المعادلة في إجمالي الفروق هي المعادلة. المعادلات التفاضلية في مجموع التفاضلات

التفاضلي تسمى معادلة النموذج

ص(س، ص)dx + س(س، ص)دي = 0 ,

حيث الجانب الأيسر هو التفاضل الكلي لأي دالة لمتغيرين.

دعونا نشير إلى الوظيفة غير المعروفة لمتغيرين (وهذا ما يجب العثور عليه عند حل المعادلات في الفروق الكاملة) خلال فوسوف نعود إليها قريبا.

أول شيء يجب عليك الانتباه إليه هو أنه يجب أن يكون هناك صفر في الطرف الأيمن من المعادلة، ويجب أن تكون الإشارة التي تربط الحدين في الطرف الأيسر علامة زائد.

ثانيا يجب مراعاة بعض المساواة مما يؤكد أن هذه المعادلة التفاضلية هي معادلة في مجموع التفاضلات. يعد هذا الفحص جزءًا إلزاميًا من خوارزمية حل المعادلات في إجمالي التفاضلات (موجود في الفقرة الثانية من هذا الدرس)، وبالتالي فإن عملية العثور على دالة فكثيفة العمالة ومهمة للغاية المرحلة الأوليةتأكد من أننا لا نضيع الوقت.

لذلك، يتم الإشارة إلى الوظيفة غير المعروفة التي يجب العثور عليها بواسطة ف. مجموع الفروق الجزئية لجميع المتغيرات المستقلة يعطي الفرق الإجمالي. لذلك، إذا كانت المعادلة معادلة تفاضلية كلية، فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو مجموع التفاضلات الجزئية. ثم حسب التعريف

مدافع = ص(س، ص)dx + س(س، ص)دي .

لنتذكر صيغة حساب التفاضل الإجمالي لدالة ذات متغيرين:

يمكننا أن نكتب حل المعادلتين الأخيرتين

نفرق بين المساواة الأولى بالنسبة للمتغير "y" والثانية - بالنسبة للمتغير "x":

وهو شرط لكي تكون المعادلة التفاضلية المعطاة معادلة تفاضلية كلية حقًا.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية في مجموع التفاضلات

الخطوة 1.تأكد من أن المعادلة هي معادلة تفاضلية كلية. من أجل التعبير كان التفاضل الكلي لبعض الوظائف ف(س، ص) ضروري وكاف لذلك . بمعنى آخر، عليك أن تأخذ المشتقة الجزئية فيما يتعلق بـ سوالمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذحد آخر، وإذا كانت هذه المشتقات متساوية، فإن المعادلة هي معادلة تفاضلية كلية.

الخطوة 2.اكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة ف:

الخطوة 3.دمج المعادلة الأولى للنظام - بواسطة س (ذ ف:

,
ذ.

الخيار البديل (إذا كان من الأسهل العثور على التكامل بهذه الطريقة) هو دمج المعادلة الثانية للنظام - بواسطة ذ (سيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وبهذه الطريقة يتم استعادة الوظيفة أيضًا ف:

,
أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ X.

الخطوة 4.يتم التمييز بين نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) بواسطة ذ(بدلا من ذلك - وفقا ل س) ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

وفي نسخة بديلة - للمعادلة الأولى للنظام:

من المعادلة الناتجة نحدد (بدلا من ذلك)

الخطوة 5.نتيجة الخطوة 4 هي التكامل والبحث (بدلاً من ذلك، البحث عن).

الخطوة 6استبدل نتيجة الخطوة 5 بنتيجة الخطوة 3 - في الوظيفة المستعادة عن طريق التكامل الجزئي ف. ثابت تعسفي جغالبًا ما تُكتب بعد علامة المساواة - على الجانب الأيمن من المعادلة. هكذا نحصل الحل العام المعادلة التفاضليةفي الفروق الكاملة. كما سبق ذكره، لديه النموذج ف(س، ص) = ج.

أمثلة على حلول المعادلات التفاضلية في إجمالي التفاضلات

مثال 1.

الخطوة 1. المعادلة في مجموع التفاضلات سمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذمصطلح آخر
المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2. ف:

الخطوة 3.بواسطة س (ذيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة ف:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4. ذ

الخطوة 5.

