نظرية. (شرط ضروري لوجود الحد الأقصى) إذا كانت الدالة f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x = x 1 والنقطة x 1 هي نقطة متطرفة، فإن مشتق الدالة يختفي عند هذه النقطة.

دليل. لنفترض أن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = x 1.

ثم بالنسبة إلى Dx>0 الموجب الصغير بدرجة كافية يكون عدم المساواة التالي صحيحًا:

حسب التعريف:

أولئك. إذا كان Dx®0، ولكن Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0، ثم f‚(x 1) £ 0.

وهذا ممكن فقط إذا كان عند Dx®0 f¢(x 1) = 0.

في الحالة التي يكون فيها للدالة f(x) حد أدنى عند النقطة x 2، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة.

لقد تم إثبات النظرية.

عاقبة. البيان العكسي غير صحيح. إذا كانت مشتقة الدالة عند نقطة معينة تساوي صفرًا، فهذا لا يعني أن للدالة حدًا أقصى عند هذه النقطة. ومثال بليغ على ذلك هو الدالة y = x 3، التي يكون مشتقها عند النقطة x = 0 يساوي الصفر، ولكن عند هذه النقطة يكون للدالة انعطاف فقط، وليس الحد الأقصى أو الأدنى.

تعريف.النقاط الحرجةالدوال هي النقاط التي لا يوجد عندها مشتق الدالة أو يساوي الصفر.

النظرية التي تمت مناقشتها أعلاه تعطينا الشروط اللازمة لوجود الحد الأقصى، ولكن هذا لا يكفي.

مثال:و(خ) = ôxô مثال:و(خ) =

ذ ذ

عند النقطة x = 0 يكون للدالة حد أدنى، ولكن عند النقطة x = 0 ليس للدالة أي منهما

ليس له مشتق. الحد الأقصى، لا الحد الأدنى، لا الإنتاج

بشكل عام، قد يكون للدالة f(x) حد أقصى عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق أو يساوي الصفر.

نظرية. (الشروط الكافية لوجود الحد الأقصى)

دع الدالة f(x) تكون مستمرة في الفترة (a, b)، التي تحتوي على النقطة الحرجة x 1، وقابلة للتمييز عند جميع نقاط هذه الفترة (ربما باستثناء النقطة x 1 نفسها).

إذا، عند المرور بالنقطة x 1 من اليسار إلى اليمين، يغير مشتق الدالة f ¢ (x) الإشارة من "+" إلى "-"، ثم عند النقطة x = x 1 تكون الدالة f(x) الحد الأقصى، وإذا كانت علامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+" - فإن الدالة لها قيمة صغرى.

دليل.

يترك

وفقا لنظرية لاغرانج: و (خ) - و (س 1) = و ™ (ه) (س - س 1)،حيث س< e < x 1 .

ثم: 1) إذا س< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; و ¢ (ه) (س - س 1)<0, следовательно

و(خ) – و(× 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) إذا كانت x > x 1، فإن e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

و(خ) – و(× 1)<0 или f(x) < f(x 1).

بما أن الإجابات متطابقة، يمكننا القول أن f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

والدليل على نظرية النقطة الدنيا مشابه.

لقد تم إثبات النظرية.

بناءً على ما سبق، يمكنك تطوير إجراء موحد للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على مقطع ما:

1) أوجد النقاط الحرجة للدالة.

2) أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة.

3) أوجد قيم الدالة في نهايات المقطع.

4) حدد الأكبر والأصغر من بين القيم التي تم الحصول عليها.

دراسة دالة للاستخدام الأقصى

مشتقات الأوامر العليا.

دع عند النقطة x = x 1 f ™ (x 1) = 0 و f ™ (x 1) موجودة ومستمرة في بعض جوار النقطة x 1.

نظرية. إذا كانت f¢(x 1) = 0، فإن الدالة f(x) عند النقطة x = x 1 لها قيمة عظمى إذا كانت fˈ(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

دليل.

دع f ¢ (x 1) = 0 و f ™ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

لأن f ™ ™ (x) = (f ™ (x) ™).< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 في س × 1 . هذا يعني أنه عند المرور بالنقطة x = x 1، فإن المشتقة f¢(x) تغير الإشارة من "+" إلى "-"، أي.

عند هذه النقطة يكون للدالة f(x) حد أقصى.

في حالة الدالة الدنيا، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة.

إذا كانت f ¢ ™ (x) = 0، فإن طبيعة النقطة الحرجة غير معروفة. هناك حاجة إلى مزيد من البحث لتحديد ذلك.

التحدب وتقعر المنحنى.

نقاط انعطاف.

تعريف. المنحنى محدب أعلىعلى الفترة (أ، ب) إذا كانت جميع نقاطها تقع تحت أي مماس لها في هذه الفترة. ويسمى المنحنى المحدب للأعلى محدب، ويسمى المنحنى المتجه للأسفل بشكل محدب مقعر.

في

ويبين الشكل توضيحا للتعريف أعلاه.

النظرية 1. إذا كان المشتق الثاني للدالة f(x) سالبًا في جميع نقاط الفاصل الزمني (a، b)، فإن المنحنى y = f(x) يكون محدبًا لأعلى (محدبًا).

دليل. دع x 0 О (أ، ب). دعونا نرسم مماسا للمنحنى عند هذه النقطة.

معادلة المنحنى: y = f(x);

معادلة الظل:

ويجب إثبات ذلك.

بواسطة نظرية لاغرانج لـ f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

وفقا لنظرية لاغرانج ل

دع x > x 0 ثم x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 و c – x 0 > 0، وبالإضافة إلى ذلك، حسب الحالة

لذلك، .

دع س< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

وثبت بالمثل أنه إذا كانت f ™ ™ (x) > 0 على الفترة (a، b)، فإن المنحنى y=f(x) يكون مقعرًا على الفترة (a، b).

لقد تم إثبات النظرية.

تعريف. تسمى النقطة التي تفصل الجزء المحدب من المنحنى عن الجزء المقعر نقطة انعطاف.

ومن الواضح أنه عند نقطة الانقلاب يتقاطع المماس مع المنحنى.

النظرية 2. دع المنحنى يتم تعريفه بالمعادلة y = f(x). إذا كان المشتق الثاني f ¢ ¢ (a) = 0 أو f ¢ ¢ (a) غير موجود وعند المرور عبر النقطة x = a f ¢ ¢ (x) علامة التغييرات، فإن نقطة المنحنى مع الإحداثي المحوري x = أ هي نقطة انعطاف.

دليل. 1) دع f ™ ™ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 لـ x > أ. ثم في

س< a кривая выпукла, а при x >أ المنحنى مقعر ، أي. النقطة س = أ – نقطة انعطاف.

2) دع f ™ ™ (x) > 0 لـ x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >ب – محدب للأعلى . ثم x = b هي نقطة الانعطاف.

لقد تم إثبات النظرية.

الخطوط المقاربة.

عند دراسة الوظائف، غالبًا ما يحدث أنه عندما يتحرك الإحداثي x لنقطة على منحنى إلى ما لا نهاية، فإن المنحنى يقترب إلى أجل غير مسمى من خط مستقيم معين.

