Теоретична механикае дял от механиката, който определя основните закони механично движениеи механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, която изучава движението на телата във времето (механични движения). Тя служи като основа за други клонове на механиката (теория на еластичността, якост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

Механично движение- това е изменение във времето на взаимното разположение в пространството на материалните тела.

Механично взаимодействие- това е взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

Статика на твърдото тяло

Статикае раздел от теоретичната механика, който се занимава с проблемите на равновесието на твърдите тела и превръщането на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката
• Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между точките в което не се променя.
• Материална точкае тяло, чиито размери според условията на задачата могат да бъдат пренебрегнати.
• Свободно тяло- това е тяло, върху движението на което не се налагат ограничения.
• Несвободно (обвързано) тялое тяло, чието движение подлежи на ограничения.
• Връзки– това са тела, които възпрепятстват движението на съответния обект (тяло или система от тела).
• Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако считаме силата, с която едно твърдо тяло действа върху връзка, за действие, тогава реакцията на връзката е реакция. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
• Механична система е колекция от взаимосвързани тела или материални точки.
• Твърдиможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояния между точките не се променят.
• Силае векторна величина, характеризираща механичното въздействие на едно материално тяло върху друго.
  Силата като вектор се характеризира с точка на приложение, посока на действие и абсолютна стойност. Единицата за модул на сила е Нютон.
• Линия на действие на силатае права линия, по която е насочен векторът на силата.
• Фокусирана сила– сила, приложена в една точка.
• Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на едно тяло.
  Разпределеното натоварване се дава от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
  Размерът на разпределения товар е N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
• Вътрешна силае силата, действаща върху материална точкамеханична система от страната на друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
• Система от силие набор от сили, действащи върху механична система.
• Система с плоска силае система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
• Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
• Система от събиращи се силие система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
• Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
• Еквивалентни силови системи- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
  Прието обозначение: .
• Равновесие- това е състояние, при което тяло под действието на сили остава неподвижно или се движи равномерно праволинейно.
• Балансирана система от сили- това е система от сили, която при прилагане към свободно твърдо тяло не променя механичното си състояние (не го изважда от равновесие).
  .
• Резултатна силае сила, чието действие върху тялото е еквивалентно на действието на система от сили.
  .
• момент на силае величина, характеризираща ротационната способност на дадена сила.
• Двойка силие система от две успоредни сили с еднаква величина и противоположно насочени.
  Прието обозначение: .
  Под въздействието на двойка сили тялото ще извърши въртеливо движение.
• Проекция на сила върху оста- това е сегмент, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
  Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителна посокаоси.
• Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворен между перпендикуляри, прекарани от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
• Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
  Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. При състоянието на равновесие на материална точка и твърдоразбират не само състоянието на покой, но и движение по инерция. За здраво тяло има различни видоведвижение по инерция, например равномерно въртене на твърдо тяло наоколо фиксирана ос.
• Закон 2.Твърдото тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са еднакви по големина и насочени в една и съща посока. противоположни странипо общата линия на действие.
  Тези две сили се наричат ​​балансиращи.
  Най-общо силите се наричат ​​уравновесени, ако твърдото тяло, към което са приложени тези сили, е в покой.
• Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата „състояние“ тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, може да се добавят и отхвърлят балансиращи сили.
  Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдото тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие до всяка точка на тялото.
  Две системи от сили се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
• Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, приложени в една и съща точка, е равен по големина на диагонала на успоредник, изграден върху тези сили, и е насочен по тази
  диагонали.
  Абсолютната стойност на резултата е:
  
• Закон 5 (закон за равенството на действието и реакцията). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по една и съща права линия.
  Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото б, И опозиция- сила, приложена към тялото А, не са балансирани, тъй като се прилагат към различни тела.
• Закон 6 (закон за втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава, когато то се втвърди.
  Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за едно твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
• Закон 7 (закон за еманципация от връзки).Несвободно твърдо тяло може да се счита за свободно, ако е мислено освободено от връзки, замествайки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзките и техните реакции
• Гладка повърхностограничава движението нормално спрямо опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
• Шарнирна подвижна опораограничава движението на тялото нормално спрямо базовата равнина. Реакцията е насочена нормално към опорната повърхност.
• Шарнирна фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
• Шарнирен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръта.
• Сляп печатпротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено със сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика- раздел от теоретичната механика, който се занимава с общ геометрични свойствамеханичното движение като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия на кинематиката
• Закон за движение на точка (тяло)е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
• Точкова траектория– това е геометричното разположение на точка в пространството по време на нейното движение.
• Скорост на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
• Ускорение на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на скоростта на точка (тяло).