الخطوة 6 ف. ثابت تعسفي ج :
.

ما الخطأ الذي من المرجح أن يحدث هنا؟ الأخطاء الأكثر شيوعًا هي أخذ تكامل جزئي على أحد المتغيرات للتكامل المعتاد لمنتج الدوال ومحاولة التكامل بالأجزاء أو متغير الاستبدال، وأيضًا أخذ المشتق الجزئي لعاملين كمشتق لـ منتج الوظائف وابحث عن المشتق باستخدام الصيغة المقابلة.

ويجب أن نتذكر ذلك: عند حساب التكامل الجزئي بالنسبة لأحد المتغيرين يكون الآخر ثابتا ويتم إخراجه من إشارة التكامل، وعند حساب المشتقة الجزئية بالنسبة لأحد المتغيرين يكون الآخر ثابتا هو أيضًا ثابت ويتم العثور على مشتق التعبير باعتباره مشتق المتغير "الممثل" مضروبًا في الثابت.

ضمن المعادلات في مجموع التفاضلات ليس من غير المألوف العثور على أمثلة ذات دالة أسية. هذا هو المثال التالي. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الحل الخاص به يستخدم خيارًا بديلاً.

مثال 2.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 1.دعونا نتأكد من أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات . للقيام بذلك، نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ سمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذمصطلح آخر
. هذه المشتقات متساوية، مما يعني أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة ف:

الخطوة 3.دعونا ندمج المعادلة الثانية للنظام - بواسطة ذ (سيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة ف:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ X.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ X

ويعادل المعادلة الأولى للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:
.

الخطوة 6نستبدل نتيجة الخطوة 5 بنتيجة الخطوة 3 - في الوظيفة المستعادة عن طريق التكامل الجزئي ف. ثابت تعسفي جاكتب بعد علامة المساواة. وهكذا نحصل على المجموع حل المعادلة التفاضلية في التفاضلات الكلية :
.

في المثال التالي نعود من خيار بديل للخيار الرئيسي.

مثال 3.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 1.دعونا نتأكد من أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات . للقيام بذلك، نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ ذمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ سمصطلح آخر
. هذه المشتقات متساوية، مما يعني أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة ف:

الخطوة 3.دعونا ندمج المعادلة الأولى للنظام - بواسطة س (ذيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة ف:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ ذ

ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:

مثال 4.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة ف:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ ذ

ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:

مثال 5.حل المعادلة التفاضلية

لها النموذج القياسي $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$، حيث يكون الجانب الأيسر هو التفاضل الإجمالي لبعض الوظائف $F \left(x,y\right)$ تسمى المعادلة التفاضلية الإجمالية.

يمكن دائمًا إعادة كتابة المعادلة في إجمالي التفاضلات بالشكل $dF\left(x,y\right)=0$، حيث $F\left(x,y\right)$ هي دالة مثل $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

دعونا ندمج طرفي المعادلة $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; تكامل الجانب الأيمن من الصفر يساوي ثابتًا اعتباطيًا $C$. وبالتالي، فإن الحل العام لهذه المعادلة في شكل ضمني هو $F\left(x,y\right)=C$.

لكي تكون معادلة تفاضلية معينة معادلة في إجمالي التفاضلات، من الضروري والكافي أن يكون الشرط $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ كن راضيا. إذا تم استيفاء الشرط المحدد، فهناك دالة $F\left(x,y\right)$، والتي يمكننا أن نكتب لها: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$، ومنه نحصل على علاقتين : $\frac(\ جزئي F)(\جزئي x) =P\left(x,y\right)$ و$\frac(\partial F)(\جزئي y) =Q\left(x,y\right) )$.

نقوم بدمج العلاقة الأولى $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ على $x$ ونحصل على $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$، حيث $U\left(y\right)$ -- وظيفة تعسفيةمن $y$.

دعونا نحددها بحيث تكون العلاقة الثانية $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ مرضية. للقيام بذلك، نحن نفرق العلاقة الناتجة لـ $F\left(x,y\right)$ فيما يتعلق بـ $y$ ونساوي النتيجة بـ $Q\left(x,y\right)$. نحصل على: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (س،ص\يمين)$.

