معادلة الخط على الطائرة

الأسئلة الرئيسية للمحاضرة: معادلات الخط على المستوى؛ أشكال مختلفةمعادلات الخط المستقيم على المستوى. الزاوية بين الخطوط المستقيمة شروط التوازي والتعامد بين الخطوط؛ المسافة من نقطة إلى خط؛ منحنيات الدرجة الثانية: الدائرة، القطع الناقص، القطع الزائد، القطع المكافئ، معادلاتها وخصائصها الهندسية؛ معادلات المستوى والخط في الفضاء.

تسمى معادلة الصورة معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة.

إذا عبرنا في هذه المعادلة فبعد الاستبدال نحصل على معادلة تسمى معادلة الخط المستقيم بمعامل زاوي، وأين الزاوية بين الخط المستقيم و اتجاه إيجابيمحور الإحداثي السيني. إذا كان في المعادلة العامةعلى خط مستقيم، ننقل المعامل الحر إلى الجانب الأيمن ونقسم عليه فنحصل على معادلة مقطعة

أين و هي نقاط تقاطع الخط مع محوري الإحداثي والإحداثي على التوالي.

يسمى الخطان في المستوى متوازيين إذا لم يتقاطعا.

تسمى الخطوط متعامدة إذا كانت تتقاطع بزاوية قائمة.

اسمحوا سطرين وتعطى.

للعثور على نقطة تقاطع الخطوط (إذا كانت متقاطعة)، من الضروري حل النظام بهذه المعادلات. الحل لهذا النظام سيكون نقطة تقاطع الخطوط. دعونا نجد الشروط الموقف النسبيخطين مستقيمين.

لأن ، ثم يتم العثور على الزاوية بين هذه الخطوط بالصيغة

من هذا يمكننا أن نستنتج أنه متى يكون المستقيمان متوازيين ومتى يكونان متعامدين. إذا تم إعطاء الخطوط في الصورة العامة، فإن الخطوط تكون متوازية في ظل الشرط ومتعامدة في ظل الشرط

يمكن إيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام الصيغة

المعادلة العادية للدائرة:

يسمى القطع الناقص موضعنقاط على المستوى، مجموع المسافات منها إلى اثنين نقاط معينة، تسمى البؤر، وهي كمية ثابتة.

المعادلة القانونية للقطع الناقص لها الشكل:

. رؤوس القطع الناقص هي النقاط , , . الانحراف المركزي للقطع الناقص هو النسبة

القطع الزائد هو موضع النقاط على المستوى، ومعامل الفرق في المسافات من نقطتين محددتين، تسمى البؤر، هو قيمة ثابتة.

المعادلة القانونية للقطع الزائد لها الشكل:

أين - محور شبه رئيسي- المحور شبه الأصغر و . يتم التركيز على النقاط . رؤوس القطع الزائد هي النقاط . الانحراف المركزي للقطع الزائد هو النسبة

تسمى الخطوط المستقيمة الخطوط المقاربة للقطع الزائد. إذا كان القطع الزائد يسمى متساوي الأضلاع.

من المعادلة نحصل على زوج من الخطوط المتقاطعة و .

القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، حيث المسافة من كل نقطة إلى نقطة معينة، تسمى البؤرة، تساوي المسافة إلى خط مستقيم معين، يسمى الدليل، وهي قيمة ثابتة.

معادلة القطع المكافئ الكنسي

ويسمى الخط المستقيم الدليل، والنقطة تسمى البؤرة.

مفهوم الاعتماد الوظيفي

الأسئلة الرئيسية للمحاضرة: المجموعات؛ العمليات الأساسية على مجموعات؛ تعريف الوظيفة، مجال وجودها، طرق الإسناد؛ الوظائف الأولية الأساسية، وخصائصها والرسوم البيانية. التسلسلات الرقمية وحدودها؛ نهاية الدالة عند نقطة وعند اللانهاية؛ الكميات الصغيرة والكبيرة بلا حدود وخصائصها؛ النظريات الأساسية حول النهايات؛ حدود رائعة؛ استمرارية الدالة عند نقطة وعلى فترة زمنية؛ خصائص الوظائف المستمرة.

إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة مرتبطًا بعنصر محدد تمامًا من المجموعة، فسيقولون أن الوظيفة محددة في المجموعة. ويسمى في هذه الحالة المتغير أو الوسيطة المستقلة، والمتغير التابع، ويدل الحرف على قانون المراسلات.

تسمى المجموعة مجال تعريف أو وجود دالة، وتسمى المجموعة مجال قيم الدالة.

هناك الطرق التالية لتحديد وظيفة

1. الطريقة التحليلية، إذا كانت الدالة معطاة بصيغة النموذج

2. الطريقة الجدولية هي أن يتم تحديد الدالة بواسطة جدول يحتوي على قيم الوسيطة والقيم المقابلة للدالة

3. تتكون الطريقة الرسومية من تصوير رسم بياني لدالة - مجموعة من النقاط على المستوى، تمثل حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات هي القيم المقابلة للدالة

4. الطريقة اللفظية، إذا كانت الوظيفة موصوفة بقاعدة تكوينها.