تعريف. يسمى الخط المستقيم الخط المقاربمنحنى إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة للمنحنى إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة إلى ما لا نهاية.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس كل منحنى له خط مقارب. يمكن أن تكون الخطوط المقاربة مستقيمة أو مائلة. تعد دراسة الوظائف لوجود الخطوط المقاربة ذات أهمية كبيرة وتتيح لك تحديد طبيعة الوظيفة وسلوك الرسم البياني المنحني بدقة أكبر.

بشكل عام، يمكن للمنحنى الذي يقترب إلى ما لا نهاية من خط التقارب أن يتقاطع معه، وليس عند نقطة واحدة، كما هو موضح في الرسم البياني للدالة أدناه . خط التقارب المائل هو y = x.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في طرق العثور على الخطوط المقاربة للمنحنيات.

الخطوط المقاربة العمودية.

من تعريف الخط المقارب، يترتب على ذلك أنه إذا كان أو أو، فإن الخط المستقيم x = a هو الخط المقارب للمنحنى y = f(x).

على سبيل المثال، بالنسبة للدالة، السطر x = 5 هو خط مقارب عمودي.

الخطوط المقاربة المائلة.

لنفترض أن المنحنى y = f(x) له خط مقارب مائل y = kx + b.

دعونا نشير إلى نقطة تقاطع المنحنى والعمودي على الخط المقارب - M، P - نقطة تقاطع هذا العمودي مع الخط المقارب. دعونا نشير إلى الزاوية بين الخط المقارب ومحور الثور بالرمز j. يتقاطع خط MQ المتعامد مع محور الثور مع الخط المقارب عند النقطة N.

إذن MQ = y هو إحداثي نقطة المنحنى، NQ = هو إحداثي النقطة N على الخط المقارب.

حسب الشرط: , ÐNMP = j, .

الزاوية j ثابتة ولا تساوي 900 إذن

ثم .

لذا، فإن الخط المستقيم y = kx + b هو الخط المقارب للمنحنى. لتحديد هذا الخط بدقة، من الضروري إيجاد طريقة لحساب المعاملين k وb.

في التعبير الناتج نخرج x من الأقواس:

لأن س®¥، ثم ، لأن ب = ثابت، ثم .

ثم ، لذلك،

.

لأن ، الذي - التي ، لذلك،

لاحظ أن الخطوط المقاربة الأفقية هي حالة خاصة من الخطوط المقاربة المائلة لـ k = 0.

مثال. .

1) الخطوط المقاربة الرأسية: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0، وبالتالي فإن x = 0 هو خط مقارب عمودي.

2) الخطوط المقاربة المائلة:

وبالتالي، فإن الخط المستقيم y = x + 2 هو خط مقارب مائل.

لنرسم الدالة:

مثال.ابحث عن الخطوط المقاربة وارسم الدالة رسمًا بيانيًا.

الخطان x = 3 و x = -3 هما خطوط تقارب رأسية للمنحنى.

دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة:

ذ = 0 – الخط المقارب الأفقي.

مثال.ابحث عن الخطوط المقاربة وارسم الدالة رسمًا بيانيًا .

الخط المستقيم x = -2 هو الخط المقارب الرأسي للمنحنى.

دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة.

في المجمل، الخط المستقيم y = x – 4 هو خط مقارب مائل.

مخطط دراسة الوظيفة

تتكون عملية البحث الوظيفي من عدة مراحل. للحصول على فهم أكمل لسلوك الوظيفة وطبيعة الرسم البياني الخاص بها، من الضروري العثور على:

1) مجال وجود الوظيفة.

يتضمن هذا المفهوم كلاً من مجال القيم ومجال تعريف الوظيفة.

2) نقاط الانهيار. (إن وجد).

3) فترات الزيادة والنقصان.

4) الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

5) القيمة القصوى والدنيا للدالة في مجال تعريفها.

6) مناطق التحدب والتقعر.

7) نقاط الانعطاف (إن وجدت).

8) الخطوط المقاربة (إن وجدت).

9) بناء الرسم البياني.

دعونا نلقي نظرة على تطبيق هذا المخطط باستخدام مثال.

مثال.استكشاف الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.

نجد مجال وجود الدالة. من الواضح أن مجال التعريفالدالة هي المنطقة (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

ومن الواضح أن الخطوط المستقيمة x = 1، x = -1 هي الخطوط المقاربة العموديةملتوية.

مجموعة من القيملهذه الدالة الفاصل الزمني (-¥; ¥).

نقاط الاستراحةالوظائف هي النقاط x = 1، x = -1.

نجد النقاط الحرجة.

دعونا نجد مشتقة الدالة

النقاط الحرجة: س = 0؛ س = - ; س = ; س = -1; س = 1.

دعونا نجد المشتقة الثانية للدالة

دعونا نحدد تحدب وتقعر المنحنى على فترات.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0، منحنى مقعر

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0، منحنى مقعر

< x < ¥, y¢¢ >0، منحنى مقعر

العثور على الثغرات زيادةو تنازليوظائف. للقيام بذلك، نحدد علامات مشتقة الدالة على فترات.

-¥ < x < - , y¢ >0، الدالة آخذة في الازدياد

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0، الدالة آخذة في الازدياد

يمكن ملاحظة أن النقطة x = - هي نقطة الحد الأقصىوالنقطة x = هي نقطة الحد الأدنى. قيم الدالة عند هذه النقاط تساوي -3 /2 و 3 /2 على التوالي.

حول العمودي الخطوط المقاربةوقد سبق أن قيل أعلاه. الآن دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة.

في المجمل، معادلة الخط المقارب المائل هي y = x.

دعونا نبني جدولسمات:

وظائف العديد من المتغيرات

عند النظر في وظائف العديد من المتغيرات، سنقتصر على وصف تفصيلي لوظائف متغيرين، منذ ذلك الحين جميع النتائج التي تم الحصول عليها ستكون صالحة لوظائف عدد تعسفي من المتغيرات.

التعريف: إذا كان كل زوج من الأرقام المستقلة بشكل متبادل (x، y) من مجموعة معينة، وفقًا لقاعدة ما، مرتبطًا بواحدة أو أكثر من قيم المتغير z، فإن المتغير z يسمى دالة لمتغيرين.

تعريف: إذا كان زوج من الأرقام (x، y) يتوافق مع قيمة واحدة z، فسيتم استدعاء الدالة لا لبس فيه، وإذا كان أكثر من واحد، ثم - متعدد الأقدام.

تعريف:مجال التعريفالدالة z هي مجموعة الأزواج (x، y) التي توجد لها الدالة z.

تعريف:حي نقطة M 0 (x 0, y 0) لنصف القطر r هي مجموعة جميع النقاط (x, y) التي تحقق الشرط .

تعريف: الرقم أ يسمى حدالدالة f(x, y) حيث أن النقطة M(x, y) تميل إلى النقطة M 0 (x 0, y 0)، إذا كان لكل رقم e > 0 رقم r > 0 بحيث يكون لأي نقطة M (x، y)، حيث يكون الشرط صحيحًا

الشرط صحيح أيضا .

اكتب:

تعريف: دع النقطة M 0 (x 0, y 0) تنتمي إلى مجال تعريف الدالة f(x, y). ثم يتم استدعاء الدالة z = f(x, y). مستمرعند النقطة M 0 (x 0، y 0)، إذا

(1)

والنقطة M(x, y) تتجه نحو النقطة M 0 (x 0, y 0) بطريقة عشوائية.

