Как да намерите тангенциално ускорение. Нормално ускорение

Изучаването на физиката започва с разглеждането на механичното движение. В общия случай телата се движат по криви траектории с променливи скорости. За тяхното описание се използва понятието ускорение. В тази статия ще разгледаме какво представляват тангенциалното и нормалното ускорение.

Кинематични величини. Скорост и ускорение във физиката

Кинематиката на механичното движение е дял от физиката, който се занимава с изучаването и описанието на движението на телата в пространството. Кинематиката работи с три основни величини:

изминато разстояние;
скорост;
ускорение.

При движение в кръг се използват подобни кинематични характеристики, които се свеждат до централния ъгъл на кръга.

Всеки е запознат с понятието скорост. Той показва скоростта на промяна на координатите на телата в движение. Скоростта винаги е насочена тангенциално към линията, по която се движи тялото (траектория). По-нататък ще означаваме линейната скорост с v¯, а ъгловата скорост с ω¯.

Ускорението е скоростта на изменение на величините v¯ и ω¯. Ускорението също е, но посоката му е напълно независима от вектора на скоростта. Ускорението винаги е насочено към силата, действаща върху тялото, което предизвиква промяна във вектора на скоростта. Ускорението за всеки тип движение може да се изчисли по формулата:

Колкото повече се променя скоростта през интервала от време dt, толкова по-голямо ще бъде ускорението.

Тангенциално и нормално ускорение

Да предположим, че материална точка се движи по някаква крива линия. Известно е, че в даден момент t неговата скорост е била равна на v¯. Тъй като скоростта е вектор, допирателна към траекторията, тя може да бъде представена в следната форма:

Тук v е дължината на вектора v¯, а u t ¯ е векторът на единичната скорост.

За да се изчисли векторът на пълното ускорение в момент t, е необходимо да се намери производната на скоростта по време. Ние имаме:

a¯ = dv¯ / dt = d (v × u t ¯) / dt

Тъй като модулът на скоростта и единичният вектор се променят с времето, използвайки правилото за намиране на производната на произведението на функциите, получаваме:

a¯ = dv / dt × u t ¯ + d (u t ¯) / dt × v

Първият член във формулата се нарича тангенциален или тангенциален компонент на ускорението, вторият член е нормално ускорение.

Тангенциално ускорение

Нека отново напишем формулата за изчисляване на тангенциалното ускорение:

a t ¯ = dv / dt × u t ¯

Това равенство означава, че тангенциалното (тангенциалното) ускорение е насочено по същия начин като вектора на скоростта във всяка точка от траекторията. Той числено определя промяната в модула на скоростта. Например при праволинейно движение то се състои само от тангенциална компонента. Нормалното ускорение за този тип движение е нула.

Причината за появата на стойността a t ¯ е въздействието на външна сила върху движещо се тяло.

В случай на въртене с постоянно ъглово ускорение α, тангенциалният компонент на ускорението може да се изчисли по следната формула:

Тук r е радиусът на въртене на разглеждания материална точка, за която се изчислява стойността a t.

Нормално или центростремително ускорение

Сега нека напишем втория компонент на общото ускорение отново:

a c ¯ = d (u t ¯) / dt × v

От геометрични съображения може да се покаже, че производната по време на единица, допирателна към траекторията на вектор, е равна на отношението на модула на скоростта v към радиуса r в момент t. Тогава изразът по-горе ще бъде записан така:

Тази формула за нормално ускорение показва, че за разлика от тангенциалния компонент, то не зависи от промените в скоростта, а се определя от квадрата на модула на самата скорост. Също така, c се увеличава с намаляване на радиуса на въртене при постоянна стойност на v.

Нормалното ускорение се нарича центростремително, защото е насочено от центъра на масата на въртящо се тяло към оста на въртене.

Причината за появата на това ускорение е централната компонента на силата, действаща върху тялото. Например, в случай на планети, въртящи се около нашето Слънце, центростремителната сила е гравитационно привличане.

Нормалното ускорение на тялото променя само посоката на скоростта. Не може да променя модула си. Този факт е важна разлика от тангенциалния компонент на пълното ускорение.

Тъй като центростремителното ускорение възниква винаги, когато векторът на скоростта се върти, то съществува и в случай на равномерно кръгово въртене, при което тангенциалното ускорение е нула.

На практика можете да усетите ефекта от нормалното ускорение, ако сте в колата, когато прави дълъг завой. В този случай пътниците се притискат срещу посоката на въртене на вратата на автомобила. Това явление е резултат от действието на две сили: центробежна (отместване на пътниците от местата им) и центростремителна (натиск върху пътниците от страната на вратата на автомобила).