Определяне на кинематични характеристики на точка
• Точкова траектория
  Във векторна отправна система траекторията се описва с израза: .
  В координатната референтна система траекторията се определя от закона за движение на точката и се описва с изразите z = f(x,y)- в космоса, или y = f(x)- в самолет.
  В естествената референтна система траекторията е зададена предварително.
• Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
  При определяне на движението на точка във векторна координатна система съотношението на движението към интервал от време се нарича средна стойност на скоростта за този интервал от време: .
  Приемайки времевия интервал за безкрайно малка стойност, получаваме стойността на скоростта в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
  вектор средна скоросте насочен по вектора по посока на движението на точката, векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията по посока на движението на точката.
  Заключение: скоростта на една точка е векторна величина, равна на производната по време на закона за движение.
  Производно свойство: производната на всяка величина по отношение на времето определя скоростта на промяна на тази величина.
• Определяне на скоростта на точка в координатна отправна система
  Скорост на промяна на координатите на точката:
  .
  Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
  .
  Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на насочващите ъгли:
  ,
  където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
• Определяне на скоростта на точка в естествена отправна система
  Скоростта на точка в естествената референтна система се определя като производна на закона за движение на точката: .
  Според предходните заключения векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката и в осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдото тяло
• В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
  1) настройка на движението и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
  2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
• Постъпателно движение на твърдо тяло
  Транслационното движение е движение, при което права линия, прекарана през две точки на тяло, остава успоредна на първоначалното си положение.
  Теорема: по време на постъпателно движение всички точки на тялото се движат по еднакви траектории и във всеки момент имат еднаква величина и посока на скорост и ускорение.
  Заключение: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на всяка от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точката.
• Ротационно движение на твърдо тяло около неподвижна ос
  Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
  Положението на тялото се определя от ъгъла на завъртане. Мерната единица за ъгъл е радиан. (Радианът е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса; общият ъгъл на окръжността съдържа 2πрадиан.)
  Законът за въртеливото движение на тялото около неподвижна ос.
  Ъглова скорост и ъглово ускорениетела се определят чрез метода на диференциация:
  — ъглова скорост, rad/s;
  — ъглово ускорение, rad/s².
  Ако разрязвате тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка на оста на въртене СЪСи произволна точка М, след това точка Мще опише около точка СЪСрадиус на кръга Р. През времето дтима елементарно завъртане през ъгъл , и точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
  Модул за линейна скорост:
  .
  Точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
  ,
  Къде .
  В резултат на това получаваме формулите
  тангенциално ускорение: ;
  нормално ускорение: .

Динамика

Динамикае раздел от теоретичната механика, в който се изучават механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

Основни понятия на динамиката
• Инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
• Теглое количествена мярка за инертността на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
• Материална точка- това е тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на тази задача.
• Център на масата на механична система- геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:
  
  Къде m k, x k, y k, z k— маса и координати к- тази точка на механичната система, м— маса на системата.
  В еднородно гравитационно поле положението на центъра на масата съвпада с положението на центъра на тежестта.
• Инерционният момент на материално тяло спрямо осе количествена мярка за инерцията по време на въртеливо движение.
  Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката от оста:
  .
  Инерционният момент на системата (тялото) спрямо оста е равен на аритметична сумаинерционни моменти на всички точки:
  
• Инерционна сила на материална точкае векторна величина, равна по модул на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена противоположно на вектора на ускорението:
• Инерционната сила на материално тялое векторна величина, равна по модул на произведението на масата на тялото и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещуположно на вектора на ускорението на центъра на масата: ,
  където е ускорението на центъра на масата на тялото.
• Елементарен импулс на силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата и безкрайно малък период от време дт:
  .
  Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
  .
• Елементарна работа на силатае скаларна величина dA, равен на скаларния прои

20-то изд. - М.: 2010.- 416 с.

Книгата очертава основите на механиката на материална точка, система от материални точки и твърдо тяло в обем, съответстващ на програмите на техническите университети. Дадени са много примери и задачи, чиито решения са придружени със съответните методически указания. За студенти редовна и задочна форма на технически университети.

