تعريف3 . 3 دع بعض الوظائف ومجال تعريفها وبعض الفاصل الزمني (المفتوح) (ربما مع و/أو ) 7 . لنستدعي الدالة مستمر على الفاصل الزمني، إذا كان مستمرا في أي نقطة، وهذا هو، لأي هناك (بصيغة مختصرة:

لنكن الآن جزءًا (مغلقًا) في . لنستدعي الدالة المستمر على الجزء، إذا كانت مستمرة على الفترة، ومستمرة على اليمين عند النقطة، ومستمرة على اليسار عند النقطة، أي

مثال3 . 13 النظر في الوظيفة (وظيفة هيفيسايد) على الجزء . ثم تكون متصلة على القطعة (على الرغم من أنها عند هذه النقطة بها انقطاع من النوع الأول).

الشكل 3.15 رسم بياني لوظيفة هيفيسايد

يمكن إعطاء تعريف مماثل لفترات نصفية من النموذج و، بما في ذلك الحالات و. ومع ذلك، يمكننا تعميم هذا التعريف على حالة مجموعة فرعية عشوائية على النحو التالي. دعونا أولا نقدم هذا المفهوم المستحثإلى القواعد: دع القاعدة التي تحتوي جميع نهاياتها على تقاطعات غير فارغة مع . دعونا نشير بواسطة وننظر في مجموعة الكل. ومن السهل بعد ذلك التحقق من أن المجموعة سوف تكون القاعدة. وبالتالي، بالنسبة للقواعد، و، أين، و هي قواعد الأحياء غير المثقوبة ذات الوجهين (يسار، يمين، على التوالي) لنقطة ما (انظر تعريفها في بداية الفصل الحالي).

تعريف3 . 4 لنستدعي الدالة مستمر على المجموعة، لو

من السهل أن نرى أن عند هذا التعريف وفيه يتزامن مع التعريفات المذكورة أعلاه خصيصًا للفاصل الزمني والمقطع.

دعونا نذكركم أن كل شيء وظائف أوليةمستمرة في جميع نقاط مجالات تعريفها، وبالتالي، مستمرة على أي فترات وأجزاء تقع في مجالات تعريفها.

نظرًا لأن الاستمرارية على الفاصل الزمني والمقطع محددة بشكل نقطي، فإن النظرية تظل صحيحة، وهي نتيجة مباشرة للنظرية 3.1:

نظرية3 . 5 يترك و - وظائف و - الفاصل الزمني أو الجزء الموجود . يترك و مستمر ل . ثم الوظائف , , مستمر ل . إذا بالإضافة إلى ذلك أمام الجميع ، ثم الدالة مستمر أيضًا .

يتبع البيان التالي من هذه النظرية، تمامًا كما هو الحال في النظرية 3.1 - الاقتراح 3.3:

يعرض3 . 4 كثير جميع الوظائف مستمرة على فترة أو قطعة - هذه مساحة خطية:

يتم التعبير عن خاصية أكثر تعقيدًا للدالة المستمرة من خلال النظرية التالية.

نظرية3 . 6 (حول جذر دالة مستمرة) دع الوظيفة المستمر على الجزء ، و و - أعداد من العلامات المختلفة. (من أجل اليقين، سنفترض ذلك ، أ .) ثم هناك قيمة واحدة على الأقل من هذا القبيل ، ماذا (أي أن هناك جذرًا واحدًا على الأقل المعادلات ).

دليل. دعونا ننظر إلى منتصف الجزء. ثم إما أن يكون، أو، أو. في الحالة الأولى، تم العثور على الجذر: هذا هو . في الحالتين المتبقيتين، ضع في اعتبارك ذلك الجزء من المقطع الذي تأخذ الدالة في نهايته قيم علامات مختلفة: في حالة أو في حالة . نشير إلى النصف المحدد من المقطع ونطبق عليه نفس الإجراء: نقسمه إلى نصفين و أين و نجد . في حالة العثور على الجذر؛ في حالة النظر في هذا الجزء بشكل أكبر في حالة - الجزء إلخ.

