في هذه المقالة سوف نتحدث عن عمودي الخط والمستوى. أولاً، يتم تقديم تعريف الخط العمودي على المستوى، ويتم تقديم رسم توضيحي ومثال، كما يتم عرض تعيين الخط العمودي على المستوى. بعد ذلك، يتم صياغة إشارة عمودي الخط المستقيم والمستوى. بعد ذلك، يتم الحصول على الشروط التي تجعل من الممكن إثبات عمودي الخط المستقيم والمستوى، عندما يتم إعطاء الخط المستقيم والمستوى بمعادلات معينة في نظام مستطيلالإحداثيات في مساحة ثلاثية الأبعاد. وفي الختام، يتم عرض حلول مفصلة للأمثلة والمشكلات النموذجية.

التنقل في الصفحة.

الخط المستقيم المتعامد والمستوى - معلومات أساسية.

ننصحك بتكرار تعريف الخطوط المتعامدة أولاً، حيث إن تعريف الخط المتعامد على المستوى يتم تقديمه من خلال تعامد الخطوط.

تعريف.

يقولون ذلك الخط عمودي على الطائرة، إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

يمكننا أيضًا أن نقول إن المستوى عمودي على مستقيم، أو أن الخط والمستوى متعامدان.

للإشارة إلى التعامد، استخدم رمزًا مثل "". أي أنه إذا كان الخط المستقيم c عموديًا على المستوى، فيمكننا أن نكتب بإيجاز.

مثال على الخط المتعامد على المستوى هو الخط الذي يتقاطع على طوله جداران متجاوران في الغرفة. هذا الخط عمودي على المستوى وعلى مستوى السقف. يمكن أيضًا اعتبار الحبل الموجود في صالة الألعاب الرياضية بمثابة قطعة خط مستقيم متعامدة مع مستوى الأرضية.

وفي ختام هذه الفقرة من المقال نلاحظ أنه إذا كان الخط المستقيم عمودياً على مستوى فإن الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى تعتبر مساوية لتسعين درجة.

عمودي الخط المستقيم والمستوى - علامة وشروط العمودي.

ومن الناحية العملية، غالبًا ما يُطرح السؤال: "هل الخط المستقيم والمستوى المعطى متعامدان؟" للإجابة على هذا هناك شرط كاف لعمود الخط والطائرةأي مثل هذا الشرط الذي يضمن تحقيقه عمودي الخط المستقيم والمستوى. تسمى هذه الحالة الكافية علامة عمودية الخط والمستوى. دعونا صياغة ذلك في شكل نظرية.

نظرية.

لكي يكون مستقيم ومستوى معين متعامدين، يكفي أن يكون الخط عموديًا على خطين متقاطعين يقعان في هذا المستوى.

يمكنك إلقاء نظرة على إثبات علامة عمودي الخط والمستوى في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11.

عند حل مسائل إنشاء عمودي الخط والمستوى، غالبا ما تستخدم النظرية التالية أيضا.

نظرية.

إذا كان أحد الخطين المتوازيين عموديًا على مستوى، فإن الخط الثاني يكون عموديًا على المستوى أيضًا.

في المدرسة، يتم النظر في العديد من المشاكل، لحلها يتم استخدام علامة عمودي الخط والمستوى، وكذلك النظرية الأخيرة. لن نتناولها هنا. وفي هذه الفقرة من المقال سنركز على تطبيق ما يلي ضروري و حالة كافيةعمودي الخط المستقيم والطائرة.

يمكن إعادة كتابة هذا الشرط في النموذج التالي.

يترك هو متجه الاتجاه للخط أ، و هو المتجه الطبيعي للطائرة. لكي يكون الخط المستقيم a والمستوى متعامدين، فمن الضروري والكافي أن يكون ذلك و : ، حيث t هو عدد حقيقي.

يعتمد إثبات هذا الشرط الضروري والكافي لتعامد الخط والمستوى على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

من الواضح أن هذا الشرط مناسب للاستخدام لإثبات عمودي الخط والمستوى، عندما يمكن بسهولة العثور على إحداثيات المتجه الموجه للخط وإحداثيات المتجه العادي للمستوى في مساحة ثابتة ثلاثية الأبعاد . وينطبق ذلك على الحالات التي يتم فيها إعطاء إحداثيات النقاط التي يمر بها المستوى والمسار، وكذلك الحالات التي يتم فيها تحديد الخط ببعض معادلات خط مستقيم في الفضاء، ويتم تحديد المستوى بمعادلة طائرة من نوع ما.

دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.

مثال.

إثبات عمودي الخط والطائرات.

