Линейната функция y = kx + m, когато m = 0, приема формата y = kx. В този случай можете да забележите, че:

1. Ако x = 0, тогава y = 0. Следователно графиката линейна функция y = kx преминава през началото, независимо от стойността на k.
2. Ако x = 1, тогава y = k.

Нека разгледаме различните стойности на k и как y се променя от това.

Ако k е положително (k > 0), тогава правата линия (графиката на функцията), минаваща през началото, ще лежи в I и III координатни четвърти. В крайна сметка, с положително k, когато x е положително, тогава y също ще бъде положително. И когато х е отрицателно, у също ще бъде отрицателно. Например за функцията y = 2x, ако x = 0,5, тогава y = 1; ако x = –0,5, тогава y = –1.

Сега, ако приемем, че k е положително, разгледайте три различни линейни уравнения. Нека това са: y = 0,5x и y = 2x и y = 3x. Как се променя стойността на y за същото x? Очевидно то нараства с k: колкото по-голямо е, толкова по-голямо е y. Това означава, че правата линия (функционална графика) с по-голяма стойност на k ще има по-голям ъгъл между оста x (абсцисната ос) и функционалната графика. По този начин ъгълът, под който правата ос пресича оста x, зависи от k и следователно k се говори като наклон на линейната функция.

Сега нека проучим ситуацията, когато k x е положително, тогава y ще бъде отрицателно; и обратно: ако x y > 0. Така графиката на функцията y = kx за при k

Да кажем, че има линейни уравнения y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. За x = 1 получаваме y = –0,5, y = –2, y = –3. За x = 2 получаваме y = –1, y = –2, y = –6. Следователно, колкото по-голямо е k, толкова по-голямо е y, ако x е положително.

Ако обаче x = –1, тогава y = 0,5, y = 2, y = 3. За x = –2 получаваме y = 1, y = 4, y = 6. Тук, когато стойността на k намалява, y при x нараства

Графика на функцията при k

Графиките на функциите от типа y = kx + m се различават от графиките y = km само по паралелно изместване.

Линейна функция

Линейна функцияе функция, която може да бъде определена с формулата y = kx + b,

където x е независимата променлива, k и b са някои числа.

Графиката на линейна функция е права линия.

Извиква се числото k наклон на права линия– графика на функцията y = kx + b.

Ако k > 0, тогава ъгълът на наклона на правата линия y = kx + b спрямо оста Xпикантен; ако к< 0, то этот угол тупой.

Ако наклоните на линиите, които са графики на две линейни функции, са различни, тогава тези линии се пресичат. И ако ъгловите коефициенти са еднакви, тогава линиите са успоредни.

Графика на функция y =kx +b, където k ≠ 0, е права, успоредна на правата y = kx.

Пряка пропорционалност.

Пряка пропорционалносте функция, която може да бъде определена с формулата y = kx, където x е независима променлива, k е различно от нула число. Извиква се числото k коефициент на пряка пропорционалност.

Графиката на пряката пропорционалност е права линия, минаваща през началото на координатите (виж фигурата).

Пряката пропорционалност е частен случай на линейна функция.

Функционални свойстваy =kx:

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалностсе нарича функция, която може да бъде определена с формулата:

к
y = -
х

Къде хе независимата променлива и к– различно от нула число.

Графиката на обратната пропорционалност е крива, наречена хипербола(виж снимката).

За крива, която е графиката на тази функция, оста хИ гдействат като асимптоти. Асимптота- това е правата линия, към която се приближават точките на кривата, когато се отдалечават до безкрайност.

к
Функционални свойстваy = -:
х

клас: 8

Презентация към урока

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок:урок за откриване на нови знания.

Основни цели:

• формират представа за функцията y = kx 2, неговите свойства и графики;
• повторете и подсилете: функционални подробности y = x 2, свойства на функцията, познати от курса за 7 клас.

Демо материал:

1) алгоритъм за изграждане на графика на функция:

2) Правилото за определяне на местоположението на графиката в зависимост от коефициента k:

3) самостоятелна работа: На фиг. са показани графики на функции y = kx 2 .

За всяка графика посочете съответната стойност на коефициента до.

4) образец за самопроверка самостоятелна работа.

Раздаване:

1) карта:

1-ва, 2-ра група:

Графични функции y = 2X 2 , y = 4X

3, 4 група:

Графични функции y =– 2X 2 , y = – 4X 2 и определете в кои координатни четвъртини се намират графиките на тези функции. Направете заключение относно коефициента k.

2) карта за размисъл:

ХОД НА УРОКА

1. Мотивация за образователни дейности

Цели:

• организира актуализиране на изискванията към ученика по отношение на учебната дейност;
• организиране на дейности на учениците за създаване на тематични рамки: продължаваме да работим с функции;
• създават условия у ученика да развие вътрешна потребност от включване в образователната дейност.