الشكل 3.16 التقسيمات المتتالية للقطعة إلى النصف

لقد حصلنا على أنه إما في خطوة ما سيتم العثور على الجذر، أو سيتم إنشاء نظام من الأجزاء المتداخلة

حيث يكون كل جزء لاحق نصف طول الجزء السابق. التسلسل غير تنازلي ومحدود من الأعلى (على سبيل المثال، بالرقم)؛ ولذلك (بحسب النظرية 2.13)، فإن لها نهاية. التبعية - غير متزايد ومحدود من الأسفل (على سبيل المثال، بالرقم)؛ هذا يعني أن هناك حدًا. نظرًا لأن أطوال المقاطع تشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا (مع المقام)، فإنها تميل إلى 0، و ، إنه . دعونا نضعها الآن. ثم

و

بما أن الدالة مستمرة . ومع ذلك، من خلال بناء التسلسلات و و، بحيث، من خلال نظرية المرور إلى الحد في عدم المساواة (نظرية 2.7)، و هذا هو و . هذا يعني أن و هو جذر المعادلة.

مثال3 . 14 النظر في الوظيفة على الجزء. وبما أن و هي أرقام ذات علامات مختلفة، فإن الدالة تتحول إلى 0 في مرحلة ما في الفترة. وهذا يعني أن المعادلة لها جذر.

الشكل 3.17 تمثيل رسومي لجذر المعادلة

تعطينا النظرية المثبتة طريقة للعثور على الجذر، على الأقل بشكل تقريبي، بأي درجة من الدقة محددة مسبقًا. هذه هي طريقة تقسيم القطعة إلى النصف، الموضحة في إثبات النظرية. سنتعرف على هذه وغيرها من الطرق الأكثر فعالية للعثور على الجذر تقريبًا بمزيد من التفاصيل أدناه، بعد أن ندرس مفهوم وخصائص المشتق.

لاحظ أن النظرية لا تنص على أنه إذا تم استيفاء شروطها، فإن الجذر يكون فريدًا. كما يوضح الشكل التالي، يمكن أن يكون هناك أكثر من جذر واحد (يوجد 3 في الشكل).

الشكل 3.18. عدة جذور للدالة التي تأخذ قيم علامات مختلفة في نهايات المقطع

ومع ذلك، إذا زادت الدالة بشكل رتيب أو انخفضت بشكل رتيب على مقطع ما، وفي نهايته تأخذ قيم علامات مختلفة، فإن الجذر يكون فريدًا، نظرًا لأن الدالة الرتيبة تمامًا تأخذ كل قيمة من قيمها عند نقطة واحدة بالضبط بما في ذلك القيمة 0.

الشكل 3.19: لا يمكن أن تحتوي الدالة الرتيبة على أكثر من جذر واحد

النتيجة المباشرة للنظرية على جذر دالة مستمرة هي النظرية التالية، والتي في حد ذاتها مهمة جدًا في التحليل الرياضي.

نظرية3 . 7 (حول القيمة المتوسطة للدالة المستمرة) دع الوظيفة المستمر على الجزء و (من أجل اليقين سنفترض ذلك ). يترك - بعض الأرقام تقع بين و . ثم هناك مثل هذه النقطة ، ماذا .

الشكل 3.20 تأخذ الوظيفة المستمرة أي قيمة متوسطة

دليل. النظر في وظيفة المساعد ، أين . ثم و . من الواضح أن الدالة مستمرة، وحسب النظرية السابقة هناك نقطة مثل . لكن هذه المساواة تعني ذلك.

لاحظ أنه إذا كانت الدالة غير متصلة، فقد لا تأخذ جميع القيم المتوسطة. على سبيل المثال، تأخذ دالة Heaviside (انظر المثال 3.13) القيم، ولكن لا تأخذ، على سبيل المثال، قيمة متوسطة في أي مكان، بما في ذلك الفاصل الزمني. الحقيقة هي أن دالة هيفيسايد لها انقطاع عند نقطة تقع بالضبط في الفترة.

لمزيد من الدراسة لخصائص الدوال المستمرة على فترة ما، سنحتاج إلى الخاصية الدقيقة التالية لنظام الأعداد الحقيقية (لقد ذكرناها بالفعل في الفصل الثاني فيما يتعلق بنظرية نهاية دالة محدودة متزايدة رتيبة): أي مجموعة محدودة من الأسفل (أي، بحيث يتم استدعاء الكل وبعض الأرقام الحافة السفليةمجموعات) المتاحة الحافة السفلية بالضبطأي أن العدد الأكبر من ذلك ينطبق على الجميع. وبالمثل، إذا كانت المجموعة محدودة من الأعلى، فهي كذلك الحد الأعلى الدقيق: وهذا هو أصغر من أعلى الوجوه(من أجل الجميع).