Модул и посока на пълното ускорение

И така, открихме, че тангенциалната компонента на разглежданата физическа величина е насочена тангенциално към траекторията на движение. На свой ред нормалната компонента е перпендикулярна на траекторията в дадена точка. Това означава, че двата компонента на ускорението са перпендикулярни един на друг. Тяхната добавяне на вектордава вектора на пълното ускорение. Неговият модул може да се изчисли по следната формула:

a = √(a t 2 + a c 2)

Посоката на вектора a¯ може да се определи както спрямо вектора a t ¯, така и спрямо a c ¯. За да направите това, трябва да използвате подходящия тригонометрична функция. Например ъгълът между пълно и нормално ускорение е:

Решаване на задачата за определяне на центростремителното ускорение

Колело с радиус 20 cm се върти с ъглово ускорение 5 rad/s 2 за 10 секунди. Необходимо е да се определи нормалното ускорение на точки, разположени по периферията на колелото след определено време.

За решаване на задачата ще използваме формулата за връзката между тангенциалните и ъгловите ускорения. Получаваме:

Тъй като равномерно ускореното движение е продължило време t = 10 секунди, линейната скорост, придобита през това време, е равна на:

v = a t × t = α × r × t

Заместваме получената формула в съответния израз за нормално ускорение:

a c = v 2 / r = α 2 × t 2 × r

Остава да заменим известните стойности в това равенство и да запишем отговора: a c = 500 m/s 2.

Движението на материална точка по крива траектория винаги се ускорява, тъй като дори скоростта да не се променя като числова стойност, тя винаги променя посоката си.

Като цяло, ускорението по време на криволинейно движение може да бъде представено като векторна сума от тангенциално (или тангенциално) ускорение tи нормално ускорение п: =t+n-ориз. 1.4.

Тангенциалното ускорение характеризира скоростта на промяна на скоростта по модул.Стойността на това ускорение ще бъде:

Нормалното ускорение характеризира скоростта на промяна на скоростта в посока.Числената стойност на това ускорение, където р-радиус на контактната окръжност, т.е. окръжност, начертана през три безкрайно близки точки б¢ , А, Б, лежащ на кривата (фиг. 1.5). вектор пнасочена по нормалата към траекторията към центъра на кривината (центъра на оскулиращия кръг).

Числена стойност на пълното ускорение

където е ъгловата скорост.

където е ъгловото ускорение.

Ъгловото ускорение е числено равно на изменението на ъгловата скорост за единица време.

В заключение представяме таблица, която установява аналогия между линейните и ъгловите кинематични параметри на движението.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Кратък курс по физика

Министерство на образованието и науката на Украйна.. Одеска национална морска академия..

Ако имате нужда допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

Основни единици SI
Понастоящем Международната система единици - SI - е общоприета. Тази система съдържа седем основни единици: метър, килограм, секунда, мол, ампер, келвин, кандела и две допълнителни -

Механика
Механиката е наука за механичното движение на материалните тела и взаимодействията между тях, възникващи по време на този процес. Подмеханично движение

разбират промените във взаимния пол с течение на времето
Законите на Нютон

Динамиката е дял от механиката, който изучава движението на материални тела под въздействието на приложени към тях сили. Механиката се основава на законите на Нютон.
Първият закон на Нютон

Закон за запазване на импулса
Нека разгледаме извеждането на закона за запазване на импулса въз основа на втория и третия закон на Нютон.

Връзка между работа и изменение на кинетичната енергия
ориз. 3.3 Нека тяло с маса m се движи по оста x под

Връзка между работа и промяна в потенциалната енергия
ориз. 3.4 Ще установим тази връзка на примера на работата на гравитацията Закон за запазване на механичната енергияНека разгледаме затворена консервативна система от тела. Това означава, че системите не действат върху телата външни сили, А

вътрешни сили
са консервативни по природа.

Пълна механика
Сблъсъци

Нека разгледаме важен случай на взаимодействие на твърди тела - сблъсъци. Сблъсък (удар) е явлението на ограничена промяна в скоростите на твърди тела за много кратки периоди от време, когато те не са
Основен закон на динамиката на въртеливото движение

ориз. 4.3 За да изведете този закон, разгледайте най-простия случай
Закон за запазване на ъгловия момент Нека разгледаме изолирано тяло, т.е. тяло, върху което не действа външен момент на сила. Тогава Mdt = 0 и от (4.5) следва d(Iw)=0, т.е. Iw=конст. Ако една изолирана система се състои, въртящи се около ос, съвпадаща с оста на симетрия на тялото, минаваща през центъра на масата и съответстваща на най-големия собствен инерционен момент.

Обща характеристика на колебателните процеси. Хармонични вибрации
Трептенията са движения или процеси, които имат различна степен на повторяемост във времето. В технологията устройствата, използващиколебателни процеси

може да изпълнява оп
Трептения на пружинно махало

ориз. 6.1 Нека прикрепим към края на пружината тяло с маса m, което може
Енергия на хармонична вибрация

Нека сега разгледаме, използвайки примера на пружинно махало, процесите на промяна на енергията при хармонично трептене.
Очевидно общата енергия на пружинното махало е W=Wk+Wp, където кинетичната

Добавяне на хармонични вибрации от същата посока
Решаването на редица въпроси, по-специално добавянето на няколко трептения в една и съща посока, е значително улеснено, ако трептенията са изобразени графично, под формата на вектори в равнина. Получената

Затихващи трептения
В реални условия съпротивителните сили винаги присъстват в системи, които осцилират. В резултат на това системата постепенно изразходва енергията си за извършване на работа срещу съпротивителни сили и

Принудителни вибрации
В реални условия една осцилираща система постепенно губи енергия, за да преодолее силите на триене, така че трептенията се заглушават. За да бъдат трептенията незатихващи, е необходимо по някакъв начин

Еластични (механични) вълни
Процесът на разпространение на смущения в вещество или поле, придружен от пренос на енергия, се нарича вълна.

Еластични вълни - процесът на механично разпространение в еластична среда
Вълнова интерференция

Интерференцията е явлението наслагване на вълни от два кохерентни източника, в резултат на което се получава преразпределение на интензитета на вълната в пространството, т.е. възникват смущения
Стоящи вълни

Специален случай на интерференция е образуването на стоящи вълни. Стоящите вълни възникват от интерференцията на две противоположно разпространяващи се кохерентни вълни с еднаква амплитуда. Тази ситуация може да причини проблеми
Доплеров ефект в акустиката

Разпределение на молекулите по скорост
Фиг. 16.1 Нека приемем, че сме успели да измерим скоростите на всички

Барометрична формула
Помислете за поведението идеален газв полето на гравитацията. Както знаете, когато се издигате от повърхността на Земята, налягането на атмосферата намалява.

Нека намерим зависимостта на атмосферното налягане от надморската височина
Разпределение на Болцман

Нека изразим налягането на газа на височини h и h0 чрез съответния брой молекули на единица обем и u0, като приемем, че на различни височини T = const: P =
Първият закон на термодинамиката и приложението му към изопроцесите

Първият закон на термодинамиката е обобщение на закона за запазване на енергията, като се вземат предвид топлинните процеси. Неговата формула: количеството топлина, предадено на системата, се изразходва за извършване на работа
Брой степени на свобода. Вътрешна енергия на идеален газ

Броят на степените на свобода е броят на независимите координати, които описват движението на тялото в пространството. Материалната точка има три степени на свобода, тъй като когато се движи в p
Адиабатен процес

Адиабатът е процес, който протича без топлообмен с околната среда.
В адиабатен процес dQ = 0, следователно първият закон на термодинамиката във връзка с този процес е

Обратими и необратими процеси. Кръгови процеси (цикли). Принцип на работа на топлинен двигател
Процеси, които отговарят на следните условия, се наричат обратими.

1. След преминаване през тези процеси и връщане на термодинамичната система в първоначалното й състояние в
Идеален топлинен двигател на Карно

ориз. 25.1 През 1827 г. френският военен инженер S. Carnot, re
Втори закон на термодинамиката Първият закон на термодинамиката, който е обобщение на закона за запазване на енергията, като се вземат предвид топлинните процеси, не показва посоката на протичане на различни процеси в природата. Да, първоНевъзможен е процес, чийто единствен резултат би бил предаването на топлина от студено тяло към горещо

В хладилната машина топлината се предава от студено тяло (фризер) към по-топло.
среда

. Това изглежда противоречи на втория закон на термодинамиката. Наистина против
Ентропия Нека сега въведем нов параметър на състоянието на една термодинамична система - ентропията, която коренно се различава от другите параметри на състоянието по посоката на нейното изменение. Елементарно предателствоДискретност на електрическия заряд. Закон за запазване на електрическия заряд Източник - електростатично полена елементарна частица, което определя способността й да влиза в електромагнитни взаимодействия.

Енергия на електростатичното поле
Нека първо намерим енергията на зареден плосък кондензатор. Очевидно тази енергия е числено равна на работата, която трябва да се извърши, за да се разреди кондензаторът.

Основни характеристики на тока
Електрическият ток е подредено (насочено) движение на заредени частици. Силата на тока е числено равна на преминаващия заряднапречно сечение

проводник на единица
Закон на Ом за хомогенен участък от верига

Част от веригата, която не съдържа източник на ЕМП, се нарича хомогенна.
Ом експериментално установи, че силата на тока в хомогенна секция на веригата е пропорционална на напрежението и обратно пропорционална

Закон на Джаул-Ленц
Джаул и, независимо от него, Ленц експериментално установяват, че количеството топлина, отделено в проводник със съпротивление R за време dt, е пропорционално на квадрата на тока, съпротивителен Правилата на Кирхофориз. 39.1 За изчисление

сложни вериги
DC използване

Контактна потенциална разлика
Ако два различни метални проводника бъдат поставени в контакт, тогава електроните могат да се преместят от един проводник в друг и обратно. Равновесното състояние на такава система

Ефект на Seebeck
ориз. 41.1 В затворена верига от два различни метала на g Ефект на ПелтиеВторото термоелектрично явление - ефектът на Пелтие - е това при преминаване

електрически ток

чрез контакта на два различни проводника в него възниква освобождаване или абсорбция

Видове ускорения в сервизи.

И така, ние показахме, че има два вида измерими скорости. Освен това скоростта, измерена в същите единици, също е много интересна. При малки стойности всички тези скорости са равни. Колко ускорения има? Какво ускорение трябва да бъде константа по време на равномерно ускорено движение на релативистична ракета, така че астронавтът винаги да упражнява една и съща сила върху пода на ракетата, така че да не стане безтегловен или за да не умре от претоварване?Нека въведем определения

различни видовеускорения. Координатно ускорение d v/dt е промяната координатна скорост

, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорениекоординатен часовник d/dt=d 2

r Координатно ускорение/dt 2 . Координатно ускорениеГледайки напред, отбелязваме, че d Координатно ускорение/dt = 1 d

/dt = g 0 dускорения. Координатно ускорение d /dt.Координатно-естествено ускорение координирам

, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорениескорост, измерена от dсобствен часовник d/dt=d 2
, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорение/dt=d(d Координатно ускорение/dt = 1 d

/dt)/dt = gd 2ускорения. /dt = g 1 d d Правилно координатно ускорение b координатна скоростсобствени

, измерено чрез синхронизирано /dt = g 1 dскорост, измерена от синхрон d/dt)/dt = g 3 Координатно ускорение(Координатно ускорение, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорение/dt)/c 2 + gd Координатно ускорение/dt.
Ако Координатно ускорение|| d Координатно ускорение/dt, след това d /dt = g 1 d/dt = g 3 d Координатно ускорение/dt = 1 d
Ако Координатно ускорениеперпендикулярно на d Координатно ускорение/dt, след това d /dt = g 1 d/dt = gd Координатно ускорение/dt = 1 d

Правилно собствено ускорение, измерено чрез синхронизирано /dt = g 1 d d Правилно координатно ускорениескорост, измерена от координирамсвързани с движещо се тяло:

, измерено чрез синхронизирано /dt = g 1 dскорост, измерена от синхрон d/dt)/dt = g 4 Координатно ускорение(Координатно ускорение, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорение/dt)/c 2 + g 2 d Координатно ускорение/dt.
Ако Координатно ускорение|| d Координатно ускорение/dt, тогава /dt = g 1 d/dt = g 4 d Координатно ускорение/dt = 1 d
Ако Координатно ускорениеперпендикулярно на d Координатно ускорение/dt, след това d /dt = g 1 d/dt = g 2 d Координатно ускорение/dt = 1 d

Сравнявайки показателите за коефициента g в четирите вида ускорения, изписани по-горе, забелязваме, че в тази група няма член с коефициент g 2 за успоредни ускорения. Но все още не сме взели производни на скоростта. Това също е скорост. Нека вземем времевата производна на скоростта, използвайки формулата v/c = th(r/c):

dr/dt = (c·arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

И ако вземем dr/dt, получаваме:

dr/dt = g 3 dv/dt,

или dr/dt = db/dt.

Следователно имаме две измерими скорости Координатно ускорениеи /dt = g 1 d, и още една, неизмерима, но най-симетрична, скорост r. И шест вида ускорения, два от които dr/dt и db/dt са еднакви. Кое от тези ускорения е правилно, т.е. възприемано ускоряващо се тяло?

Ще се върнем към нашето собствено ускорение по-долу, но засега нека разберем какво ускорение е включено във втория закон на Нютон. Както е известно, в релативистката механика вторият закон на механиката е написан във формата f=m асе оказва погрешно. Вместо това силата и ускорението са свързани с уравнението

f= m(g 3 Координатно ускорение(ва)/c 2 + g а),

което е основа за инженерни изчисления на релативистични ускорители. Ако сравним това уравнение с уравнението, което току-що получихме за ускорението d /dt = g 1 d/dt:

, измерено чрез синхронизирано /dt = g 1 d/dt = g 3 Координатно ускорение(Координатно ускорение, измерено чрез синхронизирано Координатно ускорение/dt)/c 2 + gd Координатно ускорение/dt

тогава отбелязваме, че те се различават само по фактора m. Тоест можем да напишем:

f= m d /dt = g 1 d/dt = 1 d

Последното уравнение връща масата до статута на мярка за инерция в релативистката механика. Силата, действаща върху тялото, е пропорционална на ускорението d /dt = g 1 d/dt. Коефициентът на пропорционалност е инвариантната маса. Силови вектори fи ускорение d /dt = g 1 d/dt са съпосочни за всяка векторна ориентация Координатно ускорениеи а, или /dt = g 1 dи d /dt = g 1 d/dt = 1 d

Формула, написана като ускорение d Координатно ускорение/dt не дава такава пропорционалност. Силата и координатно-координатното ускорение обикновено не съвпадат по посока. Те ще бъдат успоредни само в два случая: ако векторите Координатно ускорение andd Координатно ускорение/dt са успоредни един на друг, а ако са перпендикулярни един на друг. Но в първия случай силата f= mg 3 d Координатно ускорение/dt, а във втория - f=mgd Координатно ускорение/dt = 1 d

Така че в закона на Нютон трябва да използваме ускорението d /dt = g 1 d/dt, тоест промяна Правилно координатно ускорениескорост /dt = g 1 d, измерено със синхронизирани часовници.

Може би със същия успех ще бъде възможно да се докаже това f= md d/dt, където d d/dt е векторът на собственото ускорение, но скоростта е неизмерима величина, въпреки че лесно се изчислява. Не мога да кажа дали векторното равенство ще бъде вярно, но скаларното равенство е вярно поради факта, че dr/dt=db/dt и f=мд /dt = g 1 d/dt = 1 d

Ускорениее величина, която характеризира скоростта на изменение на скоростта.

Например, когато колата тръгне, тя увеличава скоростта си, тоест се движи по-бързо. Първоначално скоростта му е нула. След като се движи, колата постепенно ускорява до определена скорост. Ако по пътя му светне червен светофар, колата ще спре. Но няма да спре веднага, а след време. Тоест скоростта му ще намалее до нула - колата ще се движи бавно, докато спре напълно. Във физиката обаче няма термин „забавяне“. Ако едно тяло се движи, забавяйки се, това също ще бъде ускорение на тялото, само със знак минус (както си спомняте, скоросте векторна величина).

Средно ускорение

Средно ускорение> е отношението на промяната в скоростта към периода от време, през който е настъпила тази промяна. Средното ускорение може да се определи по формулата:

къде - вектор на ускорение.

Посоката на вектора на ускорението съвпада с посоката на промяна на скоростта Δ = - 0 (тук 0 е начална скорост, тоест скоростта, с която тялото започва да се ускорява).

В момент t1 (виж фиг. 1.8) тялото има скорост 0. В момент t2 тялото има скорост. Според правилото за векторно изваждане намираме вектора на промяна на скоростта Δ = - 0. Тогава можете да определите ускорението по следния начин:

ориз. 1.8. Средно ускорение.

В SI единица за ускорение– е 1 метър в секунда в секунда (или метър в секунда на квадрат), т.е

Един метър в секунда на квадрат е равен на ускорението на точка, движеща се по права линия, при което скоростта на тази точка нараства с 1 m/s за една секунда. С други думи, ускорението определя колко се променя скоростта на тялото за една секунда. Например, ако ускорението е 5 m/s2, това означава, че скоростта на тялото се увеличава с 5 m/s всяка секунда.

Незабавно ускорение

Моментно ускорение на тяло (материална точка)в този момент във времето е физическо количество, равна на границата, към която клони средното ускорение, когато интервалът от време клони към нула. С други думи, това е ускорението, което тялото развива за много кратък период от време:

Посоката на ускорението също съвпада с посоката на промяна на скоростта Δ за много малки стойности на интервала от време, през който се извършва промяната на скоростта. Векторът на ускорението може да бъде определен чрез проекции върху съответните координатни оси в дадена отправна система (проекции a X, a Y, a Z).

При ускорено праволинейно движение скоростта на тялото нараства по абсолютна стойност, т.е

V 2 > v 1

и посоката на вектора на ускорението съвпада с вектора на скоростта 2.

Ако скоростта на едно тяло намалее по абсолютна стойност, т.е

V 2< v 1

тогава посоката на вектора на ускорението е противоположна на посоката на вектора на скоростта 2. С други думи, в този случай това, което се случва, е забавяне, в този случай ускорението ще бъде отрицателно (и< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

ориз. 1.9. Незабавно ускорение.

При движение по крива пътека се променя не само модулът на скоростта, но и посоката му. В този случай векторът на ускорението е представен като два компонента (вижте следващия раздел).

Тангенциално ускорение

Тангенциално (тангенциално) ускорение– това е компонентът на вектора на ускорението, насочен по допирателната към траекторията в дадена точка от траекторията на движение. Тангенциалното ускорение характеризира промяната на скоростта по модул по време на криволинейно движение.

ориз. 1.10. Тангенциално ускорение.

Посоката на вектора на тангенциалното ускорение τ (виж фиг. 1.10) съвпада с посоката на линейната скорост или е противоположна на нея. Тоест векторът на тангенциалното ускорение лежи на една и съща ос с допирателната окръжност, която е траекторията на тялото.

Нормално ускорение

Нормално ускорениее компонентът на вектора на ускорението, насочен по нормалата към траекторията на движение в дадена точка от траекторията на тялото. Тоест векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на линейната скорост на движение (виж фиг. 1.10). Нормалното ускорение характеризира промяната на скоростта по посока и се обозначава с буквата n. Векторът на нормалното ускорение е насочен по радиуса на кривината на траекторията.

Пълно ускорение

Пълно ускорениепо време на криволинейно движение се състои от тангенциални и нормални ускорения векторно правило за добавянеи се определя по формулата:

(според Питагоровата теорема за правоъгълен правоъгълник).

Определя се и посоката на пълното ускорение векторно правило за добавяне:

= τ + n

Координатни (линейни, ъглови).

2) Преместване ( ) – вектор, свързващ началната точка на траекторията с крайната точка.

3) Път ( ) – разстояние, изминато от тялото от отправна точкадо окончателния.

4) Линейна скорост:

4.1) Незабавно.

Скорост(моментна скорост) на движение е векторна величина, равна на съотношението на малко движение към безкрайно малък период от време, през който това движение се извършва

В проекции: U x =

4.2) Средно

Средна (земна) скоросте отношението на дължината на пътя, изминат от тялото, към времето, през което този път е изминат:

Земна скорост:

Средно земна скорост, за разлика от моментна скоростне е векторна величина.

Можете също да влезете средна скорост на движение, който ще бъде вектор, равен на съотношението на движението към времето, през което е извършено:

Скорост на пътуване:

Средна скорост в общ изглед:

5) Линейно ускорение:

5.1) Незабавно

Незабавно ускорениесе нарича векторно количество, равно на съотношението на малка промяна в скоростта към малък период от време, през който е настъпила тази промяна:

Ускорението характеризира скоростта на вектора в дадена точка на пространството.

5.2) Средно

Средно ускорениее отношението на промяната в скоростта към периода от време, през който е настъпила тази промяна. Средното ускорение може да се определи по формулата:

;

Промяна на скоростта:

Нормални и тангенциални компоненти на ускорението.

Посоката на вектора на тангенциалното ускорение τ) съвпада с посоката на линейната скорост или е противоположна на нея. Тоест векторът на тангенциалното ускорение лежи на една и съща ос с допирателната окръжност, която е траекторията на тялото.

Нормално ускорениее компонентът на вектора на ускорението, насочен по нормалата към траекторията на движение в дадена точка от траекторията на тялото. Тоест векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на линейната скорост на движение. Нормалното ускорение характеризира промяната на скоростта по посока и се обозначава с буквата n. Векторът на нормалното ускорение е насочен по радиуса на кривината на траекторията.

Въпрос 2. Описание на движението на материална точка (специални случаи: равномерно движение в окръжност, праволинейно равномерно движение, равномерно движение в окръжност).

Равномерно движение в кръг.

Равномерно движение около кръг- Това най-прост пример криволинейно движение. Например краят на стрелката на часовника се движи в кръг около циферблата. Скоростта на движение на тялото в кръг се нарича линейна скорост.

При равномерно движениена тяло по окръжност модулът на скоростта на тялото не се променя с времето, т.е. v (ve) = const и се променя само посоката на вектора на скоростта. Тангенциално ускорениев този случай отсъства (a r = 0), а промяната на вектора на скоростта по посока се характеризира с величина, наречена центростремително ускорениеи CS. Във всяка точка траекториивекторът на центростремителното ускорение е насочен към центъра на окръжността по радиуса.

Модулът на центростремителното ускорение е равен на
a CS = v 2 / R
Където v е линейна скорост, R е радиусът на окръжността

Когато описваме движението на тяло в окръжност, използваме радиус ъгъл на завъртане– ъгъл φ, на който радиусът се завърта за време t. Ъгълът на завъртане се измерва в радиани.

Ъглова скоростравномерното движение на тялото в кръг е стойността ω, равна на съотношението на ъгъла на въртене на радиуса φ към периода от време, през който се извършва това въртене:
ω = φ / t
Единицата за измерване на ъгловата скорост е радиан за секунда [rad/s]

Линейна скоростс равномерно движение около окръжност, тя е насочена по допирателна в дадена точка от окръжността.

v = = = Rω или v = Rω

Период на обръщение– това е периодът от време T, през който тялото (точката) прави един оборот по окръжността. Честота– това е реципрочната стойност на периода на въртене – броят обороти за единица време (в секунда). Честотата на циркулация се обозначава с буквата n.
n=1/T

T = 2π/ω
Тоест ъгловата скорост е равна на

ω = 2π / T = 2πn
Центростремително ускорениеможе да се изрази като период T и честота на циркулация n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Дадени са основните формули на кинематиката на материална точка, тяхното извеждане и представяне на теорията.

Съдържание

Вижте също: Пример за решаване на задача (координатен метод за определяне на движението на точка)

Основни формули за кинематиката на материална точка

Нека представим основните формули на кинематиката на материална точка. След което ще дадем тяхното заключение и представяне на теорията.

Радиус вектор на материалната точка M в правоъгълната координатна система Oxyz:
,
където са единични вектори (ортове) по посока на осите x, y, z.

Точкова скорост:
;
.
.
Единичен вектор в посоката, допирателна към траекторията на точка:
.

Точка на ускорение:
;
;
;
; ;

Тангенциално (тангенциално) ускорение:
;
;
.

Нормално ускорение:
;
;
.

Единичен вектор, насочен към центъра на кривината на траекторията на точката (по главната нормала):
.

Радиус вектор и точкова траектория

Нека разгледаме движението на материалната точка М. Да изберем стационаренправоъгълна система координира Oxyz с център в някаква фиксирана точка O.Тогава позицията на точка M се определя еднозначно от нейните координати

(x, y, z)
,
.

Когато една точка се движи, координатите се променят с времето.
(1)
Тоест те са функции на времето. След това системата от уравненияможе да се разглежда като уравнение на дадена крива

параметрични уравнения

. Такава крива е траекторията на точка.

Траекторията на материална точка е линията, по която се движи точката.
,
Ако точката се движи в равнина, тогава осите и координатните системи могат да бъдат избрани така, че да лежат в тази равнина. Тогава траекторията се определя от две уравнения

В някои случаи времето може да бъде елиминирано от тези уравнения.

Тогава уравнението на траекторията ще има формата:

къде е някаква функция. Тази зависимост съдържа само променливите и . Не съдържа параметъра.

Скорост на материална точка
,
Скоростта на материална точка е производната на нейния радиус вектор по отношение на времето.

,
Според определението за скорост и определението за производна:
,
,

В механиката производните по отношение на времето се означават с точка над символа. Нека заместим тук израза за радиус вектора:
.

където ясно сме посочили зависимостта на координатите от времето. Получаваме:
.
Къде
.

- проекции на скоростта върху координатните оси. Те се получават чрез диференциране на компонентите на радиус вектора по време

Така Модул за скорост:Допирателна към пътя
.
От математическа гледна точка системата от уравнения (1) може да се разглежда като уравнение на линия (крива), дефинирана от параметрични уравнения. Времето в това отношение играе ролята на параметър. От курса математически анализ.

известно е, че векторът на посоката на допирателната към тази крива има следните компоненти:
Но това са компонентите на вектора на скоростта на точката. това е
;
;
.
скоростта на материалната точка е насочена тангенциално към траекторията

Всичко това може да се демонстрира директно. Нека в момента точката е в позиция с радиус вектор (виж фигурата). И в момента - в позиция с радиус вектора.
.
Нека начертаем права линия през точките.
По дефиниция допирателната е права линия, към която правата клони като .

Нека въведем следната нотация: Тогава векторът се насочва по правата линия.:
.
Когато се стреми, правата линия се стреми към допирателната, а векторът се стреми към скоростта на точката в момента:
Тъй като векторът е насочен по правата линия, а правата линия към , векторът на скоростта е насочен по допирателната.
.

Тогава векторът на скоростта на точката може да бъде представен като:
.

Ускорение на материална точка

Ускорението на материална точка е производната на нейната скорост по отношение на времето.

Подобно на предишния, получаваме компонентите на ускорението (проекции на ускорението върху координатните оси):
;
;
;
.
Модул за ускоряване:
.

Тангенциално (допирателно) и нормално ускорение

Сега разгледайте въпроса за посоката на вектора на ускорението по отношение на траекторията. За целта прилагаме формулата:
.
Ние го диференцираме по отношение на времето, като използваме правилото за диференциране на продукта:
.

Векторът е насочен тангенциално към траекторията. В каква посока е насочена неговата производна по време?