الخصائص الأساسية للوظيفة

1. زوجي وغريب. يتم استدعاء الدالة حتى لو لجميع القيم من مجال التعريف والفردية إذا . وإلا فإن الوظيفة تسمى وظيفة منظر عام.

2. الرتابة. تسمى الدالة زيادة (تناقص) على الفاصل الزمني إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر (أصغر) للدالة.

3. محدود. يقال إن الدالة محدودة بفاصل زمني إذا كان هناك مثل هذا رقم إيجابيهذا لأي شخص. وإلا فإن الوظيفة تسمى غير محدودة.

4. التردد. تسمى الوظيفة دورية مع فترة إذا كانت لأي مجال من مجالات تعريف الوظيفة .

تصنيف الوظائف.

1. وظيفة معكوسة. يجب أن تكون هناك دالة لمتغير مستقل محدد في مجموعة ذات نطاق من القيم. دعونا نربط كل منها بقيمة واحدة عندها. ثم تسمى الوظيفة الناتجة المحددة في مجموعة ذات نطاق من القيم معكوسًا.

2. وظيفة معقدة. دع الدالة تكون دالة لمتغير محدد في مجموعة ذات نطاق من القيم، والمتغير بدوره هو دالة.

يتم استخدام الوظائف التالية غالبًا في الاقتصاد.

1. إن وظيفة المنفعة ووظيفة التفضيل هما، بالمعنى الواسع، اعتماد المنفعة، أي النتيجة، تأثير بعض الإجراءات، على مستوى شدة هذا الإجراء.

2. وظيفة الإنتاج - اعتماد نتيجة نشاط الإنتاج على العوامل التي تحددها.

3. وظيفة الإخراج (نوع معين من وظيفة الإنتاج) – اعتماد حجم الإنتاج على بداية الموارد أو استهلاكها.

4. دالة التكلفة (نوع معين من دالة الإنتاج) – اعتماد تكاليف الإنتاج على حجم الإنتاج.

5. وظائف الطلب والاستهلاك والعرض - اعتماد حجم الطلب أو الاستهلاك أو العرض للسلع أو الخدمات الفردية على عوامل مختلفة.

إذا، وفقا لبعض القوانين، الجميع عدد طبيعيإذا تم تعيين رقم محدد للغاية، فإنهم يقولون أنه تم إعطاء تسلسل رقمي.

:

تسمى الأرقام أعضاء التسلسل، والرقم هو عضو مشترك في التسلسل.

الرقم يسمى الحد تسلسل رقمي، إذا كان هناك رقم (حسب) لأي رقم صغير بحيث تكون المساواة صحيحة لجميع أعضاء التسلسل مع الأرقام، فسيتم الإشارة إلى حد التسلسل الرقمي بواسطة.

تسمى المتوالية التي لها نهاية متقاربة، وإلا فإنها تسمى متباعدة.

يسمى الرقم نهاية الدالة إذا كان هناك رقم موجب لأي رقم صغير، بحيث تكون المتراجحة صحيحة لجميع هذه الأرقام.

نهاية الدالة عند نقطة ما. دع الدالة تُعطى في بعض المناطق المجاورة للنقطة، ربما باستثناء النقطة نفسها. يُطلق على الرقم حد الدالة عند ، إذا كان هناك رقم موجب، حتى لو كان صغيرًا بشكل تعسفي، (يعتمد على) بحيث يكون عدم المساواة للجميع ويحقق الشرط. تم تحديد هذا الحد .

تسمى الدالة متناهية الصغر إذا كان حدها صفرًا.

خواص الكميات المتناهية الصغر

1. المجموع الجبري لعدد محدود من الكميات متناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.

2. المنتج ذو حجم صغير بلا حدود بواسطة وظيفة محدودةهي كمية متناهية الصغر

3. حاصل قسمة كمية متناهية الصغر على دالة حدها غير الصفر هو كمية متناهية الصغر.

مفهوم المشتقة والتفاضلية للدالة

أهم أسئلة المحاضرة: المشكلات المؤدية إلى مفهوم المشتق؛ تعريف المشتق. هندسية و المعنى الجسديالمشتق؛ مفهوم الوظيفة التفاضلية. القواعد الأساسية للتمايز. مشتقات الأساسية وظائف أولية; مشتق من معقدة و وظيفة عكسية; مشتقات الطلبات العليا، النظريات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل؛ نظرية لوبيتال. الكشف عن الشكوك؛ وظيفة متزايدة ومتناقصة. الحد الأقصى للدالة التحدب وتقعر الرسم البياني للدالة ؛ العلامات التحليلية للتحدب والتقعر. نقاط انعطاف الخطوط المقاربة الرأسية والمائلة للرسم البياني للدالة؛ المخطط العامالبحث عن وظيفة وبناء الرسم البياني لها، وتحديد وظيفة من عدة متغيرات؛ الحد والاستمرارية. المشتقات الجزئية والوظائف التفاضلية. مشتق الاتجاه، التدرج. أقصى دالة من عدة متغيرات؛ أكبر وأصغر قيم الدالة؛ الحد الأقصى المشروط، طريقة لاغرانج.

