خصائص وظائف السلطة والرسوم البيانية الخاصة بها

وظيفة الطاقةمع الأس يساوي الصفر، ع = 0

إذا كان أس دالة القدرة y = x p يساوي صفر، p = 0، فسيتم تعريف دالة القدرة لكل x ≠ 0 وهي ثابتة تساوي واحدًا:
ص = س ع = س 0 = 1، س ≠ 0.

دالة القدرة ذات الأس الفردي الطبيعي، p = n = 1، 3، 5، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n ذات أس طبيعي فردي n = 1, 3, 5, .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على الصورة: n = 2k + 1، حيث k = 0, 1, 2 ، 3، .. - الكل ليس سلبيا. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....

المجال: -∞< x < ∞

قيم متعددة: –∞< y < ∞

المتطرفة: لا

محدب:

في -∞< x < 0 выпукла вверх

عند 0< x < ∞ выпукла вниз

نقاط انعطاف: س = 0، ص = 0

القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

عند x = 0، y(0) = 0 n = 0

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القدرة ذات الأس الطبيعي الزوجي، p = n = 2، 4، 6، ...

خذ بعين الاعتبار دالة القوة y = x p = x n ذات الأس الطبيعي الزوجيn = 2, 4, 6, .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على الصورة: n = 2k، حيث k = 1, 2, 3, .. . - طبيعي . وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....

المجال: -∞< x < ∞

قيم متعددة: 0 ≥ ص< ∞

روتيني:

في العاشر< 0 монотонно убывает

لـ x > 0 يزيد بشكل رتيب

النهايات: الحد الأدنى، x = 0، y = 0

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0
القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

عند x = 0، y(0) = 0 n = 0

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب، p = n = -1، -2، -3، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n مع عدد صحيح سالب n = -1, -2, -3, .... إذا وضعنا n = –k، حيث k = 1, 2, 3, ... هو عدد طبيعي، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع عدد صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1, -2, -3, ....

الأس الفردي، ن = -1، -3، -5، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص ≠ 0

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вверх

لـ x > 0: محدب للأسفل

نقاط انعطاف: لا

التوقيع: في العاشر< 0, y < 0

من أجل x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

الأس الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص > 0

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно возрастает

لـ x > 0: يتناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

التوقيع: ص > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1، y(–1) = (–1) n = 1

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القوة ذات الأس العقلاني (الكسري).

فكر في دالة قوة y = x p ذات أس نسبي (كسري)، حيث n عدد صحيح، وm > 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك، n، m لا يوجد بها قواسم مشتركة.

مقام المؤشر الكسري غريب

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: m = 3, 5, 7, ... . في هذه الحالة، يتم تعريف دالة الطاقة x p لكل من القيم الإيجابية والسلبية للوسيطة. دعونا نفكر في خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

القيمة p سالبة، p< 0

دع الأس العقلاني (مع المقام الفردي m = 3، 5، 7، ...) يكون أقل من الصفر: .

الرسوم البيانية لوظائف السلطة مع أس سلبي عقلاني لقيم الأس المختلفة، حيث m = 3، 5، 7، ... أمر فردي.

البسط الفردي، n = -1، -3، -5، ...

نقدم خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -1، -3، -5، ... هو عدد صحيح سلبي فردي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح سالب عدد صحيح طبيعي غريب.

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص ≠ 0

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

الرتابة: التناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вверх

لـ x > 0: محدب للأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

في العاشر< 0, y < 0

من أجل x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

البسط الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -2، -4، -6، ... هو عدد صحيح سلبي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح طبيعي فردي .

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص > 0

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно возрастает

لـ x > 0: يتناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

التوقيع: ص > 0

القيمة p موجبة، أقل من واحد، 0< p < 1

الرسم البياني لوظيفة الطاقة مع الأس العقلاني (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي، ن = 1، 3، 5، ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

المجال: -∞< x < +∞

قيم متعددة: –∞< y < +∞

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

الرتابة: الزيادة الرتيبة

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вниз

لـ x > 0: محدب للأعلى

نقاط انعطاف: س = 0، ص = 0

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0

في العاشر< 0, y < 0

من أجل x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1، y(–1) = –1

عند س = 0، ص(0) = 0

ل س = 1، ص(1) = 1

البسط الزوجي، ن = 2، 4، 6، ...

