الحركة الدورانية صلب. الحركة الدورانية هي حركة الجسم الصلب التي تظل جميع نقاطه الواقعة على خط مستقيم معين يسمى محور الدوران ثابتة.

أثناء الحركة الدورانية، تتحرك جميع نقاط الجسم الأخرى في مستويات متعامدة مع محور الدوران وتصف الدوائر التي تقع مراكزها على هذا المحور.

لتحديد موضع الجسم الدوار، نرسم نصفي مستويين عبر المحور z: نصف المستوى I - ثابت ونصف المستوى II - متصل بالجسم الصلب ويدور معه (الشكل 2.4). عندها سيتم تحديد موضع الجسم في أي لحظة بشكل فريد من خلال الزاوية يبين هذه المستويات النصفية، مأخوذة بالعلامة المقابلة، والتي تسمى زاوية دوران الجسم.

عندما يدور جسم فإن زاوية الدوران j تتغير حسب الزمن، أي أنها دالة للزمن t:

تسمى هذه المعادلة معادلةالحركة الدورانية لجسم صلب.

الخصائص الحركية الرئيسية للحركة الدورانية لجسم صلب هي سرعته الزاوية ث والتسارع الزاوي ه.

إذا كان خلال الوقت د ر= t1 + ريدور الجسم بمقدار Dj = j1 –j، فإن متوسط ​​السرعة الزاوية للجسم خلال هذه الفترة الزمنية سيكون مساويًا لـ

(1.16)

تحديد قيمة السرعة الزاوية لجسم عند لحظة معينة رلنجد حد نسبة زيادة زاوية الدوران Dj إلى الفاصل الزمني D رحيث أن الأخير يميل إلى الصفر:

(2.17)

وبالتالي، فإن السرعة الزاوية للجسم في وقت معين تساوي عدديًا المشتقة الأولى لزاوية الدوران بالنسبة إلى الزمن. إشارة السرعة الزاوية w تتزامن مع إشارة زاوية دوران الجسم j: w > 0 في ي > 0، والعكس صحيح إذا كان j < 0. ثم ث < 0. عادة ما يكون بُعد السرعة الزاوية 1/s، لذا فإن الراديان ليس له أبعاد.

يمكن تمثيل السرعة الزاوية كمتجه ث , قيمتها العددية تساوي dj/dt والتي يتم توجيهها على طول محور دوران الجسم في الاتجاه الذي يمكن من خلاله رؤية الدوران يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة.

يتميز التغير في السرعة الزاوية للجسم بمرور الوقت بالتسارع الزاوي e. وقياسا على إيجاد القيمة المتوسطة للسرعة الزاوية، سنجد تعبيرا لتحديد قيمة التسارع المتوسط:

(2.18)

ثم يتم تحديد تسارع الجسم الصلب في وقت معين من التعبير

(2.19)

أي أن التسارع الزاوي للجسم في زمن معين يساوي المشتقة الأولى للسرعة الزاوية أو المشتقة الثانية لزاوية دوران الجسم بالنسبة إلى الزمن. البعد التسارع الزاوي هو 1/ث 2.

يمكن تمثيل التسارع الزاوي لجسم صلب، مثل السرعة الزاوية، كمتجه. يتطابق متجه التسارع الزاوي في الاتجاه مع متجه السرعة الزاوية أثناء الحركة المتسارعة لقمة صلبة ويتم توجيهه نحو الجانب الآخرفي حركة بطيئة.

بعد تحديد خصائص حركة الجسم الصلب ككل، دعونا ننتقل إلى دراسة حركة نقاطه الفردية. دعونا نفكر في نقطة ما مجسم صلب يقع على مسافة h من محور الدوران r (الشكل 2.3).

عندما يدور الجسم، ستصف النقطة M نقطة دائرية نصف قطرها h تتمركز على محور الدوران وتقع في مستوى عمودي على هذا المحور. إذا حدث خلال الوقت dt جلد أولي للجسم بزاوية dj , ثم أشر مفي نفس الوقت يقوم بحركة أولية على طول مساره dS = h*dj ,. ثم تم تحديد سرعة النقطة M من التعبير

(2.20)

وتسمى السرعة بالسرعة الخطية أو المحيطية للنقطة M.

وبالتالي، فإن السرعة الخطية لنقطة ما على جسم صلب يدور تساوي عدديًا حاصل ضرب السرعة الزاوية للجسم والمسافة من هذه النقطة إلى محور الدوران. نظرًا لأن السرعة الزاوية لجميع نقاط الجسم w؛ له نفس القيمة، فمن صيغة السرعة الخطية يترتب على أن السرعات الخطية لنقاط الجسم الدوار تتناسب مع مسافاتها من محور الدوران. السرعة الخطية لنقطة جسم صلب هي متجه n موجه بشكل عرضي إلى الدائرة الموصوفة بالنقطة م.

بيلي المسافة من محور دوران الجسم الصلب إلى نقطة معينة مباعتباره متجه نصف القطر h للنقطة M، فيمكن تمثيل متجه السرعة الخطية للنقطة v كمنتج متجه لمتجه السرعة الزاوية ثناقل نصف القطر ح:

الخامس = ث * ح (21/2)

وبالفعل النتيجة منتج ناقلات(2.21) هو متجه يساوي حجم المنتج w*h وموجه (الشكل 2.5) عموديًا على المستوى الذي يقع فيه العاملان، في الاتجاه الذي يُلاحظ منه أقرب مزيج من العامل الأول مع الثاني أن يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة، أي مماس لمسار النقطة M.

وبالتالي، فإن المتجه الناتج عن منتج المتجه (2.21) يتوافق في الحجم والاتجاه مع متجه السرعة الخطية للنقطة M.