إذا لم يتم استيفاء الشرط (1) في أي نقطة، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الاستراحةوظائف و (س، ص). وقد يكون ذلك في الحالات التالية:

1) لم يتم تعريف الدالة z = f(x, y) عند النقطة M 0 (x 0, y 0).

2) ليس هناك حد.

3) هذه النهاية موجودة ولكنها لا تساوي f(x 0 , y 0).

ملكية. إذا كانت الدالة f(x, y,...) محددة ومستمرة في ملف مغلق و

النطاق المحدود D، ثم في هذا المجال توجد نقطة واحدة على الأقل

N(x 0 , y 0 , …) بحيث تكون المتراجحة صحيحة بالنسبة للنقاط المتبقية

و(س 0، ص 0، …) ³ و(س، ص، …)

وكذلك النقطة N 1 (x 01, y 01, ...) بحيث تكون المتراجحة صحيحة بالنسبة لجميع النقاط الأخرى

و(س 01، ص 01، …) £ و(س، ص، …)

ثم و(س 0، ص 0، ...) = م - أعلى قيمةالدوال، و f(x 01 , y 01 , ...) = m – أصغر قيمةالوظائف f(x, y,…) في المجال D.

دالة مستمرة في مجال مغلق ومحدود D تصل إلى أكبر قيمة لها مرة واحدة على الأقل وأصغر قيمة لها مرة واحدة.

ملكية. إذا كانت الدالة f(x, y,…) محددة ومستمرة في مجال مغلق D، وكانت M وm، على التوالي، أكبر وأصغر قيم للدالة في هذا المجال، فبالنسبة لأي نقطة m О هناك نقطة

N 0 (x 0 , y 0 , …) بحيث f(x 0 , y 0 , …) = m.

ببساطة، الدالة المستمرة تأخذ في المجال D جميع القيم المتوسطة بين M وm. نتيجة لهذه الخاصية يمكن أن نستنتج أنه إذا كان الرقمان M وm لهما إشارات مختلفة، فإن الدالة في المجال D تختفي مرة واحدة على الأقل.

ملكية. الدالة f(x, y, …)، مستمرة في مجال مغلق ومحدود D، محدودفي هذه المنطقة، إذا كان هناك رقم K بحيث تكون المتراجحة صحيحة لجميع النقاط في المنطقة .

ملكية. إذا كانت الدالة f(x, y,…) محددة ومستمرة في مجال مغلق ومحدود D، فهي كذلك مستمر بشكل موحدفي هذا المجال، أي. لأي رقم موجب e يوجد رقم D > 0 بحيث بالنسبة لأي نقطتين (x 1, y 1) و (x 2, y 2) من المنطقة الواقعة على مسافة أقل من D، فإن عدم المساواة يظل قائمًا

الخصائص المذكورة أعلاه تشبه خصائص دوال متغير واحد مستمرة على فترة زمنية. انظر خصائص الدوال المستمرة على فترة.

المشتقات والتفاضلات من الوظائف

عدة متغيرات.

تعريف. دع الدالة z = f(x, y) تعطى في بعض المجالات. لنأخذ نقطة عشوائية M(x, y) ونضبط الزيادة Dx على المتغير x. ثم يتم استدعاء الكمية D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). الزيادة الجزئية للدالة في x.

يمكنك الكتابة

.

ثم يطلق عليه مشتق جزئيوظائف ض = و (س، ص) في س.

تعيين:

يتم تحديد المشتق الجزئي للدالة بالنسبة إلى y بالمثل.

الحس الهندسيالمشتق الجزئي (على سبيل المثال) هو ظل زاوية ميل المماس المرسوم عند النقطة N 0 (x 0, y 0, z 0) إلى قسم السطح بالمستوى y = y 0.

الزيادة الكاملة والفرق الكامل.

طائرة الظل

دع N و N 0 يكونان نقطتين على هذا السطح. لنرسم خطًا مستقيمًا NN 0. يسمى المستوى الذي يمر بالنقطة N 0 طائرة الظلإلى السطح إذا كانت الزاوية بين القاطع NN 0 وهذا المستوى تميل إلى الصفر، عندما تكون المسافة NN 0 تميل إلى الصفر.

تعريف.طبيعيإلى السطح عند النقطة N 0 خط مستقيم يمر بالنقطة N 0 عموديًا على المستوى المماس لهذا السطح.

عند أي نقطة، يكون السطح إما لديه مستوى مماس واحد فقط أو لا يحتوي عليه على الإطلاق.

إذا تم إعطاء السطح بالمعادلة z = f(x, y)، حيث f(x, y) هي دالة قابلة للاشتقاق عند النقطة M 0 (x 0, y 0)، فإن مستوى المماس عند النقطة N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) موجود وله المعادلة:

معادلة العمودي على السطح عند هذه النقطة هي:

الحس الهندسيالتفاضل الكلي لدالة متغيرين f(x, y) عند النقطة (x 0, y 0) هو زيادة التطبيق (إحداثيات z) لمستوى الظل على السطح عند التحرك من النقطة (x 0) ، y 0) إلى النقطة (x 0 + Dx، y 0 +Dу).

كما ترون، فإن المعنى الهندسي للفرق الكلي لدالة متغيرين هو التناظرية المكانية للمعنى الهندسي للفرق لدالة متغير واحد.

مثال.أوجد معادلات مستوى الظل والعمودي على السطح

عند النقطة م(1، 1، 1).

معادلة المستوى المماس:

المعادلة العادية:

الحسابات التقريبية باستخدام الفروق الإجمالية.

التفاضل الكلي للدالة u يساوي:

القيمة الدقيقة لهذا التعبير هي 1.049275225687319176.

المشتقات الجزئية للطلبات العليا.

إذا تم تعريف الدالة f(x, y) في بعض المجالات D، فسيتم أيضًا تعريف مشتقاتها الجزئية في نفس المجال أو جزء منه.

سوف نسمي هذه المشتقات المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

مشتقات هذه الوظائف ستكون المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.

ومن خلال الاستمرار في التمييز بين المساواة الناتجة، نحصل على مشتقات جزئية من الرتب الأعلى.

خوارزمية بسيطة للعثور على الحدود القصوى.

• إيجاد مشتقة الدالة
• نحن نساوي هذه المشتقة بالصفر
• نجد قيم متغير التعبير الناتج (قيم المتغير الذي يتم عنده تحويل المشتق إلى صفر)
• باستخدام هذه القيم، نقوم بتقسيم خط الإحداثيات إلى فترات (لا ننسى نقاط التوقف، والتي يجب أيضًا رسمها على الخط)، كل هذه النقاط تسمى نقاط "مشبوهة" للطرف الأقصى
• نحسب أيًا من هذه الفترات ستكون المشتقة موجبة وأيها ستكون سالبة. للقيام بذلك، عليك استبدال القيمة من الفاصل الزمني بالمشتقة.

من النقاط المشبوهة لأقصى الحدود، فمن الضروري العثور عليها . للقيام بذلك، ننظر إلى الفواصل الزمنية الموجودة على الخط الإحداثي. إذا تغيرت إشارة المشتق عند المرور بنقطة ما من موجب إلى ناقص، فستكون هذه النقطة الحد الأقصى، وإذا كان من ناقص إلى زائد، ثم الحد الأدنى.