формат: pdf

размер: 14 MB

Гледайте, изтеглете: drive.google

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към тринадесетото издание 3
Въведение 5
РАЗДЕЛ ПЪРВИ СТАТИКА НА ТВЪРДОТО ТЯЛО
Глава I. Основни понятия и начални разпоредби на членове 9
41. Абсолютно твърдо тяло; сила. Статични проблеми 9
12. Първоначални положения на статиката » 11
$ 3. Връзки и техните реакции 15
Глава II. Добавяне на сили. Конвергентна силова система 18
§4. Геометрично! Метод за добавяне на сили. Резултат от сближаващи се сили, разширение на сили 18
f 5. Проекции на сила върху оста и върху равнината, Аналитичен методзадачи и добавяне на сили 20
16. Равновесие на система от събиращи се сили_. . . 23
17. Решаване на задачи по статика. 25
Глава III. Силов момент около центъра. Силова двойка 31
i 8. Силов момент спрямо центъра (или точка) 31
| 9. Двойка сили. Двойка момент 33
f 10*. Теореми за еквивалентност и събиране на двойки 35
Глава IV. Привеждане на системата от сили към центъра. Условия на равновесие... 37
f 11. Теорема за успоредно предаване на сила 37
112. Привеждане на система от сили към даден център - . , 38
§ 13. Условия за равновесие на система от сили. Теорема за момента на резултантната 40
Глава V. Плоска система от сили 41
§ 14. Алгебрични моменти на сила и двойки 41
115. Редуциране на плоска система от сили до най-простата й форма.... 44
§ 16. Равновесие на равнинна система от сили. Случва се паралелни сили. 46
§ 17. Решаване на задачи 48
118. Равновесие на системи от тела 63
§ 19*. Статично определени и статически неопределени системи от тела (конструкции) 56"
f 20*. Определение за вътрешни усилия. 57
§ 21*. Разпределени сили 58
E22*. Изчисляване на плоски ферми 61
Глава VI. Триене 64
! 23. Закони на триенето при плъзгане 64
: 24. Реакции на груби връзки. Ъгъл на триене 66
: 25. Равновесие при наличие на триене 66
(26*. Триене на нишка върху цилиндрична повърхност 69
1 27*. Триене при търкаляне 71
Глава VII. Пространствена силова система 72
§28. Силов момент около оста. Изчисляване на главен вектор
и главният момент на силовата система 72
§ 29*. Привеждане на пространствената система от сили в нейната най-проста форма 77
§30. Равновесие на произволна пространствена система от сили. Случай на успоредни сили
Глава VIII. Център на тежестта 86
§31. Център на паралелни сили 86
§ 32. Силово поле. Център на тежестта на твърдо тяло 88
§ 33. Координати на центровете на тежестта на еднородни тела 89
§ 34. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата. 90
§ 35. Центрове на тежестта на някои еднородни тела 93
РАЗДЕЛ ВТОРИ КИНЕМАТИКА НА ТОЧКА И ТВЪРДО ТЯЛО
Глава IX. Кинематика на точка 95
§ 36. Въведение в кинематиката 95
§ 37. Методи за уточняване на движението на точка. . 96
§38. Вектор на точковата скорост. 99
§ 39. Вектор на „въртящия момент на точка 100“
§40. Определяне на скоростта и ускорението на точка при координатен методдвигателни задачи 102
§41. Решаване на задачи по точкова кинематика 103
§ 42. Брадви естествен тристен. Числова стойност на скоростта 107
§ 43. Тангенса и нормално ускорение на точка 108
§44. Някои частни случаи на движение на точка PO
§45. Графики на движение, скорост и ускорение на точка 112
§ 46. Решаване на задачи< 114
§47*. Скорост и ускорение на точка в полярни координати 116
Глава X. Прогресивна и въртеливо движениетвърдо тяло. . 117
§48. Движение напред 117
§ 49. Въртеливо движение на твърдо тяло около ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение 119
§50. Равномерно и равномерно въртене 121
§51. Скорости и ускорения на точки на въртящо се тяло 122
Глава XI. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 127
§52. Уравнения на равнинно-паралелно движение (движение плоска фигура). Разлагане на движението на постъпателно и въртеливо 127
§53*. Определяне на траекториите на точки от равнинна фигура 129
§54. Определяне на скоростите на точки на равнинна фигура 130
§ 55. Теорема за проекциите на скоростите на две точки върху тяло 131
§ 56. Определяне на скоростите на точки от плоска фигура с помощта на моментния център на скоростите. Концепцията за центроидите 132
§57. Решаване на проблеми 136
§58*. Определяне на ускоренията на точки от равнинна фигура 140
§59*. Моментален център за ускорение "*"*
Глава XII*. Движението на твърдо тяло около фиксирана точка и движението на свободно твърдо тяло 147
§ 60. Движение на твърдо тяло с една неподвижна точка. 147
§61. Кинематични уравнения на Ойлер 149
§62. Скорости и ускорения на точките на тялото 150
§ 63. Общ случай на движение на свободно твърдо тяло 153
Глава XIII. Сложно движение на точки 155
§ 64. Относителни, преносими и абсолютни движения 155
§ 65, Теорема за събиране на скорости » 156
§66. Теорема за добавяне на ускорения (теорема на Кориол) 160
§67. Решаване на проблеми 16*
Глава XIV*. Сложно движение на твърдо тяло 169
§68. Добавяне на транслационни движения 169
§69. Събиране на завъртания около две успоредни оси 169
§70. Цилиндрични зъбни колела 172
§ 71. Събиране на завъртания около пресичащи се оси 174
§72. Добавяне на транслационни и ротационни движения. Движение на винта 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИ ДИНАМИКА НА ТОЧКА
Глава XV: Въведение в динамиката. Закони на динамиката 180
§ 73. Основни понятия и определения 180
§ 74. Закони на динамиката. Задачи на динамиката на материална точка 181
§ 75. Системи единици 183
§76. Основни видове сили 184
Глава XVI. Диференциални уравнения на движение на точка. Решаване на задачи по динамика на точки 186
§ 77. Диференциални уравнения, движение на материална точка № 6
§ 78. Решение на първата задача от динамиката (определяне на силите от дадено движение) 187