الشكل 3.21. الحدود الدنيا والعليا لمجموعة محدودة

إذا كان هناك تسلسل غير متزايد من النقاط التي تميل إلى . وبنفس الطريقة، إذا كان هناك تسلسل غير متناقص من النقاط التي تميل إلى .

إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى المجموعة، فهي أصغر عنصر في هذه المجموعة: ; وبالمثل، إذا ، الذي - التي .

وبالإضافة إلى ذلك، لمزيد من سنحتاج إلى ما يلي

ليما3 . 1 يترك -- وظيفة مستمرةعلى الجزء والعديد تلك النقاط ، فيها (أو ، أو ) ليست فارغة. ثم بكثرة متاح أصغر قيمة ، مثل ذلك أمام الجميع .

الشكل 3.22. أصغر وسيطة تأخذ فيها الدالة القيمة المحددة

دليل. نظرًا لأنها مجموعة محدودة (وهي جزء من قطعة)، فهي تحتوي على الحد الأدنى. ثم يوجد تسلسل غير متزايد، مثل . وعلاوة على ذلك، من خلال تعريف مجموعة. ولذلك، وبالانتقال إلى الحد، نحصل، من ناحية، على:

ومن ناحية أخرى، ونظرًا لاستمرارية الوظيفة،

وهذا يعني أن النقطة تنتمي إلى المجموعة و .

في الحالة التي يتم فيها تعريف المجموعة بالمتباينة، لدينا للجميع وبنظرية المرور إلى الحد في المتباينة التي نحصل عليها

من أين، وهو ما يعني أن و. وبالمثل، في حالة المتباينة، فإن المرور إلى الحد في المتباينة يعطي

من أين و.

نظرية3 . 8 (حول حدود دالة مستمرة) دع الوظيفة المستمر على الجزء . ثم يقتصر على أي أن هناك مثل هذا الثابت ، ماذا أمام الجميع .

الشكل 3.23: دالة متصلة على قطعة محددة

دليل. لنفترض العكس: فلا يقتصر الأمر، على سبيل المثال، من فوق. إذن جميع المجموعات , , ليست فارغة. حسب الليما السابقة، كل مجموعة من هذه المجموعات لها أصغر قيمة، . دعونا نظهر ذلك

حقًا، . إذا كانت أي نقطة من ، على سبيل المثال، تقع بين و، إذن

أي قيمة متوسطة بين و . هذا يعني أنه وفقًا للنظرية المتعلقة بالقيمة الوسيطة للدالة المستمرة، توجد نقطة كهذه ، و . ولكن، خلافا للافتراض القائل بأن - أصغر قيمة للمجموعة. ويترتب على ذلك للجميع.

وبنفس الطريقة، تم إثبات ذلك أيضًا للجميع، للجميع، وما إلى ذلك. لذا، هناك تسلسل متزايد يحده الرقم أعلاه. ولذلك فهو موجود. من استمرارية الوظيفة يترتب على ذلك أن هناك ، لكن في، لذلك ليس هناك حد. يثبت التناقض الناتج أن الدالة محدودة بالأعلى.

وثبت بطريقة مماثلة أنها محدودة من الأسفل، مما يعني ضمنا بيان النظرية.

من الواضح أنه من المستحيل إضعاف شروط النظرية: إذا كانت الدالة غير متصلة، فلا يجب أن تكون محدودة بفاصل زمني (نعطي كمثال الدالة

على الجزء. هذه الدالة غير محدودة بالفاصل الزمني، حيث أن عند لديها نقطة انقطاع من النوع الثاني، مثل ذلك في . من المستحيل أيضًا استبدال قطعة في حالة النظرية بفاصل زمني أو نصف فاصل: على سبيل المثال، فكر في نفس الوظيفة على نصف فاصل زمني. تكون الدالة مستمرة في نصف الفترة هذه، ولكنها غير محدودة، نظرًا لحقيقة أنه عند .