للعثور على القيم الأكبر والأصغر للدالة، تحتاج إلى حساب قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي النقاط القصوى. ثم حدد القيمة الأكبر والأصغر.

دعونا نلقي نظرة على مثال
أوجد المشتقة وساويها بالصفر:

نرسم قيم المتغيرات التي تم الحصول عليها على خط الإحداثيات ونحسب إشارة المشتق في كل فترة من الفترات. حسنًا، على سبيل المثال، لنأخذ الأمر الأول-2 ، فإن المشتقة ستكون متساوية-0,24 ، للثانية سنأخذها0 ، فإن المشتق سيكون2 وللثالث نأخذ2 ، فإن المشتق سيكون-0.24. نضع العلامات المناسبة.

نرى أنه عند المرور بالنقطة -1، تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، أي أن هذه ستكون النقطة الدنيا، وعند المرور بالنقطة 1، ستتغير الإشارة من زائد إلى ناقص، على التوالي، ستكون هذه هي النقطة النقطة القصوى.

من هذه المقالة، سيتعرف القارئ على ماهية القيمة الوظيفية القصوى، وكذلك على ميزات استخدامها في الأنشطة العملية. تعلم مثل هذا المفهوم ضروري لفهم أساسيات الرياضيات العليا. هذا الموضوع أساسي لدراسة أعمق للدورة.

ما هو أقصى؟

في الدورة المدرسية، يتم تقديم العديد من التعريفات لمفهوم "المتطرف". تهدف هذه المقالة إلى تقديم فهم أعمق وأوضح للمصطلح لأولئك الذين يجهلون هذه القضية. لذلك، يُفهم المصطلح إلى أي مدى يكتسب الفاصل الزمني الوظيفي قيمة دنيا أو قصوى في مجموعة معينة.

الحد الأقصى هو الحد الأدنى لقيمة الدالة والحد الأقصى في نفس الوقت. هناك نقطة دنيا ونقطة عظمى، أي القيم القصوى للوسيطة على الرسم البياني. ومن أهم العلوم التي تستخدم هذا المفهوم:

• إحصائيات؛
• التحكم في الآلة
• الاقتصاد القياسي.

تلعب النقاط القصوى دورًا مهمًا في تحديد تسلسل دالة معينة. يُظهر نظام الإحداثيات في الرسم البياني في أفضل حالاته التغيير في الموضع الأقصى اعتمادًا على التغيير في الوظيفة.

الحدود القصوى للدالة المشتقة

هناك أيضًا ظاهرة مثل "المشتقة". من الضروري تحديد النقطة القصوى. من المهم عدم الخلط بين الحد الأدنى أو الأقصى للنقاط والقيم الأعلى والأدنى. هذه مفاهيم مختلفة، على الرغم من أنها قد تبدو متشابهة.

قيمة الوظيفة هي العامل الرئيسي في تحديد كيفية العثور على النقطة القصوى. لا يتكون المشتق من القيم، ولكن حصريًا من موقعه المتطرف في ترتيب أو آخر.

يتم تحديد المشتق نفسه بناءً على هذه النقاط القصوى، وليس على القيمة الأكبر أو الأصغر. وفي المدارس الروسية، لا يتم رسم الخط الفاصل بين هذين المفهومين بشكل واضح، مما يؤثر على فهم هذا الموضوع بشكل عام.

دعونا الآن نفكر في مفهوم مثل "الحد الأقصى الحاد". اليوم، هناك قيمة دنيا حادة وقيمة قصوى حادة. يتم تقديم التعريف وفقًا للتصنيف الروسي للنقاط الحرجة للدالة. مفهوم النقطة القصوى هو الأساس لإيجاد النقاط الحرجة على الرسم البياني.

ولتعريف مثل هذا المفهوم، لجأوا إلى استخدام نظرية فيرما. وهي الأهم في دراسة النقاط المتطرفة وتعطي فكرة واضحة عن وجودها بشكل أو بآخر. لضمان التطرف، من المهم إنشاء شروط معينة لتقليل أو زيادة على الرسم البياني.

للإجابة بدقة على سؤال "كيفية العثور على النقطة القصوى"، يجب عليك اتباع هذه الإرشادات:

1. العثور على مجال التعريف الدقيق على الرسم البياني.
2. ابحث عن مشتقة الدالة ونقطة النهاية.
3. حل المتباينات القياسية للمجال الذي توجد فيه الوسيطة.
4. تكون قادرًا على إثبات الوظائف التي يتم فيها تعريف نقطة على الرسم البياني ومستمرتها.

انتباه!لا يمكن البحث عن النقطة الحرجة للدالة إلا إذا كان هناك مشتق من الدرجة الثانية على الأقل، وهو ما يضمن وجود نسبة عالية من النقطة القصوى.

شرط ضروري لأقصى وظيفة

من أجل وجود الحد الأقصى، من المهم أن يكون هناك الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط. إذا تم مراعاة هذه القاعدة جزئيًا فقط، فسيتم انتهاك شرط وجود الحد الأقصى.

يجب التمييز بين كل وظيفة في أي منصب من أجل التعرف على معانيها الجديدة. من المهم أن نفهم أن حالة وصول النقطة إلى الصفر ليست المبدأ الرئيسي لإيجاد نقطة قابلة للتفاضل.

يعد الحد الأقصى الحاد، وكذلك الحد الأدنى من الدالة، جانبًا مهمًا للغاية في حل مشكلة رياضية باستخدام القيم المتطرفة. من أجل فهم أفضل لهذا المكون، من المهم الرجوع إلى القيم الجدولية لتحديد الوظيفة.

بحث كامل المعنى

رسم الرسم البياني للقيمة

1. تحديد نقاط القيم المتزايدة والمتناقصة. 2. إيجاد نقاط الانقطاع والحد الأقصى والتقاطع مع محاور الإحداثيات. 3. عملية تحديد التغيرات في الموضع على الرسم البياني. 4. تحديد مؤشر واتجاه التحدب والتحدب مع مراعاة وجود الخطوط المقاربة. 5. إنشاء جدول ملخص البحث من حيث تحديد إحداثياته. 6. إيجاد فترات تزايد وتناقص النقاط القصوى والحادة. 7. تحديد التحدب وتقعر المنحنى. 8. يتيح لك رسم رسم بياني مع مراعاة البحث العثور على الحد الأدنى أو الحد الأقصى.

العنصر الرئيسي عندما يكون من الضروري العمل مع النقاط المتطرفة هو البناء الدقيق للرسم البياني الخاص به. لا يولي معلمو المدارس في كثير من الأحيان أقصى قدر من الاهتمام لمثل هذا الجانب المهم، وهو انتهاك صارخ للعملية التعليمية. يتم إنشاء الرسم البياني فقط بناءً على نتائج دراسة البيانات الوظيفية، وتحديد الحدود القصوى الحادة، وكذلك النقاط على الرسم البياني. يتم عرض الحدود القصوى الحادة للدالة المشتقة على مخطط للقيم الدقيقة، باستخدام إجراء قياسي لتحديد الخطوط المقاربة. تكون النقاط القصوى والدنيا للوظيفة مصحوبة بهياكل بيانية أكثر تعقيدًا. ويرجع ذلك إلى الحاجة الأعمق إلى حل مشكلة الحالات القصوى الحادة. ومن الضروري أيضًا إيجاد مشتقة دالة معقدة وبسيطة، حيث أن هذا من أهم المفاهيم في مسألة الحد الأقصى.