حل.

نحن نعلم أن الأعداد الموجودة في مقامات المعادلات القانونية لخط مستقيم في الفضاء هي الإحداثيات المقابلة لمتجه اتجاه هذا الخط. هكذا، - ناقل مباشر .

إن معاملات المتغيرات x وy وz في المعادلة العامة للمستوى هي إحداثيات المتجه الطبيعي لهذا المستوى، أي: هو المتجه الطبيعي للطائرة.

دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لعمود الخط والمستوى.

لأن ، ثم المتجهات وترتبط بالعلاقة أي أنهما على خط واحد. لذلك، على التوالي عمودي على الطائرة.

مثال.

هل الخطوط متعامدة؟ والطائرة.

حل.

دعونا نوجد متجه الاتجاه لخط مستقيم معين والمتجه الطبيعي للمستوى من أجل التحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لعمود الخط والمستوى.

ناقل التوجيه مستقيم يكون

في هذا الدرس سوف نتناول عمودي الخطوط في الفضاء، وعمود المستقيم والمستوى، والخطوط المتوازية المتعامدة مع المستوى.
أولاً، نعطي تعريف الخطين المتعامدين في الفضاء واسمهما. دعونا نتأمل ونثبت القاعدة المتعلقة بالخطوط المتوازية المتعامدة مع الخط الثالث. بعد ذلك، سنقدم تعريف الخط العمودي على المستوى، وننظر في خاصية هذا الخط، مع التذكر الموقف النسبيمستقيم وطائرة. بعد ذلك نثبت الخط المستقيم و نظرية العكسحوالي خطين متوازيين متعامدين على المستوى.
في نهاية الدرس، سوف نحل مسألتين حول عمودي الخطوط في متوازي السطوح ورباعي السطوح.

الموضوع: عمودي الخط والمستوى

الدرس: الخطوط المتعامدة في الفضاء. الخطوط المتوازية المتعامدة مع المستوى

في هذا الدرس سوف نتناول عمودي الخطوط في الفضاء، وعمود المستقيم والمستوى، والخطوط المتوازية المتعامدة مع المستوى.

تعريف. يسمى خطان متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

تعيين. .

النظر في الخطوط المستقيمة أو ب. يمكن أن تتقاطع الخطوط أو تتقاطع أو تكون متوازية. من أجل بناء زاوية بينهما، تحتاج إلى تحديد نقطة والرسم من خلالها أ،وخط موازي للخط ب. مستقيمة ومتقاطعة. الزاوية بينهما هي الزاوية بين السطور أو ب.إذا كانت الزاوية 90 درجة، فهي مستقيمة أو بعمودي.

إذا كان أحد الخطين المتوازيين عموديًا على الخط الثالث، فإن الخط الآخر عمودي على هذا الخط.

دليل:

دعونا نعطي خطين متوازيين أو ب،ومستقيم مع، و . ومن الضروري إثبات ذلك.

دعونا نأخذ نقطة تعسفية م. من خلال النقطة مارسم خطًا موازيًا للخط أوخط موازي للخط ج(الشكل 2). ثم الزاوية امكيساوي 90 درجة.

مستقيم ببالتوازي مع الخط أبشرط أن يكون الخط موازيا للخط أعن طريق البناء. وهذا يعني مستقيم و بموازي.

لدينا، على التوالي و بموازية، مستقيمة معوالموازية في البناء. إذن الزاوية بين السطور بو مع -هي الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة، وهي الزاوية امك، يساوي 90 درجة. لذلك فهو مستقيم بو معمتعامدان كما هو مطلوب لإثباته.

تعريف. يسمى الخط عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

تعيين. .

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية(المستويات الأساسية والشخصية) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.

المهام 5، 6، 7 ص 54

2. إعطاء تعريف عمودي الخطوط في الفضاء.

3. الجانبين متساويين أ.بو قرص مضغوطرباعي الزوايا ABCDعمودي على بعض الطائرة. تحديد نوع الشكل الرباعي.

4. ضلع المثلث متعامد على خط ما أ.أثبت أن أحد الخطوط الوسطى للمثلث عمودي على الخط أ.

الدرس 3.2.1

عمودي الخطوط.

عمودي ومائل.

نظرية الثلاثة المتعامدة.

تعريف:يسمى خطان في الفضاء متعامدين (متعامدين على بعضهما البعض) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

تعيين. .

النظر في الخطوط المستقيمة أو ب.

يمكن أن تتقاطع الخطوط أو تتقاطع أو تكون متوازية. من أجل إنشاء زاوية بينهما، تحتاج إلى تحديد نقطة ورسم خط مستقيم من خلالها، موازيًا للخط المستقيم أ،والخط b` موازي للخط ب.