الحل الإضافي هو:

من المساواة الأخيرة نجد $U"\left(y\right)$;
قم بدمج $U"\left(y\right)$ وابحث عن $U\left(y\right)$;
استبدل $U\left(y\right)$ في المساواة $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ وأخيرًا حصلنا على الدالة $F\left(x,y\right)$.

نجد الفرق:

نقوم بدمج $U"\left(y\right)$ على $y$ ونجد $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

أوجد النتيجة: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

نكتب الحل العام على الصورة $F\left(x,y\right)=C$، وهي:

أوجد حلاً معينًا $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$، حيث $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 دولار:

الحل الجزئي له الصيغة: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

يوضح كيفية التعرف على المعادلة التفاضلية في إجمالي الفروق. وترد طرق حلها. يتم إعطاء مثال على حل معادلة في إجمالي التفاضلات بطريقتين.

محتوى

مقدمة

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى في إجمالي التفاضلات هي معادلة من الشكل:
(1) ,
حيث الجانب الأيسر من المعادلة هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (س، ص)من المتغيرات x، y:
.
في نفس الوقت.

إذا تم العثور على مثل هذه الوظيفة U (س، ص)، فتأخذ المعادلة الشكل:
دو (س، ص) = 0.
تكاملها العام هو:
ش (س، ص) = ج,
حيث C ثابت.

إذا كتبت معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بدلالة مشتقتها:
,
فمن السهل إعادة تشكيله (1) . للقيام بذلك، اضرب المعادلة بـ dx.
(1) .

ثم . ونتيجة لذلك، نحصل على معادلة معبرا عنها من حيث التفاضلات:

خاصية المعادلة التفاضلية في إجمالي الفروق (1) من أجل المعادلة
(2) .

إذا كانت معادلة في إجمالي التفاضلات، فهي ضرورية وكافيّة لتصمد العلاقة:

دليل نفترض أيضًا أن جميع الوظائف المستخدمة في الدليل محددة ولها مشتقات مقابلة في نطاق معين من قيم المتغيرين x وy.النقطة س

0، ص 0.
ينتمي أيضا إلى هذه المنطقة. (1) لنثبت ضرورة الشرط (2) (س، ص):
.
دع الجانب الأيسر من المعادلة
;
.
هو تفاضل بعض الوظائف U
;
.
ثم (2) وبما أن المشتقة الثانية لا تعتمد على ترتيب الاشتقاق، إذن

ويترتب على ذلك..
شرط الضرورة (2) :
(2) .
ثبت. (س، ص)فلنثبت كفاية الشرط (2)
.
دع الشرط يكون راضيا (س، ص)دعونا نبين أنه من الممكن العثور على مثل هذه الوظيفة U
(3) ;
(4) .
أن تفاضلها هو: (3) هذا يعني أن هناك مثل هذه الوظيفة U 0 الذي يحقق المعادلات:
;
;
(5) .
دعونا نجد مثل هذه الوظيفة. دعونا ندمج المعادلة (2) :

.
بواسطة x من x (4) سيتم تنفيذه إذا
.
التكامل على y من y 0 لعبة:
;
;
.
بدل في (5) :
(6) .
لذلك، وجدنا وظيفة التي التفاضلية
.
وقد ثبت الكفاية.

في الصيغة (6) ، يو (س 0، ص 0)ثابت - قيمة الدالة U (س، ص)عند النقطة x نفترض أيضًا أن جميع الوظائف المستخدمة في الدليل محددة ولها مشتقات مقابلة في نطاق معين من قيم المتغيرين x وy..

يمكن تعيين أي قيمة.

كيفية التعرف على المعادلة التفاضلية في إجمالي الفروق
(1) .
النظر في المعادلة التفاضلية: (2) :
(2) .
لتحديد ما إذا كانت هذه المعادلة في إجمالي الفروق، تحتاج إلى التحقق من الحالة

إذا صح ذلك، فهذه المعادلة في مجموع التفاضلات. إذا لم يكن الأمر كذلك، فهذه ليست معادلة تفاضلية كاملة.

مثال
.

تحقق مما إذا كانت المعادلة في إجمالي الفروق:
, .
هنا

.
نحن نفرق بالنسبة لـ y، مع الأخذ في الاعتبار ثابت x:

.
دعونا نفرق
,
لأن: الذي - التيمعادلة معينة

- بالفروق الكاملة.