الحد الأقصى للوظيفية

من أجل العثور على القيمة المذكورة أعلاه، يجب عليك الالتزام بالقواعد التالية:

• تحديد الشرط الضروري لعلاقة متطرفة؛
• تأخذ في الاعتبار الحالة الكافية للنقاط القصوى على الرسم البياني؛
• إجراء حساب الحد الأقصى الحاد.

كما يتم استخدام مفاهيم مثل الحد الأدنى الضعيف والحد الأدنى القوي. ويجب أن يؤخذ ذلك في الاعتبار عند تحديد الحد الأقصى وحسابه الدقيق. في الوقت نفسه، الوظيفة الحادة هي البحث وإنشاء جميع الشروط اللازمة للعمل مع الرسم البياني للوظيفة.

1°

1°. تحديد الحد الأقصى للدالة.

تتشابه مفاهيم الحد الأقصى والحد الأدنى والحد الأقصى لدالة لمتغيرين مع المفاهيم المقابلة لدالة متغير مستقل واحد.

دع الوظيفة ض =و (س ; ذ)المحددة في بعض المناطق دنقطة ن (س 0 ;ص 0) د.

نقطة (س 0 ;ص 0)تسمى نقطة الحد الأقصىوظائف ض= و (س ;ذ)،إذا كان هناك مثل هذا -حي النقطة (س 0 ;ص 0)،ذلك لكل نقطة (س؛ ص)،يختلف عن (س 0 ;ص 0)من هذا الحي يستمر عدم المساواة و (س ;ذ)< و (س 0 ;ص 0).في الشكل 12: ن 1 -النقطة القصوى، أ ن 2 -النقطة الدنيا للوظيفة ض =و (س ;ذ).

يتم تحديد النقطة بالمثل الحد الأدنىالوظائف: لجميع النقاط (س 0 ;ص 0)،يختلف عن (س 0 ;ص 0)،من د - جوار نقطة (س 0 ;ص 0)يحمل عدم المساواة: و (س 0 ;ذ0)>و (س 0 ;ص 0).

يتم تحديد الحد الأقصى لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر بالمثل.

يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة القصوى (الدنيا). الحد الأقصى (الحد الأدنى)وظائف.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة التطرف.

لاحظ أن النقطة القصوى للدالة، بحكم التعريف، تقع داخل مجال تعريف الدالة؛ الحد الأقصى والحد الأدنى لها محليالحرف (المحلي): قيمة الدالة عند نقطة ما (س 0 ;ص 0)تتم مقارنتها بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها (س 0 ;ص 0).في المنطقة دقد تحتوي الدالة على عدة نقاط قصوى أو لا شيء.

2°. الشروط اللازمة للأقصى.

دعونا نفكر في شروط وجود الحد الأقصى للدالة.

المساواة هندسيا و"ذ (س 0 ;ص 0)= 0 و و"ذ (س 0 ;ص0) = 0 يعني أنه عند النقطة القصوى للوظيفة ض = و (س ; ذ)مستوى الظل على السطح الذي يمثل الوظيفة و (س ; ذ)،موازية للطائرة أوه هووبما أن معادلة المستوى المماس هي ض =ض 0.

تعليق.يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها واحدة على الأقل من المشتقات الجزئية. على سبيل المثال، الدالة لديه الحد الأقصى عند هذه النقطة عن(0;0)، ولكن لا يوجد لديه مشتقات جزئية في هذه المرحلة.

النقطة التي عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة ض = و (س ;ذ)تساوي الصفر، أي. و"س = 0, و" ص = 0، دعا نقطة ثابتةوظائف ض.

تسمى النقاط الثابتة والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق جزئي واحد على الأقل النقاط الحرجة.

عند النقاط الحرجة، قد يكون للوظيفة حد متطرف أو لا يكون. إن مساواة المشتقات الجزئية بالصفر شرط ضروري ولكنه غير كاف لوجود الحد الأقصى. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، الوظيفة ض = هو.بالنسبة لها، النقطة 0(0; 0) حاسمة (تتحول إلى الصفر). غير أن الوظيفة القصوى فيه ض = صلا يوجد بها، لأنه في حي صغير بما فيه الكفاية من النقطة O(0;0) توجد نقاط لها ض> 0 (نقاط الربعين الأول والثالث) و ض< 0 (نقاط الربعين الثاني والرابع).

وبالتالي، للعثور على الحدود القصوى للدالة في منطقة معينة، فمن الضروري إخضاع كل نقطة حرجة للدالة إلى بحث إضافي.

يتم العثور على النقاط الثابتة عن طريق حل نظام المعادلات

fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0

(الشروط الضرورية للأقصى).

النظام (1) يعادل معادلة واحدة د(س، ص)=0.بشكل عام، في أقصى نقطة ف(أ، ب)وظائف و (س، ص)أو د(س، ص)=0، أو مدافع (أ، ب) غير موجود.

3°. الظروف الكافية للأقصى. يترك ف(أ;ب)- النقطة الثابتة للوظيفة و(س، ص)،أي. . د(أ، ب) = 0. ثم:

أ) إذا د2ف (أ، ب)< 0 عند، ثم و(أ، ب) هنالك الحد الأقصىوظائف و (س، ص);

ب) إذا d2f (أ، ب) > 0عند، ثم و(أ، ب)هنالك الحد الأدنىوظائف و (س، ص);

ج) إذا د2ف (أ، ب)علامة التغييرات، ثم و (أ، ب) ليس الحد الأقصى للوظيفة و (س، ص).

الشروط المعطاة تعادل ما يلي: دع و . دعونا نؤلف تمييزي Δ=AC -ب².

1) إذا كانت Δ > 0، فإن الدالة لها حد أقصى عند هذه النقطة ف(أ;ب)وهي الحد الأقصى إذا أ<0 (أو مع<0 ) والحد الأدنى إذا أ>0(أو ج>0);

2) إذا Δ< 0, то экстремума в точке ف(أ;ب)لا؛

3) إذا كانت Δ = 0، فإن مسألة وجود الحد الأقصى للدالة عند هذه النقطة ف(أ;ب)يبقى مفتوحًا (يتطلب مزيدًا من البحث).

4 درجات. حالة دالة متعددة المتغيرات. بالنسبة لدالة ذات ثلاثة متغيرات أو أكثر، تكون الشروط الضرورية لوجود الحد الأقصى مشابهة للشروط (1)، والشروط الكافية مشابهة للشروط أ)، ب)، ج) 3°.

مثال. فحص الوظيفة القصوى ض=x³+3xy²-15x-12y.

حل. دعونا نجد المشتقات الجزئية وننشئ نظام المعادلات (1):

بحل النظام نحصل على أربع نقاط ثابتة:

دعونا نجد مشتقات الدرجة الثانية

وإنشاء التمييز Δ=AC - B²لكل نقطة ثابتة

1) للنقطة: , Δ=AC-B²=36-144<0 . وهذا يعني أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

2) بالنسبة للنقطة P2: أ=12، ب=6، ج=12؛ Δ=144-36>0, أ>0. عند النقطة P2، يكون للوظيفة حد أدنى. هذا الحد الأدنى يساوي قيمة الدالة عند x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) النقطة: أ= -6، ب=-12، ج= -6؛ Δ = 36-144<0 . ليس هناك المدقع.