إن العثور على أفضل الثوابت التي يمكن استخدامها لتحديد دالة من الأعلى والأسفل خلال فترة زمنية معينة يقودنا بطبيعة الحال إلى مشكلة إيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى للدالة المستمرة في هذه الفترة. يتم وصف إمكانية حل هذه المشكلة من خلال النظرية التالية.

نظرية3 . 9 (حول الوصول إلى الحد الأقصى بواسطة وظيفة مستمرة) دع الوظيفة المستمر على الجزء . ثم هناك نقطة ، مثل ذلك أمام الجميع (إنه - الحد الأدنى للنقطة: )، وهناك نقطة ، مثل ذلك أمام الجميع (إنه - النقطة القصوى: ). وبعبارة أخرى، الحد الأدنى والحد الأقصى 8 توجد قيم دالة مستمرة على مقطع ما ويتم تحقيقها في بعض النقاط و هذا الجزء.

الشكل 3.24: دالة مستمرة على مقطع تصل إلى الحد الأقصى والأدنى

دليل. بما أنه وفقًا للنظرية السابقة، فإن الدالة يحدها ما فوق، إذن هناك حد أعلى دقيق لقيم الدالة بواسطة - الرقم . وبالتالي فإن المجموعات، ,..., ,..., ليست فارغة، وحسب الليما السابقة فإنها تحتوي على أصغر القيم: ، . هذه لا تتناقص (تم إثبات هذه العبارة بنفس الطريقة تمامًا كما في النظرية السابقة):

وتقتصر من فوق بواسطة . لذلك، وفقًا لنظرية نهاية التسلسل الرتيب المحدود، هناك حد منذ ذلك الحين ، ثم

بواسطة نظرية المرور إلى نهاية المتباينة، أي . ولكن مع الجميع، بما في ذلك. ومن هذا يتبين أن الحد الأقصى للدالة يتحقق عند النقطة.

تم إثبات وجود نقطة دنيا بطريقة مماثلة.

في هذه النظرية، كما في النظرية السابقة، من المستحيل إضعاف الشروط: إذا كانت الدالة غير متصلة، فقد لا تصل إلى قيمتها القصوى أو الدنيا على القطعة، حتى لو كانت محدودة. على سبيل المثال، لنأخذ الوظيفة

على الجزء. هذه الوظيفة محدودة بالفاصل الزمني (من الواضح) و ومع ذلك، فإنه لا يأخذ القيمة 1 عند أي نقطة من المقطع (لاحظ ذلك، وليس 1). والحقيقة هي أن هذه الدالة لها انقطاع من النوع الأول عند النقطة، بحيث لا تساوي عند النهاية قيمة الدالة عند النقطة 0. علاوة على ذلك، فإن الدالة المستمرة المعرفة على فترة أو مجموعة أخرى ليست كذلك يمكن أيضًا للجزء المغلق (على نصف الفاصل الزمني ونصف المحور) ألا يأخذ قيمًا متطرفة. على سبيل المثال، النظر في وظيفة على الفاصل الزمني. من الواضح أن الدالة مستمرة، ومع ذلك، فإن الدالة لا تأخذ القيمة 0 ولا القيمة 1 عند أي نقطة في الفترة. دعونا نفكر أيضًا في الوظيفة على رمح المحور. هذه الدالة مستمرة على ، وتزداد، وتأخذ قيمتها الدنيا 0 عند النقطة، ولكنها لا تأخذ قيمة قصوى عند أي نقطة (على الرغم من أنها محدودة من الأعلى بالرقم و

تعريف. إذا كانت الوظيفة و(س) يتم تعريفه على الفاصل الزمني [ أ، ب]، مستمرة عند كل نقطة من الفترة ( أ، ب)، عند النقطة أمستمرة على اليمين، عند هذه النقطة بمستمرة على اليسار، فنقول أن الدالة و(س) المستمر على الجزء [أ، ب].

وبعبارة أخرى، الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة [ أ، ب] إذا توفرت ثلاثة شروط:

1) "س 0 Î( أ، ب): و(س) = و(س 0);

2) و(س) = و(أ);

3) و(س) = و(ب).

بالنسبة للدوال المتصلة على فترة ما، فإننا نأخذ في الاعتبار بعض الخصائص، والتي نصيغها في شكل النظريات التالية، دون إجراء البراهين.