يتم عرض خصائص دالة القوة y = x p مع الأس العقلاني ضمن 0< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

المجال: -∞< x < +∞

قيم متعددة: 0 ≥ ص< +∞

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно убывает

لـ x > 0: يزيد بشكل رتيب

النهايات: الحد الأدنى عند x = 0، y = 0

التحدب: محدب لأعلى عند x ≠ 0

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0

الإشارة: لـ x ≠ 0، y > 0

دعونا نتذكر خصائص ورسومات دوال القوة ذات الأس الصحيح السالب.

حتى ن، :

وظيفة المثال:

جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1؛1)، (-1؛1). خصوصية الوظائف من هذا النوع هي تكافؤها، فالرسوم البيانية متناظرة بالنسبة لمحور المرجع.

أرز. 1. الرسم البياني للدالة

بالنسبة لـ n الغريب، :

وظيفة المثال:

جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1;1)، (-1;-1). خصوصية الوظائف من هذا النوع هي أنها غريبة، والرسوم البيانية متناظرة فيما يتعلق بالأصل.

أرز. 2. الرسم البياني للدالة

دعونا نتذكر التعريف الأساسي.

تسمى قوة الرقم غير السالب a مع الأس الإيجابي العقلاني رقمًا.

درجة رقم إيجابيومع الأس السلبي العقلاني يسمى رقما.

بالنسبة للمساواة:

على سبيل المثال: ; - لا يوجد تعبير، بحكم تعريفه، بدرجة ذات أس كسري سالب؛ موجود لأن الأس عدد صحيح،

دعونا ننتقل إلى النظر في وظائف السلطة مع الأس السلبي العقلاني.

على سبيل المثال:

لرسم رسم بياني لهذه الوظيفة، يمكنك إنشاء جدول. سنفعل ذلك بشكل مختلف: أولاً سنقوم ببناء ودراسة الرسم البياني للمقام - وهو معروف لنا (الشكل 3).

أرز. 3. الرسم البياني للدالة

يمر الرسم البياني لوظيفة المقام عبر نقطة ثابتة (1؛1). عند رسم الوظيفة الأصلية نقطة معينةويبقى، عندما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، تميل الدالة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 4).

أرز. 4. الرسم البياني للوظيفة

لنفكر في وظيفة أخرى من عائلة الوظائف التي تتم دراستها.

ومن المهم أن بحكم التعريف

لنتأمل الرسم البياني للدالة في المقام: الرسم البياني لهذه الدالة معروف لدينا، فهو يزيد في مجال تعريفه ويمر بالنقطة (1؛1) (الشكل 5).

أرز. 5. الرسم البياني للدالة

عند رسم الرسم البياني للدالة الأصلية، تبقى النقطة (1؛1)، بينما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، وتميل الدالة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 6).

أرز. 6. الرسم البياني للدالة

تساعد الأمثلة المدروسة على فهم كيفية تدفق الرسم البياني وما هي خصائص الدالة قيد الدراسة - دالة ذات أس عقلاني سلبي.

تمر الرسوم البيانية لوظائف هذه العائلة عبر النقطة (1؛1)، وتتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله.

نطاق الوظيفة:

فالوظيفة لا تقتصر على الأعلى، بل تقتصر على الأسفل. الدالة ليس لها القيمة الأكبر ولا الأصغر.

الدالة مستمرة وتأخذ جميع القيم الموجبة من الصفر إلى زائد ما لا نهاية.

الدالة محدبة للأسفل (الشكل 15.7)

يتم أخذ النقطتين A و B على المنحنى، ويتم رسم مقطع من خلالهما، ويكون المنحنى بأكمله أسفل المقطع، هذا الشرطتكون محققة لنقطتين عشوائيتين على المنحنى، وبالتالي تكون الدالة محدبة للأسفل. أرز. 7.

أرز. 7. تحدب الوظيفة

ومن المهم أن نفهم أن وظائف هذه العائلة يحدها من الأسفل صفر، ولكنها لا تملك أدنى قيمة.

مثال 1 - العثور على الحد الأقصى والأدنى للدالة في الفترة)