За да отговорим на този въпрос, използваме факта, че дължината на вектора е постоянна и равна на единица. Тогава квадратът на неговата дължина също е равен на едно:
.
Тук и по-долу два вектора в скоби означават скаларното произведение на векторите. Нека диференцираме последното уравнение по отношение на времето:
;
;
.
Тъй като скаларното произведение на векторите и е равно на нула, тези вектори са перпендикулярни един на друг. Тъй като векторът е насочен допирателна към траекторията, векторът е перпендикулярен на допирателната.

Първият компонент се нарича тангенциално или тангенциално ускорение:
.
Вторият компонент се нарича нормално ускорение:
.
Тогава общото ускорение е:
(2) .
Тази формула представлява разлагането на ускорението на две взаимно перпендикулярни компоненти - допирателна към траекторията и перпендикулярна към допирателната.

От тогава
(3) .

Тангенциално (тангенциално) ускорение

Нека умножим двете страни на уравнението (2) скалар до:
.
Защото тогава.
;
.
Тогава
.
Тук поставяме:

От това можем да видим, че тангенциалното ускорение е равно на проекцията на пълното ускорение върху посоката на допирателната към траекторията или, което е същото, върху посоката на скоростта на точката.

Тангенциалното (тангенциалното) ускорение на материална точка е проекцията на нейното пълно ускорение върху посоката на допирателната към траекторията (или към посоката на скоростта).

Използваме символа, за да обозначим вектора на тангенциалното ускорение, насочен по допирателната към траекторията. Тогава е скаларна величина, равна на проекцията на пълното ускорение върху посоката на тангентата. Тя може да бъде както положителна, така и отрицателна.
.

Замествайки , имаме:
.
Нека го поставим във формулата:
.
След това: Тоест тангенциалното ускорение е равно на производната по време на абсолютната скорост на точката. по този начин. С увеличаване на скоростта тангенциалното ускорение е положително (или насочено по скоростта). Когато скоростта намалява, тангенциалното ускорение е отрицателно (или в посока, обратна на скоростта).

Сега нека разгледаме вектора.

Да разгледаме единичен вектор, допирателен към траекторията.
.

Нека поставим началото му в началото на координатната система. Тогава краят на вектора ще бъде върху сфера с единичен радиус. Когато една материална точка се движи, краят на вектора ще се движи по тази сфера. Тоест ще се върти около началото си. Нека е моментната ъглова скорост на въртене на вектора в момента от време.
.
Тогава неговата производна е скоростта на движение на края на вектора. Той е насочен перпендикулярно на вектора.

Нека приложим формулата за въртеливо движение. Векторен модул:
.
Сега разгледайте позицията на точката за два близки момента във времето. Нека точката е в позиция в момента на времето и в позиция в момента на времето.

Нека и са единични вектори, насочени тангенциално към траекторията в тези точки. През точките и начертаваме равнини, перпендикулярни на векторите и .

Нека и са единични вектори, насочени тангенциално към траекторията в тези точки. През точките и начертаваме равнини, перпендикулярни на векторите и .

Нека е права линия, образувана от пресичането на тези равнини. От точка спускаме перпендикуляр към права линия.
Ако позициите на точките са достатъчно близки, тогава движението на точката може да се разглежда като въртене по окръжност с радиус около оста, която ще бъде моментната ос на въртене на материалната точка. Тъй като векторите и са перпендикулярни на равнините и, ъгълът между тези равнини е равен на ъгъла между векторите и.
;
.
Тогава моментната скорост на въртене на точката около оста е равна на моментната скорост на въртене на вектора:
.

Ето разстоянието между точки и . (2) Така намерихме модула на времевата производна на вектора:
(4) .
Както посочихме по-рано, векторът е перпендикулярен на вектора. (3) От горните разсъждения става ясно, че тя е насочена към моментния център на кривината на траекторията. Тази посока се нарича главна нормала.
.

Нека умножим двете страни на уравнението (2) скалар до:
(2) .
.
Защото тогава.
;
.
Нормално ускорение

Нормалното ускорение на материална точка е проекцията на нейното пълно ускорение върху посоката, перпендикулярна на допирателната към траекторията.

Да заместим.
.
Тогава

Тоест нормалното ускорение предизвиква промяна в посоката на скоростта на дадена точка и е свързано с радиуса на кривината на траекторията.
.

От тук можете да намерите радиуса на кривина на траекторията: (4) И в заключение отбелязваме, че формулата
.
може да се пренапише, както следва: Тук сме приложили формулата завекторен продукт
,
три вектора:
.

които рамкираха
;
.
Така че имаме:
.
Нека приравним модулите на лявата и дясната част:
.
Но векторите също са взаимно перпендикулярни. Ето защо
.
Тогава товаизвестна формула

от диференциалната геометрия за кривината на крива.