طرق حل المعادلات التفاضلية في التفاضلات الكلية

طريقة الاستخراج التفاضلي المتسلسل معظمطريقة بسيطة
حل المعادلة في إجمالي التفاضلات هو طريقة الاختيار التسلسلي للتفاضل. للقيام بذلك، نستخدم صيغ التفاضل المكتوبة في شكل تفاضلي: دو ± دف = د;
(ش ± ت) الخامس دو + ش دف = د;
;
.
(الأشعة فوق البنفسجية)

في هذه الصيغ، u و v عبارة عن تعبيرات عشوائية تتكون من أي مجموعة من المتغيرات.

مثال 1
.

حل المعادلة:
لقد وجدنا سابقًا أن هذه المعادلة موجودة في إجمالي الفروق. دعونا تحويله: .
(ف1)
;
;
;
;

.
بدل في لقد وجدنا سابقًا أن هذه المعادلة موجودة في إجمالي الفروق. دعونا تحويله::
;
.

نحن نحل المعادلة عن طريق عزل التفاضل بالتسلسل.

طريقة التكامل المتتابع (س، ص)في هذه الطريقة نبحث عن الدالة U
(3) ;
(4) .

، إرضاء المعادلات: (3) دعونا ندمج المعادلة
.
في x، مع الأخذ في الاعتبار ثابت y: هنا φ(ص) (4) :
.
- وظيفة تعسفية لـ y يجب تحديدها. وهو ثابت التكامل. عوّض في المعادلة
.
من هنا: هنا φبالتكامل نجد φ (س، ص).

وبالتالي، U

مثال 2
.

حل المعادلة في مجموع التفاضلات:
, .
لقد وجدنا سابقًا أن هذه المعادلة موجودة في إجمالي الفروق. دعونا نقدم التدوين التالي: (س، ص)البحث عن الدالة U
.
، التفاضل هو الجانب الأيسر من المعادلة:
(3) ;
(4) .
ثم: (3) دعونا ندمج المعادلة
دعونا ندمج المعادلة
.
(ف2)

.
التفريق بالنسبة إلى y: (4) :
;
.
دعونا نستبدل
.
التفريق بالنسبة إلى y: دعونا ندمج المعادلة:

.
دعونا ندمج:
ش التكامل العام للمعادلة:.
(س، ص) = ثابت

نحن ندمج ثابتين في واحد.

طريقة التكامل على طول المنحنى
الدالة U، المحددة بالعلاقة: دو = ص,
(x، y) dx + q(x، y) dy (س 0، ص 0)يمكن العثور عليها من خلال دمج هذه المعادلة على طول المنحنى الذي يربط النقاط (س، ص):
(7) .
و
(8) ,
منذ (س 0، ص 0)ثم التكامل يعتمد فقط على إحداثيات الأولية (س، ص)والنهائي (7) يمكن العثور عليها من خلال دمج هذه المعادلة على طول المنحنى الذي يربط النقاط (8) نقاط ولا تعتمد على شكل المنحنى. من
(9) .
نجد: 0 هنا س 0 و ذ (س 0، ص 0)- دائم. لذلك يو

تم الحصول على مثال على هذا التعريف لـ U في الدليل:
(6) .
هنا يتم إجراء التكامل أولاً على طول قطعة موازية للمحور y من النقطة (س 0 ، ص 0 )إلى هذه النقطة (س 0، ص). (س 0، ص)إلى هذه النقطة (س، ص) .

ثم يتم إجراء التكامل على طول قطعة موازية للمحور x من النقطة (س 0 ، ص 0 )يمكن العثور عليها من خلال دمج هذه المعادلة على طول المنحنى الذي يربط النقاط (س، ص)بشكل عام، تحتاج إلى تمثيل معادلة نقاط ربط المنحنى
في شكل بارامترية: س 1 = ق(ر 1) ;;
في شكل بارامترية: ذ 1 = ق(ر 1) 1 = ص(ر 1);
0 = ق(ر 0) 0 = ص(ر 0)س = ق 0 = ص(ر 0);
(ر) 1 ; 0 ص = ص