يتقاطع الخطان أ` و ب`. الزاوية بينهما هي الزاوية بين السطور أو ب.إذا كانت الزاوية 90 درجة، فهي مستقيمة أ و بعمودي.

ليما: إذا كان أحد المستقيمين عموديًا على الخط الثالث، فإن الخط الآخر عمودي على هذا الخط.

دليل:

دعونا نأخذ نقطة تعسفية م. من خلال النقطة مارسم خطًا موازيًا للخط أوخط c` موازي للخط ج. ثم الزاوية امكيساوي 90 درجة.

مستقيم ببالتوازي مع الخط أحسب الشرط، السطر a` موازي للخط أعن طريق البناء. وهذا يعني أن الخطوط المستقيمة أ` و بموازي.

لدينا، على التوالي و بموازية، مستقيمة معوالموازية في البناء. إذن الزاوية بين السطور بو مع -هذه هي الزاوية بين الخطين a` و b`، أي الزاوية امك، يساوي 90 درجة. لذلك فهو مستقيم بو معمتعامدان كما هو مطلوب لإثباته.

عمودي الخط والطائرة.

تعريف: يسمى المستقيم عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

ملكية: إذا كان الخط عموديًا على مستوى، فإنه يتقاطع مع هذا المستوى.

(لو أ┴ α، ثم أ∩ α.)

تذكير. الخط المستقيم والمستوى إما يتقاطعان عند نقطة واحدة، أو يكونان متوازيين، أو يقع الخط المستقيم في المستوى.

خصائص الخطوط المتعامدة والمستويات:

نظرية:إذا كان أحد الخطين المتوازيين عموديًا على مستوى، فإن الخط الآخر يكون عموديًا أيضًا على هذا المستوى.

في الدرس الأول درسنا الليما - إذا تقاطع أحد المستقيمين المتوازيين مع المستوى، فإن الخط الموازي الآخر يقطع المستوى. مستقيم أيتقاطع بزاوية 90 0 أي متعامدة، ثم يكون الخط الموازي الآخر متعامدا

نظرية:إذا كان المستقيمان متعامدين على مستوى، فإنهما متوازيان.

علامة عمودي الخط والمستوى

نظرية:إذا كان المستقيم عموديًا على خطين متقاطعين يقعان في مستوى، فإنه يكون عموديًا على المستوى

نظرية:من خلال أي نقطة في الفضاء يمر خط مستقيم عمودي على مستوى معين، وعلاوة على ذلك، يمر خط مستقيم واحد فقط.

فيديو تعليمي 2: نظرية الثلاثة المتعامدة. نظرية

فيديو تعليمي 3: نظرية الثلاثة المتعامدة. مهمة

محاضرة: عمودي الخط المستقيم والمستوى والعلامات والخصائص؛ عمودي ومائل. ثلاثة نظرية عمودية

عمودي الخط والطائرة

دعونا نتذكر ما هو عمودي الخطوط في الواقع. الخطوط التي تتقاطع بزاوية 90 درجة تكون متعامدة. وفي هذه الحالة يمكن أن تكون الزاوية بينهما إما في حالة التقاطع عند نقطة ما أو في حالة التقاطع. إذا تقاطعت بعض الخطوط بزوايا قائمة، فيمكن أيضًا تسميتها خطوطًا متعامدة، وذلك بفضل نقل موازيينتقل الخط المستقيم إلى نقطة على الخط المستقيم الثاني.

تعريف:إذا كان الخط عموديًا على أي خط ينتمي إلى مستوى ما، فيمكن اعتباره عموديًا على هذا المستوى.

لافتة:إذا كان هناك مستقيمان متعامدان على مستوى معين، وكان هناك خط ثالث عمودي على كل منهما، فإن هذا الخط الثالث يكون عموديًا على المستوى.

ملكيات:

• إذا كانت بعض الخطوط متعامدة على مستوى واحد، فإنها تكون متوازية مع بعضها البعض.

• إذا كان هناك مستويان متوازيان، بالإضافة إلى خط مستقيم متعامد على أحد المستويين، فهو أيضًا متعامد على المستوى الثاني.
• ومن الممكن أيضًا تقديم العبارة المعاكسة: إذا كان خط معين متعامدًا مع مستويين مختلفين، فإن هذه المستويات متوازية بالضرورة.

يميل

إذا كان هناك خط مستقيم يربط نقطة عشوائية لا تقع على المستوى مع أي نقطة على المستوى، فسيتم تسمية هذا الخط المستقيم يميل.