مشتقة الدالة هي حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة المتغير المستقل حيث يميل الأخير إلى الصفر (في حالة وجود هذه النهاية)

.

إذا كانت الدالة عند نقطة ما لها مشتق محدود، يقال إن الدالة قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة. تسمى الدالة القابلة للاشتقاق عند كل نقطة من الفترة القابلة للاشتقاق في هذه الفترة.

معنى هندسيالمشتق: المشتق هو ميل (ظل زاوية الميل) للظل المخفض للمنحنى عند النقطة.

ثم تأخذ معادلة المماس للمنحنى عند النقطة الصورة

المعنى الميكانيكي للمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن هو سرعة نقطة في لحظة من الزمن:

المعنى الاقتصادي للمشتق: مشتق حجم المنتجات المصنعة بالنسبة للوقت هو إنتاجية العمل في الوقت الحالي

نظرية. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فهي متصلة عند تلك النقطة.

يمكن إيجاد مشتق الدالة باستخدام المخطط التالي

1. قم بزيادة الوسيطة وابحث عن القيمة المتزايدة للدالة .

2. أوجد زيادة الدالة.

3. تكوين علاقة.

4. أوجد نهاية هذه النسبة عند (إذا كان هذا الحد موجوداً).

قواعد التمايز

1. مشتقة الثابت هي صفر.

2. مشتق الوسيطة يساوي 1، أي.

3. مشتق المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال القابلة للتفاضل يساوي نفس مجموع مشتقات هذه الدوال، أي.

4. مشتقة منتج دالتين قابلتين للتفاضل يساوي منتج مشتقة العامل الأول في الثاني زائد منتج العامل الأول في مشتقة الثاني، أي

5. يمكن إيجاد مشتق حاصل دالتين قابلتين للتفاضل باستخدام الصيغة:

.

نظرية. إذا كانت و وظائف قابلة للتفاضل لمتغيراتها، فإن المشتقة وظيفة معقدةموجود ويساوي مشتقة دالة معينة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومضروبًا في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل، أي

نظرية. بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل مع مشتقة لا تساوي الصفر، فإن مشتقة الدالة العكسية تساوي مقلوب مشتقة هذه الدالة، أي.

مرونة الدالة هي حد نسبة الزيادة النسبية للدالة إلى الزيادة النسبية للمتغير عند:

توضح مرونة الدالة تقريبًا النسبة المئوية التي ستتغير فيها الدالة عندما يتغير المتغير المستقل بنسبة واحد بالمائة.

هندسيًا، هذا يعني أن مرونة الدالة (بالقيمة المطلقة) تساوي نسبة مسافات الظل من نقطة معينة على الرسم البياني للدالة إلى نقاط تقاطعها مع المحورين.

الخصائص الأساسية لوظيفة المرونة:

1. مرونة الدالة تساوي حاصل ضرب المتغير المستقل ومعدل تغير الدالة ، إنه .

2. مرونة المنتج (حاصل) وظيفتين تساوي مجموع (الفرق) مرونة هذه الوظائف:

, .

3. مرونة الدوال المتبادلة – الكميات المتبادلة:

يتم استخدام دالة المرونة في تحليل الطلب والاستهلاك.

نظرية فيرما. إذا وصلت الدالة القابلة للتفاضل في فترة ما إلى قيمتها الكبرى أو الصغرى عند نقطة داخلية من هذه الفترة، فإن مشتقة الدالة عند هذه النقطة تساوي الصفر، أي.

نظرية رول. دع الوظيفة تستوفي الشروط التالية:

1) مستمر على الجزء؛

2) قابلة للتمييز على الفاصل الزمني ;

3) في نهايات المقطع يأخذ قيم متساوية، أي.

ثم يوجد داخل القطعة نقطة واحدة على الأقل يكون عندها مشتق الدالة يساوي صفرًا: .

نظرية لاغرانج. دع الوظيفة تستوفي الشروط التالية

1. مستمر على الجزء.

2. قابلة للتمييز على الفاصل الزمني.

ثم يوجد داخل القطعة نقطة واحدة على الأقل تساوي عندها المشتقة حاصل قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة على هذه القطعة، وهي .

نظرية. إن حد النسبة بين وظيفتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي يساوي حد النسبة بين مشتقاتهما (المحدودة أو اللانهائية) إذا كانت الأخيرة موجودة بالمعنى المشار إليه. لذلك، إذا كان هناك عدم يقين من النموذج أو، ثم

النظرية (الشرط الكافي لزيادة الدالة)

إذا كانت مشتقة الدالة القابلة للتفاضل موجبة خلال فترة معينة X، فإنها تزيد خلال هذه الفترة.

