أرز. 2.نطاقات الطاقة عند حدود اثنين من أشباه الموصلات - البنية المتغايرة. ه جو إي ش- حدود نطاق التوصيل ونطاق التكافؤ، على سبيل المثال- عرض فجوة النطاق. إلكترون ذو طاقة أقل ه ج 2 (المستوى الموضح باللون الأحمر) يمكن أن يكون على يمين الحدود فقط

للإلكترونات التي تتحرك في شبه موصل ضيق الفجوة ولها طاقة أقل هج2، ستلعب الحدود دور الحاجز المحتمل. هناك ترابطان متغايران يحدان من حركة الإلكترون على كلا الجانبين، ويشكلان بئرًا محتملًا.

هذه هي الطريقة التي يتم بها إنشاء الآبار الكمومية عن طريق وضع طبقة رقيقة من أشباه الموصلات مع فجوة نطاق ضيقة بين طبقتين من المواد مع فجوة نطاق أوسع. ونتيجة لذلك، يصبح الإلكترون محصوراً في اتجاه واحد، مما يؤدي إلى تكميم طاقة الحركة العرضية.

وفي نفس الوقت، في الاتجاهين الآخرين ستكون حركة الإلكترونات حرة، لذلك يمكننا القول أن غاز الإلكترون الموجود في البئر الكمي يصبح ثنائي الأبعاد.

وبنفس الطريقة، يمكن تحضير بنية تحتوي على حاجز كمي عن طريق وضع طبقة رقيقة من شبه موصل واسع النطاق بين اثنين من أشباه الموصلات ذات فجوة نطاق ضيقة.

ومع ذلك، فقد تم تطوير العديد من العمليات التكنولوجية المتقدمة لتصنيع مثل هذه الهياكل أفضل النتائجفي إعداد الهياكل الكمومية يتم تحقيقها باستخدام الطريقة تنضيد الشعاع الجزيئي.

لتنمية طبقة رقيقة من أشباه الموصلات باستخدام هذه الطريقة، تحتاج إلى توجيه تيار من الذرات أو الجزيئات على ركيزة تم تنظيفها بعناية. عدة تيارات من الذرات، التي يتم الحصول عليها عن طريق تبخير المادة من مصادر ساخنة منفصلة، ​​تطير في نفس الوقت على الركيزة.

لتجنب التلوث، يتم زراعة الهيكل في فراغ عالي. يتم التحكم في العملية برمتها بواسطة الكمبيوتر، التركيب الكيميائيويتم التحكم في التركيب البلوري للطبقة المزروعة أثناء عملية النمو.

تتيح طريقة تنضيد الحزمة الجزيئية إمكانية تنمية طبقات بلورية مفردة مثالية بسماكة بضع فترات شبكية فقط (فترة شبكية واحدة حوالي 2).

من المهم للغاية أن تكون فترات الشبكة لطبقتين متجاورتين، والتي لها تركيب كيميائي مختلف، هي نفسها تقريبًا. بعد ذلك ستتبع الطبقات بعضها البعض بدقة ولن تحتوي الشبكة البلورية للبنية المزروعة على عيوب.

باستخدام طريقة الشعاع الجزيئي، من الممكن الحصول على حدود حادة جدًا (دقيقة إلى طبقة أحادية) بين طبقتين متجاورتين، ويكون السطح أملسًا على المستوى الذري.

يمكن زراعة الهياكل الكمومية من مواد مختلفة، ولكن الزوج الأكثر نجاحًا لآبار الكم المتنامية هو أشباه الموصلات GaAs - زرنيخيد الغاليوم والمحلول الصلب Al x Ga 1-x، حيث يتم استبدال بعض ذرات الغاليوم بذرات الألومنيوم. ضخامة سهو جزء من ذرات الغاليوم التي تحل محلها ذرات الألومنيوم ويتراوح عادة من 0.15 إلى 0.35. تبلغ فجوة النطاق في زرنيخيد الغاليوم 1.5 فولت، وفي Al x Ga 1-x كمحلول صلب تزداد مع زيادة س. نعم متى س= 1، أي أن فجوة النطاق في مركب AlAs هي 2.2 فولت.

لكي تنمو كمية جيدة، من الضروري تغيير التركيب الكيميائي للذرات المتطايرة على الطبقة المتنامية أثناء النمو.

أولاً، تحتاج إلى تنمية طبقة من أشباه الموصلات واسعة النطاق، أي Al x Ga 1-x As، ثم طبقة من مادة GaAs ضيقة الفجوة، وأخيرًا مرة أخرى طبقة من Al x Ga 1-x As.

يظهر في الشكل مخطط الطاقة لجسيم كمي مُعد جيدًا بهذه الطريقة. 3. البئر له عمق محدود (عدة أعشار إلكترون فولت). فهو يحتوي على مستويين منفصلين فقط، ولا تختفي الوظائف الموجية عند حدود البئر. وهذا يعني أنه يمكن أيضًا اكتشاف الإلكترون خارج البئر، في المنطقة التي تكون فيها الطاقة الإجمالية أقل من الجهد. وبطبيعة الحال، هذا لا يمكن أن يحدث في الفيزياء الكلاسيكية، ولكن في فيزياء الكمهذا ممكن.

أرز. 3.البئر الكمومي يتكون في طبقة من أشباه الموصلات ذات فجوة نطاق ضيقة محصورة بين اثنين من أشباه الموصلات لهما فجوة نطاق أوسع

لقد طور التقنيون عدة طرق لإنتاج النقاط والخيوط الكمومية. يمكن أن تتشكل هذه الهياكل، على سبيل المثال، عند السطح البيني بين اثنين من أشباه الموصلات حيث يوجد غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد.

ويمكن القيام بذلك عن طريق إضافة حواجز إضافية تقيد حركة الإلكترونات في اتجاه واحد أو اتجاهين آخرين.

تتشكل الأسلاك الكمومية في الجزء السفلي من أخدود على شكل حرف V يتكون على ركيزة أشباه الموصلات. إذا تم ترسيب شبه موصل به فجوة نطاق أصغر في قاعدة هذا الأخدود، فسيتم قفل إلكترونات شبه الموصل في اتجاهين.

في الشكل. يوضح الشكل 4 النقاط الكمومية التي تم إنشاؤها عند السطح البيني بين زرنيخيد الغاليوم وزرنيخيد الغاليوم الألومنيوم. أثناء عملية النمو، تم إدخال ذرات شوائب إضافية إلى شبه موصل AlGaAs. تذهب الإلكترونات من هذه الذرات إلى شبه موصل GaAs، أي إلى منطقة ذات طاقة أقل. لكنهم لا يستطيعون الذهاب إلى أبعد من ذلك، لأنهم ينجذبون إلى ذرات الشوائب التي تركتها، والتي تلقت شحنة موجبة. تتركز جميع الإلكترونات تقريبًا في الواجهة المتغايرة نفسها على جانب GaAs وتشكل غازًا ثنائي الأبعاد. تبدأ عملية تكوين النقاط الكمومية بترسيب سلسلة من الأقنعة على سطح AlGaAs، كل منها على شكل دائرة. بعد ذلك، يتم إجراء الحفر العميق، حيث تتم إزالة طبقة AlGaAs بأكملها وطبقة GaAs جزئيًا (في الشكل 4).

أرز. 4.تتشكل النقاط الكمومية في غاز إلكترون ثنائي الأبعاد عند السطح البيني لاثنين من أشباه الموصلات

ونتيجة لذلك، تجد الإلكترونات نفسها محبوسة في الأسطوانات الناتجة (في الشكل 4، المنطقة التي توجد بها الإلكترونات ملونة باللون الأحمر). أقطار الاسطوانات في حدود 500 نانومتر.