والتكامل على ر (س 0 ، ص 0 )يمكن العثور عليها من خلال دمج هذه المعادلة على طول المنحنى الذي يربط النقاط (س، ص)من ر
في شكل بارامترية: إلى ر. 1 = ق(ر 1) أسهل طريقة لإجراء التكامل هي عبر نقاط ربط المقطع;
. 0 = 0 في هذه الحالة: 1 ;
1 = س 0 + (س - س 0) ر 1 1 = ص 0 + (ص - ص 0) ر 1ر ;.
ر = 0 dx 1 .
1 = (س - س 0) د 1;

دي
1 = (ص - ص 0) د 1

بعد الاستبدال نحصل على التكامل على t لـ

هذه الطريقة

ومع ذلك، يؤدي إلى حسابات مرهقة إلى حد ما. الأدب المستخدم:في. ستيبانوف، دورة المعادلات التفاضلية، "LKI"، 2015.

في هذا الموضوع سنلقي نظرة على طريقة إعادة بناء دالة من مجموع تفاضلها ونعطي أمثلة للمسائل مع تحليل كامل للحل.

يحدث أن المعادلات التفاضلية (DE) بالشكل P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 قد تحتوي على تفاضلات كاملة لبعض الوظائف على الجوانب اليسرى. ومن ثم يمكننا إيجاد التكامل العام للمعادلة التفاضلية إذا قمنا أولاً بإعادة بناء الدالة من تفاضلها الإجمالي.

مثال 1

خذ بعين الاعتبار المعادلة P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. يحتوي الجانب الأيسر على تفاضل دالة معينة

ش(س، ص) = 0

. للقيام بذلك، يجب استيفاء الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.
التفاضل الإجمالي للدالة U (x, y) = 0 له الصيغة d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. مع مراعاة الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x نحصل على:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

وبتحويل المعادلة الأولى من نظام المعادلات الناتج يمكننا الحصول على:

U (x، y) = ∫ P (x، y) d x + φ (y)

يمكننا إيجاد الدالة φ (y) من المعادلة الثانية للنظام الذي تم الحصول عليه مسبقًا:

∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

هكذا وجدنا الدالة المطلوبة U (x, y) = 0.

مثال 2

بناءً على الحسابات، يمكننا أن نستنتج أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية الأصلية هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (x, y) = 0. نحن بحاجة إلى العثور على هذه الوظيفة.

بما أن (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y هو التفاضل الكلي للدالة U (x, y) = 0، إذن

∂ U ∂ س = س 2 - ص 2 ∂ U ∂ ص = - 2 س ص

دعونا ندمج المعادلة الأولى للنظام فيما يتعلق بـ x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

الآن نفرق النتيجة الناتجة فيما يتعلق بـ y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

بتحويل المعادلة الثانية للنظام نحصل على: ∂ U ∂ y = - 2 x y . وهذا يعني ذلك
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

حيث C هو ثابت تعسفي.

نحصل على: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. التكامل العام للمعادلة الأصلية هو x 3 3 - x y 2 + C = 0.

دعونا نلقي نظرة على طريقة أخرى للعثور على دالة باستخدام التفاضل الإجمالي المعروف. يتضمن استخدام التكامل المنحني من نقطة ثابتة (x 0, y 0) إلى نقطة ذات إحداثيات متغيرة (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

في مثل هذه الحالات، لا تعتمد قيمة التكامل بأي شكل من الأشكال على مسار التكامل. يمكننا أن نتخذ خطًا متقطعًا كمسار تكامل، حيث تقع روابطه بالتوازي مع محاور الإحداثيات.

مثال 3

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

U (x، y) = ∫ P (x، y) d x + φ (y)

دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x قد تم استيفاءه:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

اتضح أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية يمثله التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (x، y) = 0. للعثور على هذه الوظيفة، فمن الضروري حساب تكامل الخطمن النقطة (1 ; 1) dx (س، ص). لنأخذ كطريق للتكامل خطًا متقطعًا، ستمر أجزاء منه في خط مستقيم ص = 1من النقطة (1، 1) إلى (x، 1) ثم من النقطة (x، 1) إلى (x، y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) د y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) س y) د y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

لقد حصلنا على حل عام للمعادلة التفاضلية بالصيغة x y - x y 2 + C = 0.

مثال 4

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

U (x، y) = ∫ P (x، y) d x + φ (y)

دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x قد تم استيفاءه.