يرجى ملاحظة أنه يميل فقط إذا كانت الزاوية بينه وبين المستوى ليست 90 درجة.

في الشكل، يميل AB إلى المستوى α. في هذه الحالة، تسمى النقطة B قاعدة النقطة المائلة.

إذا رسمنا قطعة من النقطة A إلى المستوى، والتي ستصنع زاوية قدرها 90 درجة مع المستوى، فإن هذه القطعة ستسمى متعامدة. ويسمى العمودي أيضًا أقصر مسافة إلى المستوى.

AC هو خط عمودي مرسوم من النقطة A إلى المستوى α. في هذه الحالة، تسمى النقطة C قاعدة العمودي.

إذا قمنا في هذا الرسم برسم قطعة تصل قاعدة المتعامد (C) بقاعدة العمود المائل (B)، فسيتم تسمية القطعة الناتجة الإسقاط.

نتيجة للإنشاءات البسيطة التي حصلنا عليها المثلث الأيمن. في هذا المثلث، الزاوية ABC تسمى الزاوية بين المائل والمسقط.

ثلاثة نظرية متعامدة

تعريف. يسمى المستوى المستقيم المتقاطع عموديًا على هذا المستوى إذا كان عموديًا على أي خط مستقيم يقع في المستوى المحدد ويمر عبر نقطة التقاطع.
لافتةعمودي الخط المستقيم والطائرة.إذا كان الخط عموديًا على خطين متقاطعين في المستوى، فإنه يكون عموديًا على هذا المستوى.
دليل. يترك أ- خط مستقيم متعامد على خطوط مستقيمة بو معتابعة للطائرة أ. أ هي نقطة تقاطع الخطوط. في الطائرة أارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة أ د، لا يتزامن مع الخطوط المستقيمة بو مع. الآن على متن الطائرة أدعونا نجعل مباشرة ك، تقاطع الخطوط دو معولا يمر بالنقطة A. نقاط التقاطع هي D وB وC على التوالي أ V جوانب مختلفةمن النقطة A هناك قطع متساوية AA 1 و AA 2. المثلث A 1 CA 2 متساوي الساقين، لأن ارتفاع التيار المتردد هو أيضًا الوسيط (الميزة 1)، أي. أ 1 ج = كاليفورنيا 2. وبالمثل، في المثلث A 1 BA 2 الأضلاع A 1 B و BA 2 متساوية.وبالتالي فإن المثلثين أ 1 ق و أ 2 ق متساويان حسب المعيار الثالث، وبالتالي فإن الزاويتين أ 1 ق و أ 2 ق متساويتان. وهذا يعني أن المثلثين A 1 BD و A 2 BD متساويان حسب المعيار الأول. لذلك، A 1 D و A 2 D. ومن ثم فإن المثلث A 1 DA 2 متساوي الساقين حسب التعريف. في مثلث متساوي الساقين أ1دأ2 أد A هو الوسيط (بالبناء)، وبالتالي الارتفاع، أي أن الزاوية A1AD مستقيمة، وبالتالي خط مستقيمعمودي على خط مستقيم أد. وبذلك يمكن إثبات أن الخط المستقيم أعمودي على أي خط يمر عبر النقطة A و أتابعة للطائرة أ.

. ويترتب على التعريف أن الخط المستقيمعمودي على الطائرة
بناء أخط مستقيم عمودي على مستوى معين من نقطة خارج هذا المستوى. أيترك أ- المستوى، A - النقطة التي يجب أن ينخفض ​​منها العمودي. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا في الطائرة ب. من خلال النقطة A والخط المستقيم بلنرسم طائرة أ(خط مستقيم ونقطة يحددان المستوى، وواحد فقط). في الطائرة أمن النقطة A ننزل إلى خط مستقيم مععمودي AB. من النقطة B إلى الطائرة مع- المستوى، A - النقطة التي يجب أن ينخفض ​​منها العمودي. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا في الطائرة دعونا نستعيد العمود ونحدد الخط المستقيم الذي يقع عليه هذا العمود خلفه. من خلال القطعة AB والخط المستقيم دعونا نستعيد العمود ونحدد الخط المستقيم الذي يقع عليه هذا العمود خلفهز مع(خطان متقاطعان يحددان المستوى، وخط واحد فقط). في الطائرة بمن النقطة A ننزل إلى خط مستقيم أعمودي على AC. دعونا نثبت أن القطعة AC عمودية على المستوى مع. دليل. مستقيم دعونا نستعيد العمود ونحدد الخط المستقيم الذي يقع عليه هذا العمود خلفه، حيث يقع هذين الخطين المتقاطعين (على أساس عمودي الخط والمستوى). وبما أنه عمودي على هذا المستوى، فهو عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، مما يعني أنه خط مستقيم أعمودي على AC. الخط AC عمودي على خطين يقعان في المستوى α: مع(بالبناء) و أ(على ما ثبت) يعني أنه متعامد على المستوى α (على أساس تعامد الخط والمستوى)