النظرية (الشرط الكافي لتناقص الدالة)، إذا كانت مشتقة الدالة القابلة للتفاضل سالبة خلال فترة معينة، فإنها تتناقص في هذه الفترة.

تسمى النقطة نقطة عظمى للدالة إذا كانت المتراجحة موجودة في جوار النقطة.

تُسمى النقطة بالنقطة الصغرى للدالة إذا كانت المتراجحة موجودة في أحد أحياء النقطة.

تسمى قيم الدالة عند النقاط الحد الأقصى والأدنى للدالة على التوالي. الحد الأقصى والأدنى للدالة متحدان بالاسم الشائع لأقصى الدالة.

لكي يكون للدالة حد أقصى عند نقطة ما، يجب أن تكون مشتقتها عند هذه النقطة مساوية لصفر أو غير موجودة.

الشرط الأول الكافي للأقصى. نظرية.

إذا تغير مشتق الدالة القابلة للتفاضل، عند المرور عبر نقطة ما، إشارته من زائد إلى ناقص، فإن النقطة هي النقطة القصوى للدالة، وإذا كانت من ناقص إلى زائد، فستكون النقطة الدنيا.

مخطط لدراسة وظيفة في أقصى الحدود.

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة التي يكون فيها المشتق أو غير موجود.

3. تحقق من إشارة المشتقة على يسار ويمين كل نقطة حرجة واستنتج وجود النهايات القصوى للدالة.

4. أوجد القيم القصوى (القيم القصوى) للدالة.

الشرط الثاني الكافي للأقصى. نظرية.

إذا كان المشتق الأول لدالة قابلة للاشتقاق مرتين يساوي صفرًا في مرحلة ما، وكان المشتق الثاني عند هذه النقطة موجبًا، أي النقطة الدنيا للدالة، وإذا كان سالبًا، فهو النقطة القصوى.

للعثور على أكبر و أدنى القيمفي الجزء نستخدم المخطط التالي.

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة التي أو لا توجد فيها.

3. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة وحدد الأكبر والأصغر منها.

يقال إن الدالة محدبة لأعلى على الفترة X إذا كانت القطعة التي تربط أي نقطتين على الرسم البياني تقع تحت الرسم البياني للدالة.

تسمى الدالة محدبة لأسفل على الفاصل الزمني X إذا كانت القطعة التي تربط أي نقطتين على الرسم البياني تقع فوق الرسم البياني للدالة.

نظرية. تكون الدالة محدبة للأسفل (للأعلى) على الفترة X إذا وفقط إذا كانت مشتقتها الأولى تزيد (تتناقص) بشكل رتيب على هذه الفترة.

نظرية. إذا كانت المشتقة الثانية لدالة قابلة للتفاضل مرتين موجبة (سالبة) داخل فترة ما X، فإن الدالة تكون محدبة للأسفل (لأعلى) في هذه الفترة.

نقطة انعطاف الرسم البياني وظيفة مستمرةهي النقطة التي تفصل الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة للأسفل وللأعلى.

نظرية ( شرط ضرورييلوي). المشتقة الثانية لدالة قابلة للتفاضل مرتين عند نقطة الانقلاب تساوي صفرًا، أي.

نظرية (شرط كاف للانعطاف). إذا غيّر المشتق الثاني لدالة قابلة للاشتقاق مرتين علامته عند المرور بنقطة معينة، فستكون هناك نقطة انعطاف في الرسم البياني الخاص بها.

مخطط لدراسة دالة نقاط التحدب والانعطاف:

1. أوجد المشتقة الثانية للدالة.

2. أوجد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني غير موجود.

3. تحقق من إشارة المشتقة الثانية على يسار ويمين النقاط الموجودة واستنتج حول فترات التحدب ووجود نقاط الانقلاب.

4. أوجد قيم الدالة عند نقاط الانقلاب.

عند دراسة الدوال لإنشاء الرسوم البيانية الخاصة بها، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.

2. التحقق من وظيفة التساوي - الغرابة.

3. ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية

4. التحقق من سلوك الدالة عند اللانهاية، والعثور على خطوط التقارب الأفقية أو المائلة.

5. أوجد الحدود القصوى وفترات رتابة الوظيفة.

6. أوجد فترات تحدب الدالة ونقاط الانقلاب.

7. ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات وربما بعض النقاط الإضافية التي توضح الرسم البياني.

تفاضل الدالة هو الجزء الرئيسي الخطي نسبيًا من زيادة الدالة، ويساوي حاصل ضرب المشتق بزيادة المتغير المستقل.

ولتكن هناك كميات متغيرة، وكل مجموعة من قيمها من مجموعة معينة X تقابل قيمة واحدة محددة جيدا للمتغير. ثم نقول أنه تم إعطاء دالة لعدة متغيرات .

تسمى المتغيرات المتغيرات المستقلة أو الوسائط - المتغير التابع. تسمى المجموعة X مجال تعريف الوظيفة.