بما أن ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x، فلن يتم استيفاء الشرط. وهذا يعني أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية ليس التفاضل الكامل للدالة. هذه معادلة تفاضلية ذات متغيرات قابلة للفصل والحلول الأخرى مناسبة لحلها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

التعريف 8.4.المعادلة التفاضلية للنموذج

أين
تسمى المعادلة التفاضلية الكلية.

لاحظ أن الجانب الأيسر من هذه المعادلة هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف
.

بشكل عام، يمكن تمثيل المعادلة (8.4) على النحو التالي:

بدلا من المعادلة (8.5)، يمكننا أن ننظر إلى المعادلة

وحلها هو التكامل العام للمعادلة (8.4). وبالتالي، لحل المعادلة (8.4) من الضروري إيجاد الدالة
. ووفقا لتعريف المعادلة (8.4) لدينا

(8.6)

وظيفة
سنبحث عن دالة تحقق أحد هذه الشروط (8.6):

أين - وظيفة تعسفية مستقلة عن .

وظيفة
يتم تعريفه بحيث يتم استيفاء الشرط الثاني من التعبير (8.6).

(8.7)

من التعبير (8.7) يتم تحديد الدالة
. استبداله في التعبير ل
والحصول على التكامل العام للمعادلة الأصلية.

المشكلة 8.3.دمج المعادلة

هنا
.

ولذلك تنتمي هذه المعادلة إلى نوع المعادلات التفاضلية في التفاضلات الكلية. وظيفة
سوف نبحث عنه في النموذج

على الجانب الآخر،

في بعض الحالات الشرط
قد لا تتحقق.

ثم يتم اختزال هذه المعادلات إلى النوع قيد النظر عن طريق الضرب فيما يسمى بعامل التكامل، وهو في الحالة العامة دالة فقط أو .

إذا كانت بعض المعادلات تحتوي على عامل تكامل يعتمد فقط على ، ثم يتم تحديده بواسطة الصيغة

أين العلاقة يجب أن تكون وظيفة فقط .

وبالمثل، فإن عامل التكامل يعتمد فقط على ، يتم تحديده بواسطة الصيغة

أين العلاقة
يجب أن تكون وظيفة فقط .

غياب المتغير في العلاقات المعطاة في الحالة الأولى وفي الثانية - المتغير ، هي علامة على وجود عامل تكامل لمعادلة معينة.

المشكلة 8.4.اختصر هذه المعادلة إلى معادلة في إجمالي الفروق.

النظر في العلاقة:

الموضوع 8.2. المعادلات التفاضلية الخطية

التعريف 8.5. المعادلة التفاضلية
يسمى خطيًا إذا كان خطيًا بالنسبة للوظيفة المطلوبة ، مشتق منه ولا يحتوي على منتج الدالة المطلوبة ومشتقتها.

يتم تمثيل الشكل العام للمعادلة التفاضلية الخطية بالعلاقة التالية:

(8.8)

إذا كان فيما يتعلق (8.8) الجانب الأيمن
، فإن هذه المعادلة تسمى متجانسة خطية. في حالة الجانب الأيمن
، فإن هذه المعادلة تسمى خطية غير متجانسة.

دعونا نوضح أن المعادلة (8.8) يمكن دمجها في التربيعات.

في المرحلة الأولى، نعتبر معادلة خطية متجانسة.

مثل هذه المعادلة هي معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. حقًا،

;

العلاقة الأخيرة تحدد الحل العام للخطية معادلة متجانسة.

لإيجاد حل عام لمعادلة خطية غير متجانسة، يتم استخدام طريقة تغيير مشتقة ثابت. فكرة الطريقة هي أن الحل العام لمعادلة خطية غير متجانسة يكون بنفس شكل حل المعادلة المتجانسة المقابلة لها، ولكن ثابت اعتباطي استبدالها ببعض الوظائف
ليتم تحديدها. لذلك لدينا:

(8.9)

استبدال في العلاقة (8.8) التعبيرات المقابلة
و
، نحصل على

باستبدال التعبير الأخير في العلاقة (8.9)، نحصل على التكامل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة.

وبالتالي، يتم تحديد الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة من خلال تربيعين: الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة والحل الخاص للمعادلة الخطية غير المتجانسة.

المشكلة 8.5.دمج المعادلة