النظرية 1. إذا كانت الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة [ أ، ب]، ثم يصل إلى الحد الأدنى والحد الأقصى لقيمه على هذا الجزء.

تنص هذه النظرية (الشكل 1.15) على أنه في المقطع [ أ، ب] هناك مثل هذه النقطة س 1 ذلك و(س 1) جنيه استرليني و(س) لأي سمن [ أ، ب] وأن هناك نقطة س 2 (س 2 أو[ أ، ب]) بحيث " سÎ[ أ، ب] (و(س 2)³ و(س)).

معنى و(س 1) هو الأكبر لوظيفة معينة على [ أ، ب]، أ و(س 2) – الأصغر . دعنا نشير إلى: و(س 1) = م, و(س 2) =م. منذ ل و(س) يحمل عدم المساواة: " سÎ[ أ، ب] م£ و(س) £ م، ثم نحصل على النتيجة الطبيعية التالية من النظرية 1.

عاقبة. إذا كانت الوظيفة و(س) متصلة على فترة ما، فهي محصورة في هذه الفترة.

النظرية 2. إذا كانت الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة [ أ، ب] وفي نهايات المقطع يأخذ قيم علامات مختلفة، ثم هناك مثل هذه النقطة الداخلية س 0 شريحة [ أ، ب]، حيث تتحول الدالة إلى 0، أي. $ س 0 Î ( أ، ب) (و(س 0) = 0).

تنص هذه النظرية على أن الرسم البياني للدالة ص = و(س) ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ، ب]، يتقاطع مع المحور ثورمرة واحدة على الأقل إذا كانت القيم و(أ) و و(ب) لها علامات معاكسة. لذلك، (الشكل 1.16) و(أ) > 0, و(ب) < 0 и функция و(س) يصبح 0 عند النقاط س 1 , س 2 , س 3 .

النظرية 3. دع الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة [ أ، ب], و(أ) = أ, و(ب) = بو أ¹ ب. (الشكل 1.17). ثم لأي رقم ج، محصور بين الأرقام أو ب، هناك مثل هذه النقطة الداخلية س 0 شريحة [ أ، ب]، ماذا و(س 0) = ج.

عاقبة. إذا كانت الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة [ أ، ب], م- أصغر قيمة و(س), م – أعلى قيمةوظائف و(س) على الجزء [ أ، ب]، فإن الدالة تأخذ (مرة واحدة على الأقل) أي قيمة م، خلص بين مو م، وبالتالي الجزء [ مم] هي مجموعة جميع قيم الوظائف و(س) على الجزء [ أ، ب].

لاحظ أنه إذا كانت الدالة متصلة على الفترة ( أ، ب) أو لديه على الجزء [ أ، ب] نقاط الانقطاع، فإن النظريات 1، 2، 3 لمثل هذه الوظيفة تتوقف عن أن تكون صحيحة.

في الختام، النظر في نظرية وجود دالة عكسية.

دعونا نتذكر أننا نعني بالفترة قطعة أو فترة، أو نصف فترة، منتهية أو غير منتهية.

النظرية 4. يترك و(س) مستمرة على الفترة X، يزيد (أو ينقص) بمقدار Xولها مجموعة من القيم ي. ثم للوظيفة ص = و(س) هناك وظيفة عكسية س= ي(ذ) ، محددة على الفاصل الزمني ي، مستمرة ومتزايدة (أو متناقصة) بواسطة يمع معاني متعددة X.

تعليق. دع الوظيفة س= ي(ذ) هو معكوس الدالة و(س). بما أن الحجة يُشار إليها عادة بـ س، والدالة من خلال ذ، ثم سنكتب وظيفة عكسيةفي النموذج ص =ي(س).

مثال 1. وظيفة ص = س 2 (الشكل 1.8، أ) على المجموعة X= ` و ``. وفقًا للشرط الأقصى، `x=-1` هي نقطة عظمى محلية، و`x=1` هي نقطة صغرى محلية. نظرًا لأن `y^"=0` فقط عند النقطتين `x=1` و`x=-1`، فوفقًا لنظرية فيرما، لا تحتوي الدالة على نقاط متطرفة أخرى.

لنفكر في فئة مهمة من المشكلات التي تستخدم مفهوم المشتقة - مشكلة العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في قطعة ما.