4) بالنسبة للنقطة P 4: أ=-12، ب=-6، ج=-12؛ Δ=144-36>0. عند النقطة P4، يكون للدالة حد أقصى يساوي زماكس=-8-6+30+12=28.

5°. الحد الأقصى المشروط. في أبسط الحالات أقصى مشروطوظائف و(س، ص) هو الحد الأقصى أو الأدنى لهذه الوظيفة، ويتم تحقيقه بشرط أن تكون وسيطاتها مرتبطة بالمعادلة φ(س،ص)=0 (معادلة الاتصال). للعثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة و(س، ص) في وجود علاقة φ(س،ص) = 0، تشكل ما يسمى وظيفة لاغرانج

ف (س,ذ )=و (س,ي)+λφ (س,ذ)،

حيث  هو عامل ثابت غير محدد، ويتم البحث عن الحد الأقصى المعتاد لهذه الوظيفة المساعدة. يتم تقليل الشروط اللازمة لحدوث أقصى إلى نظام من ثلاث معادلات

مع ثلاثة مجهولين س، ص، α، والتي يمكن من خلالها تحديد هذه المجهولة بشكل عام.

تم حل مسألة وجود وطبيعة الحد الأقصى الشرطي بناء على دراسة إشارة التفاضل الثاني لدالة لاغرانج

لنظام القيم قيد الاختبار س، ص، α، حصل من (٢) بشرط ذلك dxو دوالمرتبطة بالمعادلة

.

وهي الوظيفة و(س، ص) لديه حد أقصى مشروط إذا د²F< 0، والحد الأدنى المشروط إذا د²ف>0. على وجه الخصوص، إذا كان المميز Δ للدالة و(س،ص)موجبة عند نقطة ثابتة، عند هذه النقطة يوجد حد أقصى مشروط للدالة و(س، ص)، لو أ< 0 (أو مع< 0)، والحد الأدنى المشروط إذا أ> أو(أو ج>0).

وبالمثل، يتم العثور على الحد الأقصى الشرطي لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر في وجود واحدة أو أكثر من معادلات الاقتران (ومع ذلك، يجب أن يكون عددها أقل من عدد المتغيرات). يتعين علينا هنا إدخال العديد من العوامل غير المؤكدة في دالة لاغرانج مثل معادلات الاقتران.

مثال. أوجد الحد الأقصى للدالة ض = 6-4س -3ذبشرط أن تكون المتغيرات Xو فيإرضاء المعادلة س²+ص²=1.

حل. هندسيًا، تكمن المشكلة في إيجاد القيم الأكبر والأصغر للتطبيق ضطائرة ض=6 - 4س - زولنقاط تقاطعها مع الاسطوانة س2+ص2=1.

تجميع وظيفة لاغرانج F(x,y)=6 -4x -3y+lect(x2+y2 -1).).

لدينا . الشروط اللازمة تعطي نظام المعادلات

الحل الذي نجد:

.

,

د²و =2λ (دي إكس²+دي²).

إذا و، ثم د²و> 0، وبالتالي، في هذه المرحلة، يكون للدالة حد أدنى شرطي. لو وثم د²ف<0, وبالتالي، عند هذه النقطة، يكون للدالة قيمة عظمى مشروطة.

هكذا،

6°. أكبر وأصغر قيم الدالة.

دع الوظيفة ض =و (س ; ذ)محددة ومستمرة في منطقة مغلقة محدودة . ثم تصل إلى بعض النقاط أعظم الخاص بك موالأقل تالقيم (ما يسمى الحد الأقصى العالمي).يتم تحقيق هذه القيم عن طريق الدالة في نقاط تقع داخل المنطقة , أو في نقاط تقع على حدود المنطقة.

معنى

أعظم

معنى

الأقل

النقطة القصوى

نقطة الحد الأدنى

يتم حل مشاكل العثور على نقاط الدالة القصوى وفقًا لمخطط قياسي في 3 خطوات.

الخطوة 1. أوجد مشتقة الدالة

• تذكر الصيغ المشتقة للدوال الأولية والقواعد الأساسية للتمايز للعثور على المشتقة.

ص′(س)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

الخطوة 2. أوجد أصفار المشتقة

• حل المعادلة الناتجة لإيجاد أصفار المشتقة.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

الخطوة 3. البحث عن النقاط المتطرفة

• استخدم طريقة الفاصل لتحديد علامات المشتق؛
• عند النقطة الدنيا، تكون المشتقة تساوي صفرًا وتتغير الإشارة من ناقص إلى زائد، وعند النقطة القصوى، من زائد إلى ناقص.

دعونا نستخدم هذا الأسلوب لحل المشكلة التالية:

أوجد النقطة القصوى للدالة y=x3−243x+19.

1) أوجد المشتقة: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) حل المعادلة y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) المشتق موجب لـ x>9 وx<−9 и отрицательная при −9

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالة

لحل مشكلة إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة ضروري:

• أوجد النقاط القصوى للدالة على المقطع (الفاصل الزمني).
• ابحث عن القيم الموجودة في نهايات المقطع وحدد القيمة الأكبر أو الأصغر من القيم الموجودة في أقصى النقاط وفي نهايات المقطع.

يساعد في العديد من المهام نظرية:

إذا كانت هناك نقطة قصوى واحدة فقط على القطعة، وهذه هي النقطة الدنيا، فسيتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عندها. إذا كانت هذه هي النقطة القصوى، فسيتم الوصول إلى القيمة الأكبر هناك.

14. المفهوم والخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد.

إذا كانت الوظيفة و(س X، و ك- الرقم إذن

تحدث باختصار: يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل.

إذا كانت الوظائف و(س) و ز(س) لها مشتقات عكسية في الفترة X، الذي - التي

تحدث باختصار: تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات.

إذا كانت الوظيفة و(س) لديه مشتق عكسي في الفترة X، ثم بالنسبة للنقاط الداخلية لهذا الفاصل الزمني:

تحدث باختصار: مشتقة التكامل يساوي التكامل.

إذا كانت الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة Xويكون قابلاً للاشتقاق عند النقاط الداخلية لهذه الفترة، إذن:

تحدث باختصار: تكامل تفاضل الدالة يساوي هذه الدالة زائد ثابت التكامل.

دعونا نعطي تعريفا رياضيا صارما مفاهيم التكامل غير المحدد.

يسمى التعبير عن النموذج جزء لا يتجزأ من الوظيفة و (خ) ، أين و (خ) - الدالة التكاملية المعطاة (المعروفة)، dx - التفاضلي س ، مع وجود الرمز دائمًا dx .

تعريف. تكامل غير محددتسمى وظيفة و(خ) + ج ، تحتوي على ثابت تعسفي ج ، التفاضل الذي يساوي تكاملتعبير و (خ) دكس ، أي. أو يتم استدعاء الدالة وظيفة مضاد. يتم تحديد المشتق العكسي للدالة حتى قيمة ثابتة.

دعونا نذكركم بأن - وظيفة تفاضليةويتم تعريفه على النحو التالي:

العثور على مشكلة تكامل غير محددهو العثور على مثل هذه الوظيفة المشتقوهو ما يساوي التكامل. يتم تحديد هذه الوظيفة بدقة إلى ثابت، لأن مشتقة الثابت هي صفر.