النظرية 1 . إذا كان مستقيمان متقاطعان موازيين لخطين متعامدين، فإنهما متعامدان أيضًا.
دليل. يترك أو ب- الخطوط المتعامدة، أ 1 و ب 1- الخطوط المتقاطعة الموازية لها . دعونا نثبت أن الخطوط المستقيمة أ 1 و ب 1 متعامدة.
إذا كان مستقيما أ, ب, أ 1 و ب 1 يقعان في نفس المستوى، فإنهما يمتلكان الخاصية المحددة في النظرية، كما هو معروف من قياس التخطيط.
لنفترض الآن أن خطوطنا لا تقع في نفس المستوى. ثم على التوالي أو بتقع في مستوى ما α، والخطوط المستقيمة أ 1 و ب 1 - في بعض المستويات β . بناءً على توازي المستويات، تكون المستويتان α و β متوازيتين. دع C تكون نقطة تقاطع الخطوط أو بو ج1 - تقاطعات الخطوط أ 1 و ب 1. دعونا نرسم مستوى الخطوط المتوازية أو أ أو أ 1 عند النقطتين أ و أ 1. في مستوى الخطوط المتوازية بو ب 1 خط موازي للخط المستقيم CC 1. سوف تعبر الخطوط بو ب 1 عند النقطتين B و B1.
الرباعيات CAA 1 C 1 وSVV 1 C 1 هي متوازيات أضلاع، لأن أضلاعها المتقابلة متوازية. الشكل الرباعي ABC 1 A 1 هو أيضًا متوازي أضلاع. ضلعاه AA 1 و BB 1 متوازيان، لأن كل منهما موازي للخط CC 1. وبالتالي، فإن الشكل الرباعي يقع في المستوى الذي يمر عبر الخطين المتوازيين AA 1 و BB 1. وهو يتقاطع مع المستويين المتوازيين α و β على طول خطين مستقيمين متوازيين AB و A 1 B 1.
بما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية، فإن AB = A 1 B 1، AC = A 1 C 1، BC = B 1 C 1. وفقا لعلامة المساواة الثالثة، فإن المثلثين ABC و A 1 B 1 C 1 متساويان. إذن، الزاوية A 1 C 1 B 1، المساوية للزاوية ACB، مستقيمة، أي. مستقيم أ 1 و ب 1 متعامدة. إلخ.

ملكياتعمودي على خط مستقيم وطائرة.
النظرية 2 . إذا كان المستوى عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
دليل. يترك أ 1 و أ 2 - خطان متوازيان و α - مستوى متعامد على الخط أ 1. دعونا نثبت أن هذا المستوى عمودي على الخط المستقيم أ 2 .
لنرسم تقاطعين لخط يمر بالنقطة A أ 2 مع المستوى α خط مستقيم تعسفي مع 2 في الطائرة α. دعونا نرسم في المستوى α عبر النقطة A 1 تقاطع الخط أ 1 مع الطائرة α على التوالي مع 1 موازي للخط مع 2. وبما أنه مستقيم أ 1 عمودي على المستوى α، ثم الخطوط المستقيمة أ 1 و مع 1 متعامدة. ووفقا للنظرية 1، فإن الخطوط المتقاطعة موازية لها أ 2 و مع 2 متعامدان أيضًا. وهكذا على التوالي أ 2 عمودي على أي خط مع 2 في الطائرة α. وهذا يعني أن على التوالي أ 2 عمودي على المستوى α. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 3 . خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.
لدينا المستوى α وخطين متعامدين عليه أو ب. دعونا نثبت ذلك أ || ب.
من خلال نقاط تقاطع الخطوط المستقيمة للطائرة، ارسم خطًا مستقيمًا مع. بناء على الخاصية التي نحصل عليها أ ^ جو ب ^ ج. من خلال الخطوط المستقيمة أو بلنرسم مستوى (خطان متوازيان يحددان المستوى، وواحد فقط). في هذا المستوى لدينا خطان متوازيان أو بوقاطع مع. إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة، فإن المستقيمين متوازيان. لدينا مثل هذه الحالة - زاويتان قائمتان. لهذا السبب أ || ب.