التناظرية متعددة الأبعاد لوظيفة المنفعة هي الوظيفة للتعبير عن الاعتماد على البضائع المشتراة.

كما أنه في حالة المتغيرات يتم تعميم مفهوم دالة الإنتاج، ليعبر عن نتيجة نشاط الإنتاج من العوامل التي تحدده. أقل من التعريف ومستمر عند النقطة نفسها. ثم المشتقات الجزئية، وأوجد النقاط الحرجة للدالة.

3. إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية وحساب قيمها عند كل نقطة حرجة واستخدامها حالة كافيةاستخلاص استنتاج حول وجود النقاط القصوى.

أوجد القيم القصوى (القيم القصوى) للدالة.

الأدب

1. الرياضيات العليا للاقتصاديين: كتاب مدرسي للجامعات / إد. ن.ش. كريمر. - م: الوحدة، 2003.

2.E.S. كوتشيتكوف، س. نظرية سميرشينسكايا للاحتمالات في المشاكل والتمارين / M. INFRA-M 2005.

3. الرياضيات العليا للاقتصاديين: ورشة عمل / إد. ن.ش. كريمر. – م: الوحدة، 2004. الأجزاء 1، 2

4. جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. م.، تخرج من المدرسه, 1977

5. جمورمان ف. نظرية الاحتمالات و الإحصائيات الرياضية. م.، الثانوية العامة، 1977

6. م.س. الرياضيات العامة للتخصصات الاقتصادية: كتاب مدرسي / M. INFRA-M 1998.

7. فيجودسكي م.يا. دليل الرياضيات العليا. – م، 2000.

8. بيرمان ج.ن. مجموعة من المهام للدورة التحليل الرياضي. - م: ناوكا، 1971.

9. أ.ك. مجموعة كازاشيف للمسائل في الرياضيات العليا للاقتصاديين – ألماتي – 2002.

10. بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل. – م: ناوكا، 1985، ط1،2.

11.P.E. دانكو، أ.ج. بوبوف، T.Ya. كوزيفنيكوف الرياضيات العليا في التمارين والمسائل / M. ONICS-2005.

12.I.A. زايتسيف الرياضيات العليا / المدرسة العليا - 1991

13. جولوفينا إل. الجبر الخطي وبعض تطبيقاته. - م: ناوكا، 1985.

14. Zamkov O.O.، Tolstopyatenko A.V.، Cheremnykh Yu.N. الطرق الرياضية للتحليل الاقتصادي. - م: ديس، 1997.

15. Karasev A.I.، Aksyutina Z.M.، Savelyeva T.I. دورة الرياضيات العليا للجامعات الاقتصادية. – م: الثانوية العامة، 1982 – الجزء 1، 2.

16. كولسنيكوف أ.ن. دورة قصيرةالرياضيات للاقتصاديين. – م: إنفرا-م، 1997.

17.V.S. كتاب مشكلة شيباتسيف في الرياضيات العليا-م. الثانوية العامة، 2005

سنعتبر الخط الموجود على المستوى هو موضع النقاط M(x, y) الذي يحقق شرطًا معينًا.

إذا كتبنا في نظام الإحداثيات الديكارتية خاصية تمتلكها جميع النقاط على الخط، وربط الإحداثيات وبعض الثوابت، فيمكننا الحصول على معادلة من الشكل: F(x, y) = 0 أو .

مثال. اكتب معادلة دائرة مركزها النقطة C(x 0 , y 0) ونصف قطرها R.

الدائرة هي المحل الهندسي للنقاط المتساوية البعد عن النقطة C. لنأخذ النقطة M بإحداثياتها الحالية. ثم |سم| = ص أو أو .

إذا كان مركز الدائرة عند نقطة الأصل، فإن x 2 + y 2 = R 2 .

ليست كل معادلة من الصيغة F(x, y) = 0 تحدد خطًا بالمعنى المشار إليه: x 2 + y 2 = 0 هي نقطة.

مباشرة على متن الطائرة.

الخطوط الموجودة على مستوى معين هي حالة خاصة من الخطوط الموجودة في الفضاء. ولذلك يمكن الحصول على معادلاتها من المعادلات المقابلة للخطوط في الفضاء.

المعادلة العامة للخط المستقيم على المستوى. معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوي.

أي مباشرة إلى طائرة XOYيمكن تحديده كخط تقاطع مستوى Ax + By + Cz + D = 0 مع مستوى XOY: z = 0.

- خط مستقيم في مستوى XOY: Ax + By + D = 0.

المعادلة الناتجة تسمى المعادلة العامة للخط. وسنكتبها مستقبلا على هذا الشكل:

الفأس + بواسطة + C = 0 (1)

1) دع إذن أو y = kx + b (2) - معادلة خط مستقيم بمعامل زاوي. دعونا نكتشف المعنى الهندسي لـ k و b.

لنضع x = 0. ثم y = b هو الإحداثي الأولي للخط.