على سبيل المثال، من المعروف أن، ثم اتضح ذلك ، هنا ثابت تعسفي.

إيجاد المشكلة تكامل غير محددالوظائف ليست بسيطة وسهلة كما تبدو للوهلة الأولى. في كثير من الحالات، يجب أن تكون هناك مهارة في العمل التكاملات غير المحددة,يجب أن تكون هناك خبرة تأتي مع الممارسة والثبات حل أمثلة التكاملات غير المحددةومن الجدير النظر في حقيقة ذلك التكاملات غير المحددةمن بعض الوظائف (هناك الكثير منها) لا يتم أخذها في الوظائف الأولية.

15. جدول التكاملات الأساسية غير المحددة.

الصيغ الأساسية

16. التكامل المحدد هو نهاية مجموع التكامل. المعنى الهندسي والمادي للتكامل.

دع الدالة y=ƒ(x) محددة على الفاصل الزمني [a; ب]، أ< b. Выполним следующие действия.

1. استخدام النقاط x 0 = a، x 1، x 2، ...، x n = B (x 0

2. في كل قطعة جزئية i = 1,2,...,n، اختر نقطة اختيارية مع i є واحسب قيمة الدالة فيها، أي القيمة ƒ(مع i).

3. اضرب القيمة التي تم العثور عليها للدالة ƒ (مع i) في الطول ∆x i =x i -x i-1 للقطعة الجزئية المقابلة: ƒ (مع i) ∆x i.

4. دعونا نجمع مجموع S n لجميع هذه المنتجات:

مجموع النموذج (35.1) يسمى المجموع التكاملي للدالة y = ƒ(x) على الفاصل الزمني [a; ب]. دعونا نشير بـ lect إلى طول الجزء الجزئي الأكبر: lect = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. دعونا نجد نهاية المجموع التكاملي (35.1) عندما يكون n → ∞ بحيث يكون α→0.

إذا كان في هذه الحالة المبلغ المتكامل S n له حد I، والذي لا يعتمد على طريقة تقسيم المقطع [a؛ ب] على المقاطع الجزئية، ولا على اختيار النقاط فيها، فإن الرقم I يُسمى تكاملًا محددًا للدالة y = ƒ(x) على القطعة [a؛ ب] ويشار إليه بالتالي،

يُطلق على الأرقام a و b الحدود الدنيا والعليا للتكامل، على التوالي، ƒ(x) - دالة التكامل، ƒ(x) dx - التكامل، x - متغير التكامل، القطعة [a؛ ب] - منطقة (قطعة) التكامل.

الدالة y=ƒ(x)، والتي تكون على الفاصل الزمني [a؛ ب] يوجد تكامل محدد يسمى التكامل في هذه الفترة.

دعونا الآن نقوم بصياغة نظرية لوجود تكامل محدد.

نظرية 35.1 (كوشي). إذا كانت الدالة y = ƒ(x) متصلة على الفاصل الزمني [a; ب]، ثم التكامل المحدد

لاحظ أن استمرارية الدالة شرط كافي لتكاملها. ومع ذلك، يمكن أن يوجد تكامل محدد أيضًا لبعض الدوال غير المتصلة، على وجه الخصوص لأي دالة محدودة بفاصل زمني يحتوي على عدد محدود من نقاط عدم الاستمرارية.

دعونا نشير إلى بعض خصائص التكامل المحدد التي تتبع مباشرة تعريفه (35.2).

1. التكامل المحدد مستقل عن تسمية متغير التكامل:

يأتي هذا من حقيقة أن المجموع المتكامل (35.1)، وبالتالي حده (35.2)، لا يعتمدان على الحرف الذي يُشار إليه بحجة دالة معينة.

2. التكامل المحدد الذي له نفس حدود التكامل يساوي صفراً:

3. لأي عدد حقيقي ج.

17. صيغة نيوتن-لايبنيز. الخصائص الأساسية للتكامل المحدد.

دع الوظيفة ص = و(س)المستمر على الجزء و و(خ)هي إحدى المشتقات العكسية للدالة في هذا الجزء، إذًا صيغة نيوتن-لايبنتز: .

تسمى صيغة نيوتن-لايبنتز الصيغة الأساسية لحساب التكامل.

لإثبات صيغة نيوتن-لايبنتز، نحتاج إلى مفهوم التكامل ذو الحد الأعلى المتغير.

إذا كانت الوظيفة ص = و(س)المستمر على الجزء ، إذن بالنسبة للوسيطة، فإن تكامل النموذج هو دالة للحد الأعلى. دعونا نشير إلى هذه الوظيفة وهذه الدالة مستمرة والمساواة صحيحة .

في الواقع، دعونا نكتب زيادة الدالة المقابلة لزيادة الوسيطة ونستخدم الخاصية الخامسة للتكامل المحدد والنتيجة الطبيعية من الخاصية العاشرة:

أين .

دعونا نعيد كتابة هذه المساواة في الصورة . إذا تذكرنا تعريف مشتق الدالة وذهبنا إلى الحد عند ، فسنحصل على . أي أن هذه إحدى المشتقات العكسية للدالة ص = و(س)على الجزء . وهكذا، مجموعة من جميع المشتقات المضادة و(خ)يمكن كتابتها كما ، أين مع- ثابت تعسفي.

دعونا نحسب واو (أ)باستخدام الخاصية الأولى للتكامل المحدد: ، لذلك، . دعونا نستخدم هذه النتيجة عند الحساب و(ب): ، إنه . هذه المساواة تعطي صيغة نيوتن-لايبنتز المثبتة .

يُشار عادةً إلى زيادة الوظيفة على أنها . باستخدام هذا الترميز، تأخذ صيغة نيوتن-لايبنيز الشكل .

لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز، يكفي أن نعرف إحدى المشتقات العكسية ص = و (س)وظيفة التكامل ص = و (س)على الجزء وحساب زيادة هذا المشتق العكسي على هذه القطعة. تناقش طرق المقالة للتكامل الطرق الرئيسية للعثور على المشتق العكسي. دعونا نعطي بعض الأمثلة لحساب التكاملات المحددة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز للتوضيح.

مثال.

احسب قيمة التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز.

حل.

في البداية، نلاحظ أن التكامل مستمر على الفترة وبالتالي فهو متكامل عليه. (تحدثنا عن الوظائف القابلة للتكامل في القسم الخاص بالوظائف التي يوجد لها تكامل محدد).

من جدول التكاملات غير المحددة، من الواضح أنه بالنسبة للدالة، يتم كتابة مجموعة المشتقات العكسية لجميع القيم الحقيقية للوسيطة (وبالتالي لـ ) كـ . دعونا نأخذ المشتق العكسي لـ ج = 0: .

يبقى الآن استخدام صيغة نيوتن-لايبنيز لحساب التكامل المحدد: .

18. التطبيقات الهندسية للتكامل المحدد.

التطبيقات الهندسية للتكامل المحدد

مستطيلة	الوظيفة المحددة حدوديا	بوليارنايا إس.ك.
حساب مساحات الأشكال المستوية
حساب طول قوس منحنى المستوى
حساب مساحة سطح الثورة

حساب حجم الجسم

حساب حجم الجسم من مساحات المقاطع المتوازية المعروفة:

حجم الجسم الدوراني : ; .

