إن مفهوم العدد غير العقلاني ذاته منظم بطريقة يتم تعريفه من خلال نفي خاصية "أن يكون عقلانيًا"، وبالتالي فإن إثبات التناقض هو الأكثر طبيعية هنا. ومع ذلك، فمن الممكن تقديم المنطق التالي.

كيف تختلف الأعداد العقلانية بشكل أساسي عن الأعداد غير المنطقية؟ يمكن تقريب كل منهما بواسطة أرقام منطقية بأي دقة معينة، ولكن ل أرقام عقلانيةهناك تقريب بدقة "صفر" (بهذا الرقم نفسه)، ولكن بالنسبة للأعداد غير النسبية، لم يعد هذا هو الحال. دعونا نحاول "اللعب" على هذا.

بداية، دعونا نلاحظ هذه الحقيقة البسيطة. اجعل $%\alpha$%، $%\beta$% اثنين أرقام إيجابية، والتي تقارب بعضها البعض بدقة $%\varepsilon$%، أي $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. ماذا يحدث إذا استبدلنا الأرقام بعكساتها؟ كيف ستتغير الدقة؟ من السهل أن نرى أن $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta)،$$ والتي ستكون أقل تمامًا من $%\varepsilon$% لـ $%\alpha\beta>1$%. يمكن اعتبار هذا البيان بمثابة ليما مستقلة.

الآن لنقم بتعيين $%x=\sqrt(2)$%، ونجعل $%q\in(\mathbb Q)$% تقريبيًا منطقيًا للرقم $%x$% بدقة $%\varepsilon$ %. نحن نعلم أن $%x>1$%، وفيما يتعلق بتقريب $%q$%، فإننا نطلب عدم المساواة $%q\ge1$%. جميع الأرقام الأصغر من $%1$% سيكون لها دقة تقريبية أسوأ من $%1$% نفسها، وبالتالي لن نأخذها في الاعتبار.

إلى كل رقم من الأرقام $%x$%، $%q$% نضيف $%1$%. من الواضح أن دقة التقريب ستبقى كما هي. الآن لدينا الأرقام $%\alpha=x+1$% و $%\beta=q+1$%. بالانتقال إلى الأعداد المتبادلة وتطبيق "lemma"، سنتوصل إلى استنتاج مفاده أن دقة التقريب لدينا قد تحسنت، وأصبحت أقل تمامًا من $%\varepsilon$%. لقد استوفينا الشرط المطلوب $%\alpha\beta>1$% حتى مع وجود هامش: في الواقع، نحن نعلم أن $%\alpha>2$% و$%\beta\ge2$%، والذي يمكننا أن نستنتج منه تتحسن هذه الدقة على الأقل $%4$% مرة، أي أنها لا تتجاوز $%\varepsilon/4$%.

وهذه هي النقطة الأساسية: وفقًا للشرط، $%x^2=2$%، أي $%x^2-1=1$%، مما يعني أن $%(x+1)(x-) 1)=1$%، أي أن الأرقام $%x+1$% و$%x-1$% معكوسة لبعضها البعض. وهذا يعني أن $%\alpha^(-1)=x-1$% سيكون تقريبيًا للرقم (النسبي) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% مع دقة أقل بدقة $%\varepsilon$%. يبقى إضافة $%1$% إلى هذه الأرقام، ويتضح أن الرقم $%x$%، أي $%\sqrt(2)$%، له تقريب نسبي جديد يساوي $%\beta ^(- 1)+1$%، أي $%(q+2)/(q+1)$%، بدقة "محسنة". هذا يكمل البرهان، لأنه بالنسبة للأعداد النسبية، كما ذكرنا أعلاه، هناك تقريب نسبي "دقيق تمامًا" بدقة $%\varepsilon=0$%، حيث لا يمكن، من حيث المبدأ، زيادة الدقة. لكننا تمكنا من القيام بذلك، وهو ما يدل على عدم عقلانية أرقامنا.

