ما هو تعريف متوازي الأضلاع. نظريات متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

هذا التعريف كافٍ بالفعل، حيث أن الخصائص المتبقية لمتوازي الأضلاع تتبعه ويتم إثباتها في شكل نظريات.

الخصائص الرئيسية لمتوازي الأضلاع هي:
متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب.
متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة متساوية في أزواج؛
في متوازي الأضلاع، تكون الزوايا المتقابلة متساوية في شكل أزواج؛

تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

متوازي الأضلاع - رباعي محدب دعونا أولا نثبت نظرية ذلكمتوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب

. يكون المضلع محدبًا إذا كان أي جانب منه ممتدًا إلى خط مستقيم، فإن جميع أضلاع المضلع الأخرى تكون على نفس الجانب من هذا الخط المستقيم.

دعونا نعطي متوازي الأضلاع ABCD، حيث AB هو الضلع المقابل لـ CD، وBC هو الضلع المقابل لـ AD. ثم من تعريف متوازي الأضلاع يترتب على ذلك AB || سي دي، قبل الميلاد || إعلان. لا توجد خطوط متوازيةالنقاط المشتركة

، لا يتقاطعان. وهذا يعني أن القرص المضغوط يقع على جانب واحد من AB. بما أن القطعة BC تربط النقطة B من القطعة AB بالنقطة C من القطعة CD، والقطعة AD تربط النقاط الأخرى AB وCD، فإن القطعتين BC وAD تقعان أيضًا على نفس الجانب من الخط AB حيث يقع CD. وبالتالي، فإن الجوانب الثلاثة - CD، BC، AD - تقع على نفس الجانب من AB.

وبالمثل، ثبت أنه بالنسبة للأضلاع الأخرى لمتوازي الأضلاع، فإن الأضلاع الثلاثة الأخرى تقع على نفس الجانب.

الجوانب والزوايا المتقابلة متساوية إحدى خصائص متوازي الأضلاع هي أنهفي متوازي الأضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متساوية في أزواج

. على سبيل المثال، إذا تم إعطاء متوازي الأضلاع ABCD، فإنه يحتوي على AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D. تم إثبات هذه النظرية على النحو التالي.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي. وهذا يعني أنه يحتوي على قطرين. وبما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب، فإن أياً منهم يقسمه إلى مثلثين. في متوازي الأضلاع ABCD، خذ بعين الاعتبار المثلثين ABC وADC اللذين تم الحصول عليهما عن طريق رسم القطر AC.

في هذه المثلثات، الجانب AB يتوافق مع الجانب CD، والضلع BC يتوافق مع AD. ولذلك، AB = CD وBC = AD.

الزاوية B تتوافق مع الزاوية D، أي ∠B = ∠D. الزاوية A في متوازي الأضلاع هي مجموع زاويتين - ∠BAC و∠CAD. الزاوية C تساوي ∠BCA و∠ACD. بما أن أزواج الزوايا متساوية مع بعضها البعض، فإن ∠A = ∠C.

وهكذا ثبت أن الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

الأقطار مقسمة إلى نصفين

بما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب، فإنه يحتوي على قطرين، وهما متقاطعان. لنفترض أن متوازي الأضلاع ABCD، فإن قطريه AC وBD يتقاطعان عند النقطة E. خذ بعين الاعتبار المثلثين ABE وCDE اللذين يشكلانهما.

هذه المثلثات لها ضلعان AB وCD متساويان في الضلعين المتقابلين في متوازي الأضلاع. الزاوية ABE تساوي الزاوية CDE التي تقع بالعرض مع الخطوط المتوازية AB و CD. لنفس السبب، ∠BAE = ∠DCE. وهذا يعني أن ∆ABE = ∆CDE عند زاويتين والجانب بينهما.

يمكنك أيضًا ملاحظة أن الزاويتين AEB وCED عموديتان وبالتالي متساويتان أيضًا.

بما أن المثلثين ABE وCDE متساويان، فإن جميع العناصر المتناظرة فيهما متساوية. الضلع AE للمثلث الأول يتوافق مع الضلع CE للمثلث الثاني، مما يعني AE = CE. وبالمثل BE = DE. كل زوج من الأجزاء المتساوية يشكل قطريًا لمتوازي الأضلاع. وهكذا ثبت ذلك أقطار متوازي الأضلاع مقسمة بنقطة تقاطعها.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج. مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب قاعدته (أ) وارتفاعه (ح). يمكنك أيضًا العثور على مساحتها من خلال الجانبين والزاوية ومن خلال الأقطار.