Организация образователен процесна етап 1:

- Здравей! Какви интересни неща научихте в предишните уроци? (Изучихме функцията y = | x |, графиката на тази функция и нейните свойства.)
– Днес ще продължите да се запознавате с нови функции.
– В какво настроение ще работите днес? (В добро настроение).
– Успех на теб!

2. Актуализиране на знанията и отстраняване на затруднения в отделните дейности

Цели:

• актуализиране на учебно съдържание, което е необходимо и достатъчно за възприемане на нов материал.
• записвайте актуализирани методи на действие в речта и знаците;
• организирайте обобщение на актуализирани методи на действие;
• мотивиране за изпълнение на индивидуална задача;
• организира самостоятелно изпълнение индивидуално заданиеза нови знания;
• организира записване на индивидуалните трудности при изпълнението на индивидуална задача от учениците или при обосноваването й.

Организация на учебния процес на етап 2:

Анализирайте няколко слайда 2-5 и отговорете на въпроса:

– С какъв график ще работите днес? (С парабола).

– Изберете коя функция е графиката на парабола при = X + 2, при = 2/X, y = x 2 ?(y = x 2 . Изучавахме тази функция в 7 клас).

– Назовете числовия коефициент на функцията y = x 2 . (Равно е на 1)

– В кои координатни четвъртини се намира графиката на функцията? y = x 2 , Какъв е домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на тази функция, интервалите на нарастване и намаляване? (Графика на функцията y = x 2 лежи в 1-ва и 2-ра координатна четвъртина или в горната полуравнина, домейнът на дефиниция е цялата числова линия, диапазонът от стойности е функцията y = x 2 приема неотрицателни стойности; нараства с x > 0, намалява с x < 0.)

– Нека обсъдим какво се случва при други стойности на коефициента.

– Формулирайте темата на урока. (Функция y = kx 2 , неговите свойства и графика).

1) На дъската е подготвена таблица. Намерете съответните стойности на функцията:

y = 2X 2
y = 4X 2
y =– 2X 2
y =– 4X 2

– Попълнете таблицата. На дъската се извикват последователно 4 ученика.

2) Функционална графика y = kx 2 минава през точка A(2;8). Определете стойността на коефициента. Запишете функцията. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Какъв план обикновено използвате, за да изобразите графики на функции? Слайд 7.

(Необходимо -
1. Попълнете таблицата със стойности
2. Начертайте точки върху координатна равнина
3. Свържете построените точки с гладка линия
4. Напишете името на функцията.)

-Какво повтори?

– А сега, използвайки всичко, което току-що повторихте и научихте, ви предлагам да изпълните следната задача:
Графики на функцията y = 2X 2 , y = – 4X 2 и определете в кои координатни четвъртини се намират графиките на тези функции. Направете заключение как е разположена графиката в зависимост от коефициента k.

Учениците работят върху милиметрова хартия.

– Кой няма резултати?
– Какво не можа да направиш? (не можах______________)
– Покажете резултатите от това кой е извършил строителството.
– Как можете да докажете, че сте изпълнили задачата правилно? (трябва да___________)
– С какво ще го докажеш? (___________.)
– Какво не можа да направиш?
– Какво правило използвахте при конструирането?
– Какво не можеш да правиш?

3. Установяване на причините за затруднението

Цели:

• организирайте корелацията на вашите действия с използваните стандарти (алгоритъм, концепция и др.);
• на тази основа организира идентифицирането и записването във външната реч на причината за затруднението - тези специфични знания и умения, които липсват за решаване на първоначалния проблем.

Организация на учебния процес на етап 3:

– Каква задача трябваше да изпълните?
– Какво използвахте, за да изпълните задачата?
– Къде възникна затруднението?
– Каква е причината за затруднението? (Нямаме начин да определим как е разположена графиката на функцията y = kx2 в зависимост от коефициента k.)

4. Проблемно обяснение на нови знания

Цели:

• организирайте поставянето на целта на урока;
• организира изясняване и съгласие по темата на урока;
• организират водещ или стимулиращ диалог по проблемното въвеждане на нови знания;
• организират използването на целеви действия с модели, диаграми, свойства и др.;
• организирайте записа на нов метод на действие в речта;
• организира фиксирането на нов метод на действие в знаци;
• съотнасяне на нови знания с правило в учебник, справочник, речник и др.
• организирайте запис на преодоляване на трудността.

Организация на учебния процес на етап 4:

– Формулирайте целта на вашата дейност. (Намерете начин да определите как е разположена графиката на функцията y = kx 2 в зависимост от коефициента k.)

– Посочете темата на урока. (Функция y = kx 2 , неговите свойства и графика).Слайд 6.