§ 79. Решение на основната задача на динамиката за праволинейно движение на точка 189
§ 80. Примери за решаване на задачи 191
§81*. Падане на тяло в съпротивителна среда (във въздуха) 196
§82. Решение на основната задача на динамиката, с криволинейно движение на точка 197
Глава XVII. Общи теореми на точковата динамика 201
§83. Количеството движение на точка. Силов импулс 201
§ S4. Теорема за промяната на импулса на точка 202
§ 85. Теорема за промяната на ъгловия момент на точка (теорема за моментите) " 204
§86*. Движение под въздействието на централна сила. Закон за областите.. 266
§ 8-7. Работа на силата. Мощност 208
§88. Примери за изчислителна работа 210
§89. Теорема за промяна кинетична енергияточки. „... 213J
Глава XVIII. Несвободно и спрямо движението на точка 219
§90. Несвободно движение на точката. 219
§91. Относително движение на точка 223
§ 92. Влиянието на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата... 227
§ 93*. Отклонение на точката на падане от вертикалата поради въртенето на Земята “230
Глава XIX. Праволинейни трептения на точка. . . 232
§ 94. Свободни вибрации без отчитане на съпротивителните сили 232
§ 95. Свободни трептения с вискозно съпротивление (затихващи трептения) 238
§96. Принудителни вибрации. Rezonayas 241
Глава XX*. Движение на тяло в полето на тежестта 250
§ 97. Движение на хвърлено тяло в гравитационното поле на Земята "250
§98. Изкуствени сателитиЗемята. Елиптични траектории. 254
§ 99. Концепцията за безтегловност." Местни референтни системи 257
РАЗДЕЛ ЧЕТВЪРТИ ДИНАМИКА НА СИСТЕМАТА И ТВЪРДОТО ТЯЛО
G i a v a XXI. Въведение в системната динамика. Моменти на инерция. 263
§ 100. Механична система. Външни и вътрешни сили 263
§ 101. Маса на системата. Център на масата 264
§ 102. Инерционен момент на тяло спрямо ос. Радиус на инерция. . 265
$ 103. Инерционни моменти на тяло спрямо успоредни оси. Теорема на Хюйгенс 268
§ 104*. Центробежни моментиинерция. Понятия за главните инерционни оси на тялото 269
$105*. Инерционният момент на тялото спрямо произволна ос. 271
Глава XXII. Теорема за движението на центъра на масата на системата 273
$ 106. Диференциални уравнения на движение на система 273
§ 107. Теорема за движението на центъра на масата 274
$ 108. Закон за запазване на движението на центъра на масата 276
§ 109. Решаване на задачи 277
Глава XXIII. Теорема за изменението на количеството на подвижна система. . 280
$ НО. Количество движение на системата 280
§111. Теорема за промяната на импулса 281
§ 112. Закон за запазване на импулса 282
$113*. Приложение на теоремата към движението на течност (газ) 284
§ 114*. Тяло с променлива маса. Ракетно движение 287
Гдава XXIV. Теорема за промяна на ъгловия момент на система 290
§ 115. Главен момент на импулса на системата 290
$ 116. Теорема за промените в главния момент на количествата на движение на системата (теорема за моментите) 292
$117. Закон за запазване на главния ъглов момент. . 294
$118. Разрешаване на проблеми 295
$119*. Приложение на теоремата за моментите към движението на течност (газ) 298
§ 120. Условия на равновесие за механична система 300
Глава XXV. Теорема за промяната на кинетичната енергия на система. . 301.
§ 121. Кинетична енергия на системата 301
$122. Някои случаи на изчисляване работят 305
$ 123. Теорема за промяната на кинетичната енергия на система 307
$124. Решаване на задачи 310
$125*. Смесени задачи „314
$126 Потенциално силово поле и силова функция 317
$127, потенциална енергия. Закон за запазване на механичната енергия 320
Глава XXVI. „Приложение на общите теореми към динамиката на твърдото тяло 323
$12&. Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос ". 323"
$ 129. Физическо махало. Експериментално определяне на инерционните моменти. 326
$130. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 328
$131*. Елементарна теория на жироскопа 334
$132*. Движението на твърдо тяло около фиксирана точка и движението на свободно твърдо тяло 340
Глава XXVII. Принцип на Д'Аламбер 344
$ 133. Принципът на Д'Аламбер за точка и механична система. . 344
$134. Основен вектор и основна точкаинерционни сили 346
$135 Решаване на задачи 348
$136*, Дидемични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло. Балансиране на въртящи се тела 352
Глава XXVIII. Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката 357
§ 137. Класификация на връзките 357
§ 138. Възможни движения на системата. Брой степени на свобода. . 358
§ 139. Принципът на възможните движения 360
§ 140. Решаване на задачи 362
§ 141. Общо уравнениевисокоговорители 367
Глава XXIX. Условия на равновесие и уравнения на движение на система в обобщени координати 369
§ 142. Обобщени координати и обобщени скорости. . . 369
§ 143. Обобщени сили 371
§ 144. Условия за равновесие на система в обобщени координати 375
§ 145. Уравнения на Лагранж 376
§ 146. Решаване на задачи 379
Глава XXX*. Малки колебания на системата около положението на устойчиво равновесие 387
§ 147. Концепцията за устойчивост на равновесие 387
§ 148. Малки свободни трептения на система с една степен на свобода 389
§ 149. Малки затихващи и принудени трептения на система с една степен на свобода 392
§ 150. Малки комбинирани трептения на система с две степени на свобода 394
Глава XXXI. Теория на елементарния удар 396
§ 151. Основно уравнение на теорията на удара 396
§ 152. Общи теореми на теорията на удара 397
§ 153. Коефициент на възстановяване на удара 399
§ 154. Удар на тяло върху неподвижно препятствие 400
§ 155. Пряк централен удар на две тела (удар на топки) 401
§ 156. Загуба на кинетична енергия по време на нееластично въздействиедве тела Теорема на Карно 403
§ 157*. Удряне на въртящо се тяло. Ударен център 405
Предметен индекс 409