أرز. 2.5

للعثور على تعبير عن التسارع أالنقطة M نفرق بالنسبة للزمن التعبير (2.21) لسرعة النقطة

(2.22)

مع الأخذ في الاعتبار أن dj/dt=e، و dh/dt = v، نكتب التعبير (2.22) بالشكل

حيث аg وan هما، على التوالي، المكونان المماس والعادي للتسارع الكلي لنقطة الجسم أثناء الحركة الدورانية، ويتم تحديدهما من التعبيرات

يميز المكون العرضي للتسارع الكلي لنقطة الجسم (التسارع العرضي) التغير في حجم متجه السرعة ويتم توجيهه بشكل عرضي إلى مسار نقطة الجسم في اتجاه ناقل السرعة أثناء الحركة المتسارعة أو في الاتجاه المعاكس الاتجاه أثناء الحركة البطيئة. يتم تحديد حجم متجه التسارع العرضي لنقطة الجسم أثناء الحركة الدورانية لجسم صلب بواسطة التعبير

(2,25)

المكون الطبيعي للتسارع الكلي (التسارع العادي) أ"ينشأ بسبب التغير في اتجاه متجه السرعة لنقطة ما عند طلاء جسم صلب. كما يلي من التعبير (2.24) ل التسارع الطبيعييتم توجيه هذا التسارع على طول نصف القطر h إلى مركز الدائرة التي تتحرك عبرها النقطة. يتم تحديد معامل ناقل التسارع الطبيعي لنقطة ما أثناء الحركة الدورانية لجسم صلب مع مراعاة (2.20) بالتعبير

الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت هي الحركة التي تظل فيها أي نقطتين تابعتين للجسم (أو مرتبطتين به دائمًا) بلا حراك طوال الحركة(الشكل 2.2) .

الشكل 2.2

المرور عبر نقاط ثابتة أو فييسمى الخط المستقيم محور الدوران.وبما أن المسافة بين نقاط الجسم الصلب يجب أن تظل دون تغيير، فمن الواضح أنه أثناء الحركة الدورانية، ستكون جميع النقاط التي تنتمي إلى المحور ثابتة، وجميع النقاط الأخرى سوف تصف دوائر تكون مستوياتها متعامدة مع محور الدوران، وتقع المراكز على هذا المحور. لتحديد موضع جسم يدور، نرسم محور الدوران الذي يتجه عليه المحور من الألف إلى الياء، نصف مستوية І - ثابتة ونصف مستوية ІІ مغروسة في الجسم نفسه وتدور معه. ثم يتم تحديد موضع الجسم في أي لحظة بشكل فريد من خلال الزاوية المأخوذة بالعلامة المقابلة φ بين هذه الطائرات، والتي نسميها زاوية دوران الجسم.سننظر في الزاوية φ إيجابية إذا تأخرت من مستوى ثابت في اتجاه عكس عقارب الساعة (للمراقب الذي ينظر من الطرف الموجب للمحور من الألف إلى الياء)، وسالبًا إذا كان في اتجاه عقارب الساعة. قياس الزاوية φ سنكون في راديان. لمعرفة موضع الجسم في أي لحظة من الزمن، عليك أن تعرف مدى اعتماد الزاوية φ من وقت لآخر ر، أي.

.

تعبر هذه المعادلة قانون الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت.

الخصائص الحركية الرئيسية للحركة الدورانية لجسم صلب هي سرعته الزاوية ω والتسارع الزاوي ε.

9.2.1. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم

تسمى الكمية التي تميز معدل التغير في زاوية الدوران φ مع مرور الوقت بالسرعة الزاوية.

إذا خلال فترة من الزمن
الجسم يدور بزاوية
، فإن متوسط ​​السرعة الزاوية للجسم خلال هذه الفترة الزمنية سيكون
. في الحد عند
نحصل عليها

هكذا، القيمة العددية للسرعة الزاوية لجسم ما في وقت معين تساوي المشتقة الأولى لزاوية الدوران بالنسبة للزمن.

قاعدة الإشارة: عندما يحدث الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة، ω> 0، وعندما في اتجاه عقارب الساعة، ثم ω< 0.

أو، بما أن الراديان هو كمية بلا أبعاد،
.

في الحسابات النظرية يكون من الملائم أكثر استخدام متجه السرعة الزاوية ، الذي معامله يساوي والذي يتم توجيهه على طول محور دوران الجسم في الاتجاه الذي يظهر منه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة. يحدد هذا المتجه على الفور مقدار السرعة الزاوية ومحور الدوران واتجاه الدوران حول هذا المحور.

تسمى الكمية التي تميز معدل التغير في السرعة الزاوية مع مرور الوقت بالتسارع الزاوي للجسم.

إذا خلال فترة من الزمن
الزيادة في السرعة الزاوية تساوي
، ثم العلاقة
، أي. يحدد قيمة التسارع المتوسط ​​لجسم يدور مع مرور الزمن
.

عند السعي
نحصل على حجم التسارع الزاوي في الوقت الحالي ر:

هكذا، القيمة العددية للتسارع الزاوي لجسم ما في وقت معين تساوي المشتقة الأولى للسرعة الزاوية أو المشتقة الثانية لزاوية دوران الجسم في الزمن.

وعادة ما تستخدم وحدة القياس أو الذي هو أيضاً
.

إذا زاد معامل السرعة الزاوية مع الزمن، يسمى دوران الجسم تسارع، وإذا نقصت، - بطيءعندما القيم ω و ε لها نفس العلامات، فسيتم تسريع الدوران، عندما تكون مختلفة، سيتم إبطاءها. قياسًا على السرعة الزاوية، يمكن أيضًا تمثيل التسارع الزاوي كمتجه ، موجهة على طول محور الدوران. في نفس الوقت

.

إذا كان الجسم يدور في اتجاه متسارع يتزامن مع ، والعكس مع دوران بطيء.

إذا ظلت السرعة الزاوية لجسم ثابتة أثناء الحركة ( ω= ثابت)، ثم يسمى دوران الجسم زي مُوحد.

من
لدينا
. ومن ثم، مع الأخذ في الاعتبار أنه في اللحظة الأولى من الزمن
ركن
، وأخذ التكاملات على يسار ل وعلى اليمين من 0 إلى ر، سوف نحصل في النهاية

.

مع دوران موحد، متى =0,
و
.