في الواقع، يوضح هذا المنطق كيفية إنشاء تقديرات عقلانية محددة لـ $%\sqrt(2)$% بدقة متزايدة باستمرار. يجب علينا أولاً أن نأخذ التقريب $%q=1$%، ثم نطبق نفس صيغة الاستبدال: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. تنتج هذه العملية ما يلي: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ وهكذا.

جزء م / نسنعتبره غير قابل للاختزال (بعد كل شيء، يمكن دائمًا اختزال الكسر القابل للاختزال إلى شكل غير قابل للاختزال). وبتربيع طرفي المساواة نحصل على م^2=2ن^2. ومن هنا نستنتج أن m^2، وبعد هذا الرقم م- حتى. أولئك. م = 2ك. لهذا السبب م^2 = 4ك^2 وبالتالي 4 ك^2 =2ن^2، أو 2 ك^2 = ن^2. ولكن بعد ذلك اتضح ذلك نهو أيضًا رقم زوجي، لكن هذا لا يمكن أن يكون، لأن الكسر م / نغير قابل للاختزال. ينشأ تناقض. يبقى أن نستنتج: افتراضنا غير صحيح والعدد الرشيد م / ن، يساوي √2، غير موجود."

هذا كل برهانهم

تقييم نقدي للأدلة من اليونانيين القدماء

لكن…. دعونا ننظر إلى هذا الدليل على الإغريق القدماء بشكل نقدي إلى حد ما. وإذا كنت أكثر حذرا في الرياضيات البسيطة، فيمكنك رؤية ما يلي فيه:

1) في العدد الرشيد الذي اعتمده اليونانيون م / نأرقام مو ن- كله، ولكن مجهول(سواء كانوا حتىسواء كانوا غريب). وهكذا هو الحال! ومن أجل إنشاء أي اعتماد بينهما بطريقة أو بأخرى، من الضروري تحديد غرضها بدقة؛

2) عندما قرر القدماء أن العدد م- حتى في المساواة التي قبلوها م = 2كإنهم (عن قصد أو عن جهل!) لم يصفوا الرقم "بشكل صحيح" تمامًا ك " ولكن هنا هو الرقم ك- هذا جميع(كامل!) وتمامًا مشهوررقم يحدد بوضوح ما تم العثور عليه حتىرقم م. ولا تكن بهذه الطريقة وجدأرقام " ك"لم يستطع القدماء في المستقبل" يستخدم"والرقم م ;

3) ومتى من المساواة 2 ك^2 = ن^2 حصل القدماء على الرقم ن^2 متساوي، وفي نفس الوقت ن- حتى لو كان عليهم أن يفعلوا ذلك لا تتعجلمع الاستنتاج حول " التناقض الذي نشأ"، ولكن من الأفضل التأكد من الحد الأقصى دقةمقبول منهم " خيار» أرقام « ن ».

كيف يمكنهم فعل هذا؟ نعم بسيط!
انظر: من المساواة التي حصلوا عليها 2 ك^2 = ن^2 يمكن للمرء بسهولة الحصول على المساواة التالية ك√2 = ن. ولا يوجد شيء يستحق الشجب هنا - فقد حصلوا على المساواة م / ن=√2 هي مساواة أخرى مناسبة لها م^2=2ن^2! ولم يخالفهم أحد!

ولكن في المساواة الجديدة ك√2 = نللأعداد الصحيحة الواضحة كو نفمن الواضح أن من ذلك دائماً احصل على الرقم √2 - عاقِل . دائماً! لأنه يحتوي على أرقام كو ن- كلها مشهورة!

ولكن ذلك من مساواتهم 2 ك^2 = ن^2 ونتيجة لذلك، من ك√2 = ناحصل على الرقم √2 – غير عقلاني (مثل ذلك" تمنى"الإغريق القدماء!")، فمن الضروري أن يكون فيهم، على الأقل ، رقم " ك» في النموذج ليس كاملا (!!!) أرقام. وهذا بالضبط ما لم يكن لدى اليونانيين القدماء!

ومن هنا الاستنتاج: إن الدليل المذكور أعلاه على عدم عقلانية الرقم √2، الذي قدمه اليونانيون القدماء منذ 2400 عام، هو بصراحة غير صحيح وغير صحيح رياضيا، كي لا نقول بوقاحة - هو ببساطة مزيف .

في الكتيب الصغير F-6 الموضح أعلاه (انظر الصورة أعلاه)، صدر في كراسنودار (روسيا) في عام 2015 بتوزيع إجمالي قدره 15000 نسخة. (من الواضح مع استثمار الرعاية) تم تقديم دليل جديد وصحيح للغاية من وجهة نظر الرياضيات وصحيح للغاية ] على عدم عقلانية الرقم √2، والذي كان من الممكن أن يحدث منذ فترة طويلة إذا لم يكن هناك صعوبة " مدرسن" لدراسة آثار التاريخ.

مثال:
\(4\) هو عدد نسبي، لأنه يمكن كتابته بالشكل \(\frac(4)(1)\) ؛
\(0.0157304\) يعد أيضًا عقلانيًا، لأنه يمكن كتابته بالشكل \(\frac(157304)(10000000)\) ؛
\(0.333(3)...\) - وهذا رقم نسبي: يمكن تمثيله كـ \(\frac(1)(3)\) ؛
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) عقلاني، حيث يمكن تمثيله كـ \(\frac(1)(2)\) . في الواقع، يمكننا تنفيذ سلسلة من التحويلات \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

رقم غير عقلانيهو رقم لا يمكن كتابته على صورة كسر له بسط ومقام صحيحان.

إنه مستحيل لأنه كذلك لا نهاية لهاالكسور، وحتى غير الدورية. لذلك، لا توجد أعداد صحيحة يمكن أن تعطي عددًا غير نسبي عند قسمتها على بعضها البعض.

مثال:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) عدد غير نسبي؛
\(π≈3.1415926… \) عدد غير نسبي؛
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) عدد غير نسبي.

مثال (مهمة من OGE). معنى أي من التعبيرات هو عدد عقلاني؟
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

حل:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - لا يمكن أخذ جذر \(14\) ، مما يعني أنه من المستحيل أيضًا تمثيل رقم على شكل كسر يحتوي على أعداد صحيحة، وبالتالي فإن الرقم غير نسبي.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – لا توجد جذور متبقية، ويمكن تمثيل الرقم بسهولة ككسر، على سبيل المثال \(\frac(-5)(1)\)، مما يعني أنه عدد نسبي.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - لا يمكن استخراج الجذر - الرقم غير منطقي.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) غير منطقي أيضًا.

يُشار عادةً إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية بحرف كبير حرف لاتيني أنا (\displaystyle \mathbb (I))بأسلوب جريء بدون تظليل. هكذا: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))أي أن مجموعة الأعداد غير النسبية هي الفرق بين مجموعات الأعداد الحقيقية والعقلانية.

إن وجود أرقام غير منطقية، وبشكل أكثر دقة، شرائح غير قابلة للقياس مع جزء من وحدة الطول، كان معروفًا بالفعل لعلماء الرياضيات القدماء: لقد عرفوا، على سبيل المثال، عدم قابلية قياس القطر وضلع المربع، وهو ما يعادل عدم عقلانية الرقم.

يوتيوب الموسوعي

• 1 / 5

  غير العقلانية هي:

  أمثلة على إثبات اللاعقلانية

  جذر 2

  ولنفترض العكس: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))عقلاني، أي يتم تمثيله ككسر م ن (\displaystyle (\frac (م)(n)))، أين م (\displaystyle م)هو عدد صحيح، و ن (\displaystyle n)- عدد طبيعي .

  دعونا مربع المساواة المفترضة:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\السهم الأيمن م^(2)=2n^(2)).

  قصة

  العصور القديمة

  تم تبني مفهوم الأعداد غير النسبية ضمنيًا من قبل علماء الرياضيات الهنود في القرن السابع قبل الميلاد، عندما اكتشف مانافا (حوالي 750 قبل الميلاد - حوالي 690 قبل الميلاد) أن الجذور التربيعيةبعض الأعداد الطبيعية، مثل 2 و 61، لا يمكن التعبير عنها بشكل صريح [ ] .

  عادةً ما يُنسب الدليل الأول على وجود الأعداد غير النسبية إلى هيباسوس ميتابونتوس (حوالي 500 قبل الميلاد)، وهو فيثاغوري. في زمن فيثاغورس، كان يُعتقد أن هناك وحدة واحدة للطول، صغيرة بدرجة كافية وغير قابلة للتجزئة، والتي تتضمن عددًا صحيحًا من المرات في أي قطعة [ ] .

  لا توجد بيانات دقيقة حول العدد الذي أثبت هيباسوس أنه غير منطقي. ووفقا للأسطورة، فقد وجد ذلك من خلال دراسة أطوال جوانب النجم الخماسي. ولذلك فمن المعقول أن نفترض أن هذه هي النسبة الذهبية [ ] .

  أطلق علماء الرياضيات اليونانيون على هذه النسبة اسم الكميات غير القابلة للقياس alogos(لا يوصف)، ولكن وفقا للأساطير لم يدفعوا الاحترام الواجب لهيباسوس. هناك أسطورة مفادها أن هيباسوس قام بهذا الاكتشاف أثناء رحلة بحرية وتم إلقاؤه في البحر من قبل الفيثاغوريين الآخرين "لإنشاء عنصر من الكون ينكر العقيدة القائلة بأن جميع الكيانات في الكون يمكن اختزالها إلى أعداد صحيحة ونسبها". كان اكتشاف هيباسوس بمثابة تحدي لرياضيات فيثاغورس مشكلة خطيرة، وتدمير الافتراض الكامن وراء النظرية بأكملها القائلة بأن الأعداد و كائنات هندسيةمتحدين ولا ينفصلون.

  1. البراهين هي أمثلة على المنطق الاستنتاجي وتختلف عن الحجج الاستقرائية أو التجريبية. يجب أن يوضح الدليل أن البيان الذي يتم إثباته صحيح دائمًا، وأحيانًا عن طريق سرد جميع الحالات المحتملة وإظهار أن البيان ينطبق على كل حالة منها. قد يعتمد الدليل على ظواهر أو حالات واضحة أو مقبولة عمومًا تُعرف باسم البديهيات. وخلافاً لذلك، فقد ثبت عدم منطقية "الجذر التربيعي لاثنين".
  2. يتم تفسير تدخل الطوبولوجيا هنا بطبيعة الأشياء، مما يعني أنه لا توجد طريقة جبرية بحتة لإثبات اللاعقلانية، ولا سيما بناءً على أرقام عقلانية، وإليك مثال، والخيار لك: 1 + 1/. 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 أو 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ؟؟؟
  إذا قبلت 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2، والتي تعتبر المنهج "الجبري"، فليس من الصعب على الإطلاق إثبات وجود n/m ∈ ℚ، والتي على التسلسل اللانهائي هو عدد غير منطقي ومحدود، وهذا يشير إلى ذلك أرقام غير عقلانيةهي إغلاق المجال ℚ، ولكن هذا يشير إلى التفرد الطوبولوجي.
  بالنسبة لأرقام فيبوناتشي، F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
  هذا يوضح فقط أن هناك تماثلًا مستمرًا ℚ → I، ويمكن إثبات أن وجود مثل هذا التماثل ليس نتيجة منطقية للبديهيات الجبرية.