Курсът обхваща: кинематиката на точка и твърдо тяло (като от различни гледни точки се предлага да се разгледа проблемът за ориентацията на твърдо тяло), класическите проблеми на динамиката на механичните системи и динамиката на твърдото тяло , елементи небесна механика, движение на системи с променлив състав, теория на удара, диференциални уравненияаналитична динамика.

Курсът представя всички традиционни раздели на теоретичната механика, но специално внимание се обръща на разглеждането на най-смислените и ценни раздели на динамиката и методите на аналитичната механика за теория и приложения; като раздел на динамиката се изучава статиката, а в раздела на кинематиката подробно се въвеждат понятията и математическия апарат, необходими за раздела на динамиката.

Информационни ресурси

Gantmakher F.R. Лекции по аналитична механика. – 3-то изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлев В.Ф. Основи на теоретичната механика. – 2-ро изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-то изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретична механика. – Москва – Ижевск: Изследователски център “Регуларна и хаотична динамика”, 2007 г.

Изисквания

Курсът е предназначен за студенти, които владеят аналитична геометрия и линейна алгебра в обхвата на програмата за първа година в технически университет.

Програма на курса

1. Кинематика на точка
1.1. Проблеми с кинематиката. Декартова системакоординати Разлагане на вектор в ортонормален базис. Радиус вектор и координати на точка. Скорост и ускорение на точка. Траектория на движение.
1.2. Естествен тристен. Разлагане на скорост и ускорение по осите на естествен тристен (теорема на Хюйгенс).
1.3. Криволинейни координати на точка, примери: полярна, цилиндрична и сферична координатни системи. Компоненти на скоростта и проекции на ускорението върху оста на криволинейна координатна система.

2. Методи за определяне на ориентацията на твърдо тяло
2.1. Твърди. Фиксирана и свързана с тялото координатна система.
2.2. Ортогонални ротационни матрици и техните свойства. Теорема за крайно въртене на Ойлер.
2.3. Активни и пасивни гледни точки върху ортогоналната трансформация. Добавяне на завои.
2.4. Ъгли на крайно завъртане: ъгли на Ойлер и "самолетни" ъгли. Изразяване на ортогонална матрица чрез крайни ъгли на завъртане.

3. Пространствено движение на твърдо тяло
3.1. Постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
3.2. Разпределение на скоростите (формула на Ойлер) и ускоренията (формула на Ривалс) на точки от твърдо тяло.
3.3. Кинематични инварианти. Кинематичен винт. Мигновена винтова ос.

4. Плоскопаралелно движение
4.1. Понятието за плоскопаралелно движение на тяло. Ъглова скорост и ъглово ускорение при плоскопаралелно движение. Моментален център на скоростта.

5. Сложно движение на точка и твърдо тяло
5.1. Неподвижни и подвижни координатни системи. Абсолютни, относителни и преносимо движениеточки.
5.2. Теорема за добавяне на скорости при сложно движение на точка, относителни и преносими скорости на точка. Теорема на Кориолис за събиране на ускорения по време на сложно движение на точка, относителни, транспортни и Кориолисови ускорения на точка.
5.3. Абсолютна, относителна и преносима ъглова скорост и ъглово ускорение на тяло.

6. Движение на твърдо тяло с фиксирана точка (кватернионно представяне)
6.1. Концепцията за комплекс и хиперкомплексни числа. Кватернионна алгебра. Кватернионно произведение. Конюгиран и обратен кватернион, норма и модул.
6.2. Тригонометрично представянеединица кватернион. Кватернионен метод за определяне на въртенето на тялото. Теорема за крайно въртене на Ойлер.
6.3. Връзка между кватернионните компоненти в различни бази. Добавяне на завои. Параметри на Родриг-Хамилтън.

7. Изпитна работа

8. Основни понятия на динамиката.
8.1 Импулс, ъглов момент ( кинетичен момент), кинетична енергия.
8.2 Мощност на силите, работа на силите, потенциална и пълна енергия.
8.3 Център на масата (център на инерцията) на системата. Инерционният момент на системата спрямо оста.
8.4 Инерционни моменти относно успоредни оси; Теорема на Хюйгенс–Щайнер.
8.5 Тензор и елипсоид на инерцията. Главни инерционни оси. Свойства аксиални моментиинерция.
8.6 Изчисляване на ъглов момент и кинетична енергия на тяло с помощта на инерционния тензор.

9. Основни теореми на динамиката в инерциални и неинерциални отправни системи.
9.1 Теорема за промяната на импулса на система в инерциална отправна система. Теорема за движението на центъра на масата.
9.2 Теорема за промяната на ъгловия момент на система в инерциална отправна система.
9.3 Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в инерциална отправна система.
9.4 Потенциални, жироскопични и дисипативни сили.
9.5 Основни теореми на динамиката в неинерциални отправни системи.

10. Движение на твърдо тяло с неподвижна точка по инерция.
10.1 Динамични уравнения на Ойлер.
10.2 Случай на Ойлер, първи интеграли на динамични уравнения; постоянни ротации.
10.3 Тълкувания на Poinsot и McCullagh.
10.4 Правилна прецесия при динамична симетрия на тялото.

11. Движение на тежко твърдо тяло с неподвижна точка.
11.1 Обща формулировка на задачата за движението на тежко твърдо тяло.
фиксирана точка. Динамични уравнения на Ойлер и техните първи интеграли.
11.2 Качествен анализдвижение на твърдо тяло в случая на Лагранж.
11.3 Принудителна правилна прецесия на динамично симетрично твърдо тяло.
11.4 Основна формула на жироскопията.
11.5 Концепцията за елементарната теория на жироскопите.

12. Динамика на точка в централното поле.
12.1 Уравнение на Бине.
12.2 Орбитално уравнение. Законите на Кеплер.
12.3 Проблем с разсейването.
12.4 Проблем с две тела. Уравнения на движението. Интеграл на площта, интеграл на енергията, интеграл на Лаплас.