خصائص متوازي الأضلاع

1. الجوانب المتقابلة متطابقة

أولاً، لنرسم القطر $AC$ . نحصل على مثلثين: $ABC$ و $ADC$.

بما أن $ABCD$ هو متوازي أضلاع، فإن ما يلي صحيح:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$مثل الكذب بالعرض.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$مثل الكذب بالعرض.

ولذلك (حسب المعيار الثاني: و$AC$ شائع).

وهذا يعني $\المثلث ABC = \المثلث ADC$، ثم $AB = CD$ و $AD = BC$ .

2. الزوايا المتقابلة متطابقة

وفقا للدليل خصائص 1نحن نعرف ذلك $\الزاوية 1 = \الزاوية 2، \الزاوية 3 = \الزاوية 4$. وبالتالي فإن مجموع الزوايا المتقابلة هو: $\الزاوية 1 + \الزاوية 3 = \الزاوية 2 + \الزاوية 4$. بالنظر إلى ذلك $\المثلث ABC = \المثلث ADC$نحصل على $\angle A = \angle C $ ، $\angle B = \angle D $ .

3. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع

بواسطة الملكية 1نحن نعلم أن الجانبين المتقابلين متطابقان: $AB = CD$ . مرة أخرى، لاحظ أن الزوايا المتقاطعة متساوية.

وهكذا فمن الواضح أن $\مثلث AOB = \مثلث COD$حسب العلامة الثانية لتساوي المثلثات (الزاويتان والضلع بينهما). أي $BO = OD$ (مقابل الزوايا $\angle 2$ و $\angle 1$ ) و $AO = OC$ (مقابل الزوايا $\angle 3$ و $ \الزاوية 4$ على التوالي).

علامات متوازي الأضلاع

إذا كانت هناك ميزة واحدة فقط في مشكلتك، فإن الشكل هو متوازي أضلاع ويمكنك استخدام جميع خصائص هذا الشكل.

لحفظ أفضل، لاحظ أن علامة متوازي الأضلاع ستجيب على السؤال التالي - "كيفية معرفة ذلك؟". أي كيفية معرفة أن الشكل المعطى هو متوازي أضلاع.

1. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعاه متساويان ومتوازيان

$AB = CD$ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- متوازي الأضلاع.

دعونا نلقي نظرة فاحصة. لماذا $م || قبل الميلاد $ ؟

$\المثلث ABC = \المثلث ADC$بواسطة الملكية 1: $AB = CD $ ، $\angle 1 = \angle 2 $ يقعان بشكل عرضي عندما يكون $AB $ و $CD $ والقاطع $AC $ متوازيين.

ولكن إذا $\المثلث ABC = \المثلث ADC$، ثم $\الزاوية 3 = \الزاوية 4 $ (في الجهة المقابلة $\AD || BC $ ($\الزاوية 3 $ و $\الزاوية 4 $ - المستلقيان بالعرض متساويان أيضًا).

الإشارة الأولى صحيحة.

2. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعاه المتقابلتان متساويتان

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ هو متوازي أضلاع.

دعونا نفكر في هذه العلامة. لنرسم القطر $AC$ مرة أخرى.

بواسطة الملكية 1$\مثلث ABC = \مثلث ACD$.

ويترتب على ذلك ما يلي: $\الزاوية 1 = \الزاوية 2 \Rightarrow AD || BC $و $\الزاوية 3 = \الزاوية 4 \Rightarrow AB || CD $، أي أن $ABCD$ متوازي أضلاع.

العلامة الثانية صحيحة

3. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي زاويته المتقابلة متساوية

$\الزاوية أ = \الزاوية ج$ , $\الزاوية B = \الزاوية D \Rightarrow ABCD$- متوازي الأضلاع.

$2 \ألفا + 2 \بيتا = 360^(\دائرة) $(بما أن $\الزاوية A = \الزاوية C$ ، $\الزاوية B = \الزاوية D$ حسب الحالة).

اتضح، . لكن $\alpha $ و $\beta $ هما داخليان من جانب واحد في القاطع $AB $ .

وماذا $\alpha + \beta = 180^(\circ) $يقول أيضًا أن $AD || BC $ .

1. تعريف متوازي الأضلاع.