لنضع y = 0. ثم؛ - معامل ميل الخط المستقيم.

حالات خاصة: أ) ب = 0، ص = ك س – يمر الخط عبر نقطة الأصل؛ ب) ك = 0، ص = ب – خط مستقيم موازي لمحور الثور؛ ب) إذا كان B = 0، فإن Ax + C = 0، ،

هذا هو موضع النقاط ذات الإحداثيات المستمرة التي تساوي a، أي. الخط المستقيم عمودي على محور OX.

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

دع المعادلة العامة للخط تعطى: Ax + By + C = 0، و . دعونا نقسم كلا الطرفين على -C:

أو (3)،

أين ؛ . هذه معادلة خط في قطاعات. الأرقام a و b هي قيم الأجزاء المقطوعة على محاور الإحداثيات.

معادلة الخط المار هذه النقطةمع منحدر معين.

دع النقطة M 0 (x 0 , y 0) تقع على خط مستقيم L ومعامل الزاوي k. لنكتب المعادلة:

هنا ب غير معروف. لنجدها مع الأخذ في الاعتبار أن M 0 L:

ص 0 = ك س 0 + ب (**).

اطرح مصطلحًا بعد مصطلح من (1) (2):

ص – ص 0 = ك(س – س 0) (4).

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين.

لنحصل على النقطتين M 1 (x 1 , y 1) و M 2 (x 2 , y 2) L. لنكتب المعادلة (4) على الصورة: y – y 1 = k(x – x 1). لأن م 2 ل، ثم ص 2 - ص 1 = ك(س 2 - س 1). دعنا نقسمها مصطلحًا بعد مصطلح:

(5),

هذه المعادلة منطقية إذا . إذا كان x 1 = x 2، إذن M 1 (x 1، y 1) و M 2 (x 1، y 2). إذا y 2 = y 1، إذن M 1 (x 1، y 1)؛ م2 (س2، ص1).

وبالتالي، إذا أصبح أحد المقامات في (5) صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

مثال. م 1 (3، 1) و م 2 (-1، 4). اكتب معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط. ابحث عن ك.

دع نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل Oxy وبعض الخطوط L معطى على المستوى .

تعريف. معادلة و(س؛ص)=0 (1)مُسَمًّى معادلة الخطل(نسبياً نظام معينالإحداثيات)، إذا كانت هذه المعادلة محققة بإحداثيات x و y لأي نقطة تقع على الخط L، وغير محققة بإحداثيات x و y لأي نقطة لا تقع على الخط L.

الذي - التي. خط على متن الطائرةهو موضع النقاط (M(x;y)) التي تلبي إحداثياتها المعادلة (1).

المعادلة (1) تحدد الخط L.

مثال. معادلة الدائرة.

دائرة- مجموعة من النقاط متساوية البعد عن نقطة معينة M 0 (x 0,y 0).

النقطة م 0 (س 0,ص 0) – مركز الدائرة.

لأي نقطة M(x;y) تقع على الدائرة، المسافة MM 0 =R (R=const)

مم 0 == ر

(س-س 0 ) 2 +(أوه 0 ) 2 = ر 2 –(2) – معادلة دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة M 0 (x 0,y 0).

المعادلة البارامترية للخط.

دع إحداثيات x و y للنقاط على السطر L يتم التعبير عنها باستخدام المعلمة t:

(3) – المعادلة البارامتريةخطوط في DSK

حيث تكون الدالتان (t) و(t) متصلتين بالنسبة إلى المعلمة t (في مدى معين من تغير هذه المعلمة).

وباستثناء المعلمة t من المعادلة (3)، نحصل على المعادلة (1).

لنعتبر الخط L بمثابة المسار الذي تعبره نقطة مادية تتحرك بشكل مستمر وفقًا لقانون معين. دع المتغير t يمثل الوقت المحسوب من لحظة أولية. إذن فإن تحديد قانون الحركة يمثل تحديد الإحداثيات x و y للنقطة المتحركة كبعض الدوال المستمرة x=(t) و y=(t) للزمن t.

مثال. دعونا نشتق معادلة بارامترية لدائرة نصف قطرها r>0 ومركزها عند نقطة الأصل. اجعل M(x,y) نقطة اعتباطية لهذه الدائرة، وt هي الزاوية بين ناقل نصف القطر ومحور الثور، محسوبًا عكس اتجاه عقارب الساعة.

ثم x=r cos x y=r sin t. (4)

المعادلات (4) هي معادلات بارامترية للدائرة قيد النظر. يمكن أن تأخذ المعلمة t أي قيمة، ولكن لكي تدور النقطة M(x,y) حول الدائرة مرة واحدة، يقتصر نطاق تغيير المعلمة على نصف القطعة 0t2.

وبتربيع وإضافة المعادلات (4) نحصل على المعادلة العامة للدائرة (2).

2. نظام الإحداثيات القطبية (psc).

