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يتيح لنا العثور على المنطقة على النحو التالي:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 د x - ∫ 1 2 x 3 - (- سجل 2 x + 1) د x

في هذه الحالة، للعثور على المساحة، سيتعين عليك استخدام صيغة من الصيغة S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. في الواقع، يمكن تمثيل الخطوط التي تربط الشكل كدوال للوسيطة y.

دعونا نحل المعادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 بالنسبة إلى x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - سجل 2 x + 1 ⇒ سجل 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

نحصل على المساحة المطلوبة:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) د y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

الجواب: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

من الضروري حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4.

حل

سنرسم خطًا على الرسم البياني بخط أحمر، تعطى بواسطة الوظيفةص = س. سنرسم الخط y = - 1 2 x + 4 باللون الأزرق، والخط y = 2 3 x - 3 باللون الأسود.

دعونا نحدد نقاط التقاطع.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدوال y = x و y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 × 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 تحقق: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ليس حل المعادلة x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 هو حل المعادلة ⇒ (4; 2) نقطة التقاطع i y = x و y = - 1 2 x + 4

لنجد نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x و y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 × 1 = 45 + 729 8 = 9، × 2 45 - 729 8 = 9 4 تحقق: × 1 = 9 = 3، 2 3 × 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 هو حل المعادلة ⇒ (9 ; 3) النقطة a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 لا يوجد حل للمعادلة

لنوجد نقطة تقاطع الخطين y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) نقطة التقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

الطريقة رقم 1

دعونا نتخيل مساحة الشكل المطلوب كمجموع مساحات الأشكال الفردية.

ثم مساحة الشكل هي:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - س 2 3 + 3 × 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

الطريقة رقم 2

يمكن تمثيل مساحة الشكل الأصلي كمجموع شكلين آخرين.

ثم نحل معادلة الخط بالنسبة لـ x، وبعد ذلك فقط نطبق صيغة حساب مساحة الشكل.

y = x ⇒ x = y 2 خط أحمر y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط أسود y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

إذن المنطقة هي:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ص + 9 2 - ص 2 د ص = = 7 4 ص 2 - 7 4 ص 1 2 + - ص 3 3 + 3 ص 2 4 + 9 2 ص 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

كما ترون، القيم هي نفسها.

الجواب: س (ز) = 11 3

نتائج

للعثور على مساحة شكل محدد بخطوط معينة، نحتاج إلى إنشاء خطوط على المستوى، وإيجاد نقاط تقاطعها، وتطبيق الصيغة للعثور على المساحة. في هذا القسم، قمنا بفحص المتغيرات الأكثر شيوعًا للمهام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter