معلومات أولية

يتم تعريف محيط أي شكل هندسي مسطح على المستوى بأنه مجموع أطوال جميع أضلاعه. المثلث ليس استثناء من هذا. أولا نعرض مفهوم المثلث، وكذلك أنواع المثلثات حسب أضلاعه.

التعريف 1

سوف نسمي المثلث شكلاً هندسيًا يتكون من ثلاث نقاط متصلة ببعضها البعض بواسطة قطع (الشكل 1).

التعريف 2

في إطار التعريف 1، سوف نسمي النقاط رؤوس المثلث.

التعريف 3

في إطار التعريف 1، سيتم تسمية الأجزاء بأضلاع المثلث.

من الواضح أن أي مثلث سيكون له 3 رؤوس، بالإضافة إلى ثلاثة جوانب.

اعتمادًا على علاقة الجوانب ببعضها البعض، تنقسم المثلثات إلى مختلف الأضلاع ومتساوي الساقين ومتساوي الأضلاع.

التعريف 4

سوف نسمي المثلث مختلف الأضلاع إذا لم يكن أي من أضلاعه متساويًا مع أي جانب آخر.

التعريف 5

سنسمي المثلث متساوي الساقين إذا كان ضلعان من أضلاعه متساويين ولكن لا يساويان الضلع الثالث.

التعريف 6

سنسمي المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض.

يمكنك رؤية جميع أنواع هذه المثلثات في الشكل 2.

كيفية العثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث مختلف الأضلاع أطوال أضلاعه تساوي $α$ و$β$ و$γ$.

خاتمة:للعثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع، عليك جمع أطوال أضلاعه معًا.

مثال 1

أوجد محيط مثلث مختلف الأضلاع يساوي $34$ سم، $12$ سم، $11$ سم.

$P=34+12+11=57$ سم

الجواب: 57$ سم.

مثال 2

أوجد المحيط المثلث الأيمن، والتي تساوي أرجلها $6$ و$8$ سم.

أولًا، دعونا نوجد طول وتر هذا المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

$α=10$ وفقًا لقاعدة حساب محيط مثلث مختلف الأضلاع، نحصل على

$P=10+8+6=24$ سم

الجواب: 24 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الساقين؟

دعونا نعطي مثلثًا متساوي الساقين، أطوال أضلاعه ستكون مساوية $α$، وطول القاعدة سيكون مساويًا $β$.

من خلال تعريف محيط الطائرة الشكل الهندسيلقد حصلنا على ذلك

$P=α+α+β=2α+β$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الساقينتحتاج إلى إضافة ضعف طول جوانبه إلى طول قاعدته.

مثال 3

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان طول أضلاعه $12$ سم وقاعدته $11$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=2\cdot 12+11=35$ سم

الجواب: 35 دولار سم.

مثال 4

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان ارتفاعه المرسوم إلى القاعدة ٨$ سم، والقاعدة ١٢$ سم.

دعونا نلقي نظرة على الرسم وفقًا لشروط المشكلة:

وبما أن المثلث متساوي الساقين، فإن $BD$ هو أيضًا الوسيط، وبالتالي $AD=6$ cm.

باستخدام نظرية فيثاغورس، من المثلث $ADB$، نجد الضلع الجانبي. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

وفقا لقاعدة حساب محيط المثلث متساوي الساقين، نحصل على

$P=2\cdot 10+12=32$ سم

الجواب: 32 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث متساوي الأضلاع أطوال جميع أضلاعه تساوي $α$.

ومن خلال تحديد محيط الشكل الهندسي المسطح، نحصل على ذلك

$P=α+α+α=3α$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الأضلاعتحتاج إلى ضرب طول جانب المثلث بـ 3$.

مثال 5

أوجد محيط مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $12$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=3\cdot 12=36$ سم

المحيط هو مجموع جميع جوانب الشكل. هذه الخاصية، إلى جانب المساحة، مطلوبة بشكل متساوٍ لجميع الشخصيات. إن صيغة محيط المثلث المتساوي الساقين تتبع منطقيًا خصائصه، لكن الصيغة ليست معقدة مثل اكتساب المهارات العملية وتعزيزها.

صيغة لحساب المحيط

الجوانب الجانبية للمثلث متساوي الساقين متساوية مع بعضها البعض. وهذا نابع من التعريف ويظهر بوضوح حتى من اسم الشكل. ومن هذه الخاصية تنبع صيغة المحيط:

P=2a+b، حيث b هي قاعدة المثلث، وa هي قيمة الجانب.

أرز. 1. مثلث متساوي الساقين

يتضح من الصيغة أنه للعثور على المحيط يكفي معرفة حجم القاعدة وأحد الجوانب. فكر في عدة مسائل لإيجاد محيط المثلث المتساوي الساقين. سنحل المشكلات كلما زاد تعقيدها، وهذا سيسمح لنا بفهم أفضل لطريقة التفكير التي يجب اتباعها للعثور على المحيط.

المشكلة 1

• في المثلث المتساوي الساقين، تكون القاعدة 6، والارتفاع المرسوم لهذه القاعدة هو 4. ومن الضروري إيجاد محيط الشكل.

أرز. 2. الرسم للمهمة 1

ارتفاع المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو أيضًا المتوسط ​​والارتفاع. تُستخدم هذه الخاصية غالبًا في حل المشكلات المتعلقة بالمثلثات المتساوية الساقين.

المثلث ABC مع ارتفاع BM ينقسم إلى مثلثين قائمين: ABM وBCM. في المثلث ABM، الضلع BM معروف، والضلع AM يساوي نصف قاعدة المثلث ABC، حيث أن BM هو المنصف المتوسط ​​والارتفاع. باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد قيمة الوتر AB.

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

لنجد المحيط: P=AC+AB*2=6+5*2=16

المشكلة 2

• في المثلث المتساوي الساقين، الارتفاع المرسوم إلى القاعدة يساوي 10، والزاوية الحادة عند القاعدة تساوي 30 درجة. تحتاج إلى العثور على محيط المثلث.

أرز. 3. الرسم للمهمة 2

هذه المهمة معقدة بسبب عدم وجود معلومات حول أضلاع المثلث، ولكن بمعرفة قيمة الارتفاع والزاوية، في المثلث القائم ABH يمكنك العثور على الضلع AH، ومن ثم سيتبع الحل نفس السيناريو كما في المشكلة 1.

دعونا نجد AH من خلال قيمة الجيب:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - جيب الزاوية 30 درجة هو قيمة جدولية.

لنعبر عن الجانب المطلوب:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

باستخدام ظل التمام نجد قيمة AH:

$$ctg(BAH)=(AH\over BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - قم بتقريب القيمة الناتجة إلى أقرب جزء من مائة.

لنجد الأساس:

AC=AH*2=17.32*2=34.64

الآن بعد أن تم العثور على جميع القيم المطلوبة، دعونا نحدد المحيط:

P=AC+2*AB=34.64+2*20=74.64

المشكلة 3

• المثلث المتساوي الساقين ABC تبلغ مساحته $$16\over\sqrt(3)$$ وزاوية حادة عند القاعدة 30 درجة. أوجد محيط المثلث.

غالبًا ما يتم إعطاء القيم الموجودة في الحالة على أنها حاصل ضرب الجذر والرقم. يتم ذلك لحماية الحل اللاحق قدر الإمكان من الأخطاء. من الأفضل تقريب النتيجة في نهاية الحسابات

بهذه الصياغة للمشكلة قد يبدو أنه لا يوجد حلول، لأنه من الصعب التعبير عن أحد الأضلاع أو الارتفاع من البيانات المتوفرة. دعونا نحاول حلها بشكل مختلف.

دعنا نشير إلى الارتفاع ونصف القاعدة بالأحرف اللاتينية: BH=ح و AH=أ

إذن القاعدة ستكون مساوية لـ: AC=AH+HC=AH*2=2a

المساحة: $$S=(1\أكثر من 2)*AC*BH=(1\أكثر من 2)*2a*h=ah$$

ومن ناحية أخرى، يمكن التعبير عن قيمة h من المثلث ABH بدلالة ظل الزاوية الحادة. لماذا الظل؟ لأنه في المثلث ABH قمنا بالفعل بتعيين ساقين a وh. يجب التعبير عن أحدهما من خلال الآخر. ساقان معًا تربط الظل وظل التمام. تقليديًا، يتم استخدام ظل التمام وجيب التمام فقط إذا لم يكن ظل التمام أو جيب التمام مناسبًا. هذه ليست قاعدة، يمكنك أن تقرر ما يناسبك، إنها مقبولة فقط.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

دعنا نعوض بالقيمة الناتجة في صيغة المساحة.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

لنعبر عن :

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

استبدل قيمة a في صيغة المساحة وحدد قيمة الارتفاع:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- القيمة التي تم الحصول عليها دعنا نقربها إلى أقرب مائة.

باستخدام نظرية فيثاغورس نجد الضلع الجانبي للمثلث:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

دعنا نستبدل القيم في صيغة المحيط:

P=AB*2+AH*2=4.62*2+4*2=17.24

ماذا تعلمنا؟

لقد فهمنا بالتفصيل جميع تعقيدات العثور على محيط مثلث متساوي الساقين. لقد قمنا بحل ثلاث مسائل بمستويات مختلفة من التعقيد، موضحين بمثال كيف يتم حل المسائل النموذجية لحل مثلث متساوي الساقين.

اختبار حول الموضوع

تصنيف المادة

متوسط ​​التقييم: 4.4. إجمالي التقييمات المستلمة: 83.

أي مثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. صيغة عامةللعثور على محيط المثلثات:

ص = أ + ب + ج

أين صهو محيط المثلث، أ, بو ج- جوانبه.

يمكنك العثور عليه عن طريق جمع أطوال أضلاعه بالتتابع أو عن طريق ضرب طول الضلع في 2 وإضافة طول القاعدة إلى المنتج. الصيغة العامة لإيجاد محيط المثلثات متساوية الساقين ستبدو كما يلي:

ص = 2أ + ب

أين صهو محيط المثلث متساوي الساقين، أ- أي من الجانبين، ب- قاعدة.

يمكنك العثور عليه عن طريق جمع أطوال أضلاعه بالتتابع أو عن طريق ضرب أطوال أي من أضلاعه في 3. ستبدو الصيغة العامة لإيجاد محيط المثلثات متساوية الأضلاع كما يلي:

ص = 3أ

أين صهو محيط مثلث متساوي الأضلاع، أ- أي من جوانبه.

مربع

لقياس مساحة المثلث، يمكنك مقارنتها بمتوازي الأضلاع. النظر في مثلث اي بي سي:

إذا أخذت مثلثًا مساويًا له ووضعته بحيث تحصل على متوازي أضلاع، فستحصل على متوازي أضلاع بنفس ارتفاع وقاعدة المثلث المحدد:

في هذه الحالة، الجانب المشترك للمثلثات المطوية معًا هو قطري متوازي الأضلاع المتكون. من خصائص متوازيات الأضلاع من المعروف أن القطر يقسم متوازي الأضلاع دائمًا إلى قسمين مثلث متساويمما يعني أن مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع.

وبما أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي منتج قاعدته وارتفاعه، فإن مساحة المثلث ستكون مساوية لنصف هذا المنتج. لذلك بالنسبة لـ Δ اي بي سيستكون المساحة متساوية

الآن فكر في المثلث الأيمن:

يمكن طي مثلثين متساويين قائمي الزاوية لتكوين مستطيل عن طريق وضع الوتر في مواجهة بعضهما البعض. حيث أن مساحة المستطيل تساوي ناتج ضربه الجوانب المجاورةفمساحة هذا المثلث تساوي:

ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن مساحة أي مثلث قائم الزاوية تساوي ناتج قسمة الأرجل على 2.

ومن هذه الأمثلة يمكننا أن نستنتج ذلك مساحة أي مثلث تساوي حاصل ضرب طول القاعدة وارتفاع القاعدة مقسوما على 2. ستبدو الصيغة العامة لإيجاد مساحة المثلثات كما يلي:

س =	آه أ
	2

أين سهي مساحة المثلث، أ- أساسها، ح أ- تم خفض الارتفاع إلى القاعدة أ.

محيط المثلثكما هو الحال مع أي شكل، يسمى مجموع أطوال جميع الجوانب. في كثير من الأحيان، تساعد هذه القيمة في العثور على المنطقة أو يتم استخدامها لحساب معلمات الشكل الأخرى.
تبدو صيغة محيط المثلث كما يلي:

مثال لحساب محيط المثلث. لنفترض أن مثلثًا أضلاعه أ = 4 سم، ب = 6 سم، ج = 7 سم. عوّض بالبيانات في الصيغة: سم

صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الساقينسوف تبدو مثل هذا:

صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الأضلاع:

مثال لحساب محيط مثلث متساوي الأضلاع. عندما تكون جميع جوانب الشكل متساوية، يمكن ببساطة ضربها في ثلاثة. دعنا نقول نظرا مثلث منتظممع جانب 5 سم في هذه الحالة: سم

بشكل عام، بمجرد تحديد جميع الجوانب، يصبح العثور على المحيط أمرًا بسيطًا للغاية. في حالات أخرى، تحتاج إلى العثور على حجم الجانب المفقود. في المثلث الأيمن يمكنك العثور على الجانب الثالث نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، إذا كانت أطوال الساقين معروفة، فيمكنك العثور على الوتر باستخدام الصيغة:

لنأخذ مثالاً لحساب محيط مثلث متساوي الساقين، بشرط أن نعرف طول أضلاع المثلث المتساوي الساقين القائم.
إذا كان لديك مثلث ذو أرجل أ = ب = 5 سم، فأوجد محيطه. أولا، دعونا نجد الجانب المفقود ج. سم
الآن دعونا نحسب المحيط: سم
محيط المثلث متساوي الساقين القائم سيكون ١٧ سم.

في حالة معرفة الوتر وطول إحدى الساقين، يمكنك العثور على الساق المفقودة باستخدام الصيغة:
إذا كان الوتر في المثلث القائم معروفًا وأحدهما زوايا حادة، ثم يتم العثور على الجانب المفقود باستخدام الصيغة.

معلومات أولية

يتم تعريف محيط أي شكل هندسي مسطح على المستوى بأنه مجموع أطوال جميع أضلاعه. المثلث ليس استثناء من هذا. أولا نعرض مفهوم المثلث، وكذلك أنواع المثلثات حسب أضلاعه.

التعريف 1

سوف نسمي المثلث شكلاً هندسيًا يتكون من ثلاث نقاط متصلة ببعضها البعض بواسطة قطع (الشكل 1).

التعريف 2

في إطار التعريف 1، سوف نسمي النقاط رؤوس المثلث.

التعريف 3

في إطار التعريف 1، سيتم تسمية الأجزاء بأضلاع المثلث.

من الواضح أن أي مثلث سيكون له 3 رؤوس، بالإضافة إلى ثلاثة جوانب.

اعتمادًا على علاقة الجوانب ببعضها البعض، تنقسم المثلثات إلى مختلف الأضلاع ومتساوي الساقين ومتساوي الأضلاع.

التعريف 4

سوف نسمي المثلث مختلف الأضلاع إذا لم يكن أي من أضلاعه متساويًا مع أي جانب آخر.

التعريف 5

سنسمي المثلث متساوي الساقين إذا كان ضلعان من أضلاعه متساويين ولكن لا يساويان الضلع الثالث.

التعريف 6

سنسمي المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض.

يمكنك رؤية جميع أنواع هذه المثلثات في الشكل 2.

كيفية العثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث مختلف الأضلاع أطوال أضلاعه تساوي $α$ و$β$ و$γ$.

خاتمة:للعثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع، عليك جمع أطوال أضلاعه معًا.

مثال 1

أوجد محيط مثلث مختلف الأضلاع يساوي $34$ سم، $12$ سم، $11$ سم.

$P=34+12+11=57$ سم

الجواب: 57$ سم.

مثال 2

أوجد محيط المثلث القائم الزاوية الذي طول أرجله $6$ و$8$ سم.

أولًا، دعونا نوجد طول وتر هذا المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

$α=10$ وفقًا لقاعدة حساب محيط مثلث مختلف الأضلاع، نحصل على

$P=10+8+6=24$ سم

الجواب: 24 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الساقين؟

دعونا نعطي مثلثًا متساوي الساقين، أطوال أضلاعه ستكون مساوية $α$، وطول القاعدة سيكون مساويًا $β$.

ومن خلال تحديد محيط الشكل الهندسي المسطح، نحصل على ذلك

$P=α+α+β=2α+β$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الساقين، أضف ضعف طول أضلاعه إلى طول قاعدته.

مثال 3

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان طول أضلاعه $12$ سم وقاعدته $11$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=2\cdot 12+11=35$ سم

الجواب: 35 دولار سم.

مثال 4

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان ارتفاعه المرسوم إلى القاعدة ٨$ سم، والقاعدة ١٢$ سم.

دعونا نلقي نظرة على الرسم وفقًا لشروط المشكلة:

وبما أن المثلث متساوي الساقين، فإن $BD$ هو أيضًا الوسيط، وبالتالي $AD=6$ cm.

باستخدام نظرية فيثاغورس، من المثلث $ADB$، نجد الضلع الجانبي. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

وفقا لقاعدة حساب محيط المثلث متساوي الساقين، نحصل على

$P=2\cdot 10+12=32$ سم

الجواب: 32 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث متساوي الأضلاع أطوال جميع أضلاعه تساوي $α$.

ومن خلال تحديد محيط الشكل الهندسي المسطح، نحصل على ذلك

$P=α+α+α=3α$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الأضلاع، اضرب طول ضلع المثلث في $3$.

مثال 5

أوجد محيط مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $12$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=3\cdot 12=36$ سم