مثال 1. أوجد مساحة الشكل المحدد بالمنحنى y=sinx بخطوط مستقيمة

حل:إيجاد مساحة الشكل:

مثال 2. حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

حل:دعونا نجد حدود نقاط التقاطع للرسوم البيانية لهذه الوظائف. للقيام بذلك، نقوم بحل نظام المعادلات

من هنا نجد × 1 = 0، × 2 = 2.5.

19. مفهوم الضوابط التفاضلية. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية- معادلة تربط قيمة مشتقة الدالة بالدالة نفسها وقيم المتغير المستقل والأرقام (المعلمات). يمكن أن يكون ترتيب المشتقات المدرجة في المعادلة مختلفًا (رسميًا لا يقتصر على أي شيء). قد تظهر المشتقات والوظائف والمتغيرات المستقلة والمعلمات في المعادلة في مجموعات مختلفة، أو قد تكون جميع المشتقات غائبة تمامًا باستثناء مشتق واحد. ليست كل معادلة تحتوي على مشتقات دالة مجهولة هي معادلة تفاضلية. على سبيل المثال، ليست معادلة تفاضلية

المعادلات التفاضلية الجزئية(PDF) هي معادلات تحتوي على دوال غير معروفة لعدة متغيرات ومشتقاتها الجزئية. يمكن تمثيل الشكل العام لهذه المعادلات على النحو التالي:

أين هي المتغيرات المستقلة، وهي دالة لهذه المتغيرات. يمكن تحديد ترتيب المعادلات التفاضلية الجزئية بنفس طريقة المعادلات التفاضلية العادية. تصنيف مهم آخر للمعادلات التفاضلية الجزئية هو تقسيمها إلى معادلات من النوع الإهليلجي والقطع المكافئ والقطع الزائد، خاصة في المعادلات من الدرجة الثانية.

يمكن تقسيم كل من المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية إلى خطيو غير خطية. تكون المعادلة التفاضلية خطية إذا كانت الدالة المجهولة ومشتقاتها تدخل المعادلة إلى الدرجة الأولى فقط (ولا تضرب في بعضها البعض). بالنسبة لمثل هذه المعادلات، تشكل الحلول مساحة فرعية متقاربة من مساحة الوظائف. تم تطوير نظرية المعادلات التفاضلية الخطية بشكل أعمق بكثير من نظرية المعادلات غير الخطية. منظر عام للمعادلة التفاضلية الخطية ن- الترتيب الرابع :

أين باي(س) هي دوال معروفة للمتغير المستقل تسمى معاملات المعادلة. وظيفة ص(س) على الجانب الأيمن يسمى عضو حر(المصطلح الوحيد الذي لا يعتمد على الدالة المجهولة) فئة معينة مهمة من المعادلات الخطية هي المعادلات التفاضلية الخطية ذات معاملات ثابتة.

فئة فرعية من المعادلات الخطية هي متجانسالمعادلات التفاضلية - المعادلات التي لا تحتوي على حد حر: ص(س) = 0. بالنسبة للمعادلات التفاضلية المتجانسة، فإن مبدأ التراكب ينص على أن: مجموعة خطية من الحلول الجزئية لمثل هذه المعادلة ستكون أيضًا حلاً لها. تسمى جميع المعادلات التفاضلية الخطية الأخرى غير متجانسةالمعادلات التفاضلية.

المعادلات التفاضلية غير الخطية في الحالة العامة ليس لها طرق حل متطورة، باستثناء بعض الفئات الخاصة. في بعض الحالات (باستخدام بعض التقديرات التقريبية) يمكن اختزالها إلى الخطية. على سبيل المثال، المعادلة الخطية للمذبذب التوافقي يمكن اعتباره تقريبيًا للمعادلة غير الخطية للبندول الرياضي في حالة السعات الصغيرة، متى ذ≈ الخطيئة ذ.

· - معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. الحل هو مجموعة من الوظائف، حيث و هي ثوابت عشوائية، والتي يتم تحديدها لحل معين من الشروط الأولية المحددة بشكل منفصل. تصف هذه المعادلة، على وجه الخصوص، حركة المذبذب التوافقي بتردد دوري قدره 3.

يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني على شكل معادلة تفاضلية حيث م- وزن الجسم، س- إحداثياتها، ف(س, ر) - القوة المؤثرة على الجسم بالإحداثيات سفي وقت ما ر. حلها هو مسار الجسم تحت تأثير القوة المحددة.

· معادلة بيسل التفاضلية هي معادلة خطية متجانسة عادية من الدرجة الثانية ذات معاملات متغيرة: حلولها هي دوال بيسل.

· مثال على معادلة تفاضلية عادية غير خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى:

في المجموعة التالية من الأمثلة هناك وظيفة غير معروفة شيعتمد على متغيرين سو رأو سو ذ.

· معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الأولى:

· معادلة موجية أحادية البعد - معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من النوع الزائدي من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة، تصف تذبذب السلسلة إذا - انحراف السلسلة عند النقطة ذات الإحداثيات سفي وقت ما ر، والمعلمة أيحدد خصائص السلسلة:

· معادلة لابلاس في الفضاء ثنائي الأبعاد هي معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الرتبة الثانية من النوع الإهليلجي ذات معاملات ثابتة، تنشأ في العديد من المسائل الفيزيائية للميكانيكا والتوصيل الحراري والكهرباء الساكنة والهيدروليكا:

· معادلة كورتيويغ دي فريس، معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الثالثة تصف الموجات غير الخطية الثابتة، بما في ذلك السوليتونات:

20. المعادلات التفاضلية القابلة للفصل قابلة للتطبيق. المعادلات الخطية وطريقة برنولي.

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة خطية بالنسبة إلى دالة مجهولة ومشتقتها. لديها شكل القوة الكاملة. في الواقع، إذا وجدت وعوضت في معادلات من الأنواع المذكورة، فسوف تحصل على مساواة حقيقية. كما هو مذكور في المقال حول معادلات متجانسة، إذا كان مطلوبًا وفقًا للشرط إيجاد حل معين فقط، فإن الدالة، لأسباب واضحة، لا تزعجنا، ولكن عندما يتطلب الأمر إيجاد حل عام/تكامل، فمن الضروري التأكد من ذلك لا تضيع هذه الوظيفة!

أحضرت جميع الأشكال الشائعة لمعادلة برنولي في حقيبة كبيرة من الهدايا وبدأت في توزيعها. شنق الجوارب الخاصة بك تحت الشجرة.

مثال 1

أوجد حلاً محددًا للمعادلة التفاضلية المقابلة للشرط الأولي المحدد.
,

ربما فوجئ الكثيرون بإخراج الهدية الأولى على الفور من الحقيبة مشكلة كوشي. هذا ليس حادثا. عندما يتم اقتراح معادلة برنولي لحل ما، لسبب ما، يكون من الضروري في كثير من الأحيان إيجاد حل معين. من مجموعتي، قمت باختيار عشوائي لـ 10 معادلات برنولي، ويجب العثور على الحل العام (بدون حل معين) في معادلتين فقط. ولكن، في الواقع، هذا تافه، حيث سيتعين عليك البحث عن حل عام في أي حال.

حل:هذا الناشر له الشكل، وبالتالي فهو معادلة برنولي