دعونا نختار المحور L ( المحور القطبي) وتحديد نقطة هذا المحور O ( القطب). يتم تعريف أي نقطة على المستوى بشكل فريد من خلال الإحداثيات القطبية ρ وφ، حيث

ρ – نصف القطر القطبي، تساوي المسافة من النقطة M إلى القطب O (ρ≥0)؛

φ – ركنبين اتجاه المتجه أوموالمحور L ( الزاوية القطبية). م(ρ ; φ )

معادلة الخط في UCSيمكن كتابتها:

ρ=f(φ) (5) معادلة صريحة للخط في UCS

F = (ρ؛ φ) (6) معادلة الخط الضمني في UCS

العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية لنقطة ما.

(س؛ص) (ρ ; φ ) من المثلث OMA:

tan φ=(استعادة الزاويةφ بحسب المعروفيتم إنتاج الظلمع الأخذ في الاعتبار النقطة التي يقع فيها الربع M).(ρ ; φ )(س;ص). س = ρcosφ،ص = ρsinφ

مثال . أوجد الإحداثيات القطبية للنقطتين M(3;4) وP(1;-1).

بالنسبة إلى M:=5، φ=arctg (4/3). بالنسبة لـ P: ρ =؛ φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

تصنيف الخطوط المسطحة.

التعريف 1.الخط يسمى جبري،إذا كان في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية، إذا تم تعريفه بالمعادلة F(x;y)=0 (1)، حيث تكون الدالة F(x;y) متعددة الحدود جبرية.

التعريف 2.كل خط غير جبري يسمى متعالي.

التعريف 3. يسمى الخط الجبري خط النظامن، إذا تم تحديد هذا الخط في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية بواسطة المعادلة (1)، حيث تكون الدالة F(x;y) متعددة الحدود جبرية من الدرجة n.

وبالتالي، فإن الخط من الرتبة n هو خط محدد في بعض الأنظمة الديكارتية المستطيلة بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n مع مجهولين.

تساهم النظرية التالية في إثبات صحة التعريفات 1،2،3.

نظرية(الوثيقة ص١٠٧). إذا تم تحديد خط في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n، فإن هذا الخط في أي نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل آخر يتم تحديده بواسطة معادلة جبرية من نفس الدرجة n.

هدف:النظر في مفهوم الخط على المستوى، وإعطاء أمثلة. استنادا إلى تعريف الخط، قدم مفهوم معادلة الخط على المستوى. النظر في أنواع الخطوط المستقيمة، وإعطاء أمثلة وطرق تحديد الخط المستقيم. تعزيز القدرة على ترجمة معادلة الخط المستقيم من الصورة العامة إلى معادلة خط مستقيم "مقطع" بمعامل زاوي.

1. معادلة الخط على الطائرة.
2. معادلة الخط المستقيم على المستوى. أنواع المعادلات.
3. طرق تحديد الخط المستقيم.

1. دع x و y يكونان متغيرين عشوائيين.

تعريف: تسمى العلاقة بالصيغة F(x,y)=0 معادلة ، إذا لم يكن صحيحًا لأي أزواج من الأرقام x و y.

مثال: 2س + 7ص – 1 = 0، س 2 + ص 2 – 25 = 0.

إذا كانت المساواة F(x,y)=0 تنطبق على أي x, y، فإن F(x,y) = 0 هي هوية.

مثال: (س + ص) 2 - س 2 - 2 س ص - ص 2 = 0

يقولون أن الأرقام x هي 0 و y هي 0 إرضاء المعادلة ، إذا تحول عند استبدالهم في هذه المعادلة إلى مساواة حقيقية.

إن أهم مفهوم في الهندسة التحليلية هو مفهوم معادلة الخط.

تعريف: معادلة خط معين هي المعادلة F(x,y)=0، والتي تتحقق بإحداثيات جميع النقاط الواقعة على هذا الخط، ولا تتحقق بإحداثيات أي من النقاط غير الواقعة على هذا الخط.

الخط المحدد بالمعادلة y = f(x) يسمى الرسم البياني لـ f(x). يسمى المتغيران x وy بالإحداثيات الحالية، لأنهما إحداثيات نقطة متغيرة.

بعض أمثلةتعريفات الخط.

1) س – ص = 0 => س = ص. تحدد هذه المعادلة خطًا مستقيمًا:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => يجب أن تحقق النقاط إما المعادلة x - y = 0، أو المعادلة x + y = 0، والتي تتوافق على المستوى زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تعتبر منصفات للزوايا الإحداثية:

3) x 2 + y 2 = 0. تتحقق هذه المعادلة بنقطة واحدة فقط O(0,0).

2. تعريف: يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت، أي. أ 2 + ب 2 ¹ 0. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادا على القيم الثابت أ، بوC الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C = 0، A ¹ 0، B ¹ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ¹ 0، C ¹ 0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ¹ 0، C ¹ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازي لمحور Oy

B = C = 0، A ¹ 0 – يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

أ = ج = 0، ب ¹ 0 – الخط المستقيم يتطابق مع محور الثور

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في في أشكال مختلفةاعتمادا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوي.