إذا قطعنا زوجًا من الخطوط المتوازية مع زوج آخر من الخطوط المتوازية، فسنحصل على شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

في الرباعيات ABDC و EFNM (الشكل 224) ВD || ايه سي و ايه بي || قرص مضغوط؛

إي أف || من و م || الجبهة الوطنية.

الشكل الرباعي الذي تكون أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج يسمى متوازي الأضلاع.

2. خصائص متوازي الأضلاع.

نظرية. قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

يجب أن يكون هناك متوازي أضلاع ABDC (الشكل 225)، حيث AB || سي دي و مكيف || في دي.

عليك أن تثبت أن القطر يقسمه إلى مثلثين متساويين.

دعونا نرسم القطر CB في متوازي الأضلاع ABDC. دعونا نثبت أن $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

الجانب NE شائع في هذه المثلثات؛ ∠ABC = ∠BCD، كزوايا عرضية داخلية متوازية مع AB وCD والقاطع CB؛ ∠ACB = ∠СВD، أيضًا مثل الزوايا المتقاطعة الداخلية ذات التيار المتردد المتوازي وBD والقاطع CB.

وبالتالي $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

وبنفس الطريقة، يمكن إثبات أن القطر AD سيقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين ACD وABD.

عواقب:

1 . الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

∠A = ∠D، وهذا يأتي من تساوي المثلثين CAB وCDB.

وبالمثل، ∠C = ∠B.

2. الجوانب المقابلة لمتوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

AB = CD و AC = BD، حيث أن هذه الأضلاع مثلثات متساوية وتقع مقابل زوايا متساوية.

النظرية 2. تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين عند نقطة تقاطعهما.

دع BC و AD هما قطرا متوازي الأضلاع ABC (الشكل 226). دعونا نثبت أن AO = OD و CO = OB.

للقيام بذلك، قارن بين بعض أزواج المثلثات المتضادة، على سبيل المثال $\Delta$AOB و $\Delta$СOD.

في هذه المثلثات AB = CD، مثل الجوانب المتقابلة لمتوازي الأضلاع؛

∠1 = ∠2، كزوايا داخلية تقع بالعرض مع التوازي AB وCD والقاطع AD؛

∠3 = ∠4 لنفس السبب، منذ AB || CD وSV هما قاطعهما.

ويترتب على ذلك أن $\Delta$AOB = $\Delta$СOD. وفي مثلثات متساويةتقع متقابلة بزوايا متساوية جوانب متساوية. ولذلك، AO = OD وCO = OB.

النظرية 3. مجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع يساوي 180 درجة.

في متوازي الأضلاع ABCD نرسم القطر AC ونحصل على مثلثين ABC وADC.

المثلثان متساويان، حيث أن ∠1 = ∠4، ∠2 = ∠3 (زوايا متقاطعة للخطوط المتوازية)، والجانب AC شائع.
من المساواة $\Delta$ABC = $\Delta$ADC يترتب على ذلك أن AB = CD، BC = AD، ∠B = ∠D.

مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد، على سبيل المثال الزاويتان A وD، يساوي 180 درجة كزوايا أحادية الجانب للخطوط المتوازية.

تعريف

متوازي الأضلاعيسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

تسمى نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع مركز.

خصائص متوازي الأضلاع:

مجموع أي زاويتين متجاورتين في متوازي الأضلاع هو $180^(\circ)$، والزاويتان المتقابلتان متساويتان.
الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.
أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع وتنصف عند نقطة التقاطع.

دليل

دعونا نعطي متوازي الأضلاع $ABCD$.

1. لاحظ أن الزاويتين المتجاورتين $A$ و$B$ لمتوازي الأضلاع هما زاويتان داخليتان من جانب واحد مع خطوط متوازية $AD$ و$BC$ وقاطع $AB$، أي أن مجموعهما يساوي $180^ \circ$. وبالمثل بالنسبة لأزواج الزوايا الأخرى.

إذا كانت $\angle A + \angle B=180^\circ$ و$\angle C + \angle B=180^\circ$، فإن $\angle A = \angle C$. وبالمثل، $\angle B = \angle D$.

2. فكر في المثلثين $ABC$ و$CDA$. من التوازي بين الجانبين المتقابلين لمتوازي الأضلاع، يترتب على $\angle BAC=\angle DCA$ و$\angle BCA=\angle DAC$. وبما أن $AC$ شائع، فإن المثلثين $ABC$ و $CDA$ متساويان وفقًا للمعيار الثاني. من تساوي المثلثات يترتب على $AB=CD$ و$BC=AD$.