13. Динамика на системи с променлив състав.
13.1 Основни понятия и теореми за промените в основните динамични величини в системи с променлив състав.
13.2 Движение на материална точка с променлива маса.
13.3 Уравнения на движение на тяло с променлив състав.

14. Теория на импулсивните движения.
14.1 Основни понятия и аксиоми на теорията на импулсните движения.
14.2 Теореми за промените в основните динамични величини при импулсивно движение.
14.3 Импулсивно движение на твърдо тяло.
14.4 Сблъсък на две твърди тела.
14.5 Теореми на Карно.

15. Тест

Резултати от обучението

В резултат на усвояването на дисциплината студентът трябва:

• знайте:
  • основни понятия и теореми на механиката и произтичащите от тях методи за изследване на движението на механичните системи;
• Да може да:
  • правилно формулиране на задачи от гледна точка на теоретичната механика;
  • разработват механични и математически модели, които адекватно отразяват основните свойства на разглежданите явления;
  • прилагат придобитите знания за решаване на подходящи специфични проблеми;
• Собствен:
  • умения за решаване на класически задачи от теоретичната механика и математика;
  • умения за изучаване на проблеми от механиката и конструиране на механични и математически модели, които адекватно описват различни механични явления;
  • умения практическа употребаметоди и принципи на теоретичната механика при решаване на задачи: изчисления на силата, определяне на кинематичните характеристики на телата при по различни начинизадачи на движението, определяне на закона за движение на материални тела и механични системи под въздействието на сили;
  • умения за самостоятелно усвояване на нова информация в процеса на производство и научна дейностизползване на съвременни образователни и информационни технологии;

Списък с изпитни въпроси

1. Техническа механика, нейното определение. Механично движение и механично взаимодействие. Материална точка, механична система, абсолютно твърдо тяло.

Техническа механика – наука за механичното движение и взаимодействие на материалните тела.

Механиката е една от най-древните науки. Терминът "механика" е въведен от изключителния древен философ Аристотел.

Постиженията на учените в областта на механиката позволяват решаването на сложни практически проблемив областта на технологиите и по същество нито един природен феномен не може да бъде разбран, без да го разберем от механичната страна. И нито едно технологично творение не може да бъде създадено, без да се вземат предвид определени механични закони.

Механично движение - това е изменение във времето на взаимното положение в пространството на материалните тела или взаимното разположение на части от дадено тяло.

Механично взаимодействие - това са действията на материалните тела едно върху друго, в резултат на което настъпва промяна в движението на тези тела или промяна на тяхната форма (деформация).

Основни понятия:

Материална точка е тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати при дадени условия. Има маса и способността да взаимодейства с други тела.

Механична система е набор от материални точки, позицията и движението на всяка от които зависят от позицията и движението на други точки на системата.

Абсолютно твърдо тяло (ATB) е тяло, чието разстояние между произволни две точки винаги остава непроменено.

1. Теоретична механика и нейните раздели. Проблеми на теоретичната механика.

Теоретична механика е дял от механиката, който изучава законите на движението на телата и общи свойстватези движения.

Теоретичната механика се състои от три раздела: статика, кинематика и динамика.

Статикаизследва равновесието на телата и техните системи под въздействието на сили.

Кинематикаразглежда общите геометрични свойства на движението на телата.

Динамикаизучава движението на телата под въздействието на сили.

Статични задачи:

1. Преобразуване на системи от сили, действащи върху АТТ, в еквивалентни на тях системи, т.е. довеждайки тази система от сили до нейната най-проста форма.

2. Определяне на условията за равновесие на системата от сили, действащи върху АТТ.

За решаването на тези проблеми се използват два метода: графичен и аналитичен.

1. Равновесие. Сила, система от сили. Резултатна сила, концентрирана сила и разпределени сили.

Равновесие е състоянието на покой на едно тяло по отношение на други тела.

Сила – това е основната мярка за механичното взаимодействие на материалните тела. Тя е векторна величина, т.е. Силата се характеризира с три елемента:

Точка на приложение;

Линия на действие (посока);

Модул (числова стойност).

Система от сили – това е съвкупността от всички сили, действащи върху разглежданото абсолютно твърдо тяло (ATB)

Системата от сили се нарича конвергентен , ако линиите на действие на всички сили се пресичат в една точка.

Системата се нарича плосък , ако линиите на действие на всички сили лежат в една и съща равнина, в противен случай пространствена.

Системата от сили се нарича паралелен , ако линиите на действие на всички сили са успоредни една на друга.

Двете системи от сили се наричат еквивалент , ако една система от сили, действащи върху абсолютно твърдо тяло, може да бъде заменена от друга система от сили, без да се променя състоянието на покой или движение на тялото.

Балансиран или еквивалентен на нула се нарича система от сили, под въздействието на които свободният АТТ може да бъде в покой.

Резултат сила е сила, чието действие върху тяло или материална точка е еквивалентно на действието на система от сили върху същото тяло.

От външни сили

Силата, упражнена върху тялото във всяка една точка, се нарича концентриран .

Наричат ​​се сили, действащи върху всички точки от определен обем или повърхност разпределени .

Тяло, което не е възпрепятствано да се движи в която и да е посока от друго тяло, се нарича свободно.

1. Външен и вътрешни сили. Свободно и несвободно тяло. Принципът на освобождаване от връзки.

От външни сили са силите, с които частите на дадено тяло действат една на друга.