مثال 5.2

ابحث عن أكبر وأصغر قيمة للدالة `y=x^3-3x` في المقطع: a) `[-2;0]`; ب) ``.

أ) من المثال 5.1، يترتب على ذلك أن الدالة تزيد بمقدار `(-oo,-1]` وتنخفض بمقدار `[-1,1]`. إذن `y(-1)>=y(x)` للجميع ` x in[-2;0]` و `y_"max"=y(-1)=2` - أكبر قيمة للدالة في المقطع `[-2;0]` للعثور على أصغر قيمة، تحتاج لمقارنة قيم الدالة في الأطراف. بما أن `y(-2)=-2`، و`y(0)=0`، فإن `y_"max"=-2` هي أصغر قيمة. للدالة في المقطع `[-2;0]`.

ب) بما أنه يوجد `` على الشعاع، فإن `y_"naim"=y(1)=-2`, `y_"naib"=y(3)=18`.

تعليق

لاحظ أن الدالة المستمرة على فترة لها القيم الأكبر والأصغر دائمًا.

مثال 5.3

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة `y=x^3-12|x+1|` في القطعة `[-4;3]`.

لاحظ أن الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله. دعونا نشير إلى `f_1(x)=x^3+12(x+1)`، `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. ثم `y=f_1(x)` عند `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` إلى `(-4,-1)`، `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` إلى `(2;3)`. لنكتب جميع الدراسات في الجدول:

`y_"naib"=-1`; `y_"name"=-100`.

استمرارية الوظائف الأولية

تتبع النظريات المتعلقة باستمرارية الدوال مباشرةً من النظريات المقابلة بشأن النهايات.

نظرية.مجموع ومنتج وحاصل وظيفتين متصلتين هو دالة مستمرة (بالنسبة للحاصل، باستثناء قيم الوسيطة التي يكون فيها المقسوم عليه صفر).

نظرية.دع الوظائف ش= φ (س) مستمرة عند هذه النقطة X 0 والدالة ذ = و(ش) مستمرة عند هذه النقطة ش 0 = φ (X 0). ثم الوظيفة المعقدة و(φ (س)) تتكون من وظائف مستمرة، مستمرة عند هذه النقطة س 0 .

نظرية.إذا كانت الوظيفة في = و(X) مستمر ورتيب تمامًا على [ أ; ب] محاور أوهثم الدالة العكسية في = φ (X) هو أيضًا مستمر ورتيب في الجزء المقابل [ ج;د] محاور أوه(لا يوجد دليل).

الوظائف المستمرة على فترة زمنية لها عدد من الخصائص المهمة. دعونا نصيغها في شكل نظريات دون تقديم البراهين.

نظرية (فايرستراس). إذا كانت الدالة متصلة على قطعة ما، فإنها تصل إلى قيمها القصوى والدنيا على هذه القطعة.

الوظيفة الموضحة في الشكل 5 في = و(س) مستمرة على الفترة [ أ; ب]، يأخذ أقصى قيمة له معند هذه النقطة س 1 والأصغر م-عند هذه النقطة X 2. لأي شخص X [أ; ب] عدم المساواة يحمل م ≤ و(س) ≤ م.

عاقبة.إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

نظرية (بولزانو - كوشي).إذا كانت الوظيفة في= و(س) مستمرة على الفترة [ أ; ب] ويأخذ قيمًا غير متساوية في نهايته و(أ) = أو و(ب) = =في، ثم في هذا المقطع يأخذ كل القيم الوسيطة بينهما أو في.

من الناحية الهندسية، النظرية واضحة (انظر الشكل 6).

لأي رقم مع، خلص بين أو في، هناك نقطة معداخل هذا الجزء من هذا القبيل و(مع) = مع. مستقيم في = معيتقاطع مع الرسم البياني للدالة عند نقطة واحدة على الأقل.

عاقبة.إذا كانت الوظيفة في = و(س) مستمرة على الفترة [ أ; ب] وفي نهايته يأخذ قيم علامات مختلفة، ثم داخل المقطع [ أ; ب] هناك نقطة واحدة على الأقل مع، حيث هذه الوظيفة و(س) يذهب إلى الصفر: و(مع) = 0.