3. بما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب، فإن قطريه متقاطعان. دع $O$ يكون نقطة التقاطع. من التوازي بين الجانبين $BC$ و$AD$ لمتوازي الأضلاع، يتبع ذلك $\angle OAD=\angle OCB$ و$\angle ODA=\angle OBC$. وبأخذ المساواة $BC=AD$ في الاعتبار، نحصل على أن المثلثين $AOD$ و $COB$ متساويان حسب المعيار الثاني. لذلك، $AO=CO$ و$DO=BO$، كما هو مطلوب.

علامات متوازي الأضلاع:

إذا كان مجموع أي زاويتين متجاورتين في الشكل الرباعي هو $180^(\circ)$، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
إذا كانت الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
إذا كانت أقطار الشكل الرباعي منقسمة بنقطة تقاطعها، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل

اجعل $ABCD$ شكلًا رباعيًا.

1. لاحظ أن الزوايا المتجاورة $A$ و$B$ هي زوايا داخلية أحادية الجانب مع خطوط مستقيمة $AD$ و$BC$ ومستعرضة $AB$. نظرًا لأن مجموعهما هو $180^\circ$، فإن الخطين $AD$ و$BC$ متوازيان. وبالمثل بالنسبة لزوج آخر من الخطوط، فإن $ABCD$ هو متوازي أضلاع حسب التعريف.

2. لاحظ أن $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. إذا كان $\angle A = \angle C$، و$\angle B = \angle D$، ثم $\angle A + \angle B=180^\circ$، وبالمثل بالنسبة للأزواج الأخرى من الزوايا المجاورة. بعد ذلك نستخدم العلامة السابقة.

3. فكر في المثلثين $ABC$ و$CDA$. وبما أن $AC$ شائع، فإنه يترتب على تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع أن المثلثين $ABC$ و $CDA$ متساويان وفقًا للمعيار الثالث. لذلك، $\angle BAC=\angle DCA$ و $\angle BCA=\angle DAC$، مما يعني ضمناً التوازي بين الجانبين المعاكسين.

4. اجعل $BC$ و$AD$ متساويين ومتوازيين. خذ بعين الاعتبار المثلثين $ABC$ و$CDA$. من توازي الخطوط يترتب على $\angle BCA=\angle DAC$. بما أن $AC$ عام و $BC=AD$، فإن المثلثين $ABC$ و $CDA$ متساويان حسب المعيار الأول. لذلك، $AB=CD$. بعد ذلك نستخدم العلامة السابقة.

5. اجعل $O$ هي نقطة تقاطع الأقطار مع $AO=CO$، و$DO=BO$ مع الأخذ في الاعتبار تساوي الزوايا الرأسية، نحصل على المثلثين $AOD$ و$COB$ متساوية حسب المعيار الأول. لذلك، $\angle OAD=\angle OCB$، مما يعني التوازي بين $BC$ و$AD$. وكذلك الأمر بالنسبة للزوج الآخر من الجوانب.

تعريف

يسمى الشكل الرباعي الذي له ثلاث زوايا قائمة المستطيل.

خصائص المستطيل:

قطرا المستطيل متساويان.

دليل

دع المستطيل $ABCD$ يعطى. بما أن المستطيل متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متساوية. ثم المثلثات الصحيحة$ABD$ و$DCA$ متساويان على قدمين، مما يعني أن $BD=AC$.

مميزات المستطيل:

إذا كان لمتوازي الأضلاع زاوية قائمة، فإن متوازي الأضلاع هذا يكون مستطيلًا.
إذا كانت أقطار متوازي الأضلاع متساوية، فإن متوازي الأضلاع هذا يكون مستطيلًا.

دليل

1. إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع مستقيمة، فمع الأخذ في الاعتبار أن مجموع الزوايا المجاورة هو $180^(\circ)$، نحصل على أن الزوايا المتبقية مستقيمة أيضًا.

2. اجعل القطرين $AC$ و$BD$ متساويين في متوازي الأضلاع $ABCD$. ومع مراعاة تساوي الضلعين المتقابلين $AB$ و $DC$، نحصل على أن المثلثين $ABD$ و $DC$ متساويان حسب المعيار الثالث. لذلك، $\angle BAD=\angle CDA$، أي أنها مستقيمة. يبقى استخدام العلامة السابقة.

تعريف

يسمى الشكل الرباعي الذي تكون جميع أضلاعه متساوية الماس

خصائص المعين:

أقطار المعين متعامدة بشكل متبادل، وهي منصفات زواياه.