При решаването на повечето проблеми на статиката е необходимо да се представи несвободно тяло като свободно, което се прави с помощта на принципа на освобождаване, който се формулира по следния начин:

всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките и ги заменим с реакции.

В резултат на прилагането на този принцип се получава тяло, което е свободно от връзки и се намира под въздействието на определена система от активни и реактивни сили.

1. Аксиоми на статиката.

Условия, при които едно тяло може да бъде равно vesii,се извеждат от няколко основни положения, приети без доказателства, но потвърдени от експерименти , и се обади аксиоми на статиката.Основните аксиоми на статиката са формулирани от английския учен Нютон (1642-1727) и затова са кръстени на него.

Аксиома I (аксиома на инерцията или първи закон на Нютон).

Всяко тяло поддържа своето състояние на покой или праволинейно състояние равномерно движение, досега някои правомощияняма да го извади от това състояние.

Способността на тялото да поддържа състояние на покой или линейно равномерно движение се нарича инерция. Въз основа на тази аксиома ние считаме, че състоянието на равновесие е състояние, когато тялото е в покой или се движи праволинейно и равномерно (т.е. по инерция).

Аксиома II (аксиома за взаимодействие или трети закон на Нютон).

Ако едно тяло действа върху второто с определена сила, то второто тяло едновременно действа върху първото със сила, равна по големина на противоположна по посока.

Съвкупността от сили, приложени към дадено тяло (или система от тела), се нарича система от сили.Силата на действие на тялото върху дадено тяло и силата на реакция на дадено тяло не представляват система от сили, тъй като те са приложени към различни тела.

Ако някоя система от сили има такова свойство, че след прилагане към свободно тялоне променя състоянието на равновесие, тогава такава система от сили се нарича балансиран.

Аксиома III (условие за равновесие на две сили).

За равновесието на свободно твърдо тяло под действието на две сили е необходимо и достатъчно тези сили да са равни по големина и да действат в една права линия в противоположни посоки.

необходимоза балансиране на двете сили. Това означава, че ако една система от две сили е в равновесие, тогава тези сили трябва да са равни по големина и да действат в една права линия в противоположни посоки.

Условието, формулирано в тази аксиома е достатъчноза балансиране на двете сили. Това означава, че е справедливо обратна формулировкааксиоми, а именно: ако две сили са равни по големина и действат в една права линия в противоположни посоки, то такава система от сили е задължително в равновесие.

По-нататък ще се запознаем с условието за равновесие, което ще е необходимо, но недостатъчно за равновесие.

Аксиома IV.

Равновесието на твърдо тяло няма да се наруши, ако върху него се приложи или премахне система от балансирани сили.

Следствие от аксиомите IIIИ IV.

Равновесието на твърдото тяло няма да бъде нарушено от прехвърлянето на сила по линията на неговото действие.

Аксиома за успоредник. Тази аксиома е формулирана по следния начин:

Резултат от две приложени силидо тяло в една точка, е равна по големина и съвпада по посока с диагонала на успоредник, построен върху тези сили, и се прилага в същата точка.

1. Връзки, реакции на връзки. Примери за връзки.

Връзкисе наричат ​​тела, които ограничават движението на дадено тяло в пространството. Силата, с която тялото действа върху връзка, се нарича налягане;се нарича силата, с която връзката действа върху тялото реакция.Според аксиомата за взаимодействие, реакция и налягане по модул равени действат по една права линия в противоположни посоки. Реакция и натиск се прилагат към различни тела. Външни сили, действащи върху тялото, се делят на активенИ реактивен.Активните сили се стремят да движат тялото, към което са приложени, а реактивните сили, чрез връзки, предотвратяват това движение. Основната разлика между активните сили и реактивните сили е, че величината на реактивните сили, най-общо казано, зависи от величината на активните сили, но не и обратното. Активните сили често се наричат

Посоката на реакциите се определя от посоката, в която тази връзка пречи на движението на тялото. Правилото за определяне на посоката на реакциите може да се формулира, както следва:

посоката на реакцията на връзката е противоположна на посоката на движение, унищожена от тази връзка.

1. Идеално гладка равнина

В този случай реакцията Рнасочена перпендикулярно на базовата равнина към тялото.

2. Идеално гладка повърхност (фиг. 16).

В този случай реакцията R е насочена перпендикулярно на допирателната равнина t - t, т.е. нормално на опорната повърхност към тялото.

3. Фиксирана точка или ъглов ръб (фиг. 17, ръб B).

В този случай реакцията R внасочена нормално към повърхността на идеално гладко тяло към тялото.

4. Гъвкава връзка (фиг. 17).

Реакцията Т на гъвкавата връзка е насочена по дължина s v i z i. От фиг. 17 може да се види, че гъвкава връзка, хвърлена върху блока, променя посоката на предаваната сила.

5. Идеално гладка цилиндрична панта (фиг. 17, панта А;ориз. 18, лагер Г).

В този случай е известно само предварително, че реакцията R преминава през оста на шарнира и е перпендикулярна на тази ос.

6. Идеално гладък аксиален лагер (фиг. 18, аксиален лагер А).

Аксиалният лагер може да се разглежда като комбинация от цилиндрична панта и опорна равнина. Затова ще го направим

7. Идеално гладка сферична става (фиг. 19).

В този случай е известно само предварително, че реакцията R преминава през центъра на шарнира.

8. Прът, закрепен в двата края в идеално гладки панти и натоварен само в краищата (фиг. 18, прът BC).