في النقطة الكمومية، تكون الحركة محدودة في ثلاثة اتجاهات ويكون طيف الطاقة منفصلًا تمامًا، تمامًا كما هو الحال في الذرة. ولذلك، تسمى النقاط الكمومية أيضًا بالذرات الاصطناعية، على الرغم من أن كل نقطة من هذه النقاط تتكون من آلاف أو حتى مئات الآلاف من الذرات الحقيقية.

أبعاد النقاط الكمومية (يمكننا أيضًا أن نتحدث عن الصناديق الكمومية) تكون في حدود عدة نانومترات. مثل الذرة الحقيقية، يمكن للنقطة الكمومية أن تحتوي على إلكترون حر واحد أو أكثر. إذا كان هناك إلكترون واحد فهو مثل ذرة هيدروجين صناعية، وإذا كان هناك إلكترونان فهو ذرة هيليوم، إلخ.

نقطة الكم- جزء من موصل أو شبه موصل، محدود في الأبعاد المكانية الثلاثة ويحتوي على إلكترونات التوصيل. يجب أن تكون النقطة صغيرة جدًا بحيث تكون التأثيرات الكمومية كبيرة. ويتحقق ذلك إذا كانت الطاقة الحركية للإلكترون ، بسبب عدم اليقين في زخمها، سيكون أكبر بشكل ملحوظ من جميع مقاييس الطاقة الأخرى: أولا وقبل كل شيء، أكبر من درجة الحرارة المعبر عنها بوحدات الطاقة ( د- حجم النقطة المميزة، م- الكتلة الفعالة للإلكترون عند نقطة ما).

نقطة الكميمكن استخدام أي قطعة صغيرة من المعدن أو أشباه الموصلات. تاريخيًا، ربما كانت النقاط الكمومية الأولى عبارة عن بلورات دقيقة من سيلينيد الكادميوم CdSe. يبدو الإلكترون الموجود في مثل هذه البلورة الدقيقة وكأنه إلكترون في بئر محتمل ثلاثي الأبعاد، وله العديد من مستويات الطاقة الثابتة مع وجود مسافة مميزة بينها (التعبير الدقيق لمستويات الطاقة يعتمد على شكل النقطة). على غرار الانتقال بين مستويات الطاقة للذرة، عندما تنتقل نقطة كمومية بين مستويات الطاقة، يمكن أن ينبعث الفوتون. من الممكن أيضًا رمي إلكترون إلى مستوى طاقة مرتفع، واستقبال الإشعاع من الانتقال بين المستويات السفلية (التلألؤ). علاوة على ذلك، على عكس الذرات الحقيقية، يمكن التحكم في الترددات الانتقالية بسهولة عن طريق تغيير أبعاد البلورة. في الواقع، كانت ملاحظة تلألؤ بلورات سيلينيد الكادميوم بتردد التلألؤ الذي يحدده حجم البلورة بمثابة الملاحظة الأولى للنقاط الكمومية.

حاليًا، يتم تخصيص العديد من التجارب للنقاط الكمومية المتكونة في غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد. في غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد، تكون حركة الإلكترونات المتعامدة مع المستوى محدودة بالفعل، ويمكن عزل منطقة على المستوى باستخدام أقطاب البوابة المعدنية الموضوعة أعلى البنية المتغايرة. يمكن توصيل النقاط الكمومية في غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد عن طريق اتصالات نفقية بمناطق أخرى من الغاز ثنائي الأبعاد ويمكن دراسة التوصيل عبر النقطة الكمومية. في مثل هذا النظام، لوحظت ظاهرة حصار كولومب.

النقاط الكمومية PbSe على طبقة PbTe

أرز. 1أ النقطة الكمومية المصنوعة من الجرمانيوم القائمة على السيليكون Si 001 (الصورة ملتقطة باستخدام مجهر المسح الإلكتروني) (مستمدة من مجموعة أبحاث HP)

أرز. 1 ب القناة الضوئية المخروطية لأشباه الموصلات كنقطة كمومية

تتصرف الإلكترونات التي تلتقطها النقاط الكمومية كما لو كانت في ذرة عادية، حتى لو كانت "الذرة الاصطناعية" لا تحتوي على نواة. وأي ذرة تمثل مثل هذه المجموعة من الإلكترونات تعتمد على عدد الإلكترونات الموجودة في النقطة الكمومية.

أرز. أبعاد النقطة الكمومية النانوية

بالإضافة إلى مجرد رسم نمط على سطح أشباه الموصلات والنقش، لإنشاء نقاط كمومية، يمكنك استخدام الخاصية الطبيعية للمادة لتشكيل جزر صغيرة أثناء عملية النمو. يمكن لمثل هذه الجزر، على سبيل المثال، أن تتشكل تلقائيًا على سطح طبقة بلورية متنامية. وهناك تقنيات أخرى لتحضير الآبار الكمومية والخيوط والنقاط، والتي تبدو للوهلة الأولى بسيطة للغاية.

يختلف طيف طاقة الإلكترونات الموجودة في المادة الصلبة اختلافًا كبيرًا عن طيف طاقة الإلكترونات الحرة (المستمرة) أو طيف الإلكترونات التي تنتمي إلى ذرات فردية معزولة (منفصلة مع مجموعة محددة من المستويات المتاحة) - وتتكون من نطاقات طاقة فردية مسموح بها مفصولة بعصابات الطاقة المحرمة.

وفقًا لافتراضات بور الميكانيكية الكمومية، في ذرة معزولة، يمكن لطاقة الإلكترون أن تأخذ قيمًا منفصلة تمامًا (يقع الإلكترون في أحد المدارات). في حالة وجود نظام مكون من عدة ذرات متحدة بواسطة رابطة كيميائية، تنقسم مدارات الإلكترون بكمية تتناسب مع عدد الذرات، لتشكل ما يسمى المدارات الجزيئية. مع زيادة أخرى في النظام إلى المستوى العياني، يصبح عدد المدارات كبيرًا جدًا، ويكون الفرق في طاقات الإلكترونات الموجودة في المدارات المجاورة صغيرًا جدًا - حيث تنقسم مستويات الطاقة إلى مجموعتين منفصلتين تقريبًا - الطاقة المناطق.

يُطلق على أعلى نطاقات الطاقة المسموح بها في أشباه الموصلات والعوازل الكهربائية، حيث تشغل الإلكترونات جميع حالات الطاقة عند درجة حرارة 0 كلفن، نطاق التكافؤ، والنطاق التالي هو نطاق التوصيل. في الموصلات، يعد نطاق التوصيل هو أعلى نطاق مسموح به حيث توجد الإلكترونات عند درجة حرارة 0 كلفن. وهو وفقًا للمبدأ الموقف النسبيهذه المناطق كلها مواد صلبة وتنقسم إلى ثلاث مجموعات كبيرة (انظر الشكل):

• الموصلات - المواد التي يتداخل فيها نطاق التوصيل ونطاق التكافؤ (لا توجد فجوة طاقة)، ​​مما يشكل منطقة واحدة تسمى نطاق التوصيل (وبالتالي، يمكن للإلكترون أن يتحرك بحرية بينهما، ويستقبل أي طاقة منخفضة مسموح بها)؛
• المواد العازلة - المواد التي لا تتداخل فيها المناطق وتكون المسافة بينها أكثر من 3 فولت (من أجل نقل الإلكترون من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل، يلزم وجود طاقة كبيرة، لذا فإن العوازل الكهربائية لا تقوم عمليًا بتوصيل التيار)؛
• أشباه الموصلات - المواد التي لا تتداخل فيها النطاقات وتكون المسافة بينها (فجوة النطاق) في نطاق 0.1-3 فولت (من أجل نقل إلكترون من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل، يلزم طاقة أقل من عازلة، وبالتالي فإن أشباه الموصلات النقية تكون موصلة بشكل ضعيف).

نظرية الفرقة هي الأساس النظرية الحديثة المواد الصلبة. لقد مكن من فهم طبيعة وشرح أهم خصائص المعادن وأشباه الموصلات والعوازل. تعد فجوة النطاق (فجوة الطاقة بين نطاقي التكافؤ والتوصيل) كمية أساسية في نظرية النطاق وتحدد الخواص الضوئية والكهربائية للمادة. على سبيل المثال، في أشباه الموصلات، يمكن زيادة الموصلية عن طريق إنشاء مستوى طاقة مسموح به في فجوة النطاق عن طريق التطعيم - إضافة الشوائب إلى تركيبة المادة الأساسية الأصلية لتغيير تركيبتها الفيزيائية والكيميائية. الخصائص الكيميائية. في هذه الحالة، يقال أن أشباه الموصلات هي النجاسة. هذه هي الطريقة التي يتم بها خلق كل شيء أجهزة أشباه الموصلات: الخلايا الشمسية، الثنائيات، الحالة الصلبة، إلخ. يُطلق على انتقال الإلكترون من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل عملية توليد حاملات الشحنة (إلكترون سالب، وإيجابي - ثقب)، والانتقال العكسي هو عملية إعادة التركيب.

نظرية النطاق لها حدود للتطبيق، والتي تعتمد على ثلاثة افتراضات رئيسية: أ) إمكانات الشبكة البلورية دورية بشكل صارم؛ ب) يمكن اختزال التفاعل بين الإلكترونات الحرة إلى جهد ثابت ذاتي لإلكترون واحد (ويؤخذ الجزء المتبقي في الاعتبار من خلال طريقة نظرية الاضطراب)؛ ج) التفاعل مع الفونونات ضعيف (ويمكن اعتباره باستخدام نظرية الاضطراب).

الرسوم التوضيحية

مؤلف

• رازوموفسكي أليكسيسيرجيفيتش

تم إجراء التغييرات

• نيموشينا داريا أناتوليفنا

مصادر

1. بدني القاموس الموسوعي. T.2.- م.: الموسوعة الروسية الكبرى، 1995. - 89 ص.
2. Gurov V. A. إلكترونيات الحالة الصلبة. - م: تكنوسفير، 2008. - 19 ص.

في 1928-1931 نظرية الفرقة هي الأساس الأفكار الحديثةحول آليات الظواهر الفيزيائية المختلفة التي تحدث في المواد الصلبة مادة بلوريةعند التعرض لها المجال الكهرومغناطيسي. هذه هي نظرية تحرك الإلكترونات في مجال الجهد الدوري للشبكة البلورية.

في الذرة المعزولة، يكون طيف طاقة الإلكترونات منفصلا بطبيعته، أي أن الإلكترونات يمكن أن تشغل فقط مستويات طاقة محددة للغاية. تمتلئ بعض هذه المستويات في الحالة الطبيعية غير المثارة للذرة؛ ولا يمكن العثور على الإلكترونات في مستويات أخرى إلا عندما تتعرض الذرة لتأثير طاقة خارجي، أي عندما تكون مثارة. في سعيها لتحقيق حالة مستقرة، تنبعث الذرة من الطاقة الزائدة في وقت انتقال الإلكترونات من الحالات المثارة إلى المستويات التي تكون فيها طاقتها ضئيلة. ترتبط التحولات من مستوى طاقة إلى آخر دائمًا بامتصاص الطاقة أو إطلاقها.

في الذرة المعزولة توجد قوة جذب بواسطة نواة الذرة لجميع إلكتروناتها وقوة تنافر بين الإلكترونات. إذا كان هناك نظام من ذرات متطابقة N، بعيدة بما فيه الكفاية عن بعضها البعض (على سبيل المثال، مادة غازية)، فلا يوجد عمليا أي تفاعل بين الذرات، وتبقى مستويات طاقة الإلكترونات دون تغيير. أثناء التكثيف مادة غازيةإلى سائل، وبعد ذلك، أثناء تكوين الشبكة البلورية للمادة الصلبة، يتم إزاحة جميع المستويات الإلكترونية الموجودة في ذرات من هذا النوع (سواء المملوءة بالإلكترونات أو غير المملوءة) قليلاً بسبب عمل الذرات المجاورة على بعضها البعض. في الكريستال بسبب مسافة قريبةبين الذرات هناك قوى التفاعل بين الإلكترونات التي تنتمي إليها ذرات مختلفةوبين جميع النوى وجميع الإلكترونات. وتحت تأثير هذه القوى الإضافية تتغير مستويات طاقة الإلكترونات في كل ذرة من ذرات البلورة: فتنخفض طاقة بعض المستويات، بينما تزداد مستويات أخرى. في هذه الحالة، لا يمكن لأغلفة الإلكترون الخارجية للذرات أن تتلامس مع بعضها البعض فحسب، بل تتداخل أيضًا. وعلى وجه الخصوص، فإن جذب إلكترونات ذرة واحدة إلى نواة ذرة مجاورة يقلل من ارتفاع حاجز الجهد الذي يفصل بين إلكترونات الذرات المنفردة. أي أنه عندما تقترب الذرات من بعضها البعض، تتداخل طبقات الإلكترون، وهذا بدوره يغير بشكل كبير طبيعة حركة الإلكترونات. ونتيجة لذلك، يمكن للإلكترون من مستوى واحد في أي ذرة أن ينتقل إلى مستوى في ذرة مجاورة دون استهلاك الطاقة، وبالتالي يتحرك بحرية من ذرة إلى أخرى. تسمى هذه العملية بمشاركة الإلكترون - ينتمي كل إلكترون إلى جميع ذرات الشبكة البلورية. تحدث التنشئة الاجتماعية الكاملة مع إلكترونات الأغلفة الإلكترونية الخارجية. بفضل تداخل الأصداف، يمكن للإلكترونات أن تنتقل من ذرة إلى أخرى دون تغيير الطاقة من خلال التبادل، أي التحرك في جميع أنحاء البلورة. إن تفاعل التبادل ذو طبيعة كمومية بحتة وهو نتيجة لعدم إمكانية تمييز الإلكترونات.

ونتيجة لتقارب الذرات على مقياس الطاقة، فبدلاً من المستويات الفردية، تظهر مناطق الطاقة، أي مناطق ذات قيم الطاقة التي يمكن أن يمتلكها الإلكترون أثناء وجوده داخل جسم صلب. يجب أن يعتمد عرض النطاق على درجة الترابط بين الإلكترون والنواة. وكلما زاد هذا الاتصال، قل تقسيم المستوى، وأصبحت المنطقة أضيق. في الذرة المعزولة هناك قيم طاقة محظورة لا يمكن للإلكترون أن يمتلكها؛ وفي المادة الصلبة قد تكون هناك مناطق محظورة. طيف الطاقة للإلكترونات في البلورة له بنية شريطية. يتم فصل مناطق الطاقة المسموح بها بفترات طاقة محظورة. لا يعتمد عرض نطاقات الطاقة المسموح بها على حجم البلورة، ولكن يتم تحديده فقط من خلال طبيعة الذرات التي تشكل المادة الصلبة وتماثل الشبكة البلورية. إذا كانت EA هي طاقة التفاعل التبادلي بين ذرتين متجاورتين، فبالنسبة للبلورات ذات الشبكة المكعبة البسيطة، حيث تحتوي كل ذرة على 6 جيران أقرب (رقم التنسيق = 6)، فإن تقسيم المستويات إلى مناطق سيكون 12 EA للوجه -الشبكة المتمركزة (CN = 12 ) سيكون عرض المنطقة المسموح بها للطاقة 24 EA، وفي المنطقة المتمحورة حول الجسم (CN = 8) - 16 EA.

نظرًا لأن طاقة التبادل لـ EA تعتمد على درجة تداخل أغلفة الإلكترونات، فإن مستويات الطاقة للأغلفة الداخلية، والتي تتمركز بقوة أكبر بالقرب من النواة، تنقسم بشكل أقل من مستويات إلكترونات التكافؤ. ليس فقط مستويات الطاقة العادية (الثابتة) ولكن أيضًا مستويات الطاقة المثارة هي التي تخضع للتقسيم إلى منطقة. يزداد عرض المناطق المسموح بها كلما تقدمت في سلم الطاقة، ويتناقص حجم فجوات الطاقة المحظورة وفقًا لذلك.

تتكون كل منطقة من العديد من مستويات الطاقة. يتم تحديد عددهم من خلال عدد الذرات التي تتكون منها المادة الصلبة، أي. في البلورة ذات الحجم المحدود، المسافة بين المستويات تتناسب عكسيا مع عدد الذرات. وفقًا لمبدأ باولي، لا يمكن أن يحتوي كل مستوى طاقة على أكثر من إلكترونين، لهما دوران معاكس. ولذلك، فإن عدد الحالات الإلكترونية في النطاق محدود و يساوي العددالحالات الذرية المقابلة وتبين أيضًا أن عدد الإلكترونات التي تملأ نطاق طاقة معينًا محدود. عندما تقترب ذرات N من بعضها البعض، تظهر مستويات فرعية N في كل منطقة. بلورة بحجم 1 سم 3 تحتوي على 1022 -1023 ذرة. تظهر البيانات التجريبية أن مدى الطاقة لنطاق إلكترون التكافؤ لا يتجاوز بضعة إلكترون فولت. ويترتب على ذلك أن المستويات الموجودة في المنطقة مفصولة بالطاقة بمقدار 10 -22 - 10 -23 فولت، أي أن المستويات تقع قريبة جدًا لدرجة أنه حتى في درجات الحرارة المنخفضة يمكن اعتبار هذه المنطقة منطقة ذات طاقات مستمرة مسموح بها، مثل منطقة الطاقة يتميز بطيف شبه مستمر. إن تأثير الطاقة الصغير الذي لا يكاد يذكر يكفي للتسبب في انتقال الإلكترونات من مستوى إلى آخر، إذا كانت هناك حالات حرة هناك. وهذا يعني أنه بسبب الاختلاف الطفيف في طاقة مستويين فرعيين مجاورين، يُنظر إلى مدارات إلكترونات التكافؤ في البلورة على أنها منطقة مستمرة، وليس كمجموعة من مستويات الطاقة المنفصلة.

وبشكل أكثر دقة، لا يمكننا التحدث إلا عن احتمال وجود الإلكترون في نقطة معينة في الفضاء. يتم وصف هذا الاحتمال باستخدام الدوال الموجية x، والتي يتم الحصول عليها عن طريق حل معادلة شرودنغر الموجية. عندما تتفاعل الذرات وظهورها الروابط الكيميائيةتتغير أيضًا الوظائف الموجية لإلكترونات التكافؤ.

يُطلق على اشتقاق طيف طاقة الإلكترونات الموجودة في البلورة من مستويات الطاقة في الذرات المعزولة اسم تقريب الارتباط المحكم. وهذا ينطبق أكثر على الإلكترونات الموجودة في مستويات عميقة وأقل عرضة للتأثيرات الخارجية. في الذرات المعقدة، يتم تحديد طاقة الإلكترونات بواسطة الرئيسي رقم الكم n ورقم الكم المداري l. مع مراعاة التفاعلات في البلورة (التقريب اتصال ضعيف) يوضح أنه أثناء تكوين البلورة، تنقسم المستويات الذرية إلى مستويات فرعية N(2l+1)، حيث يمكن وضع 2N(2l+1) من الإلكترونات.

مثل مستويات الطاقة في الذرات المعزولة، يمكن لنطاقات الطاقة أن تكون مملوءة بالكامل، أو مملوءة جزئيًا، أو فارغة. تمتلئ الأصداف الداخلية في الذرات المعزولة، وبالتالي فإن المناطق المقابلة ممتلئة أيضًا. يسمى الجزء العلوي من النطاقات المملوءة بنطاق التكافؤ. تتوافق هذه المنطقة مع مستويات الطاقة لإلكترونات الغلاف الخارجي في الذرات المعزولة. وتسمى المنطقة الحرة غير المملوءة الأقرب إليها بنطاق التوصيل. بينهما هناك منطقة محظورة. يبدأ ملء نطاق التوصيل عندما تتلقى الإلكترونات الموجودة في نطاق التكافؤ طاقة إضافية كافية للتغلب على حاجز الطاقة المساوٍ لفجوة النطاق.

إن غياب أي مستويات طاقة في فجوة النطاق هو سمة مميزة فقط للبلورات المثالية. أي انتهاك لمثالية المجال الدوري في البلورة يستلزم انتهاك مثالية بنية النطاق. في البلورة الحقيقية توجد دائمًا عيوب في الشبكة البلورية. إذا كان عدد العيوب في البلورة صغيرا، فسيتم تحديد موقعها على مسافات كبيرة من بعضها البعض ومترجمة. ولذلك، فإن حالة الطاقة لتلك الإلكترونات الموجودة في منطقة الخلل فقط سوف تتغير، الأمر الذي سيؤدي إلى تكوين حالات طاقة محلية متراكبة على بنية النطاق المثالي. ويكون عدد هذه الحالات إما مساويا لعدد العيوب أو يتجاوزه إذا ارتبطت عدة حالات من هذا القبيل بالعيب. يقتصر موقع الولايات المحلية على المنطقة القريبة من العيب. ترتبط الإلكترونات الموجودة عند مستويات الطاقة هذه بالعيوب، وبالتالي لا يمكنها المشاركة في التوصيل الكهربائي. أي أن مستويات العيوب التي توجد بها تقع في فجوة شريط البلورة.

مع زيادة درجة الحرارة، يزداد سعة الاهتزازات الحرارية للذرات، وتزداد درجة تفاعلها ودرجة تقسيم مستويات الطاقة. ولذلك تصبح المناطق المسموح بها أوسع، وبالتالي تصبح المناطق المحظورة أضيق. عندما تتغير المسافات بين الذرات، اعتمادًا على طبيعة تقسيم المستوى، يمكن أن تزيد فجوة النطاق أو تنقص. يحدث هذا، على سبيل المثال، تحت تأثير الضغط على البلورة.

تتيح نظرية النطاق صياغة معيار يسمح بتقسيم المواد الصلبة إلى فئتين - المعادن وأشباه الموصلات (العوازل). تم تطوير نظرية النطاق في الأصل للمواد الصلبة البلورية، ولكن في السنوات الأخيرةبدأت أفكارها تمتد إلى المواد غير المتبلورة.

يتناسب مع T : n ~T . وبالتالي، يجب أن يكون معامل التوصيل الحراري متناسباً عكسياً مع درجة الحرارة، وهو ما يتوافق نوعياً مع التجربة. عند درجات حرارة أقل من درجة حرارة ديباي، تكون l مستقلة عمليا عن T، ويتم تحديد التوصيل الحراري بالكامل من خلال اعتماد السعة الحرارية للبلورة على T، C V ~ T 3. ولذلك، في درجات حرارة منخفضة  ~T 3. ويرد في الشكل 9 الاعتماد المميز للتوصيل الحراري على درجة الحرارة.

في المعادن، بالإضافة إلى التوصيل الحراري الشبكي، من الضروري أيضًا مراعاة التوصيل الحراري بسبب نقل الحرارة بواسطة الإلكترونات الحرة. وهذا ما يفسر الموصلية الحرارية العالية للمعادن مقارنة بغير المعادن.

3. الهيكل الإلكترونيبلورات.

3.1. حركة الإلكترونات في المجال الدوري. هيكل الفرقة لطيف الطاقة من الإلكترونات في البلورة. وظائف بلوخ. منحنيات التشتت. كتلة فعالة.

في المادة الصلبة، تكون المسافات بين الذرات مماثلة لأحجامها. لذلك، فإن قذائف الإلكترون للذرات المجاورة تتداخل جزئيا مع بعضها البعض، وعلى الأقل تجد إلكترونات التكافؤ لكل ذرة نفسها في مجال قوي إلى حد ما من الذرات المجاورة. الوصف الدقيقحركة جميع الإلكترونات مع مراعاة تفاعل كولوم للإلكترونات مع بعضها البعض ومعها النوى الذريةللغاية مهمة صعبةولو لذرة واحدة. لذلك، عادة ما يتم استخدام طريقة المجال المتسق ذاتيًا، حيث يتم تقليل المشكلة إلى وصف حركة كل إلكترون فردي في مجال الجهد الفعال الناتج عن النوى الذرية والمجال المتوسط ​​للإلكترونات المتبقية.

دعونا أولاً نفكر في بنية مستويات الطاقة للبلورة، بناءً على تقريب الارتباط القوي، والذي يُفترض فيه أن طاقة ربط الإلكترون بذرته تتجاوز بشكل كبير الطاقة الحركيةحركتها من ذرة إلى ذرة. على مسافات كبيرة بين الذرات، يكون لكل منها نظام من مستويات الطاقة الضيقة المقابلة للحالات المرتبطة بالإلكترون والأيون. ومع اقتراب الذرات، يتناقص عرض وارتفاع الحواجز المحتملة بينها، وبفضل تأثير النفق، تتمكن الإلكترونات من الانتقال من

من ذرة إلى أخرى، وهو ما يصاحبه توسع في مستويات الطاقة وتحولها إلى مناطق الطاقة(الشكل 10). وهذا ينطبق بشكل خاص على إلكترونات التكافؤ ضعيفة الارتباط، والتي تكون قادرة على التحرك بسهولة حول البلورة من ذرة إلى ذرة، وتصبح إلى حد ما مشابهة للإلكترونات الحرة. ترتبط الإلكترونات ذات مستويات الطاقة الأعمق بذراتها بقوة أكبر. إنها تشكل نطاقات طاقة ضيقة ذات نطاقات واسعة من الطاقات المحرمة. في الشكل. يوضح الشكل 10 بشكل تقليدي المنحنيات المحتملة ومستويات الطاقة لبلورة Na. الطابع العاميتم عرض طيف طاقة الإلكترونات اعتمادًا على المسافة بين النواة، d، في الشكل 11. في بعض الحالات، تتسع المستويات العليا كثيرًا لدرجة أن نطاقات الطاقة المجاورة تتداخل مع بعضها البعض. في الشكل. 11 يحدث هذا عندما يكون d = d1.

استنادًا إلى علاقة عدم اليقين هايزنبرج-بور، يرتبط عرض نطاق الطاقة، ∆ε، بزمن بقاء الإلكترون τ في موقع شبكي معين بالعلاقة: ∆ε τ > h. بسبب تأثير النفق، يمكن للإلكترون أن يتسرب عبر حاجز محتمل. وفقًا للتقدير، عند المسافة بين الذرية d ~ 1Aτ ~ 10 -15 ثانية، وبالتالي ∆ε ~ h/τ ~ 10 -19 J ~ 1 eV، أي. تكون فجوة النطاق في حدود واحد أو أكثر من فولت. إذا كانت البلورة تتكون من ذرات N، فإن كل نطاق طاقة يتكون من مستويات فرعية من N. بلورة حجمها 1سم3 تحتوي على N~1022 ذرة. وبالتالي، مع عرض النطاق ~ 1 فولت، تكون المسافة بين المستويات الفرعية ~ 10 -22 فولت، وهو أقل بكثير من الطاقة الحركة الحرارية V الظروف العادية. هذه المسافة ضئيلة جدًا لدرجة أنه في معظم الحالات يمكن اعتبار المناطق متواصلة عمليًا.

في كريستال مثاليتوجد نوى الذرات في مواقع الشبكة البلورية، وتشكل بنية دورية صارمة. وفقًا لهذا، فإن الطاقة الكامنة للإلكترون، V(r)، تعتمد أيضًا بشكل دوري على الإحداثيات المكانية، أي. لديه التماثل الترجمي:

المشابك، a i (i = 1,2,3,...) – ناقلات الترجمات الرئيسية.

يتم تحديد الدوال الموجية ومستويات الطاقة في المجال الدوري (1) عن طريق حل معادلة شرودنغر

يمثل منتج معادلة موجة متنقلة مستوية، ei kr، بعامل دوري، u k (r) = u k (r + a n)، مع فترة الشبكة. تسمى الوظائف (3) وظائف بلوخ.

عند V(r) = 0، يكون للمعادلة (2) حل على شكل موجة مستوية:

حيث m هي كتلة الجسيمات. تم توضيح اعتماد الطاقة E على رقم الموجة منحنى التشتت. وبحسب (5)، في حالة الإلكترون الحر، فهذا قطع مكافئ. قياسًا على الحركة الحرة، يُسمى المتجه k في المعادلة (3) بالمتجه الموجي، аp = h k – شبه الزخم.

في تقريب الاقتران الضعيف، تؤخذ في الاعتبار حركة الإلكترونات الحرة تقريبًا، والتي تتأثر بالمجال المضطرب للإمكانات الدورية للنوى الأيونية. على عكس الحركة الحرة، في المجال الدوري، لا تحتوي معادلة V(r) (2) على حلول لجميع قيم E. تتناوب مناطق الطاقات المسموح بها مع مناطق الطاقات المحظورة. في نموذج الاقتران الضعيف، يتم تفسير ذلك من خلال انعكاس براغ لموجات الإلكترون في البلورة.

دعونا نفكر في هذه المشكلة بمزيد من التفصيل. يتم تحديد شرط الحد الأقصى لانعكاس موجات الإلكترون في البلورة (شرط Wulff-Bragg) بالصيغة (17) الجزء الأول. وبالنظر إلى أن G = n g، نحصل على:

دعونا نفكر في نظام الفواصل الزمنية المحدودة التي لا تحتوي على قيم k التي تحقق العلاقة (7):

( - ن ز /2

منطقة تغيير k في الفضاء k ثلاثي الأبعاد، تعطى بالصيغة

(8) لجميع الاتجاهات الممكنة، يحدد حدود منطقة بريلوين n. داخل كل منطقة بريلوين (n= 1,2,3,...) طاقة الإلكترون هي دالة مستمرة لـ k، وعند حدود المناطق تعاني من انقطاع. وفي الواقع، إذا تحقق الشرط (7) لسعة الحادثة،

ψ ك (ص) = المملكة المتحدة (ص) إي كر

وينعكس

ψ -k (r) = u - k (r) e -i kr

ستكون الموجات هي نفسها، u k (r) = u -k (r). تعطي هذه الموجات حلين لمعادلة شرودنغر:

تصف هذه الوظيفة تراكم الشحنات السالبة على الأيونات الموجبة، حيث تكون الطاقة الكامنة في أدنى مستوياتها. وبالمثل، من الصيغة (9ب) نحصل على:

ρ 2 (ص) = |ψ 2 (ص)|2 =4 u g/2 2 (r)sin 2 (gr/2)

تصف هذه الدالة توزيع الإلكترونات التي تتواجد فيها بشكل رئيسي في المناطق المقابلة لمنتصف المسافات بين الأيونات. في هذه الحالة، ستكون الطاقة المحتملة أكبر. الدالة ψ 2 ستتوافق مع الطاقة E2 > E1.

فجوات النطاق من العرض على سبيل المثال. تحدد الطاقة E`1 الحد العلوي للمنطقة الأولى، وتحدد الطاقة E2 الحد الأدنى للمنطقة الثانية. وهذا يعني أنه عندما تنتشر موجات الإلكترون في البلورات، تنشأ نطاقات من الطاقة لا توجد لها حلول لمعادلة شرودنغر التي لها طبيعة موجية.

نظرًا لأن طبيعة اعتماد الطاقة على ناقل الموجة تؤثر بشكل كبير على ديناميكيات الإلكترونات في البلورة، فمن المثير للاهتمام أن نفكر، على سبيل المثال، في أبسط حالة لسلسلة خطية من الذرات تقع على مسافة من بعضها البعض على طول المحور x. في هذه الحالة ز = 2π /أ. يوضح الشكل 12 منحنيات التشتت لمناطق بريلوين الثلاثة الأولى أحادية البعد: (-

π/أ< k <π /a), (-2π /a < k < -π /a; π/ a < k < 2π /a), (-3π/ a < k < -2π /a; 2π /a < k < 3π /a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1 < E < E2 , E`2 <

ه< E3 и т.д.

في الشكل. 12 المقدمة دائرة المنطقة الممتدة، حيث توجد مناطق طاقة مختلفة في مساحة VC في مناطق Brillouin المختلفة. ومع ذلك، فمن الممكن دائمًا، وغالبًا ما يكون ذلك مناسبًا، اختيار متجه موجة بحيث تقع نهايته داخل منطقة Brillouin الأولى. دعونا نكتب وظيفة بلوخ على النحو التالي:

تقع في منطقة Brillouin الأولى. بالتعويض k في الصيغة (11) نحصل على:

له شكل دالة بلوخ مع مضاعف بلوخ (13). يشير المؤشر n الآن إلى عدد منطقة الطاقة التي تنتمي إليها الوظيفة المحددة. يُطلق على الإجراء الخاص بإحضار ناقل موجة عشوائي إلى منطقة Brillouin الأولى الرسوم البيانية للمناطق المحددة. في هذا المخطط، يأخذ Vectork القيم -g/2< k < g/2 , но одному и тому же значениюк будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12.

وبالتالي فإن وجود فجوات الطاقة يرجع إلى انعكاس براغ لموجات دي برولي الإلكترونية من المستويات البلورية. يتم تحديد نقاط الكسر حسب ظروف الحد الأقصى لانعكاس الموجة.

وفقًا لقوانين ميكانيكا الكم، تعتبر الحركة الانتقالية للإلكترون بمثابة حركة حزمة موجية ذات نواقل موجية قريبة من المتجه k. السرعة الجماعية لحزمة الموجة، v ، تعطى بواسطة

إحدى المشاكل الرئيسية لنظرية الحالة الصلبة هي تحديد طيف الطاقة والحالات الثابتة للإلكترونات في البلورة. ويمكن الحصول على فكرة نوعية عن هذا الطيف باستخدام الطرق التقريبية والتبسيطات. أولاً، يُعتقد أن النظام الفرعي للنواة في حالة سكون عمليًا (نسبة إلى الحركة السريعة للإلكترونات) - وهو تقريب ثابت الحرارة. ثانيًا: من المفترض أن كل إلكترون يتحرك في مجال خلقته إلكترونات أخرى وبشكل مستقل عن الوضع اللحظي لإلكترون معين، مما يسمح بدراسة حركة كل إلكترون بشكل مستقل عن جميع الإلكترونات الأخرى ووصفها بنظرية شرودنجر ذات الإلكترون الواحد معادلة.

ويسمى هذا التقريب إلكترون واحد.

تقريب الإلكترونات المرتبطة بإحكام. في الذرة المعزولة، تكون الإلكترونات قادرة على شغل مستويات طاقة منفصلة فقط، والتي تفصل بينها فترات من الطاقات المحرمة. وفي هذه الحالة تميل الإلكترونات إلى شغل المستويات الأدنى، ولكن بشرط ألا يكون هناك أكثر من إلكترونين في كل مستوى (مبدأ باولي).

أثناء تكوين البلورة، نتيجة لتجمع ذرات N متطابقة، تنشأ قوى التفاعل بينها: قوى التنافر بين النوى وبين إلكترونات الذرات المجاورة وقوى الشد بين جميع النوى وجميع الإلكترونات.

يعتمد تقريب الإلكترون المرتبط بقوة على فكرة أن الإلكترونات المعممة تحافظ على رابطة قوية بما فيه الكفاية مع الذرات، ويمكن تمثيل طاقتها المحتملة بالشكل التالي.

, (4.20)

أين تعميم الوصول إلى الخدمات- الطاقة الكامنة للإلكترون في ذرة معزولة. بالنسبة للبلورة، فهي دالة دورية ذات فترة تساوي معامل الشبكة، حيث أن طاقة الإلكترون تتكرر عندما ينتقل من ذرة إلى أخرى؛
وهو مصطلح تصحيحي يأخذ في الاعتبار تأثير الذرات المجاورة على هذه الطاقة.

فإذا في (4.20) أهملنا مصطلح التصحيح
،أولئك. النظر في ما يسمى تقريب صفر، ثم كدالة موجية وطاقة الإلكترون في البلورة يجب أن نأخذ الدالة الموجية والطاقة E a للإلكترون في ذرة معزولة:
,
.

الفرق بين البلورة والذرة الفردية في هذه الحالة هو كما يلي. بينما يكون مستوى الطاقة هذا في الذرة المعزولة E a فريدًا، فإنه يتكرر في البلورة التي تتكون من ذرات N مرات N. بمعنى آخر، كل مستوى من الذرة المعزولة في البلورة هو ن- تتكاثر.

دعونا الآن نأخذ في الاعتبار مصطلح التصحيح
في الطاقة الكامنة (4.20). عندما تقترب الذرات المعزولة من بعضها البعض وتشكل شبكة، تجد كل ذرة نفسها في مجال متزايد باستمرار من جيرانها الذين تتفاعل معهم.

وفي مجال هذه القوى تتم إزالة انحطاط المستويات الذرية. لهذا السبب كل مستوى من مستويات الطاقة، لا تتحلل في ذرة معزولة، تنقسم إلى N قريبة تقع المستويات الفرعية عن بعضها البعض وتشكل منطقة طاقة. تتكون هذه المنطقة من مستويات طاقة متقاربة جداً، وتزداد كثافتها مع البعد عن حواف المنطقة وفق قانون القطع المكافئ، وتصل إلى حدها الأقصى في منتصف المنطقة. ومع اقتراب الذرات، تنقسم مستويات الطاقة الأعلى أولاً، ثم المستويات الأدنى عندما تقترب الذرات.

تظهر آلية تكوين مناطق الطاقة في الشكل 4.3.

أرز. 4.3. مخطط تشكيل نطاقات الطاقة في البلورة

لو كان مستوى الطاقة في الذرة (2 ل+1) - انحطاط متعدد، ثم يتكون نطاق الطاقة المقابل ن(2 ل+1) المستويات الفرعية. وهكذا، المستوى s يعطي المنطقة ق، تتكون من مستويات فرعية N وقادرة على استيعابها 2 نالإلكترونات: المستوى p يعطي نطاق p يتكون من 3 نمستويات فرعية وقادرة على حمل 6N من الإلكترونات، وما إلى ذلك.

نظرًا لأن البلورة التي يبلغ حجمها 1 م 3 تحتوي على حوالي 10 28 ذرة، ويبلغ عرض نطاق الطاقة حوالي 1 فولت، فإن المسافة بين مستويات الطاقة في النطاق تبلغ حوالي 10-28 فولت. ولذلك، فإن تأثير الطاقة الضئيل بشكل مهمل يكون كافيًا للتسبب في انتقال الإلكترونات من مستوى إلى آخر داخل النطاق؛ يمكننا أن نفترض أن نطاقات الطاقة شبه مستمرة.

إن تأثير المجال الشبكي على المستويات المختلفة للذرة ليس هو نفسه. تشهد مستويات الإلكترونات الداخلية، التي تتفاعل بقوة مع النواة، انقسامًا ضعيفًا يمكن إهماله: فمع انتقالنا إلى المزيد والمزيد من الإلكترونات الخارجية، تنخفض طاقة تفاعلها مع النواة، ويتناقص تأثير المجال الخارجي. يزيد. أقوى تغيير تحت تأثير المجال يحدث في مستويات إلكترونات التكافؤ الخارجي، والتي ترتبط ارتباطًا ضعيفًا نسبيًا بالنواة، و مناطق الطاقة، والتي تتشكل من مستويات الطاقة لهذه الإلكترونات، تبين أنها الأوسع. ويتجلى ذلك في طبيعة السحب الإلكترونية لإلكترونات التكافؤ: فهي تتداخل كثيرًا بحيث تخلق سحابة ناتجة ذات كثافة موحدة تقريبًا. وهذا يتوافق مع حالة التنشئة الاجتماعية الكاملة في الشبكة. عادة ما تسمى هذه الإلكترونات الاجتماعية حر، ومجموعهم - إلكتروني غاز.

تتعرض الإلكترونات الداخلية، المرتبطة بقوة بالنواة، لاضطراب طفيف فقط من الذرات المجاورة، ونتيجة لذلك تظل مستويات الطاقة في البلورة ضيقة تقريبًا كما هي الحال في الذرات المعزولة.

وبالتالي، فإن كل مستوى طاقة للذرة المعزولة في البلورة يتوافق مع منطقة الطاقة المسموح بها: المستوى 1 ق - المنطقة 1 ق، المستوى 2 ص- المنطقة 2 صإلخ. يتم فصل مناطق الطاقات المسموح بها عن مناطق الطاقات المحرمة - المناطق المحظورة ه ز. مع زيادة طاقة الإلكترون في الذرة، يزداد عرض النطاقات المسموح بها، بينما يتناقص عرض النطاقات المحظورة.

في كثير من الحالات، قد يكون هناك تداخل بين المناطق المسموح بها. مثل مستويات الطاقة في الذرات المعزولة، يمكن أن تكون حزم الطاقة مملوءة بالكامل بالإلكترونات، أو مملوءة جزئيًا أو فارغة. كل شيء يعتمد على بنية الأغلفة الإلكترونية للذرات المعزولة والمسافات بين الذرات في البلورة. تسمى المنطقة العلوية المملوءة جزئيًا أو كليًا بالإلكترونات فرقة التكافؤوالمنطقة الفارغة الأقرب إليها هي منطقة التوصيل.

تقريب الإلكترونات الحرة. دعونا نفكر في حالة حركة إلكترون حر تمامًا على طول المحور X، الموصوفة على النحو التالي معادلة شرودنجر:

, (4.21)

, (4.22)

لأن الإلكترون الحر لديه طاقة حركية.

تمثل الصيغة (4.22). علاقة التشتت للإلكترونات الحرة، معربا عن الاعتماد E (ع). ويمكن تحويله على النحو التالي. وفقا لصيغة لويس دي برولي،

, (4.23)

حيث α هو الطول الموجي للإلكترون، و

. (4.24)

يسمى المتجه k، في الاتجاه الذي يتزامن مع اتجاه انتشار موجة الإلكترون، وبحجم يساوي 2π/L، ناقلات موجة الإلكترون.استبدال p من (4.23) إلى (4.22) نحصل عليه

. (4.25)

من (4.22) و (4.24) يتضح أنه بالنسبة للإلكترونات الحرة، يكون قانون التشتت تربيعيًا بطبيعته وبالنسبة لحركة الإلكترون أحادية البعد يتم التعبير عنها بواسطة القطع المكافئ المربع الموضح في الشكل 4.4.

حل المعادلة (4.21) هو موجة متنقلة مستوية:

, (4.26)

أين أ- سعة الموجة.

الشكل 4.4. قانون التشتت للإلكترون الحر

ويتناسب معامل تربيع الدالة الموجية، كما هو معروف، مع احتمال اكتشاف إلكترون في منطقة معينة من الفضاء. كما يتبين من (4.26)، بالنسبة للإلكترون الحر، لا يعتمد هذا الاحتمال على إحداثيات الإلكترون، منذ ذلك الحين

وهذا يعني أنه بالنسبة للإلكترون الحر، فإن جميع النقاط الموجودة في الفضاء متساوية واحتمال العثور عليها في أي منها هو نفسه.

تقريب الإلكترونات المرتبطة بشكل فضفاض. دعونا ننتقل إلى حالة حركة الإلكترون في المجال الدوري للبلورة التي تتكون من أيونات شبكية موجودة بانتظام (الشكل 4.5).

الشكل. 4.5. احتمال اكتشاف الإلكترون عند التحرك في مجال الأيونات الموجودة بشكل صحيح

في هذا التقريب، يتم تمثيل الطاقة المحتملة للإلكترون على النحو التالي

;
, (4.28)

أين ش 0 (س) - الطاقة الكامنة للإلكترون في مجال الأيونات الموجبة، على افتراض أن هذا المجال يعوض بمجال جميع الإلكترونات الأخرى؛

ش 0 (س) - دالة دورية بفترة تساوي ثابت الشبكة؛

- يأخذ في الاعتبار التعويض المحلي غير الكامل للمجال الأيوني بالإلكترونات. يجب أن يكون احتمال العثور على إلكترون في موقع معين في البلورة دالة دورية للإحداثي x، نظرًا لأن المواضع تختلف عن بعضها البعض بمقدار مضاعف لثابت الشبكة أ(على سبيل المثال، أحكام أ، أ'و في(في الشكل 4.5) للإلكترون احتمال متساوٍ. فقط المواقف خلال نفس الفترة ستكون مختلفة أ(على سبيل المثال، خلال فترة ACA). وهذا يعني ذلك سعة الدالة الموجية
الإلكترون المتحرك في مجال دوري لا يظل ثابتًا مثل الإلكترون الحر، بل يتغير بشكل دوري، أو كما يقولون، ينظم بفترة تساوي فترة الشبكة أ. دعونا نشير إلى هذه السعة بواسطة u(x). ثم الدالة الموجية للإلكترون المتحرك في مجال دوري يمكن تمثيل البلورة في اتجاه المحور السيني بالشكل التالي:

, (4.29)

في هذه الحالة u(x+na)=u(x)، حيث n هو أي عدد صحيح. العلاقة (4.29) تسمى وظيفة بلوخ. يتم تحديد الشكل المحدد لهذه الوظيفة حسب نوع الطاقة المحتملة U(x) المدرجة في معادلة شرودنغر (4.9).

وبناءً على ذلك، فإن علاقة التشتت للإلكترونات التي تتحرك في المجال الدوري للبلورة يجب أن تتغير أيضًا مقارنة بالإلكترونات الحرة. أولاً، يكتسب طيف الطاقة لهذه الإلكترونات طابع النطاق. داخل كل منطقة، تبين أن طاقة الإلكترون هي دالة دورية لمتجه الموجة كوللبلورة أحادية البعد (السلسلة الذرية) ذات المعلمة أيمكن التعبير عنها بالعلاقة التالية:

أين ه أ- طاقة المستوى الذري الذي تشكلت منه المنطقة؛ مع- تحول هذا المستوى تحت تأثير مجال الذرات المجاورة؛ أ- ما يسمى تبادل لا يتجزأمع الأخذ في الاعتبار إمكانية انتقال الإلكترونات البلورية من ذرة إلى ذرة بسبب تداخل دوالها الموجية. كلما زاد التداخل بين الدوال الموجية، أي. كلما زاد التردد الذي يمكن للذرات المجاورة أن تتبادل به إلكتروناتها. بالنسبة للولايات أ ق <0 ، بالنسبة للحالات p أ ص >0 لذلك يُنصح بكتابة العلاقة (4.30) بشكل منفصل للمنطقتين s وp:

لمناطق r

أين
;
;,- القيمة المطلقة لتكاملات التبادل لهذه الحالات.

في الشكل. 4.6. وتظهر منحنيات التشتت ه(ك) بالنسبة للمنطقتين s وp، يتم البناء باستخدام المعادلتين (4.31) و(4.32).

بالنسبة لـ s-states E s at ك=0 يأخذ الحد الأدنى من القيمة
. مع زيادة k النقصان كوسكاو
ينمو، ليصل إلى أقصى قيمة له
في
.

الشكل 4.6. مدمن ه(ك) في تمثيل المناطق المحددة

يتغير بنفس الطريقة ه ق (ك) عند التغيير كمن 0 ل - π/أ. عرض منطقة s المسموح بها الممتدة من ه ق دقيقةل ه ق الأعلى، متساوي

بالنسبة للولايات p
يقع في
، أ
عند ك=0. عرض المنطقة P

لا يزال يتحدد بقيمة تكامل التبادل A r. وكقاعدة عامة، كلما كان المستوى الذري أعلى، كلما زادت الوظائف الموجية للإلكترونات في هذا المستوى في التداخل البلوري، وكلما زاد تكامل التبادل، واتساع نطاق الطاقة المتكون من هذا المستوى. لذلك، من المستويات الذرية العالية، تتشكل نطاقات طاقة واسعة، مفصولة بفجوات نطاقات ضيقة (انظر الشكل 4.3).

نطاقات ناقلات الموجة ك، والتي من خلالها الطاقة ه(ك) الإلكترون، كدالة دورية k، يمر بدورة كاملة من تغيراته، تسمى مناطق بريلوين.بالنسبة للبلورة أحادية البعد (السلسلة الذرية)، تمتد منطقة بريلوين الأولى من
ل
ولها طول
(الشكل 4.6)، جزأين من
ل
ومن
ل
تمثل منطقة Brillouin الثانية، وما إلى ذلك. بالقيم
، أين
تخضع الطاقة لكسر، مما يؤدي إلى تكوين فجوات في النطاق بعرض E g .

يمكن الحصول على جميع قيم الطاقة الممكنة في كل منطقة طاقة عن طريق التغيير كداخل منطقة Brillouin الأولى، وبالتالي الاعتماد ه(ك) غالبًا ما يتم بناؤه للمنطقة الأولى فقط. جميع القيم الأخرى هقد يتم جلبها إلى هذه المنطقة. هذه الطريقة للتصوير ه(ك) مُسَمًّى رسم تخطيطي للمناطق المحددة(الشكل 4.6). هناك طريقة أخرى ممكنة، تسمى مخطط المنطقة الممتدة (الشكل 4.7).

هنا تقع مناطق الطاقة المختلفة ك-مساحة في مناطق Brillouin المختلفة.

الشكل 4.7. تمثيل نطاقات الطاقة في مخطط النطاق الموسع

في الشكل. يوضح الشكل 4.7 أيضًا الاعتماد المكافئ ه(ك) من أجل إلكترون حر. بالقرب من الحد الأقصى لمنحنى التشتت، أي. النقاط القريبة ك=0 و
(وسط وحدود منطقة بريلوين الأولى)،
يمكن ترتيبها على التوالي وفقا ل كا (كيُحسب من 0 إذا كان الطرف الأقصى في منتصف منطقة بريلوين، ومن
، إذا كان الحد الأقصى على حدود منطقة Brillouin) ونقتصر على أول فترتين من التوسيع:

بالتعويض عن ذلك في (4.31) و (4.32) نحصل على:

يسمى الحد الأدنى لمنحنى التشتت E(k). الجزء السفلي من منطقة الطاقةالحد الأقصى – قمةأو سقفالمناطق. لذلك، يمكن إعادة كتابة العلاقات التي تم الحصول عليها بالشكل الأكثر عمومية التالي:

بالنسبة للجزء السفلي من المنطقة؛

لمنطقة السقف.

وهكذا، في أسفل وأعلى نطاق الطاقة، تتناسب طاقة الإلكترون مع مربع ناقل الموجة، المحسوب بالطريقة المذكورة أعلاه، ومع تكامل التبادل، الذي يحدد عرض النطاق. في الشكل 4.6، تظهر القطع المكافئة المقابلة للمعادلتين 4.35 و4.36 بخط منقط.

دعونا نفكر في الطبيعة الفيزيائية للانقطاعات في طيف طاقة الإلكترون عند حدود مناطق بريلوين. دعونا نعرب كمن خلال الطول الموجي للإلكترون α واكتب شرط انقطاع الدالة ه(ك):

أو
. (4.37)

هذا هو شرط Wulff-Bragg المعروف لحادث موجة الإلكترون على شبكة متعامدة مع المستويات الذرية. ونتيجة لذلك، تحدث انقطاعات في طيف طاقة الإلكترون في البلورة عندما يتم استيفاء شرط انعكاس براغ (4.37). تخضع الإلكترونات ذات الطول الموجي هذا للانعكاس ولا يمكنها الانتشار في البلورة.

بالنسبة للبلورات الحقيقية، يكون الاعتماد E(k)، كقاعدة عامة، أكثر تعقيدًا بكثير من ذلك الموصوف في الصيغة (4.30).

في الشكل. 4.8. على سبيل المثال، تظهر منحنيات التشتت التي تحد من نطاق التوصيل (المنحنى 1) ونطاق التكافؤ (المنحنى 2) من السيليكون.

أرز. 4.8. منحنيات التشتت ومخطط الفرقة من السيليكون