دليل

دع القطرين $AC$ و $BD$ في المعين $ABCD$ يتقاطعان عند النقطة $O$. بما أن المعين هو متوازي أضلاع، $AO=OC$. دعونا نفكر مثلث متساوي الساقين$اي بي سي$. نظرًا لأن $AO$ هو الوسيط المرسوم على القاعدة، فهو المنصف والارتفاع، وهو ما هو مطلوب.

علامات الماس:

إذا كانت أقطار متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل، فإن متوازي الأضلاع هذا يكون معينًا.
إذا كان قطر متوازي الأضلاع هو منصف زاويته، فإن متوازي الأضلاع هذا هو المعين.

دليل

دع متوازي الأضلاع $ABCD$ له قطران $AC$ و $BD$ يتقاطعان عند النقطة $O$. خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$.

1. إذا كانت الأقطار متعامدة، فإن $BO$ هو متوسط المثلث وارتفاعه.

2. إذا كان القطر $BD$ يحتوي على منصف الزاوية $ABC$، فإن $BO$ هو الوسيط والمنصف في المثلث.

وفي كلتا الحالتين نجد أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين وفي متوازي الأضلاع الأضلاع المتجاورة متساوية. ولذلك فهو المعين، وهو ما كان مطلوبا.

تعريف

يسمى المستطيل الذي يكون ضلعاه المتجاوران متساويين مربع.

علامات المربع:

إذا كان المعين له زاوية قائمة، فهذا المعين مربع.
إذا كان المعين له أقطار متساوية، فإن المعين يكون مربعًا.

دليل

إذا كان لمتوازي الأضلاع زاوية قائمة أو أقطار متساوية، فهو مستطيل. إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعينًا، فهو مربع.

تعريف

متوازي الأضلاعيسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

يوضح الشكل 1 متوازي الأضلاع $A B C D, A B\|C D, B C\| د $.

خصائص متوازي الأضلاع

في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية: $A B=C D، B C=A D$ (الشكل 1).
في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة تساوي $\angle A=\angle C، \angle B=\angle D$ (الشكل 1).
يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة التقاطع إلى النصف $A O=O C, B O=O D$ (الشكل 1).
قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

مجموع زوايا متوازي الأضلاع المجاورة لأحد الجانبين هو $180^(\circ)$:

$$\الزاوية A+\الزاوية B=180^(\circ)، \الزاوية B+\الزاوية C=180^(\circ)$$

$$\زاوية C+\زاوية D=180^(\circ)، \زاوية D+\زاوية A=180^(\circ)$$

ترتبط أقطار وأضلاع متوازي الأضلاع بالعلاقة التالية:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 أ^(2)+2 ب^(2)$$

في متوازي الأضلاع، الزاوية بين الارتفاعات تساوي زاوية حادة: $\زاوية K B H=\زاوية A$.
منصفات الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع تكون متعامدة بشكل متبادل.
منصفات زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متوازيتان.

علامات متوازي الأضلاع

الشكل الرباعي $ABCD$ هو متوازي أضلاع إذا

$A B=C D$ و $AB \| ج د $
$A B=C D$ و$B C=A D$
$A O=O C$ و$B O=O D$
$\angle A=\angle C$ و$\angle B=\angle D$

يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام إحدى الصيغ التالية:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

أمثلة على حل المشكلات

مثال

يمارس.مجموع زاويتين لمتوازي الأضلاع هو $140^(\circ)$. أوجد أكبر زاوية لمتوازي الأضلاع.

حل.في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متساوية. دعنا نشير إلى الزاوية الأكبر لمتوازي الأضلاع بـ $\alpha$ والزاوية الأصغر بـ $\beta$. مجموع الزوايا $\alpha$ و$\beta$ هو $180^(\circ)$، لذا فإن المبلغ المعطى يساوي $140^(\circ)$ هو مجموع زاويتين متقابلتين، ثم $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. وبالتالي فإن الزاوية الأصغر هي $\beta=70^(\circ)$. نجد الزاوية الأكبر $\alpha$ من العلاقة:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

إجابة.$\alpha=110^(\circ)$

مثال

يمارس.طول ضلعي متوازي الأضلاع 18 سم و15 سم، والارتفاع المرسوم على الضلع الأقصر هو 6 سم. أوجد الارتفاع الآخر لمتوازي الأضلاع.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 2)