В този случай реакцията на пръта е насочена по протежение на пръта, тъй като според аксиома III реакциите на пантите B и Cкогато е в равновесие, прътът може да бъде насочен само по линията слънце,т.е. по пръта.

1. Система от събиращи се сили. Добавяне на сили, приложени в една точка.

Сближаванесе наричат ​​сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.

Тази глава обсъжда системи от сближаващи се сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина (равнинни системи).

Нека си представим какво действа върху тялото плоска системапет сили, чиито линии на действие се пресичат в точка О (фиг. 10, а). В § 2 е установено, че силата плъзгащ се вектор. Следователно всички сили могат да бъдат прехвърлени от точките на тяхното приложение до точката O на пресечната точка на линиите на тяхното действие (фиг. 10, b).

по този начин всяка система от събиращи се сили, приложени към различни точки на тялото, може да бъде заменена с еквивалентна система от сили, приложени към една точка.Тази система от сили често се нарича сноп от сила.

Кинематика на точка.

1. Предмет на теоретичната механика. Основни абстракции.

Теоретична механикае наука, която изучава общи законимеханично движение и механично взаимодействие на материалните тела

Механично движениее движението на едно тяло по отношение на друго тяло, протичащо в пространството и времето.

Механично взаимодействие е взаимодействието на материалните тела, което променя характера на тяхното механично движение.

Статика е раздел на теоретичната механика, в който се изучават методите за трансформиране на системи от сили в еквивалентни системи и се установяват условията за равновесие на силите, приложени към твърдо тяло.

Кинематика - е дял от теоретичната механика, който изучава движение на материални тела в пространството с геометрична точказрение, независимо от силите, действащи върху тях.

Динамика е дял от механиката, който изучава движението на материалните тела в пространството в зависимост от действащите върху тях сили.

Обекти на изучаване на теоретичната механика:

материална точка,

система от материални точки,

Абсолютно здраво тяло.

Абсолютното пространство и абсолютното време са независими едно от друго. Абсолютно пространство - триизмерно, хомогенно, неподвижно евклидово пространство. Абсолютно време - тече от миналото към бъдещето непрекъснато, то е еднородно, еднакво във всички точки на пространството и не зависи от движението на материята.

2. Предмет на кинематиката.

Кинематика - това е дял от механиката, в който се изучават геометричните свойства на движението на телата, без да се взема предвид тяхната инерция (т.е. маса) и силите, действащи върху тях

За да се определи позицията на движещо се тяло (или точка) с тялото, спрямо което се изследва движението на това тяло, е твърдо свързана някаква координатна система, която заедно с тялото образува справочна система.

Основната задача на кинематиката е да, познавайки закона за движение на дадено тяло (точка), да определи всички кинематични величини, които характеризират неговото движение (скорост и ускорение).

3. Методи за уточняване на движението на точка

· Естественият начин

Трябва да се знае:

Траекторията на точката;

Произход и посока на препратка;

Законът за движение на точка по дадена траектория във формата (1.1)

· Координатен метод

Уравнения (1.2) са уравненията на движението на точка М.

Уравнението за траекторията на точка М може да се получи чрез елиминиране на времевия параметър « t » от уравнения (1.2)

· Векторен метод

(1.3) Връзка между координатни и векторни методи за определяне на движението на точка (1.4)

Връзка между координатни и естествени методи за определяне на движението на точка

Определете траекторията на точката, като елиминирате времето от уравнения (1.2);

-- намерете закона за движение на точка по траектория (използвайте израза за диференциала на дъгата)

След интегриране получаваме закона за движение на точка по дадена траектория:

Връзката между координатния и векторния метод за определяне на движението на точка се определя от уравнение (1.4)

4. Определяне на скоростта на точка чрез векторния метод за определяне на движението.

Нека в даден моментtпозицията на точката се определя от радиус вектора и в момента на времетоt 1 – радиус вектор, след това за период от време точката ще се премести.

(1.5) средна точкова скорост, посоката на вектора е същата като тази на вектора

Скорост на точка в даден момент

За да се получи скоростта на точка в даден момент, е необходимо да се направи преминаване до границата

(1.6)

(1.7)

Вектор на скоростта на точка в даден момент равна на първата производна на радиус вектора по отношение на времето и насочена тангенциално към траекторията в дадена точка.

(единица¾ m/s, km/h)

Вектор на средно ускорение има същата посока като вектораΔ v , тоест насочен към вдлъбнатината на траекторията.

Вектор на ускорението на точка в даден момент равна на първата производна на вектора на скоростта или втората производна на радиус вектора на точката по отношение на времето.

(единица - )

Как е разположен векторът спрямо траекторията на точката?

При праволинейно движение векторът е насочен по правата линия, по която се движи точката. Ако траекторията на точка е плоска крива, тогава векторът на ускорението, както и векторът ср, лежи в равнината на тази крива и е насочен към нейната вдлъбнатина. Ако траекторията не е равнинна крива, тогава векторът ср ще бъде насочен към вдлъбнатината на траекторията и ще лежи в равнината, минаваща през допирателната към траекторията в точкатаМ и права, успоредна на допирателната в съседна точкаМ 1 . IN лимит, когато точкаМ 1 се стреми към М тази равнина заема позицията на така наречената оскулираща равнина. Следователно в общия случай векторът на ускорението лежи в контактната равнина и е насочен към вдлъбнатината на кривата.