في هذه المقالة سوف نحلل بالتفصيل معامل الرقم. سنقدم تعريفات مختلفة لمعامل الرقم ونقدم الرموز ونقدم الرسوم التوضيحية. وفي الوقت نفسه، دعونا نفكر أمثلة مختلفةإيجاد معامل الرقم حسب التعريف. بعد ذلك، سنقوم بإدراج وتبرير الخصائص الرئيسية للوحدة. في نهاية المقالة، سنتحدث عن كيفية تعريف الوحدة وتحديد موقعها رقم معقد.

التنقل في الصفحة.

وحدة الأرقام - التعريف والتدوين والأمثلة

أولا نقدم تعيين معامل الرقم. سنكتب معامل الرقم a، أي على يسار ويمين الرقم سنضع شرطات رأسية لتكوين علامة المعامل. دعونا نعطي بضعة أمثلة. على سبيل المثال، يمكن كتابة الوحدة −7 بالشكل التالي؛ تتم كتابة الوحدة 4.125 كـ، وتحتوي الوحدة على تدوين للنموذج.

التعريف التالي للوحدة ينطبق على، وبالتالي، وعلى الأعداد الصحيحة، وعلى العقلاني، وعلى أرقام غير عقلانية، فيما يتعلق بالأجزاء المكونة للمجموعة أرقام حقيقية. سنتحدث عن معامل العدد المركب في.

تعريف.

معامل الرقم أ- إما أن يكون هذا هو الرقم نفسه، إذا - رقم إيجابي، أو الرقم -a، مقابل الرقم a، إذا - رقم سلبيأو 0 إذا كانت a=0 .

غالبًا ما يتم كتابة التعريف الصوتي لمعامل الرقم بالشكل التالي ، هذا الإدخال يعني أنه إذا كانت a>0 ، وإذا كانت a=0 ، وإذا كانت a<0 .

يمكن تقديم السجل في شكل أكثر إحكاما . هذا الترميز يعني أنه إذا (أ أكبر من أو يساوي 0)، وإذا كان أ<0 .

هناك أيضا الدخول . هنا يجب أن نشرح بشكل منفصل الحالة عندما يكون a=0. في هذه الحالة لدينا، لكن −0=0، حيث أن الصفر يعتبر رقمًا معاكسًا لنفسه.

دعونا نعطي أمثلة على إيجاد معامل الرقمباستخدام تعريف محدد. على سبيل المثال، دعونا نجد وحدات الأرقام 15 و . لنبدأ بإيجاد . وبما أن الرقم 15 موجب، فإن معامله بحكم التعريف يساوي هذا الرقم نفسه، أي . ما هو معامل الرقم؟ وبما أنه عدد سالب، فإن معامله يساوي الرقم المقابل للرقم، أي الرقم . هكذا، .

لاختتام هذه النقطة، نقدم استنتاجًا واحدًا مناسبًا جدًا للاستخدام العملي عند العثور على معامل الرقم. من تعريف معامل الرقم يتبع ذلك معامل العدد يساوي الرقم الموجود تحت علامة المعامل دون مراعاة إشارته، ومن الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه يظهر هذا بوضوح شديد. يشرح البيان المذكور سبب استدعاء وحدة الرقم أيضًا القيمة المطلقة للرقم. إذن، مقياس العدد والقيمة المطلقة للعدد هما نفس الشيء.

معامل الرقم كمسافة

هندسيًا، يمكن تفسير معامل الرقم على أنه مسافة. دعونا نعطي تحديد معامل الرقم من خلال المسافة.

تعريف.

معامل الرقم أ- هذه هي المسافة من نقطة الأصل على خط الإحداثيات إلى النقطة المقابلة للرقم أ.

يتوافق هذا التعريف مع تعريف معامل الرقم الوارد في الفقرة الأولى. دعونا نوضح هذه النقطة. المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة المقابلة للرقم الموجب تساوي هذا الرقم. الصفر يتوافق مع الأصل، وبالتالي فإن المسافة من الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات 0 تساوي الصفر (لا تحتاج إلى تخصيص قطعة وحدة واحدة جانبًا وليس قطعة واحدة تشكل أي جزء من قطعة الوحدة بالترتيب للانتقال من النقطة O إلى النقطة ذات الإحداثيات 0). المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات السالبة تساوي الرقم المقابل لإحداثي هذه النقطة، حيث أنها تساوي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة التي إحداثياتها الرقم المقابل.

على سبيل المثال، معامل الرقم 9 يساوي 9، حيث أن المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات 9 تساوي تسعة. دعونا نعطي مثالا آخر. تقع النقطة ذات الإحداثيات −3.25 على مسافة 3.25 من النقطة O، لذلك .

التعريف المعلن لمعامل الرقم هو حالة خاصة لتعريف معامل الفرق بين رقمين.

تعريف.

معامل الفرق بين رقمين a و b يساوي المسافة بين نقطتي الخط الإحداثي مع الإحداثيات a و b.

أي أنه إذا تم إعطاء نقاط على خط الإحداثيات A(a) وB(b)، فإن المسافة من النقطة A إلى النقطة B تساوي معامل الفرق بين الرقمين a وb. إذا أخذنا النقطة O (الأصل) كنقطة B، فسنحصل على تعريف معامل الرقم الوارد في بداية هذه الفقرة.

تحديد معامل العدد باستخدام الجذر التربيعي الحسابي

يحدث في بعض الأحيان تحديد المعامل عن طريق الجذر التربيعي الحسابي.

على سبيل المثال، دعونا نحسب معاملات الأرقام −30 وبناء على هذا التعريف. لدينا. وبالمثل، نحسب وحدة الثلثين: .

إن تعريف معامل الرقم من خلال الجذر التربيعي الحسابي يتوافق أيضًا مع التعريف الوارد في الفقرة الأولى من هذه المقالة. دعونا نظهر ذلك. ليكن a رقمًا موجبًا، وليكن -a رقمًا سالبًا. ثم و ، إذا كانت a=0، إذن .

خصائص الوحدة

تحتوي الوحدة على عدد من النتائج المميزة - خصائص الوحدة. الآن سوف نقدم أهمها وأكثرها استخدامًا. عند تبرير هذه الخصائص، سنعتمد على تعريف مقياس العدد بدلالة المسافة.

لنبدأ بالخاصية الأكثر وضوحًا للوحدة - لا يمكن أن يكون معامل الرقم رقمًا سالبًا. بشكل حرفي، هذه الخاصية لها شكل أي رقم أ. من السهل جدًا تبرير هذه الخاصية: معامل الرقم هو المسافة، ولا يمكن التعبير عن المسافة كرقم سالب.

دعنا ننتقل إلى خاصية الوحدة التالية. يكون مقياس العدد صفرًا إذا وفقط إذا كان هذا الرقم صفرًا. معامل الصفر هو صفر حسب التعريف. الصفر يقابل نقطة الأصل؛ ولا توجد نقطة أخرى على خط الإحداثيات تقابل الصفر، حيث أن كل رقم حقيقي يرتبط بنقطة واحدة على خط الإحداثيات. وللسبب نفسه، فإن أي رقم غير الصفر يتوافق مع نقطة مختلفة عن نقطة الأصل. والمسافة من نقطة الأصل إلى أي نقطة غير النقطة O ليست صفرًا، لأن المسافة بين نقطتين تكون صفرًا إذا وفقط إذا تطابقت هذه النقاط. يثبت المنطق أعلاه أن معامل الصفر فقط هو الذي يساوي الصفر.

دعونا نمضي قدما. الأرقام المتضادة لها وحدات متساوية، أي لأي رقم أ. في الواقع، نقطتان على خط الإحداثيات، إحداثياتهما أرقام متقابلة، تقعان على نفس المسافة من الأصل، مما يعني أن وحدات الأعداد المتقابلة متساوية.

الخاصية التالية للوحدة هي: معامل منتج رقمين يساوي منتج معاملات هذه الأرقام، إنه، . حسب التعريف، معامل حاصل ضرب العددين a و b يساوي a·b if أو −(a·b) if . من قواعد ضرب الأعداد الحقيقية، يترتب على ذلك أن حاصل ضرب معاملي الأعداد a و b يساوي إما a·b، أو -(a·b) إذا، مما يثبت الخاصية المعنية.

معامل قسمة أ على ب يساوي حاصل قسمة معامل العدد على معامل ب، إنه، . دعونا نبرر هذه الخاصية للوحدة. وبما أن حاصل القسمة يساوي المنتج، إذن. بحكم الخاصية السابقة لدينا . كل ما تبقى هو استخدام المساواة، وهو صالح بحكم تعريف مقياس الرقم.

الخاصية التالية للوحدة مكتوبة على أنها عدم مساواة: و a و b و c هي أرقام حقيقية عشوائية. عدم المساواة المكتوبة ليست أكثر من عدم المساواة المثلث. لتوضيح ذلك، دعونا نأخذ النقاط A(a)، B(b)، C(c) على خط الإحداثيات، ونفكر في المثلث المنحط ABC، الذي تقع رؤوسه على نفس الخط. بحكم التعريف، فإن معامل الفرق يساوي طول المقطع AB، - طول المقطع AC، و- طول المقطع CB. بما أن طول أي ضلع في المثلث لا يتجاوز مجموع طولي الضلعين الآخرين، فإن المتراجحة صحيحة وبالتالي فإن المتباينة صحيحة أيضًا.

إن المتباينة التي تم إثباتها للتو هي أكثر شيوعًا في الصورة . عادةً ما يتم اعتبار عدم المساواة المكتوبة خاصية منفصلة للوحدة بالصيغة: " معامل مجموع رقمين لا يتجاوز مجموع معاملات هذه الأرقام" لكن المتباينة تأتي مباشرة من المتباينة إذا وضعنا −b بدلاً من b وأخذنا c=0.

معامل العدد المركب

دعونا نعطي تعريف معامل العدد المركب. نرجو أن تعطى لنا رقم معقد، مكتوبة بشكل جبري، حيث x وy عبارة عن أرقام حقيقية، تمثل، على التوالي، الأجزاء الحقيقية والتخيلية لعدد مركب معين z، وهي الوحدة التخيلية.

وبالمثل، فإن الفرق z 1 - z 2 بين الأعداد المركبة z 1 و z 2 يتوافق مع اختلاف المتجهات المقابلة للأرقام z 1 و z 2. معامل الرقمين المركبين z 1 و z 2، حسب تعريف المعامل ، هو طول المتجه z 1 - z 2. لنقم ببناء متجه كمجموع متجهين z 2 و (- z 1). نحصل على متجه يساوي المتجه، لذلك هناك طول المتجه، أي أن معامل الفرق بين رقمين مركبين هو المسافة بين نقاط المستوى المركب التي تتوافق مع هذه الأرقام.

6. وسيطات الأعداد المركبة. وسيطة الرقم المركب z= a + ib هي مقدار الزاوية بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والمتجه z؛ تعتبر الزاوية موجبة إذا تم العد عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبة إذا تم العد في اتجاه عقارب الساعة.

للإشارة إلى حقيقة أن الرقم j هو وسيطة للرقم z= a+ ib، اكتب j=argz أو j=arg (a+ib).

بالنسبة للرقم z=0 لم يتم تعريف الوسيطة. لذلك، في جميع الحجج اللاحقة المتعلقة بمفهوم الوسيطة، سنفترض أنه من خلال تحديد المعامل والوسيطة، يتم تحديد الرقم المركب بشكل فريد؛ الرقم z=0 هو الرقم الوحيد الذي يتم تحديده عن طريق تحديد معامله فقط.

من ناحية أخرى، إذا تم إعطاء رقم مركب، فمن الواضح أن معامل هذا الرقم يتم تعريفه دائمًا بشكل فريد، على عكس الوسيطة، التي يتم تحديدها دائمًا بشكل غامض: إذا كانت j هي وسيطة ما للرقم z، فإن الزوايا j + 2pk هي أيضًا وسيطات للرقم z.

من تعريف الدوال المثلثية يترتب على ذلك أنه إذا كانت j=arg (a+ib)، فإن النظام التالي ينطبق

مثال 4. ما عدد الحلول التي يمتلكها نظام المعادلات؟

أ) دعونا نمثل في مستوى مركب واحد الأرقام التي تساوي معاملاتها 3 و 1

ابحث عن الوحدة 1- أنا: .

لاحظ أنه لا توجد نقطة على الدائرة الأكبر

وهو قريب من الأصغر على مسافة تساوي ،

ويترتب على ذلك أن النظام ليس له جذور.

عندما تحول بمقدار 3 أنانقطة واحدة فقط على الدائرة الأصغر نحصل على أن هذه النقطة تقع عليها

دائرة أخرى.

هذه النقطة ستكون حل النظام.

ج) دعونا نمثل في مستوى مركب واحد الأعداد التي تساوي معاملاتها 1.

لاحظ أنه عندما ننقل نقطتين فقط بمقدار نقطة واحدة إلى اليسار، فإننا ننتهي على نفس الدائرة، مما يعني أن هذين الرقمين سيكونان حلول النظام.

7. الأشكال الجبرية والمثلثية للأعداد المركبة. كتابة عدد مركب z على الصورة a+ib يسمى شكل جبريرقم معقد.

دعونا نفكر في أشكال أخرى لكتابة الأعداد المركبة. دع r يكون وحدة نمطية، و j يكون أيًا من وسيطات الرقم المركب z= a+ ib، أي r = ,j=arg (a+ib). ثم من الصيغة (5) يتبع ذلك، وبالتالي،

كتابة عدد مركب على الصورة يسمى ee شكل مثلثي.

من أجل الانتقال من الصورة الجبرية للعدد المركب a+ib إلى الشكل المثلثي، يكفي العثور على معامله وإحدى الوسائط.

مثال 5. ما هي مجموعة نقاط المستوى المركب التي يعطيها الشرط

أ) يجب أن نبني نقاطًا عندما تنحرف للأسفل أناوإلى اليمين بمقدار 1 سيكون على مسافة متساوية من الأصل ومن أين

ولبناء مجموعة من النقاط التي تحقق هذا الشرط يجب:

1) إنشاء مجموعة من النقاط متساوية البعد عن أصل الإحداثيات بمقدار 2

2) حركه 1 إلى اليسار وإلى أناأعلى

ب) يجب علينا بناء النقاط التي ستكون أقرب إلى النقطة - أنامن ل 2i,هذه النقاط موضحة في الشكل.

ج) هذه المعادلة تعادل المعادلة

أي أنه سيتم إزالة هذه الأرقام عن بعد

1 إلى اليمين. وفي هذه الحالة، إذا تحقق الشرط الثاني، سيتم الحصول على الزاوية الموضحة في الشكل.

أي أن هذه ستكون نقاط بعيدة عن أصل الإحداثيات بما لا يزيد عن 1 وفي نفس الوقت تستثني الرقم 0. ومع مراعاة الشرطين الثاني والثالث نحصل على:

و) لبناء النقاط التي تحقق الشرط الأول، من الضروري إزاحة النقاط التي تمت إزالتها بمسافة 1،

1 إلى اليمين. علاوة على ذلك، مع مراعاة الشروط الأخرى، نحصل عليها

مجموعة النقاط المطلوبة

مثال 6. هل التعبيرات التالية في شكل مثلثي؟

الشكل المثلثي لكتابة الرقم لن يكون سوى تعبير أ)، لأنه فقط يفي بتعريف الشكل المثلثي لكتابة الرقم (ولجميع الدوال المثلثية يجب أن تكون الزوايا متساوية، وكذلك إذا قمت بحساب قيمة التعبير ، فيجب أن يكونا متساويين).

8. ضرب وقسمة الأعداد المركبة على الصورة المثلثية. يترك

هكذا، معامل ومنتج عددين مركبين يساوي منتج معاملات العوامل، ومجموع وسيطات العوامل هو وسيطة المنتج.

دع ثم

هكذا، معامل حاصل عددين مركبين يساوي حاصل معاملات المقسوم والمقسوم عليه، والفرق بين وسيطات المقسوم والمقسوم عليه هو وسيطة القسمة.

9. الأسي واستخراج الجذر. يمكن تعميم الصيغة (6) لحاصل ضرب عددين مركبين على حالة العوامل. باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، ليس من الصعب إظهار أنه إذا كانت حجج الأرقام، على التوالي، إذن

ومن هنا، كحالة خاصة، نحصل على صيغة تعطي قاعدة رفع عدد مركب إلى قوة عدد صحيح موجب:

هكذا، عندما يتم رفع عدد مركب إلى قوة ذات أس طبيعي، يتم رفع وحدته إلى قوة لها نفس الأس، ويتم ضرب الوسيطة في الأس.

تسمى الصيغة (8) بصيغة Moivre.

ويسمى الرقم جذر قوة الرقم ث(المشار إليها إذا

لو ث=0، ثم لأي نالمعادلة لها حل واحد فقط ض= 0.

دعونا نتخيل الآن ضو ثفي الشكل المثلثي:

ثم سوف تأخذ المعادلة الشكل

يكون عددان مركبان متساويين إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية وتختلف الوسائط بمضاعفات 2 ص.لذلك،

وبالتالي، يتم إعطاء جميع الحلول للمعادلة من خلال الصيغة

في الواقع، إعطاء العدد كفي الصيغة (9) قيم عددية تختلف عن 0، 1، …، ( ن-1)، لم نحصل على أي أرقام مركبة أخرى.

تسمى الصيغة (9). صيغة Moivre الثانية.

وبالتالي، إذا كان هناك بالضبط نجذور الدرجة نمن بين ث: كلها واردة في الصيغة (9).

على وجه الخصوص، إذا كان =2، فإن المعادلة لها جذرين:

أي أن هذه الجذور متناظرة بالنسبة للأصل.

أيضًا من الصيغة (9) ليس من الصعب الحصول على أنه إذا كانت النقاط التي تمثل جميع جذور المعادلة هي رؤوس الصحيحة ن-مثلث منقوش في دائرة مركزها ض=0 ونصف القطر.

ويترتب على ما سبق أن الرمز ليس له معنى واضح. لذلك، عند استخدامه، يجب أن تفهم بوضوح ما يعنيه. على سبيل المثال، عند استخدام الترميز، يجب توخي الحذر لتوضيح ما إذا كان يعني زوجًا من الأعداد المركبة أناو -أنا، أو واحد، وإذا كان واحدا، أي واحد.

مثال 7. اكتب على الصورة المثلثية:

ب) منذ ذلك الحين، من أين.

منذ , ثم أين

ج) منذ ذلك الحين ومن أين.

10. المعادلات التربيعية. تمت مناقشة المعادلات التربيعية في مقرر الجبر المدرسي.

مع احتمالات حقيقية أ، ب، ج.وتبين هناك أنه إذا كان مميز المعادلة (10) غير سالب، فإن حلول هذه المعادلة تعطى بالصيغة

إذا قيل أن المعادلة ليس لها حلول.

لاشتقاق الصيغة (11) استخدمنا تقنية عزل مربع ثلاثي الحدود ثم تحليل الطرف الأيسر إلى عوامل خطية:

ومن هنا جاءت الصيغة (11). من الواضح أن كل هذه الحسابات تظل صالحة في حالة حدوث ذلك أ، ب، جهي أعداد مركبة، وجذور المعادلة موجودة في مجموعة الأعداد المركبة.

وبالتالي، في مجموعة الأعداد المركبة، المعادلة

دائما قابلة للحل. إذا كانت المعادلة لها جذر واحد، فإن المعادلة لها جذرين. وفي جميع الحالات، تكون الصيغة صالحة لجذور المعادلة التربيعية

حيث تتضمن جميع معاني الجذر.

مثال 8. حل المعادلة

أ) هذه المعادلة تربيعية.

وبالتالي سو ذإرضاء النظام

و سو ذ

لاحظ أن س

عندما نحصل على:

دعونا نحل المعادلة (*): س 4 +15x 2 -16 =0 - المعادلة التربيعية فيما يتعلق س 2، من أين

دعنا نعود إلى النظام:

ب) هذه المعادلة تربيعية.

باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية، لدينا:

لتحديد كافة القيم، دعونا نحدد

وبالتالي سو ذإرضاء النظام

و سو ذأرقام حقيقية. دعونا نحل النظام:

لاحظ أن س=0 ليس حلاً للنظام.

عندما نحصل على:

دعونا نحل المعادلة (*): س 4 -16x 2 -225=0 – معادلة تربيعية بالنسبة ل س 2، من أين

دعنا نعود إلى النظام:

مثال 9. حل المعادلة

أ) لنفترض أن المعادلة تأخذ الشكل:

ومن أين نحصل على ذلك باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا

العودة إلى ض، نحصل على

1) . لاحظ أن. وباستخدام صيغة Moivre الثانية نحصل على:

لذلك،

2) . لاحظ أن. وباستخدام صيغة Moivre الثانية نحصل على:

لذلك،

ب) لنحول المعادلة:

لاحظ أن . وباستخدام صيغة Moivre الثانية نحصل على:

مثال 10. حل المعادلة:

دعونا نحل المعادلة التربيعية بالنسبة لـ ض 2: د=

يترك ض=أ+يب،ثم، والمعادلة لها الشكل

دعونا، إذن، من أين

دع ، إذن، مما يعني أننا حصلنا، ثم حصلنا على ذلك

الوحدة هي واحدة من تلك الأشياء التي يبدو أن الجميع قد سمعوا عنها، ولكن في الواقع لا أحد يفهمها حقًا. لذلك، سيكون اليوم درسًا كبيرًا مخصصًا لحل المعادلات بالوحدات.

سأقول على الفور: الدرس لن يكون صعبا. وبشكل عام، تعتبر الوحدات موضوعًا بسيطًا نسبيًا. "نعم، بالطبع، الأمر ليس معقدًا! إنه يذهل ذهني! - سيقول العديد من الطلاب، لكن كل هذه الانكسارات الدماغية تحدث بسبب حقيقة أن معظم الناس ليس لديهم معرفة في رؤوسهم، بل نوع من الهراء. والهدف من هذا الدرس هو تحويل الهراء إلى معرفة :).

القليل من النظرية

لذلك، دعونا نذهب. لنبدأ بالشيء الأكثر أهمية: ما هي الوحدة؟ دعني أذكرك أن معامل الرقم هو ببساطة نفس الرقم، لكنه مأخوذ بدون علامة الطرح. وهذا هو، على سبيل المثال، $\left| -5 \يمين|=5$. أو $\left| -129.5 \يمين|=129.5 دولارًا.

هل الأمر بهذه البساطة؟ نعم بسيط. إذن ما هي القيمة المطلقة لعدد موجب؟ والأمر أبسط هنا: معامل الرقم الموجب يساوي هذا الرقم نفسه: $\left| 5 \يمين|=5$; $\اليسار| 129.5 \يمين|=129.5 دولارًا، إلخ.

لقد اتضح أن الأمر غريب: يمكن أن تحتوي الأرقام المختلفة على نفس الوحدة. على سبيل المثال: $\left| -5 \يمين|=\يسار| 5 \يمين|=5$; $\اليسار| -129.5 \يمين|=\يسار| 129.5\يمين|=129.5 دولارًا. من السهل معرفة نوع الأرقام التي لها نفس الوحدات: هذه الأرقام متقابلة. وهكذا نلاحظ بأنفسنا أن وحدات الأعداد المتضادة متساوية:

\[\يسار| -أ \يمين|=\يسار| أ\يمين|\]

حقيقة أخرى مهمة: المعامل ليس سلبيًا أبدًا. مهما كان الرقم الذي نأخذه - سواء كان موجبًا أو سالبًا - فإن معامله دائمًا ما يكون موجبًا (أو في الحالات القصوى صفر). ولهذا السبب يُطلق على المعامل غالبًا القيمة المطلقة للرقم.

بالإضافة إلى ذلك، إذا قمنا بدمج تعريف المعامل لعدد موجب وسالب، نحصل على تعريف عالمي للمعامل لجميع الأرقام. وهي: أن معامل العدد يساوي العدد نفسه إذا كان العدد موجباً (أو صفراً)، أو يساوي العدد المقابل إذا كان العدد سالباً. يمكنك كتابة هذا كصيغة:

يوجد أيضًا مقياس يساوي صفرًا، لكنه يساوي دائمًا صفرًا. وبالإضافة إلى ذلك، فإن الصفر هو الرقم الوحيد الذي ليس له عكس.

وبالتالي، إذا أخذنا في الاعتبار الدالة $y=\left| x \right|$ وحاول رسم الرسم البياني الخاص به، سوف تحصل على شيء مثل هذا:

الرسم البياني للمعامل ومثال لحل المعادلة

من هذه الصورة يتضح على الفور أن $\left| -م \يمين|=\يسار| m \right|$، ولا يقع الرسم البياني للمعامل مطلقًا تحت المحور السيني. ولكن هذا ليس كل شيء: الخط الأحمر يمثل الخط المستقيم $y=a$، والذي، بالنسبة إلى $a$ الموجب، يعطينا جذرين في وقت واحد: $((x)_(1))$ و $((x) _(2))$، ولكننا سنتحدث عن ذلك لاحقًا :).

بالإضافة إلى التعريف الجبري البحت، هناك تعريف هندسي. لنفترض أن هناك نقطتين على خط الأعداد: $((x)_(1))$ و$((x)_(2))$. في هذه الحالة، التعبير $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ هي ببساطة المسافة بين النقاط المحددة. أو، إذا كنت تفضل ذلك، طول المقطع الذي يربط هذه النقاط:

المعامل هو المسافة بين النقاط على خط الأعداد

ويعني هذا التعريف أيضًا أن المعامل يكون دائمًا غير سلبي. لكن ما يكفي من التعريفات والنظرية - دعنا ننتقل إلى المعادلات الحقيقية :).

الصيغة الأساسية

حسنًا، لقد قمنا بفرز التعريف. لكن هذا لم يجعل الأمر أسهل. كيفية حل المعادلات التي تحتوي على هذه الوحدة بالذات؟

الهدوء، الهدوء فقط. لنبدأ بأبسط الأشياء. النظر في شيء من هذا القبيل:

\[\يسار| س\يمين|=3\]

إذن معامل $x$ هو 3. ما الذي يمكن أن يساوي $x$؟ حسنًا، استنادًا إلى التعريف، نحن سعداء جدًا بـ $x=3$. حقًا:

\[\يسار| 3\يمين|=3\]

هل هناك أرقام أخرى؟ يبدو أن كاب يلمح إلى وجود ذلك. على سبيل المثال، $x=-3$ هو أيضًا $\left| -3 \right|=3$، أي يتم تحقيق المساواة المطلوبة.

فهل لو بحثنا وفكرنا سنجد أرقامًا أكثر؟ ولكن دعونا نواجه الأمر: لم يعد هناك المزيد من الأرقام. المعادلة $\left| x \right|=3$ له جذرين فقط: $x=3$ و$x=-3$.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. دع الدالة $f\left(x \right)$ معلقة تحت علامة المعامل بدلاً من المتغير $x$، ثم ضع رقمًا عشوائيًا $a$ بدلاً من الرقم الثلاثي على اليمين. نحصل على المعادلة:

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=a\]

فكيف يمكننا حل هذا؟ دعني أذكرك: $f\left(x \right)$ هي دالة عشوائية، و$a$ هي أي رقم. أولئك. أي شيء على الإطلاق! على سبيل المثال:

\[\يسار| 2x+1 \يمين|=5\]

\[\يسار| 10x-5 \يمين|=-65\]

دعونا ننتبه إلى المعادلة الثانية. يمكنك أن تقول عنه على الفور: ليس له جذور. لماذا؟ كل شيء صحيح: لأنه يتطلب أن يكون المقياس مساويًا لعدد سالب، وهو ما لا يحدث أبدًا، لأننا نعلم بالفعل أن المقياس يكون دائمًا رقمًا موجبًا، أو في الحالات القصوى، صفرًا.

لكن مع المعادلة الأولى يصبح كل شيء أكثر متعة. هناك خياران: إما أن يكون هناك تعبير إيجابي تحت علامة المعامل، ثم $\left| 2x+1 \right|=2x+1$، أو أن هذا التعبير لا يزال سالبًا، ثم $\left| 2x+1 \يمين|=-\يسار(2x+1 \يمين)=-2x-1$. في الحالة الأولى، سيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

\[\يسار| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

وفجأة يتبين أن التعبير الجزئي $2x+1$ موجب حقًا - فهو يساوي الرقم 5. وهذا يعني يمكننا حل هذه المعادلة بأمان - سيكون الجذر الناتج جزءًا من الإجابة:

يمكن لأولئك الذين لا يثقون بشكل خاص أن يحاولوا استبدال الجذر الموجود في المعادلة الأصلية والتأكد من وجود رقم موجب بالفعل تحت المعامل.

الآن دعونا نلقي نظرة على حالة التعبير الجزئي السلبي:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \السهم الأيمن 2x+1=-5\]

أُووبس! مرة أخرى، كل شيء واضح: افترضنا أن $2x+1 \lt 0$، ونتيجة لذلك حصلنا على $2x+1=-5$ - في الواقع، هذا التعبير أقل من الصفر. نحن نحل المعادلة الناتجة، بينما نعرف على وجه اليقين أن الجذر الذي تم العثور عليه سوف يناسبنا:

في المجمل، تلقينا مرة أخرى إجابتين: $x=2$ و$x=3$. نعم، تبين أن حجم العمليات الحسابية أكبر قليلاً مما هو عليه في المعادلة البسيطة جدًا $\left| x \right|=3$، ولكن لم يتغير شيء بشكل أساسي. لذلك ربما يكون هناك نوع من الخوارزمية العالمية؟

نعم، مثل هذه الخوارزمية موجودة. والآن سنقوم بتحليلها.

التخلص من علامة المعامل

دعونا نحصل على المعادلة $\left| f\left(x \right) \right|=a$، و$a\ge 0$ (وإلا، كما نعلم بالفعل، لا توجد جذور). ثم يمكنك التخلص من علامة المعامل باستخدام القاعدة التالية:

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

ومن ثم، تنقسم المعادلة ذات المقياس إلى اثنتين، ولكن بدون مقياس. هذا كل ما في التكنولوجيا! دعونا نحاول حل بعض المعادلات. لنبدأ بهذا

\[\يسار| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

دعونا نفكر بشكل منفصل عندما يكون هناك علامة زائد عشرة على اليمين، وبشكل منفصل عندما يكون هناك علامة ناقص. لدينا:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شيء! حصلنا على جذرين: $x=1.2$ و$x=-2.8$. استغرق الحل بأكمله سطرين حرفيًا.

حسنًا، لا شك، فلننظر إلى شيء أكثر جدية:

\[\يسار| 7-5x\يمين|=13\]

مرة أخرى نفتح الوحدة مع زائد وناقص:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\النهاية(محاذاة)\]

سطرين مرة أخرى - والجواب جاهز! كما قلت، لا يوجد شيء معقد فيما يتعلق بالوحدات. تحتاج فقط إلى تذكر بعض القواعد. لذلك، ننتقل ونبدأ بمهام أكثر تعقيدًا حقًا.

حالة متغير الجانب الأيمن

الآن فكر في هذه المعادلة:

\[\يسار| 3x-2 \يمين|=2x\]

هذه المعادلة تختلف جوهريا عن جميع المعادلات السابقة. كيف؟ والحقيقة أنه على يمين علامة التساوي يوجد التعبير $2x$ - ولا يمكننا أن نعرف مسبقًا ما إذا كان موجبًا أم سالبًا.

ماذا تفعل في هذه الحالة؟ أولا، يجب أن نفهم ذلك مرة واحدة وإلى الأبد إذا تبين أن الجانب الأيمن من المعادلة سالب، فلن يكون للمعادلة جذور- نحن نعلم بالفعل أن الوحدة لا يمكن أن تساوي رقمًا سالبًا.

وثانيًا، إذا كان الجزء الأيمن لا يزال موجبًا (أو يساوي الصفر)، فيمكنك التصرف بنفس الطريقة تمامًا كما كان من قبل: ما عليك سوى فتح الوحدة بشكل منفصل بعلامة زائد وبشكل منفصل بعلامة ناقص.

وبالتالي، قمنا بصياغة قاعدة للوظائف العشوائية $f\left(x \right)$ و $g\left(x \right)$ :

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

وبالنسبه لمعادلتنا نحصل على:

\[\يسار| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

حسنًا، سوف نتعامل بطريقة ما مع المتطلب $2x\ge 0$. في النهاية، يمكننا التعويض بغباء بالجذور التي حصلنا عليها من المعادلة الأولى والتحقق مما إذا كانت المتراجحة صحيحة أم لا.

لذلك دعونا نحل المعادلة نفسها:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، أي من هذين الجذرين يلبي المتطلبات $2x\ge 0$؟ نعم كلاهما! لذلك، ستكون الإجابة رقمين: $x=(4)/(3)\;$ و $x=0$. هذا هو الحل :)

أظن أن بعض الطلاب بدأوا يشعرون بالملل بالفعل؟ حسنًا، دعونا ننظر إلى معادلة أكثر تعقيدًا:

\[\يسار| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

على الرغم من أنها تبدو شريرة، إلا أنها في الواقع لا تزال نفس المعادلة من صيغة "المعامل يساوي الدالة":

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

ويتم حلها بنفس الطريقة تمامًا:

\[\يسار| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

سنتعامل مع عدم المساواة لاحقا - إنه شرير للغاية إلى حد ما (في الواقع، إنه بسيط، لكننا لن نحله). في الوقت الحالي، من الأفضل التعامل مع المعادلات الناتجة. لنفكر في الحالة الأولى - وذلك عندما يتم توسيع الوحدة بعلامة الجمع:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

حسنًا، ليس من المنطقي أن تحتاج إلى جمع كل شيء من اليسار، وإحضار أشياء مماثلة ومعرفة ما سيحدث. وهذا ما يحدث:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\النهاية(محاذاة)\]

نخرج العامل المشترك $((x)^(2))$ من بين قوسين ونحصل على معادلة بسيطة جدًا:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(محاذاة) \يمين.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

لقد استفدنا هنا من خاصية مهمة للمنتج، والتي من أجلها قمنا بتحليل كثيرة الحدود الأصلية: المنتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلة الثانية بنفس الطريقة تمامًا، والتي يتم الحصول عليها عن طريق توسيع الوحدة بعلامة الطرح:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

مرة أخرى نفس الشيء: الناتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. لدينا:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

حسنًا، لدينا ثلاثة جذور: $x=0$ و$x=1.5$ و$x=(2)/(3)\;$. حسنًا، أي من هذه المجموعة سيدخل في الإجابة النهائية؟ وللقيام بذلك، تذكر أن لدينا قيدًا إضافيًا يتمثل في عدم المساواة:

كيف تأخذ هذا المطلب بعين الاعتبار؟ فلنعوض بالجذور التي وجدناها ونتحقق مما إذا كانت المتراجحة تنطبق على $x$ أم لا. لدينا:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\جي 0؛ \\\النهاية(محاذاة)\]

وبالتالي، فإن الجذر $x=1.5$ لا يناسبنا. وفي الجواب لن يكون هناك سوى أصلين:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

كما ترون، حتى في هذه الحالة لم يكن هناك شيء معقد - يتم دائمًا حل المعادلات ذات الوحدات باستخدام الخوارزمية. كل ما تحتاجه هو أن يكون لديك فهم جيد لمتعددات الحدود والمتباينات. لذلك، ننتقل إلى مهام أكثر تعقيدا - لن تكون هناك وحدة واحدة، ولكن وحدتين.

المعادلات مع وحدتين

حتى الآن، قمنا بدراسة أبسط المعادلات فقط - كانت هناك وحدة واحدة وشيء آخر. لقد أرسلنا هذا "الشيء الآخر" إلى جزء آخر من المتراجحة، بعيدًا عن الوحدة، بحيث يتم في النهاية اختزال كل شيء إلى معادلة بالشكل $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ أو حتى أبسط $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

لكن روضة الأطفال قد انتهت - حان الوقت للتفكير في شيء أكثر جدية. لنبدأ بمعادلات مثل هذا:

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=\left| ز\يسار(س \يمين) \يمين|\]

هذه معادلة بالصيغة "المعامل يساوي المعامل". النقطة المهمة بشكل أساسي هي عدم وجود مصطلحات وعوامل أخرى: وحدة واحدة فقط على اليسار، ووحدة أخرى على اليمين - ولا شيء أكثر.

سيعتقد شخص ما الآن أن حل مثل هذه المعادلات أصعب مما درسناه حتى الآن. لكن لا: هذه المعادلات أسهل في الحل. ها هي الصيغة:

\[\يسار| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

الجميع! نحن ببساطة نساوي التعبيرات الجزئية بوضع علامة زائد أو ناقص أمام أحدهما. ثم نحل المعادلتين الناتجتين - والجذور جاهزة! لا توجد قيود إضافية، ولا تفاوتات، وما إلى ذلك. انها بسيطة جدا.

دعونا نحاول حل هذه المشكلة:

\[\يسار| 2x+3 \يمين|=\يسار| 2x-7 \يمين|\]

الابتدائية، واتسون! توسيع الوحدات:

\[\يسار| 2x+3 \يمين|=\يسار| 2x-7 \يمين|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \يمين)\]

دعونا نفكر في كل حالة على حدة:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\النهاية(محاذاة)\]

المعادلة الأولى ليس لها جذور. لأنه متى يكون $3=-7$؟ في أي قيم $x$؟ "ما هو الجحيم $x$؟ هل أنت رجم؟ تقول: "لا يوجد $x$ هناك على الإطلاق". وستكون على حق. لقد حصلنا على مساواة لا تعتمد على المتغير $x$، وفي نفس الوقت المساواة نفسها غير صحيحة. لهذا السبب لا توجد جذور :)

مع المعادلة الثانية، كل شيء أكثر إثارة للاهتمام، ولكنه أيضًا بسيط جدًا:

كما ترون، تم حل كل شيء حرفيًا في سطرين - ولم نتوقع أي شيء آخر من المعادلة الخطية :).

ونتيجة لذلك، فإن الإجابة النهائية هي: $x=1$.

فكيف؟ صعب؟ بالطبع لا. دعونا نجرب شيئًا آخر:

\[\يسار| x-1 \يمين|=\يسار| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

مرة أخرى لدينا معادلة بالصيغة $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. لذلك، نعيد كتابتها على الفور، ونكشف عن علامة المعامل:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

ربما يسأل أحدهم الآن: "يا له من هراء؟ لماذا تظهر علامة "زائد ناقص" على التعبير الأيمن وليس على اليسار؟ اهدأ، سأشرح لك كل شيء الآن. في الواقع، بطريقة جيدة كان ينبغي علينا إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

بعد ذلك، عليك فتح الأقواس، ونقل كل الحدود إلى جانب واحد من علامة التساوي (نظرًا لأن المعادلة، من الواضح، ستكون تربيعية في كلتا الحالتين)، ثم ابحث عن الجذور. لكن يجب أن تعترف: عندما تظهر كلمة "زائد ناقص" قبل ثلاثة حدود (خاصة عندما يكون أحد هذه الحدود عبارة عن تعبير تربيعي)، يبدو الأمر بطريقة ما أكثر تعقيدًا من الموقف عندما تظهر كلمة "زائد ناقص" قبل حدين فقط.

لكن لا شيء يمنعنا من إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\[\يسار| x-1 \يمين|=\يسار| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \يمين|=\يسار| x-1 \يمين|\]

ماذا حدث؟ لا يوجد شيء خاص: لقد قاموا فقط بتبديل الجانبين الأيمن والأيسر. شيء صغير من شأنه أن يجعل حياتنا أسهل قليلاً في النهاية:)

بشكل عام، نحل هذه المعادلة، مع الأخذ في الاعتبار الخيارات ذات الموجب والسالب:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

المعادلة الأولى لها جذور $x=3$ و$x=1$. والثاني بشكل عام هو مربع دقيق:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

ولذلك، فهو يحتوي على جذر واحد فقط: $x=1$. لكننا حصلنا بالفعل على هذا الجذر في وقت سابق. وبالتالي، سيدخل رقمان فقط في الإجابة النهائية:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

المهمة أنجزت! يمكنك أن تأخذ فطيرة من الرف وتأكلها. هناك 2 منهم، ولك هو الأوسط :)

ملاحظة هامة. إن وجود جذور متطابقة لمتغيرات مختلفة لتوسعة الوحدة يعني أن كثيرات الحدود الأصلية قد تم تحليلها، ومن بين هذه العوامل سيكون هناك بالتأكيد عامل مشترك. حقًا:

\[\begin(محاذاة)& \left| x-1 \يمين|=\يسار| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \اليسار| x-1 \يمين|=\يسار| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\النهاية(محاذاة)\]

إحدى خصائص الوحدة: $\left| أ\cdot ب \يمين|=\يسار| \يمين|\cdot \يسار| b \right|$ (أي أن معامل المنتج يساوي منتج المعامل)، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\[\يسار| x-1 \يمين|=\يسار| x-1 \يمين|\cdot \يسار| x-2 \يمين|\]

كما ترون، لدينا حقا عامل مشترك. الآن، إذا قمت بجمع كل الوحدات على جانب واحد، فيمكنك إخراج هذا العامل من القوس:

\[\begin(محاذاة)& \left| x-1 \يمين|=\يسار| x-1 \يمين|\cdot \يسار| س-2 \يمين|; \\& \اليسار| x-1 \يمين|-\يسار| x-1 \يمين|\cdot \يسار| x-2 \right|=0; \\& \اليسار| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، تذكر الآن أن حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| س-2 \يمين|=1. \\\end(محاذاة) \يمين.\]

وبالتالي، تم اختصار المعادلة الأصلية ذات الوحدتين إلى أبسط معادلتين تحدثنا عنهما في بداية الدرس. يمكن حل هذه المعادلات حرفيًا في سطرين.

قد تبدو هذه الملاحظة معقدة بشكل غير ضروري وغير قابلة للتطبيق في الممارسة العملية. ومع ذلك، في الواقع، قد تواجه مشكلات أكثر تعقيدًا بكثير من تلك التي ننظر إليها اليوم. فيها، يمكن دمج الوحدات مع كثيرات الحدود، والجذور الحسابية، واللوغاريتمات، وما إلى ذلك. وفي مثل هذه المواقف، يمكن أن تكون القدرة على خفض الدرجة الإجمالية للمعادلة عن طريق إخراج شيء ما من الأقواس مفيدة جدًا :).

الآن أود أن ألقي نظرة على معادلة أخرى، والتي قد تبدو للوهلة الأولى مجنونة. يتعثر فيه العديد من الطلاب، حتى أولئك الذين يعتقدون أن لديهم فهمًا جيدًا للوحدات.

ومع ذلك، فإن حل هذه المعادلة أسهل مما نظرنا إليه سابقًا. وإذا فهمت السبب، فستحصل على خدعة أخرى لحل المعادلات بسرعة باستخدام المقاييس.

إذن المعادلة هي:

\[\يسار| x-((x)^(3)) \يمين|+\يسار| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

لا، هذا ليس خطأ مطبعي: بل هو زائد بين الوحدات. ونحن بحاجة إلى العثور على ما $x$ يساوي مجموع وحدتين :).

ما هي المشكلة على أي حال؟ لكن المشكلة هي أن كل وحدة هي رقم موجب، أو في الحالات القصوى، صفر. ماذا يحدث إذا أضفت رقمين موجبين؟ من الواضح أن الرقم إيجابي مرة أخرى:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(محاذاة)\]

قد يعطيك السطر الأخير فكرة: المرة الوحيدة التي يكون فيها مجموع الوحدات صفرًا هي إذا كانت كل وحدة صفرًا:

\[\يسار| x-((x)^(3)) \يمين|+\يسار| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0 \\\end(align) \right.\]

ومتى تكون الوحدة تساوي الصفر؟ في حالة واحدة فقط - عندما يكون التعبير المعياري مساويًا للصفر:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

وبالتالي، لدينا ثلاث نقاط يتم عندها إعادة تعيين الوحدة الأولى إلى الصفر: 0 و1 و−1؛ بالإضافة إلى نقطتين يتم عندهما إعادة تعيين الوحدة الثانية إلى الصفر: −2 و1. ومع ذلك، نحتاج إلى إعادة تعيين كلتا الوحدتين إلى الصفر في نفس الوقت، لذلك من بين الأرقام التي تم العثور عليها نحتاج إلى اختيار تلك المضمنة في كلتا المجموعتين. من الواضح أن هناك رقمًا واحدًا فقط من هذا القبيل: $x=1$ - وستكون هذه هي الإجابة النهائية.

طريقة الانقسام

حسنًا، لقد قمنا بالفعل بتغطية مجموعة من المشكلات وتعلمنا الكثير من التقنيات. هل تعتقد أن هذا كل شيء؟ لكن لا! الآن سوف ننظر إلى التقنية النهائية - وفي نفس الوقت الأكثر أهمية. سنتحدث عن تقسيم المعادلات بالمعامل. ما الذي سنتحدث عنه حتى؟ دعونا نعود قليلا وننظر إلى بعض المعادلات البسيطة. على سبيل المثال هذا:

\[\يسار| 3x-5 \يمين|=5-3x\]

من حيث المبدأ، نحن نعرف بالفعل كيفية حل مثل هذه المعادلة، لأنها بناء قياسي للصيغة $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. لكن دعونا نحاول أن ننظر إلى هذه المعادلة من زاوية مختلفة قليلاً. بتعبير أدق، النظر في التعبير تحت علامة المعامل. اسمحوا لي أن أذكرك أن معامل أي رقم يمكن أن يساوي الرقم نفسه، أو يمكن أن يكون معاكسًا لهذا الرقم:

\[\يسار| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

في الواقع، هذا الغموض هو المشكلة برمتها: بما أن الرقم تحت المعامل يتغير (يعتمد على المتغير)، فليس من الواضح لنا ما إذا كان موجبًا أم سالبًا.

ولكن ماذا لو طلبت في البداية أن يكون هذا الرقم موجبًا؟ على سبيل المثال، نطلب $3x-5 \gt 0$ - في هذه الحالة نضمن حصولنا على رقم موجب تحت علامة المعامل، ويمكننا التخلص تمامًا من هذا المعامل:

وبذلك ستتحول معادلتنا إلى معادلة خطية يمكن حلها بسهولة:

صحيح أن كل هذه الأفكار منطقية فقط في ظل الشرط $3x-5 \gt 0$ - لقد قدمنا ​​​​هذا المطلب بأنفسنا من أجل الكشف عن الوحدة بشكل لا لبس فيه. لذلك، دعونا نستبدل $x=\frac(5)(3)$ الذي تم العثور عليه في هذا الشرط ونتحقق:

اتضح أنه بالنسبة للقيمة المحددة $x$ لم يتم استيفاء متطلباتنا، لأن لقد تبين أن التعبير يساوي صفرًا، ونريد أن يكون أكبر من الصفر تمامًا. حزين :(

ولكن لا بأس! بعد كل شيء، هناك خيار آخر $3x-5 \lt 0$. علاوة على ذلك: هناك أيضًا الحالة $3x-5=0$ - ويجب أخذ هذا أيضًا في الاعتبار، وإلا فسيكون الحل غير كامل. لذا، فكر في الحالة $3x-5 \lt 0$:

من الواضح أن الوحدة ستفتح بعلامة الطرح. ولكن بعد ذلك ينشأ موقف غريب: على اليسار وعلى اليمين في المعادلة الأصلية سيظهر نفس التعبير:

أتساءل ما هو $x$ الذي سيكون فيه التعبير $5-3x$ مساوياً للتعبير $5-3x$؟ حتى الكابتن البديهي سيختنق من لعابه من مثل هذه المعادلات، لكننا نعلم: أن هذه المعادلة هي هوية، أي. وهذا صحيح بالنسبة لأي قيمة للمتغير!

هذا يعني أن أي $x$ سوف يناسبنا. ومع ذلك، لدينا قيود:

بمعنى آخر، لن تكون الإجابة رقمًا واحدًا، بل فاصلًا كاملاً:

أخيرًا، هناك حالة أخرى يجب وضعها في الاعتبار: $3x-5=0$. كل شيء بسيط هنا: تحت المعامل سيكون هناك صفر، ومعامل الصفر يساوي أيضًا الصفر (وهذا يتبع مباشرة من التعريف):

ولكن بعد ذلك المعادلة الأصلية $\left| ستتم إعادة كتابة 3x-5 \right|=5-3x$ كما يلي:

لقد حصلنا بالفعل على هذا الجذر أعلاه، عندما نظرنا في حالة $3x-5 \gt 0$. علاوة على ذلك، فإن هذا الجذر هو حل للمعادلة $3x-5=0$ - وهذا هو القيد الذي قدمناه بأنفسنا لإعادة ضبط الوحدة :).

وبالتالي، بالإضافة إلى الفاصل الزمني، سنكون أيضًا راضين عن الرقم الموجود في نهاية هذه الفترة:

الجمع بين الجذور في المعادلات modulo

إجمالي الإجابة النهائية: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ ليس من الشائع جدًا رؤية مثل هذا الهراء في الإجابة على معادلة بسيطة إلى حد ما (خطية بشكل أساسي) ذات معامل، حسنًا، هل تعتاد على ذلك: تكمن صعوبة الوحدة في أن الإجابات في مثل هذه المعادلات يمكن أن تكون غير متوقعة تمامًا.

هناك شيء آخر أكثر أهمية: لقد قمنا للتو بتحليل خوارزمية عالمية لحل معادلة ذات معامل! وتتكون هذه الخوارزمية من الخطوات التالية:

1. مساواة كل معامل في المعادلة بالصفر. نحصل على عدة معادلات.
2. حل كل هذه المعادلات وحدد الجذور على خط الأعداد. ونتيجة لذلك، سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة فترات، في كل منها يتم الكشف عن جميع الوحدات بشكل فريد؛
3. حل المعادلة الأصلية لكل فترة واجمع إجاباتك.

هذا كل شيء! لم يتبق سوى سؤال واحد: ماذا تفعل بالجذور التي تم الحصول عليها في الخطوة 1؟ لنفترض أن لدينا جذرين: $x=1$ و$x=5$. سوف يقومون بتقسيم خط الأعداد إلى 3 أجزاء:

تقسيم خط الأعداد إلى فترات باستخدام النقاط

إذن ما هي الفترات؟ ومن الواضح أن هناك ثلاثة منهم:

1. أقصى اليسار: $x \lt 1$ — الوحدة نفسها غير متضمنة في الفاصل الزمني؛
2. المركزية: $1\le x \lt 5$ - هنا يتم تضمين واحد في الفاصل الزمني، ولكن لم يتم تضمين خمسة؛
3. أقصى اليمين: $x\ge 5$ - خمسة متضمنة هنا فقط!

أعتقد أنك تفهم النمط بالفعل. تتضمن كل فاصلة الطرف الأيسر ولا تشمل الطرف الأيمن.

للوهلة الأولى، قد يبدو مثل هذا الدخول غير مريح وغير منطقي وبشكل عام نوع من الجنون. لكن صدقوني: بعد القليل من الممارسة، ستجد أن هذا النهج هو الأكثر موثوقية ولا يتعارض مع فتح الوحدات بشكل لا لبس فيه. من الأفضل استخدام مثل هذا المخطط بدلاً من التفكير في كل مرة: قم بإعطاء الطرف الأيسر/الأيمن للفاصل الزمني الحالي أو "رميه" في الفاصل الزمني التالي.

بهذا يختتم الدرس. قم بتنزيل المسائل لحلها بنفسك، وتدرب، وقارن مع الإجابات - ونراكم في الدرس التالي الذي سيتم تخصيصه للمتباينات باستخدام المقاييس :).

أولاً نحدد علامة التعبير ضمن علامة الوحدة، ثم نقوم بتوسيع الوحدة:

• إذا كانت قيمة التعبير أكبر من الصفر، فإننا ببساطة نزيلها من تحت علامة المعامل،
• فإذا كان التعبير أقل من الصفر، فإننا نقوم بإزالته من تحت علامة المعامل، مع تغيير الإشارة، كما فعلنا سابقًا في الأمثلة.

حسنًا، هل نحاول؟ دعونا نقيم:

(نسيت، كرر.)

إذا كان الأمر كذلك، ما هي العلامة التي لديها؟ حسنا بالطبع!

وبالتالي، نقوم بتوسيع علامة الوحدة عن طريق تغيير علامة التعبير:

فهمتها؟ ثم جرب ذلك بنفسك:

الإجابات:

ما هي الخصائص الأخرى التي تمتلكها الوحدة؟

إذا أردنا ضرب الأرقام الموجودة داخل علامة المقياس، فيمكننا بسهولة ضرب معاملات هذه الأرقام!!!

من الناحية الرياضية، معامل ضرب الأرقام يساوي منتج معاملات هذه الأرقام.

على سبيل المثال:

ماذا لو أردنا تقسيم رقمين (تعبيرات) تحت علامة المعامل؟

نعم، نفس الشيء كما هو الحال مع الضرب! دعنا نقسمه إلى رقمين منفصلين (تعبيرات) تحت علامة المعامل:

بشرط أن (بما أنه لا يمكنك القسمة على صفر).

يجدر بنا أن نتذكر خاصية أخرى للوحدة:

يكون معامل مجموع الأرقام دائمًا أقل من أو يساوي مجموع معاملات هذه الأرقام:

لماذا هذا؟ انها بسيطة جدا!

وكما نتذكر، يكون المقياس موجبًا دائمًا. ولكن تحت علامة المعامل يمكن أن يكون هناك أي رقم: موجب وسالب. لنفترض أن الأرقام وكلاهما إيجابي. عندها سيكون التعبير الأيسر مساوياً للتعبير الأيمن.

دعونا نلقي نظرة على مثال:

إذا كان تحت علامة المعامل رقم واحد سالب والآخر موجب، سيكون التعبير الأيسر دائمًا أقل من التعبير الأيمن:

يبدو كل شيء واضحًا مع هذه الخاصية، فلنلق نظرة على بعض الخصائص المفيدة للوحدة.

ماذا لو كان لدينا هذا التعبير:

ماذا يمكننا أن نفعل بهذا التعبير؟ قيمة x غير معروفة لنا، لكننا نعرف بالفعل ماذا يعني ذلك.

الرقم أكبر من الصفر، مما يعني أنه يمكنك ببساطة كتابة:

لذلك نأتي إلى خاصية أخرى، والتي يمكن تمثيلها بشكل عام على النحو التالي:

ماذا يساوي هذا التعبير:

لذا، علينا تحديد الإشارة الموجودة أسفل المقياس. هل من الضروري تحديد علامة هنا؟

بالطبع لا، إذا كنت تتذكر أن أي رقم مربع يكون دائمًا أكبر من الصفر! إذا كنت لا تتذكر، راجع الموضوع. فماذا يحدث؟ إليك ما يلي:

عظيم، أليس كذلك؟ مريحة للغاية. والآن مثال محدد لتعزيز:

حسنا، لماذا الشكوك؟ دعونا نتصرف بجرأة!

هل اكتشفت كل ذلك؟ ثم المضي قدما وممارسة مع الأمثلة!

1. أوجد قيمة التعبير if.

2. ما هي الأرقام التي لها نفس المعامل؟

3. ابحث عن معنى التعبيرات:

إذا لم يكن كل شيء واضحًا بعد وكانت هناك صعوبات في الحلول، فلنكتشف ذلك:

الحل 1:

لذا، دعونا نعوض بالقيم في التعبير

الحل 2:

كما نتذكر، الأعداد المتضادة متساوية في المقياس. وهذا يعني أن قيمة المعامل تساوي رقمين: و.

الحل 3:

أ)
ب)
الخامس)
ز)

هل قبضت على كل شيء؟ ثم حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر تعقيدًا!

دعونا نحاول تبسيط التعبير

حل:

لذا، نتذكر أن قيمة المقياس لا يمكن أن تكون أقل من صفر. إذا كانت إشارة المعامل موجبة، يمكننا ببساطة تجاهل الإشارة: معامل الرقم سيكون مساويًا لهذا الرقم.

لكن إذا كان هناك رقم سالب تحت علامة المعامل، فإن قيمة المعامل تساوي الرقم المقابل (أي الرقم المأخوذ بعلامة "-").

للعثور على معامل أي تعبير، عليك أولًا معرفة ما إذا كان يأخذ قيمة موجبة أم سالبة.

اتضح أن قيمة التعبير الأول ضمن الوحدة النمطية.

ومن ثم، فإن التعبير الموجود أسفل علامة المقياس يكون سالبًا. التعبير الثاني تحت علامة المقياس يكون دائمًا موجبًا، لأننا نجمع عددين موجبين.

إذن، قيمة التعبير الأول تحت علامة المعامل سالبة، والثانية موجبة:

هذا يعني أنه عند فك علامة المعامل للتعبير الأول، يجب أن نأخذ هذا التعبير بعلامة "-". مثله:

في الحالة الثانية، نتجاهل ببساطة علامة المعامل:

دعونا نبسط هذا التعبير في مجمله:

وحدة العدد وخصائصه (تعريفات وبراهين صارمة)

تعريف:

المعامل (القيمة المطلقة) للرقم هو الرقم نفسه، إذا، والرقم، إذا:

على سبيل المثال:

مثال:

بسّط التعبير.

حل:

الخصائص الأساسية للوحدة

للجميع:

مثال:

اثبات الملكية رقم 5 .

دليل:

لنفترض أن هناك مثل هذا

لنقم بتربيع الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة (يمكن القيام بذلك، حيث أن كلا طرفي المتراجحة دائمًا غير سالب):

وهذا يتناقض مع تعريف الوحدة النمطية.

وبالتالي، فإن مثل هؤلاء الأشخاص غير موجودين، مما يعني أن عدم المساواة ينطبق على الجميع

أمثلة للحلول المستقلة:

1) إثبات الملكية رقم 6.

2) تبسيط التعبير.

الإجابات:

1) لنستخدم الخاصية رقم 3: ومنذ ذلك الحين

للتبسيط، تحتاج إلى توسيع الوحدات. ولتوسيع الوحدات، تحتاج إلى معرفة ما إذا كانت التعبيرات الموجودة ضمن الوحدة إيجابية أم سلبية؟

أ.

دعونا نقارن الأرقام و و:

ب.

الآن دعونا نقارن:

نضيف قيم الوحدات:

وحدة الرقم. باختصار عن الشيء الرئيسي.

1. المعامل (القيمة المطلقة) للرقم هو الرقم نفسه، إذا، والرقم، إذا:
2. خصائص الوحدة:
3. معامل الرقم هو رقم غير سالب: ;
4. وحدات الأعداد المتقابلة متساوية: ;
5. معامل حاصل ضرب رقمين (أو أكثر) يساوي حاصل ضرب معاملاتهم: ;
6. معامل حاصل عددين يساوي حاصل قسمة معاملاتهما: ;

يكون معامل مجموع الأرقام دائمًا أقل من أو يساوي مجموع معاملات هذه الأرقام: ;

يمكن إخراج المضاعف الإيجابي الثابت من علامة المعامل: at؛

المعادلات مع الوحدات وطرق الحل. الجزء 1.

قبل الشروع في دراسة مباشرة لتقنيات حل مثل هذه المعادلات، من المهم أن نفهم جوهر الوحدة ومعناها الهندسي. في فهم تعريف الوحدة ومعناها الهندسي يتم وضع الطرق الرئيسية لحل هذه المعادلات. إن ما يسمى بطريقة الفواصل الزمنية عند فتح الأقواس المعيارية فعالة للغاية لدرجة أنه من الممكن باستخدامها حل أي معادلة أو متباينة باستخدام المعامل. في هذا الجزء، سوف ندرس بالتفصيل طريقتين قياسيتين: الطريقة الفاصلة وطريقة استبدال السكان.

ومع ذلك، كما سنرى، تكون هذه الأساليب فعالة دائمًا، ولكنها ليست مريحة دائمًا ويمكن أن تؤدي إلى حسابات طويلة وحتى غير مريحة للغاية، والتي تتطلب بطبيعة الحال مزيدًا من الوقت لحلها. ولذلك، من المهم معرفة تلك الطرق التي تبسط بشكل كبير حل بعض هياكل المعادلات. تربيع طرفي المعادلة، طريقة إدخال متغير جديد، طريقة بيانية، حل المعادلات التي تحتوي على معامل تحت علامة المعامل. سننظر في هذه الأساليب في الجزء التالي.

تحديد معامل الرقم. المعنى الهندسي للوحدة. أولاً، دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للوحدة:معامل الأرقام أ (|أ|).

استدعاء المسافة على خط الأعداد من الأصل (النقطة 0) إلى النقطة

|7| أ(أ) | 7 |=7

وبناء على هذا التعريف فلننظر إلى بعض الأمثلة:- هذه هي المسافة من 0 إلى النقطة 7، بالطبع تساوي 7. → -5 |-5|- هذا |-5| = 5

المسافة من 0 إلى النقطة وهي تساوي: 5. →

ندرك جميعًا أن المسافة لا يمكن أن تكون سلبية!

يمكن قراءة هذه المعادلة على النحو التالي: المسافة من النقطة 0 إلى النقطة x هي 4. نعم، اتضح أنه من 0 يمكننا التحرك إلى اليسار واليمين، مما يعني التحرك إلى اليسار على مسافة تساوي 4 سننتهي عند النقطة: -4، وبالانتقال إلى اليمين سننتهي عند النقطة: 4. في الواقع، |-4 |=4 و |4 |=4.

وبالتالي فإن الجواب هو س=±4.

إذا درست المعادلة السابقة بعناية، ستلاحظ أن: المسافة إلى اليمين على طول خط الأعداد من 0 إلى النقطة تساوي النقطة نفسها، والمسافة إلى اليسار من 0 إلى الرقم تساوي المقابل رقم! مع العلم أن الأرقام الموجودة على يمين 0 موجبة، والأرقام الموجودة على يسار 0 سالبة، نقوم بصياغة تعريف معامل الرقم: المعامل (القيمة المطلقة) للرقم X(|x|) هو الرقم نفسه X، إذا كان x ≥0، والرقم – X، إذا كان س<0.

نحن هنا بحاجة إلى العثور على مجموعة من النقاط على خط الأعداد، المسافة من 0 إليها ستكون أقل من 3، لنتخيل خط أرقام، النقطة 0 عليه، انتقل إلى اليسار وعد واحد (-1)، اثنان (-2) وثلاثة (-3)، توقف. بعد ذلك ستكون النقاط التي تقع أبعد من 3 أو المسافة التي من 0 أكبر من 3، الآن نذهب إلى اليمين: واحد، اثنان، ثلاثة، توقف مرة أخرى. الآن نختار جميع نقاطنا ونحصل على الفاصل الزمني x: (-3;3).

من المهم أن ترى هذا بوضوح، إذا كنت لا تزال غير قادر على ذلك، ارسمه على الورق وانظر حتى يكون هذا الرسم التوضيحي واضحًا لك تمامًا، لا تتكاسل وحاول أن ترى حلول المهام التالية في ذهنك :

|س |=11، س=؟ |س|=-5، س=؟

|س |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2، س-؟ |x|> -3، س-؟

|π-3|=؟ |-x²-10|=؟

|√5-2|=؟ |2x-x²-3|=؟

|س²+2|=؟ |x²+4|=0

|x²+3x+4|=؟ |-x²+9| ≥0

هل لاحظت المهام الغريبة في العمود الثاني؟ وبالفعل، لا يمكن أن تكون المسافة سالبة، وبالتالي: |x|=-5- ليس لها حلول، بالطبع لا يمكن أن تكون أقل من 0، وبالتالي: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 كلها أرقام.

بعد أن تتعلم كيفية رؤية الصور مع الحلول بسرعة، تابع القراءة.