غالبًا ما يتم تحديد سرعة الدوران المنتظم من خلال عدد الدورات في الدقيقة، مما يدل على هذه القيمة ن دورة في الدقيقة دعونا نجد العلاقة بين ن دورة في الدقيقة و ω 1/ث. مع ثورة واحدة سوف يدور الجسم بمقدار 2π، ومع ندورة في الدقيقة عند 2π ن; يتم هذا المنعطف في دقيقة واحدة، أي. ر= 1 دقيقة = 60 ثانية. ويترتب على ذلك أن

.

إذا ظل التسارع الزاوي لجسم ثابتا طوال حركته (ε = ثابت) ، ثم يتم استدعاء التدوير متغير على قدم المساواة.

في اللحظة الأولى من الزمن ر= 0 زاوية
، والسرعة الزاوية
(- السرعة الزاوية الأولية).
;
=ε
. دمج الجانب الأيسر من ل ، والصحيح من 0 إلى ر، سنجد

السرعة الزاويةω من هذا الدوران
. إذا كان ω و ε لهما نفس الإشارات، فسيكون الدوران تسارع بشكل موحد، وإذا كان مختلفا - بطيئة على قدم المساواة.

و سافيليفا.

أثناء الحركة الأمامية لجسم (الفقرة 60 في الكتاب المدرسي لـ E. M. Nikitin)، تتحرك جميع نقاطه على طول مسارات متماثلة وفي كل لحظة معينة يكون لها سرعات متساويةوتسارعات متساوية .

ولذلك، فإن الحركة الانتقالية للجسم تتحدد من خلال حركة أي نقطة واحدة، وعادة ما تكون حركة مركز الجاذبية.

عند النظر في حركة سيارة (مسألة 147) أو قاطرة ديزل (مسألة 141) في أي مسألة، فإننا في الواقع نأخذ في الاعتبار حركة مراكز ثقلهما.

لا يمكن تحديد الحركة الدورانية للجسم (E. M. Nikitin، § 61) بحركة أي نقطة من نقاطه. محور أي جسم دوار (دولاب الموازنة الديزل، دوار المحرك الكهربائي، مغزل الآلة، شفرات المروحة، إلخ) أثناء الحركة يحتل نفس المكان في الفضاء بالنسبة للأجسام الثابتة المحيطة.

حركة نقطة مادية أو حركة إلى الأمامتتميز الأجسام حسب الزمن الكميات الخطية s (المسار، المسافة)، v (السرعة)، و a (التسارع) بمكوناته a t و n.

الحركة الدورانيةالهيئات اعتمادا على الوقت ر تميز القيم الزاوية: φ (زاوية الدوران بالراديان)، ω (السرعة الزاوية بالراديان/ثانية) و ε (التسارع الزاوي بالراديان/الثانية 2).

يتم التعبير عن قانون الحركة الدورانية للجسم بالمعادلة
φ = و(ر).

السرعة الزاوية- الكمية التي تميز سرعة دوران الجسم تعرف في الحالة العامة بأنها مشتقة زاوية الدوران بالنسبة للزمن
ω = دφ/دت = و" (ر).

التسارع الزاوي- يتم تعريف الكمية التي تميز معدل تغير السرعة الزاوية على أنها مشتقة السرعة الزاوية
ε = dω/dt = f"" (ر).

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالحركة الدورانية للجسم، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه في الحسابات والمسائل الفنية، كقاعدة عامة، يتم التعبير عن الإزاحة الزاوية ليس بالراديان φ، ولكن بالثورات φ حول.

لذلك، من الضروري أن تكون قادرًا على الانتقال من عدد الثورات إلى قياس الراديان للإزاحة الزاوية والعكس.

منذ واحد بدوره الكامليتوافق مع 2π راد، إذن
φ = 2πφ حول و φ حول = φ/(2π).

يتم قياس السرعة الزاوية في الحسابات الفنية في كثير من الأحيان بالثورات المنتجة في الدقيقة (rpm)، لذلك من الضروري أن نفهم بوضوح أن ω rad/sec و n rpm يعبران عن نفس المفهوم - سرعة دوران الجسم (السرعة الزاوية)، ولكن بوحدات مختلفة - راد/ثانية أو دورة في الدقيقة.

يتم الانتقال من وحدة للسرعة الزاوية إلى وحدة أخرى وفقًا للصيغ
ω = πn/30 و n = 30ω/π.

أثناء الحركة الدورانية لجسم تتحرك جميع نقاطه في دوائر تقع مراكزها على خط مستقيم واحد ثابت (محور الجسم الدوار). عند حل المسائل الواردة في هذا الفصل، من المهم جدًا أن نفهم بوضوح العلاقة بين الكميات الزاوية φ و ω و ε، التي تميز الحركة الدورانية للجسم، والكميات الخطية s، v، a t و an، التي تميز حركة نقاط مختلفة من هذا الجسم (الشكل 205).

إذا كانت R هي المسافة من المحور الهندسي لجسم دوار إلى أي نقطة A (في الشكل 205 R=OA)، فإن العلاقة بين φ - زاوية دوران الجسم وs - المسافة التي تقطعها نقطة يتم التعبير عن الجسم في نفس الوقت على النحو التالي:
الصورة = φR.

يتم التعبير عن العلاقة بين السرعة الزاوية لجسم وسرعة نقطة ما في كل لحظة معينة بالمساواة
الخامس = ωR.

يعتمد التسارع العرضي لنقطة ما على التسارع الزاوي ويتم تحديده بواسطة الصيغة
ر = εR.

يعتمد التسارع الطبيعي لنقطة ما على السرعة الزاوية للجسم ويتم تحديده من خلال العلاقة
أ ن = ω 2 ر.

عند حل المشكلة الواردة في هذا الفصل، من الضروري أن نفهم بوضوح أن الدوران هو حركة جسم صلب، وليس نقطة. تؤخذ بشكل منفصل نقطة ماديةلا يدور، لكنه يتحرك في دائرة - يقوم بحركة منحنية.

§ 33. حركة دورانية موحدة

إذا كانت السرعة الزاوية هي ω=const، فإن الحركة الدورانية تسمى موحدة.

معادلة الدوران الموحدة لها الشكل
φ = φ 0 + ωt.

في الحالة الخاصة عندما تكون زاوية الدوران الأولية φ 0 =0،
φ = ωt.

السرعة الزاوية لجسم يدور بشكل منتظم
ω = φ/ر
يمكن التعبير عنها مثل هذا:
ω = 2π/T،
حيث T هي فترة دوران الجسم؛ φ=2π - زاوية الدوران لفترة واحدة.

§ 34. حركة دورانية موحدة

تسمى الحركة الدورانية ذات السرعة الزاوية المتغيرة بالحركة غير المستوية (انظر أدناه الفقرة 35). إذا كان التسارع الزاوي ε=const، فإن الحركة الدورانية تسمى متغير على قدم المساواة. وبالتالي، فإن الدوران المنتظم للجسم هو حالة خاصةحركة دورانية غير متساوية.

معادلة الدوران المنتظم
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
والمعادلة التي تعبر عن السرعة الزاوية لجسم في أي وقت،
(2) ω = ω 0 + εt
تمثل مجموعة من الصيغ الأساسية للحركة الدورانية المنتظمة للجسم.

تتضمن هذه الصيغ ستة كميات فقط: ثلاثة ثوابت لمسألة معينة φ 0 و ω 0 و ε وثلاثة متغيرات φ و ω و t. وبالتالي، فإن حالة كل مسألة للدوران الموحد يجب أن تحتوي على أربع كميات محددة على الأقل.

ولتسهيل حل بعض المسائل، يمكن الحصول على صيغتين مساعدتين أخريين من المعادلتين (1) و (2).

دعونا نستبعد التسارع الزاوي ε من (1) و (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

دعونا نستبعد الوقت t من (1) و (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

في حالة معينة من الدوران المتسارع بشكل منتظم بدءًا من حالة السكون، φ 0 = 0 و ω 0 = 0. ولذلك فإن الصيغ الأساسية والمساعدة المذكورة أعلاه تأخذ الشكل التالي:
(5) φ = εt 2 /2؛
(6) ω = εt؛
(7) φ = ωt/2؛
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. حركة دورانية غير متساوية

لنفكر في مثال لحل مشكلة يتم فيها تحديد الحركة الدورانية غير المنتظمة لجسم.

تقدميةهي حركة جسم صلب يظل فيها أي خط مستقيم متصل بهذا الجسم موازيًا لموضعه الأولي.

نظرية. أثناء الحركة الانتقالية لجسم صلب، تصف جميع نقاطه مسارات متطابقة، وفي كل لحظة لها سرعة وتسارع متساويان في الحجم والاتجاه.

دليل. دعونا نرسم من خلال نقطتين و ، جزء من الجسم يتحرك خطيا
والنظر في حركة هذا الجزء في الموقف
. وفي نفس الوقت النقطة يصف المسار
، ونقطة - المسار
(الشكل 56).

معتبرا أن هذا الجزء
يتحرك موازيا لنفسه، ولا يتغير طوله، فيمكن إثبات أن مسارات النقاط و سوف تكون هي نفسها. وهذا يعني أن الجزء الأول من النظرية قد تم إثباته. سنحدد موقف النقاط و طريقة المتجه نسبة إلى أصل ثابت . علاوة على ذلك، فإن أنصاف الأقطار هذه - المتجهات تعتمد
. لأن. لا طول ولا اتجاه الجزء
لا يتغير عندما يتحرك الجسم، ثم المتجه

. دعنا ننتقل إلى تحديد السرعات باستخدام الاعتماد (24):

، نحصل على
.

دعنا ننتقل إلى تحديد التسارع باستخدام الاعتماد (26):

، نحصل على
.

ويترتب على النظرية المثبتة أن الحركة الانتقالية لجسم سيتم تحديدها بالكامل إذا كانت حركة نقطة واحدة فقط معروفة. ولذلك فإن دراسة الحركة الانتقالية لجسم صلب تتلخص في دراسة حركة إحدى نقاطه، أي. إلى هذه النقطة الكينماتيكا المشكلة.

الموضوع 11. الحركة الدورانية للجسم الصلب

التناوبوهي حركة الجسم الصلب الذي تظل فيه نقطتان من نقاطه ساكنة طوال الحركة بأكملها. وفي هذه الحالة يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر هاتين النقطتين الثابتتين محور الدوران.

أثناء هذه الحركة، كل نقطة من الجسم لا تقع على محور الدوران تصف دائرة، مستواها متعامد على محور الدوران، ومركزها يقع على هذا المحور.

نرسم من خلال محور الدوران مستوى ثابت I ومستوى متحرك II، متصلين دائمًا بالجسم ويدوران معه (الشكل 57). يتم تحديد موضع المستوى II، وبالتالي الجسم بأكمله، بالنسبة إلى المستوى I في الفضاء، بالكامل من خلال الزاوية . عندما يدور الجسم حول محور هذه الزاوية هي وظيفة مستمرة لا لبس فيها للزمن. ولذلك، بمعرفة قانون تغير هذه الزاوية مع مرور الوقت، يمكننا تحديد موضع الجسم في الفضاء:

- قانون الحركة الدورانية للجسم. (43)

في هذه الحالة، سنفترض أن الزاوية تقاس من مستوى ثابت في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة، عند النظر إليها من الطرف الموجب للمحور . بما أن موضع الجسم الذي يدور حول محور ثابت يتحدد بمعامل واحد، يقال أن هذا الجسم يتمتع بدرجة واحدة من الحرية.

السرعة الزاوية

يسمى التغير في زاوية دوران الجسم مع مرور الوقت بالزاوي سرعة الجسم ويتم تعيينه
(أوميغا):

.(44)

السرعة الزاوية، تمامًا مثل السرعة الخطية، هي كمية متجهة، وهذا المتجه مبنية على محور دوران الجسم. ويتم توجيهه على طول محور الدوران في هذا الاتجاه بحيث يمكن للمرء، بالنظر من نهايته إلى بدايته، رؤية دوران الجسم عكس اتجاه عقارب الساعة (الشكل 58). يتم تحديد معامل هذا المتجه بالاعتماد (44). نقطة التطبيق على المحور يمكن اختياره بشكل تعسفي، حيث يمكن نقل المتجه على طول خط عمله. إذا كنا نشير إلى المتجه العمودي لمحور الدوران بواسطة ، ثم نحصل على التعبير المتجه للسرعة الزاوية:

. (45)

التسارع الزاوي

يسمى معدل التغير في السرعة الزاوية للجسم مع مرور الزمن التسارع الزاوي الجسم ويتم تعيينه (ابسيلون):

. (46)

التسارع الزاوي هو كمية متجهة، وهذا المتجه مبنية على محور دوران الجسم. يتم توجيهه على طول محور الدوران في هذا الاتجاه بحيث يمكن للمرء، بالنظر من نهايته إلى بدايته، رؤية اتجاه دوران الإبسيلون عكس اتجاه عقارب الساعة (الشكل 58). يتم تحديد معامل هذا المتجه بالاعتماد (46). نقطة التطبيق على المحور يمكن اختياره بشكل تعسفي، حيث يمكن نقل المتجه على طول خط عمله.

إذا كنا نشير إلى المتجه العمودي لمحور الدوران بواسطة ، ثم نحصل على التعبير المتجه للتسارع الزاوي:

. (47)

إذا كانت السرعة الزاوية والتسارع لهما نفس الإشارة، فإن الجسم يدور المعجل، وإذا كان مختلفا - ببطء. يظهر مثال على الدوران البطيء في الشكل. 58.

دعونا نفكر في حالات خاصة للحركة الدورانية.

1. الدوران الموحد:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. الدوران المتساوي:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

العلاقة بين المعلمات الخطية والزاوية

النظر في حركة نقطة تعسفية
الجسم الدوار. في هذه الحالة، سيكون مسار النقطة عبارة عن دائرة نصف قطرها
، تقع في مستوى عمودي على محور الدوران (الشكل 59، أ).

لنفترض أنه في لحظة من الزمن النقطة في موضعها
. لنفترض أن الجسم يدور في اتجاه إيجابي، أي. في اتجاه زيادة الزاوية . في لحظة من الزمن
النقطة سوف تتخذ موقفا
. دعونا نشير إلى القوس
. ولذلك، على مدى فترة من الزمن
لقد مرت هذه النقطة الطريق
. سرعتها المتوسطة ، ومتى
,
. ولكن، من الشكل. 59, ب، فمن الواضح أن
. ثم. أخيرا وصلنا

. (50)

هنا - السرعة الخطية للنقطة
. وكما تم الحصول عليه سابقًا، يتم توجيه هذه السرعة بشكل عرضي إلى المسار عند نقطة معينة، أي. مماس للدائرة.

وبالتالي، فإن وحدة السرعة الخطية (المحيطية) لنقطة جسم دوار تساوي ناتج القيمة المطلقة للسرعة الزاوية والمسافة من هذه النقطة إلى محور الدوران.

الآن دعونا نربط المكونات الخطية لتسارع نقطة ما بالمعلمات الزاوية.

,
. (51)

معامل التسارع العرضي لنقطة جسم صلب يدور حول محور ثابت يساوي حاصل ضرب التسارع الزاوي للجسم والمسافة من هذه النقطة إلى محور الدوران.

,
. (52)

معامل التسارع الطبيعي لنقطة من جسم صلب يدور حول محور ثابت يساوي حاصل ضرب مربع السرعة الزاوية للجسم والمسافة من هذه النقطة إلى محور الدوران.

ثم يأخذ التعبير عن التسارع الكلي للنقطة الصورة

. (53)

اتجاهات المتجهات ,,كما هو موضح في الشكل 59، V.

حركة مسطحةجسم صلب هي حركة تتحرك فيها جميع نقاط الجسم بشكل موازي لمستوى ثابت. أمثلة على هذه الحركة:

حركة أي جسم تنزلق قاعدته على مستوى ثابت معين؛

دحرجة عجلة على طول مقطع مستقيم من المسار (السكة).

نحصل على معادلات الحركة الطائرة. للقيام بذلك، فكر في شكل مسطح يتحرك في مستوى الورقة (الشكل 60). دعونا نربط هذه الحركة بنظام إحداثيات ثابت
ومع الشكل نفسه نقوم بتوصيل نظام الإحداثيات المتحرك
، الذي يتحرك معه.

من الواضح أن موضع الشكل المتحرك على المستوى الثابت يتحدد بموضع المحاور المتحركة
نسبة إلى المحاور الثابتة
. يتم تحديد هذا الموقف من خلال موضع الأصل المتحرك ، أي. الإحداثيات ,وزاوية الدوران ، نظام إحداثيات متحرك، ثابت نسبيًا، وسنحسبه من المحور في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة.

ولذلك الحركة شخصية مسطحةفي مستواه سيتم تعريفه بالكامل إذا كانت القيم معروفة في كل لحظة من الزمن ,,، أي. معادلات النموذج:

,
,
. (54)

المعادلات (54) هي معادلات الحركة المستوية لجسم صلب، لأنه إذا كانت هذه الوظائف معروفة، فيمكن العثور على كل لحظة من هذه المعادلات على التوالي ,,، أي. تحديد موضع شكل متحرك في لحظة معينة من الزمن.

دعونا نفكر في حالات خاصة:

1.

، فإن حركة الجسم ستكون انتقالية، حيث تتحرك المحاور المتحركة بينما تظل موازية لموضعها الأولي.

2.

,

. مع هذه الحركة، تتغير زاوية الدوران فقط ، أي. سوف يدور الجسم حول محور يمر عموديًا على مستوى الرسم عبر النقطة .

تحليل حركة الشكل المسطح إلى متعدية ودورانية

النظر في موقفين متتاليين و
يشغلها الجسم في لحظات من الزمن و
(الشكل 61). الجسم من الموقف إلى الموقف
يمكن نقلها على النحو التالي. دعونا نحرك الجسم أولا تدريجيا. في هذه الحالة، الجزء
سوف تتحرك بالتوازي مع نفسها إلى الموقف
وثم دعونا ننتقلجسم حول نقطة (قطب) بزاوية
حتى تتطابق النقاط و .

لذلك، يمكن تمثيل أي حركة مستوية كمجموع الحركة الانتقالية مع القطب المحدد والحركة الدورانية, نسبة إلى هذا القطب.

دعونا نفكر في الطرق التي يمكن استخدامها لتحديد سرعات نقاط الجسم التي تؤدي حركة مستوية.

1. طريقة القطب. تعتمد هذه الطريقة على التحلل الناتج للحركة المستوية إلى انتقالية ودورانية. يمكن تمثيل سرعة أي نقطة من الشكل المسطح في شكل مكونين: متعديين، بسرعة تساوي سرعة نقطة مختارة بشكل تعسفي -أقطاب ، والدوران حول هذا القطب.

لنفكر في الجسم المسطح (الشكل 62). معادلات الحركة هي:
,
,
.

ومن هذه المعادلات نحدد سرعة النقطة (كما في طريقة التنسيقالمهام)

,
,
.

وبالتالي سرعة النقطة - الكمية معروفة . نحن نأخذ هذه النقطة كقطب ونحدد سرعة نقطة عشوائية
الهيئات.

سرعة
سوف تتكون من مكون ترجمة ، عند التحرك مع النقطة ، والتناوب
، عند تدوير النقطة
نسبة إلى النقطة . سرعة النقطة انتقل إلى النقطة
موازيا لنفسه، لأنه أثناء الحركة الانتقالية، تكون سرعات جميع النقاط متساوية في الحجم والاتجاه. سرعة
سيتم تحديده حسب الاعتماد (50)
، ويتم توجيه هذا المتجه بشكل عمودي على نصف القطر
في اتجاه الدوران
. ناقل
سيتم توجيهه على طول قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و
، ويتم تحديد وحدتها من خلال التبعية:

, .(55)

2. نظرية إسقاطات السرعات لنقطتين من الجسم.

إن إسقاطات سرعتي نقطتين من جسم صلب على خط مستقيم يربط بين هاتين النقطتين تكون متساوية.

النظر في نقطتين من الجسم و (الشكل 63). أخذ نقطة وراء القطب، نحدد الاتجاه اعتمادا على (55):
. نعرض هذه المساواة المتجهة على الخط
والنظر في ذلك
عمودي
، نحصل على

3. مركز السرعة اللحظية.

مركز السرعة اللحظية(MCS) هي النقطة التي تكون سرعتها في وقت معين صفراً.

دعونا نبين أنه إذا لم يتحرك الجسم بشكل انتقالي، فإن مثل هذه النقطة موجودة في كل لحظة من الزمن، علاوة على ذلك، فهي فريدة من نوعها. اسمحوا في لحظة من الزمن نقاط و الجثث ملقاة في القسم ، لديها سرعات و ، غير متوازية مع بعضها البعض (الشكل 64). ثم أشر
، تقع عند تقاطع الخطوط المتعامدة مع المتجهات و ، وسيكون هناك MCS، منذ ذلك الحين
.

في الواقع، إذا افترضنا ذلك
ثم حسب النظرية (56) المتجه
يجب أن تكون متعامدة في نفس الوقت
و
وهو أمر مستحيل. ومن نفس النظرية يتضح أنه لا يوجد قسم آخر في هذه اللحظة من الزمن لا يمكن أن تكون سرعته مساوية للصفر.

باستخدام طريقة القطب
- القطب، تحديد سرعة النقطة (55): لأنه
,
. (57)

ويمكن الحصول على نتيجة مماثلة لأي نقطة أخرى من الجسم. ولذلك فإن سرعة أي نقطة على الجسم تساوي سرعة دورانها بالنسبة إلى MCS:

,
,
، أي. تتناسب سرعات نقاط الجسم مع مسافاتها إلى MCS.

من خلال الطرق الثلاثة المدروسة لتحديد سرعات النقاط ذات الشكل المسطح، من الواضح أن MCS هو الأفضل، حيث يتم تحديد السرعة هنا على الفور من حيث الحجم وفي اتجاه مكون واحد. ومع ذلك، يمكن استخدام هذه الطريقة إذا كنا نعرف أو نستطيع تحديد موضع MCS للجسم.

تحديد موقف MCS

1. إذا عرفنا في موضع معين من الجسم اتجاهات سرعتي نقطتين من الجسم، فإن MCS ستكون نقطة تقاطع الخطوط المتعامدة مع متجهات السرعة هذه.

2. إن سرعتي نقطتين من الجسم غير متوازيتين (الشكل 65، أ). في هذه الحالة، سيكون العمودي على السرعات مشتركًا، أي. يقع MCS في مكان ما على هذا العمودي. لتحديد موضع MCS، من الضروري توصيل نهايات نواقل السرعة. ستكون نقطة تقاطع هذا الخط مع العمودي هي MCS المرغوبة. في هذه الحالة، يقع MCS بين هاتين النقطتين.

3. سرعتا نقطتين من الجسم متوازيتان، لكنهما غير متساويتين في الحجم (الشكل 65، ب). يشبه إجراء الحصول على MDS الإجراء الموضح في الفقرة 2.

د) سرعتا نقطتين متساويتين من حيث الحجم والاتجاه (الشكل 65، V). نحصل على حالة الحركة الانتقالية اللحظية، حيث تكون سرعات جميع نقاط الجسم متساوية. وبالتالي فإن السرعة الزاوية للجسم في هذا الموضع تساوي صفرًا:

4. دعونا نحدد MCS لعجلة تدور دون الانزلاق على سطح ثابت (الشكل 65، ز). وبما أن الحركة تحدث دون انزلاق، فإن السرعة عند نقطة تلامس العجلة مع السطح ستكون هي نفسها وتساوي الصفر، لأن السطح ثابت. وبالتالي، فإن نقطة اتصال العجلة بسطح ثابت ستكون MCS.

تحديد تسارع نقاط الشكل المستوي

عند تحديد تسارع نقاط الشكل المسطح، هناك تشابه مع طرق تحديد السرعات.

1. طريقة القطب. تمامًا كما هو الحال عند تحديد السرعات، فإننا نتخذ كقطب نقطة اعتباطية من الجسم نعرف تسارعها أو يمكننا تحديدها. ثم تسارع أي نقطة من الشكل المسطح يساوي مجموع تسارع القطب وتسارع الحركة الدورانية حول هذا القطب:

في هذه الحالة المكون
يحدد تسارع نقطة ما أثناء دورانه حول القطب . عند الدوران، سيكون مسار النقطة منحني الأضلاع، مما يعني
(الشكل 66).

ثم يأخذ الاعتماد (58) الشكل
. (59)

مع الأخذ في الاعتبار التبعيات (51) و (52)، نحصل عليها
,
.

2. مركز التسريع الفوري.

مركز تسريع فوري(MCU) هي النقطة التي يكون تسارعها في وقت معين صفرًا.

دعونا نبين أنه في أي لحظة من الزمن توجد مثل هذه النقطة. نحن نأخذ نقطة كقطب ، الذي تسارع
نحن نعلم. إيجاد الزاوية ، الكذب في الداخل
، واستيفاء الشرط
. لو
، الذي - التي
والعكس صحيح، أي. ركن تأخر في الاتجاه . دعونا نؤجل من هذه النقطة بزاوية إلى المتجه
شريحة
(الشكل 67). النقطة التي حصلت عليها مثل هذه الإنشاءات
سيكون هناك MCU.

والواقع أن تسارع هذه النقطة
يساوي مجموع التسارع
أقطاب والتسارع
في حركة دورانية حول القطب :
.

,
. ثم
. ومن ناحية أخرى، التسارع
أشكال مع اتجاه الجزء
ركن
، الذي يفي بالشرط
. يتم وضع علامة الطرح أمام ظل الزاوية ، منذ التناوب
نسبة إلى القطب عكس اتجاه عقارب الساعة، والزاوية
يتم إيداعه في اتجاه عقارب الساعة. ثم
.

لذلك،
وثم
.

حالات خاصة لتحديد MCU

1.
. ثم
، وبالتالي فإن MCU غير موجود. في هذه الحالة، يتحرك الجسم بشكل متعدي، أي. السرعات والتسارعات لجميع نقاط الجسم متساوية.

2.
. ثم
,
. وهذا يعني أن MCU تقع عند تقاطع خطوط عمل تسارع نقاط الجسم (الشكل 68، أ).

3.
. ثم،
,
. وهذا يعني أن MCU تقع عند تقاطع الخطوط العمودية مع تسارع نقاط الجسم (الشكل 68، ب).

4.
. ثم
,

. وهذا يعني أن MCU تقع عند تقاطع الأشعة المرسومة على تسارع نقاط الجسم بزاوية (الشكل 68، V).

ومن الحالات الخاصة المدروسة يمكن أن نستنتج: إذا قبلنا هذه النقطة
خارج القطب، يتم تحديد تسارع أي نقطة من الشكل المسطح من خلال تسارع الحركة الدورانية حول MCU:

. (60)

حركة النقطة المعقدةهي حركة تشارك فيها نقطة ما في حركتين أو أكثر في نفس الوقت. مع هذه الحركة، يتم تحديد موضع النقطة بالنسبة للأنظمة المرجعية المتحركة والثابتة نسبيًا.

تسمى حركة نقطة بالنسبة للإطار المرجعي المتحرك الحركة النسبية لنقطة ما . نحن نتفق على الإشارة إلى معلمات الحركة النسبية
.

تسمى حركة تلك النقطة من النظام المرجعي المتحرك التي تتزامن معها النقطة المتحركة بالنسبة للنظام المرجعي الثابت حاليًا الحركة المحمولة للنقطة .
.

نحن نتفق على الإشارة إلى معلمات الحركة المحمولة تسمى حركة نقطة بالنسبة لإطار مرجعي ثابت مطلق (معقد) حركة النقطة
.

. نحن نتفق على الإشارة إلى معلمات الحركة المطلقة

وكمثال على الحركة المعقدة، يمكننا أن نعتبر حركة الشخص في مركبة متحركة (الترام). وفي هذه الحالة ترتبط حركة الإنسان بنظام الإحداثيات المتحرك – الترام، وبنظام الإحداثيات الثابتة – الأرض (الطريق). إذن، بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، فإن حركة الشخص بالنسبة إلى الترام هي حركة نسبية، والحركة مع الترام بالنسبة إلى الأرض متنقلة، وحركة الشخص بالنسبة إلى الأرض مطلقة.
سنحدد موضع النقطة
نصف القطر - المتجهات بالنسبة للحركة
وبلا حراك أنظمة الإحداثيات (الشكل 69). دعونا نقدم التدوين التالي:
- متجه نصف القطر يحدد موضع النقطة
,
;نسبة إلى نظام الإحداثيات المتحرك - متجه نصف القطر الذي يحدد موضع بداية نظام الإحداثيات المتحرك (النقطة );) (النقاط
- نصف القطر - المتجه الذي يحدد موضع النقطة
;
,.

نسبة إلى نظام الإحداثيات الثابتة

دعونا نحصل على الشروط (القيود) المقابلة للحركات النسبية والمحمولة والمطلقة.
1. عند النظر في الحركة النسبية، سنفترض أن هذه النقطة
التحركات نسبة إلى نظام الإحداثيات المتحرك
- نصف القطر - المتجه الذي يحدد موضع النقطة
ونظام الإحداثيات المتحرك نفسه

لا يتحرك.
ثم إحداثيات النقطة

,

,

.

سوف تتغير في الحركة النسبية، ولكن المتجهات العمودية لنظام الإحداثيات المتحرك لن تتغير في الاتجاه:
بالنسبة لنظام الإحداثيات المتحرك تكون ثابتة، وتتحرك النقطة مع نظام الإحداثيات المتحرك
ثابتة نسبيا
:

,

,

,.

3. مع الحركة المطلقة، تتحرك النقطة أيضًا نسبيًا
ومع نظام الإحداثيات
ثابتة نسبيا
:

ثم تكون عبارات السرعات، مع الأخذ في الاعتبار (27)، بالشكل

,
,

وبمقارنة هذه التبعيات، نحصل على التعبير عن السرعة المطلقة:
. (61)

لقد حصلنا على نظرية حول جمع سرعات نقطة في حركة معقدة: السرعة المطلقة لنقطة ما تساوي المجموع الهندسي لمكونات السرعة النسبية والمحمولة.

باستخدام الاعتماد (31)، نحصل على تعبيرات للتسارع:

,

وبمقارنة هذه التبعيات، نحصل على تعبير للتسارع المطلق:
.

لقد وجدنا أن التسارع المطلق لنقطة ما لا يساوي المجموع الهندسي لمكونات التسارع النسبية والمحمولة. دعونا نحدد عنصر التسارع المطلق بين قوسين في حالات خاصة.

1. الحركة الانتقالية المحمولة للنقطة
. في هذه الحالة، تتحرك محاور نظام الإحداثيات
التحرك في كل وقت بالتوازي مع أنفسهم، ثم.

,

,

,
,
,
، ثم
. أخيرا وصلنا

. (62)

إذا كانت الحركة المحمولة لنقطة ما متعدية، فإن التسارع المطلق للنقطة يساوي المجموع الهندسي للمكونات النسبية والمحمولة للتسارع.

2. الحركة المحمولة للنقطة غير متعدية. وهذا يعني أنه في هذه الحالة نظام الإحداثيات المتحرك
يدور حول محور الدوران اللحظي بسرعة زاوية (الشكل 70). دعونا نشير إلى النقطة الموجودة في نهاية المتجه خلال . ثم، باستخدام طريقة تحديد المتجه (15)، نحصل على متجه السرعة لهذه النقطة
.

على الجانب الآخر،
. وبمساواة الأطراف اليمنى لهذه المساواة المتجهة، نحصل على:
. بالمثل بالنسبة لمتجهات الوحدات المتبقية، نحصل على:
,
.

في الحالة العامة، التسارع المطلق لنقطة ما يساوي المجموع الهندسي لمكونات التسارع النسبي والانتقالي بالإضافة إلى حاصل الضرب المضاعف لمتجه السرعة الزاوية للحركة الانتقالية ومتجه السرعة الخطية للحركة النسبية.

يسمى المنتج المتجه المزدوج لمتجه السرعة الزاوية للحركة المحمولة ومتجه السرعة الخطية للحركة النسبية تسارع كوريوليس ويتم تعيينه

. (64)

يميز تسارع كوريوليس التغير في السرعة النسبية في حركة محمولةوالتغير في سرعة النقل في الحركة النسبية.

ترأس
وفقا لقاعدة المنتج المتجه. يتم توجيه متجه تسارع كوريوليس دائمًا بشكل عمودي على المستوى الذي تشكله المتجهات و ، بطريقة تنظر من نهاية المتجه
، انظر المنعطف ل ، من خلال أصغر زاوية، عكس اتجاه عقارب الساعة.

معامل تسارع كوريوليس يساوي.

دوران جسم صلب حول محور ثابت (محور الدوران)تسمى هذه الحركة التي تظل فيها نقاط الجسم الواقعة على محور الدوران ثابتة طوال فترة الحركة.

دع محور الدوران هو المحور الذي يمكن أن يكون له أي اتجاه في الفضاء. يتم اعتبار اتجاه واحد للمحور موجبًا (الشكل 28).

من خلال محور الدوران نرسم مستوى ثابت ومستوى متحرك متصلين بالجسم الدوار. دع كلا المستويين يتزامنان في اللحظة الأولى من الزمن. بعد ذلك، في اللحظة الزمنية، يمكن تحديد موضع المستوى المتحرك والجسم الدوار نفسه من خلال زاوية ثنائي السطوح بين المستويات والزاوية الخطية المقابلة بين الخطوط المستقيمة الموجودة في هذه المستويات والمتعامدة مع محور الدوران. تسمى الزاوية زاوية دوران الجسم.

يتم تحديد موضع الجسم بالنسبة للنظام المرجعي المحدد بالكامل في أي وقت إذا تم إعطاء المعادلة

أين توجد أي دالة زمنية قابلة للتمييز مرتين. تسمى هذه المعادلة معادلة دوران جسم صلب حول محور ثابت.

يتمتع الجسم الذي يدور حول محور ثابت بدرجة واحدة من الحرية، حيث يتم تحديد موضعه من خلال تحديد معلمة واحدة فقط - الزاوية.

تعتبر الزاوية موجبة إذا تم رسمها عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبة في الاتجاه المعاكس عند النظر إليها من اتجاه إيجابيمحاور مسارات نقاط الجسم أثناء دورانه حول محور ثابت هي دوائر تقع في مستويات متعامدة مع محور الدوران.

لتوصيف الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت، نقدم مفهومي السرعة الزاوية والتسارع الزاوي. السرعة الزاوية الجبرية للجسمفي أي لحظة من الزمن يسمى المشتق الأول بالنسبة إلى زمن زاوية الدوران في هذه اللحظة، أي. . وهي كمية موجبة عندما يدور الجسم عكس اتجاه عقارب الساعة، لأن زاوية الدوران تزداد مع الزمن، وسالبة عندما يدور الجسم في اتجاه عقارب الساعة، لأن زاوية الدوران تقل.

يتم الإشارة إلى وحدة السرعة الزاوية بواسطة . ثم

التسارع الزاوي الجبري للجسمويسمى المشتق الأول بالنسبة إلى زمن السرعة الجبرية، أي. المشتقة الثانية لزاوية الدوران. نشير إلى وحدة التسارع الزاوي بـ إذن

إذا كانت عند ، فإن السرعة الزاوية الجبرية تزداد بمرور الوقت، وبالتالي يدور الجسم بشكل متسارع في اللحظة الزمنية المعتبرة في الجانب الإيجابي(عكس اتجاه عقارب الساعة). عند و ، يدور الجسم بسرعة في الاتجاه السلبي. إذا كانت عند ، فلدينا دوران بطيء في الاتجاه الإيجابي. عندما يحدث دوران بطيء في الاتجاه السلبي.