معنى هندسيالنظريات: إذا كان الرسم البياني للدالة المستمرة يمتد من أحد جانبي المحور أوهإلى الآخر، فإنه يتقاطع مع المحور ثور(انظر الشكل 7).

أرز. 7.

التعريف 4. تسمى الوظيفة مستمرة على مقطع إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذا المقطع (عند النقطة أ تكون مستمرة على اليمين، أي، وعند النقطة ب تكون مستمرة على اليسار، أي).

جميع الوظائف الأولية الأساسية مستمرة في مجال تعريفها.

خصائص الدوال المستمرة على فترة:

• 1) إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة (نظرية فايرستراس الأولى).
• 2) إذا كانت الدالة متصلة على مقطع ما، فإنها تصل في هذا المقطع إلى الحد الأدنى لقيمتها والحد الأقصى لقيمتها (نظرية Weierstrass الثانية) (انظر الشكل 2).
• 3) إذا كانت الدالة متصلة على قطعة وتأخذ قيم إشارات مختلفة في طرفيها فإن داخل القطعة توجد نقطة واحدة على الأقل مثل (نظرية بولزانو-كوشي).

نقاط توقف الوظيفة وتصنيفها

قطعة نقطة استمرارية الوظيفة

تسمى النقاط التي لا يتم استيفاء شرط الاستمرارية فيها بنقاط انقطاع هذه الوظيفة. إذا كانت نقطة انقطاع لوظيفة، فإن واحدًا على الأقل من الشروط الثلاثة لاستمرارية الوظيفة المحددة في التعريفات 1، 2 غير مستوفي، وهي:

1) يتم تعريف الوظيفة في جوار نقطة ما، ولكن لا يتم تعريفها عند النقطة نفسها. لذا فإن الدالة التي تم النظر فيها في المثال 2 أ) لها انقطاع عند نقطة ما، حيث أنها غير محددة عند هذه النقطة.

2) الدالة محددة عند النقطة ومحيطها، وهناك حدود أحادية الجانب، ولكنها غير متساوية مع بعضها البعض: . على سبيل المثال، يتم تعريف الدالة من المثال 2 ب) عند نقطة ما وجوارها، ولكن منذ أ.

3) الدالة محددة عند النقطة ومحيطها، وهناك حدود أحادية الجانب وهي متساوية مع بعضها البعض، ولكنها لا تساوي قيمة الدالة عند النقطة: . على سبيل المثال، وظيفة. هنا هي نقطة التوقف: عند هذه النقطة يتم تعريف الدالة، وهناك حدود من جانب واحد، ومتساوية مع بعضها البعض، ولكن، على سبيل المثال.

يتم تصنيف نقاط انقطاع الوظيفة على النحو التالي.

التعريف 5. تسمى النقطة نقطة انقطاع من النوع الأول من الوظائف إذا كانت هناك حدود محدودة عند هذه النقطة، ولكنها ليست متساوية مع بعضها البعض: . تسمى الكمية قفزة الدالة عند نقطة ما.

التعريف 6. تسمى النقطة نقطة الانقطاع القابل للإزالة للدالة إذا كانت هناك حدود محدودة عند هذه النقطة وهي متساوية مع بعضها البعض: لكن الوظيفة نفسها لم يتم تعريفها عند هذه النقطة، أو تم تعريفها، ولكن.

التعريف 7. تسمى النقطة نقطة انقطاع من النوع الثاني من الوظائف إذا كان عند هذه النقطة على الأقل أحد الحدود أحادية الجانب (أو) غير موجود أو يساوي اللانهاية.

مثال 3. ابحث عن نقاط التوقف للوظائف التالية وحدد نوعها: أ) ب)

حل. أ) يتم تعريف الدالة ومستمرة على فترات، وبما أنه في كل من هذه الفترات يتم تعريفها بواسطة دوال أولية مستمرة. وبالتالي، فإن نقاط التوقف لوظيفة معينة يمكن أن تكون فقط تلك النقاط التي تغير فيها الوظيفة مهمتها التحليلية، أي. نقاط و دعونا نجد الحدود من جانب واحد للدالة عند النقطة:

وبما أن النهايات من جانب واحد موجودة ومحدودة ولكنها غير متساوية، فإن النقطة هي نقطة انقطاع من النوع الأول. القفزة الوظيفية:

لهذه النقطة نجد.