إذا تم تخفيض المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + By + C = 0 إلى الشكل:

وتدل على ذلك، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С ¹ 0، فبالقسمة على –С نحصل على: أو حيث

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة Ax + By + C = 0 مقسوما على رقم يسمى عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosj + يسينج - ص = 0 – المعادلة العاديةمباشر.

يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون m×С< 0.

p هو طول العمودي المسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم، وj هي الزاوية التي يشكلها هذا العمود مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

3. معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

دع المعامل الزاوي للخط يساوي k، ويمر الخط عبر النقطة M(x 0, y 0). ثم يتم إيجاد معادلة الخط المستقيم بالصيغة: y – y 0 = k(x – x 0)

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

على المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كان x 1 ¹ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى المنحدرمباشر.

الخط الموجود على المستوى هو مجموعة من النقاط الموجودة على هذا المستوى والتي لها خصائص معينة، في حين أن النقاط التي لا تقع على خط معين لا تمتلك هذه الخصائص. تحدد معادلة الخط العلاقة المعبر عنها تحليلياً بين إحداثيات النقاط الواقعة على هذا الخط. دع هذه العلاقة تعطى بالمعادلة

و( س، ص)=0. (2.1)

زوج من الأرقام مرضية (2.1) ليس اعتباطيًا: إذا Xنظرا، ثم فيلا يمكن أن يكون أي شيء، وهذا يعني فيالمرتبطة X. عند التغيير Xالتغييرات فيونقطة ذات إحداثيات ( س، ص) يصف هذا الخط. إذا كانت إحداثيات النقطة M 0 ( X 0 ,في 0) استوفي المعادلة (2.1)، أي. و( X 0 ,في 0)=0 هي مساواة حقيقية، إذن النقطة M 0 تقع على هذا الخط. والعكس صحيح أيضا.

تعريف. معادلة الخط المستقيم على المستوى هي معادلة تتحقق بإحداثيات أي نقطة تقع على هذا الخط، ولا تتحقق بإحداثيات النقاط التي لا تقع على هذا الخط.

فإذا عرفت معادلة خط معين فتتم الدراسة خصائص هندسيةيمكن اختزال هذا الخط في دراسة معادلته - وهذه إحدى الأفكار الرئيسية للهندسة التحليلية. لدراسة المعادلات، هناك طرق متطورة للتحليل الرياضي تعمل على تبسيط دراسة خصائص الخطوط.

عند النظر في الخطوط يتم استخدام هذا المصطلح النقطة الحاليةخطوط – نقطة متغيرةم( س، ص) تتحرك على طول هذا الخط. الإحداثيات Xو فييتم استدعاء النقطة الحالية الإحداثيات الحاليةنقاط الخط.

إذا من المعادلة (2.1) يمكننا التعبير عنها بشكل صريح في
خلال Xأي نكتب المعادلة (2.1) على الصورة فيسمى المنحنى المحدد بهذه المعادلة جدولوظائف و (خ).

1. يتم إعطاء المعادلة: أو . لو Xيأخذ القيم التعسفية، ثم فييأخذ قيما مساوية ل X. وبالتالي، فإن الخط المحدد بهذه المعادلة يتكون من نقاط متساوية البعد عن محوري الإحداثيات Ox وOy - وهذا هو منصف زوايا الإحداثيات I-III (الخط المستقيم في الشكل 2.1).

تحدد المعادلة، أو، منصف زوايا الإحداثيات II-IV (الخط المستقيم في الشكل 2.1).

ذ ذ

0 × 0 × ج 0 ×

أرز. 2.1 الشكل. 2.2 الشكل. 2.3

2. المعادلة معطاة: حيث C ثابت. يمكن كتابة هذه المعادلة بشكل مختلف: . يتم استيفاء هذه المعادلة بتلك النقاط والإحداثيات فقط فيوالتي تساوي C لأي قيمة الإحداثيات X. تقع هذه النقاط على خط مستقيم موازٍ لمحور الثور (الشكل 2.2). وبالمثل، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور أوي (الشكل 2.3).

ليست كل معادلة من الشكل F( س، ص)=0 يحدد خطًا على المستوى: المعادلة تتحقق بنقطة واحدة – O(0,0)، والمعادلة غير راض عن أي نقطة على متن الطائرة.

في الأمثلة المذكورة، نحن معادلة معينةبنيت خط تحدده هذه المعادلة. لنفكر في المشكلة العكسية: قم ببناء معادلتها باستخدام خط معين.

3. أنشئ معادلة لدائرة مركزها النقطة P( أ، ب) و
نصف القطر R .

○ الدائرة التي مركزها النقطة P ونصف قطرها R هي مجموعة من النقاط تقع على مسافة R من النقطة P. وهذا يعني أنه بالنسبة لأي نقطة M تقع على الدائرة، MP = R، ولكن إذا كانت النقطة M لا تقع عليها الدائرة ثم MP ≠ R.