– А сега ще работите по групи: Слайд 8.

1-ва, 2-ра група:

Графични функции y = 2X 2 , y = 4X 2 и определете в кои координатни четвъртини се намират графиките на тези функции. Направете заключение относно коефициента k.

3, 4 група:

Графични функции y = – 2X 2 ,y = – 4X 2 и определете в кои координатни четвъртини се намират графиките на тези функции. Направете заключение относно коефициента k.

На всяка група се дава карта. (Ако възникнат затруднения, учениците могат да използват учебник или справочник.)

– Представете вашата версия на алгоритъма.

Всяка група представя своя вариант, останалите допълват и поясняват. След съгласие правилото се публикува на дъската:

Учителят добавя:

– Всяка от линиите, които построихте, се нарича парабола. В този случай точката (0;0) се нарича връх на параболата, а оста при– оста на симетрия на параболата.
„Скоростта на движение“ на клоните на параболата нагоре (надолу) и „степента на стръмност“ на параболата зависят от стойността на коефициента k.
- Какво откри току-що?
– Какво трябва да направиш сега?

5. Първично затвърдяване във външна реч

цел:организирайте асимилацията на децата на нов начин на действие с тяхното произношение във външната реч.

Организация на учебния процес на етап 5:

– В кои координатни четвъртини са разположени графиките на функциите? при = 1/5X 2 , при = X 2 /2, при = – X 2 /2, при = 3X 2 ?

Задачата се изпълнява по двойки, една двойка работи на дъската.

6. Самостоятелна работа със самопроверка по образец

Цели:

• организира самостоятелно изпълнение от учениците типични задачина нов начиндействия;
• Въз основа на резултатите от самостоятелната работа организира идентифицирането и коригирането на грешките;
• въз основа на резултатите от самостоятелната работа създайте ситуация на успех.

Организация на учебния процес на етап 6:

За самостоятелна работа е дадена задача на картата. Слайд 9.

На фиг. са показани графики на функциите при = х 2 .

За всяка графика посочете съответната стойност на коефициента k.

След като завършат работата, учениците я проверяват според образеца: Слайд 10.

– Какви правила използвахте при изпълнение на задачата?
– Кой има проблем – как да определим знака на коефициента k?
– Кой се затрудни да определи стойността на коефициента k?
– Кой изпълни правилно задачата?

7. Включване в системата от знания и повторение

Цели:

• тренирайте умения за използване на ново съдържание във връзка с предварително изучен материал;
• Прегледайте учебното съдържание, необходимо в следните уроци:

Организация на учебния процес на етап 7:

Задачата от GIA-9 се изпълнява на дъската. Слайдове 11-16.

– Определете термина, който се повтори много пъти днес в класа (графика).

1. Графиката на коя от тези функции е парабола, разположена в долната полуравнина?

3. Намерете диапазона от стойности на функцията y = – 5x2

а) при = –15X 2 б) при = – 9X 2 V) при = – X 2 G) при = – 5X 2

ц ъъъ f и

5. Посочете интервалите за нарастване на функцията y = – 5x 2

а) когато X > 0 б) когато X < 0 в) при X< 0 г) при X > 0

ч О И Т

6. Посочете най-малка стойностфункции y = – 5x 2

а) 0 б) не съществува в) – 5 г) 5

s до d V.

Проблеми по физика:Слайд 17.

Пътят, изминат от тялото през първите t секунди свободно падане, се изчислява по формулата: H = GT 2/2, където ж= 9,8 m/s 2. Намерете зависимостта на H от графиката t:

А) разстоянието, което падащият камък ще прелети за първите 6 секунди;
Б) времето, необходимо на камъка да прелети първите 250 m?

8. Рефлексия върху дейности в урока

Цели:

• организира фиксация ново съдържание, изучавани в урока;
• организира запис на степента на съответствие с поставената цел и резултатите от изпълнението;
• организира устно записване на стъпки за постигане на целта;
• въз основа на резултатите от анализа на работата в урока организирайте записването на насоки за бъдещи дейности;
• организира самооценка на работата на учениците в клас;
• организирайте дискусия и записване на домашните.

Организация на учебния процес на етап 8:

– Какво учихте днес?
– Какво ново научихте в урока?
– Какви цели си поставихте?
– Постигнахте ли целите си?
– Какво ви помогна да се справите с трудностите?
– Анализирайте работата си в клас.

Учениците работят с карти за размисъл (R).

домашна работа: Слайд 18.

• Прочетете параграф 17 от учебника
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

препратки:

1. А. Г. Мордкович. Алгебра 8 клас В две части. Учебник за ученици от общообразователни институции. М.:Мнемозина.2011.
2. Интернет ресурси.

Урок по алгебра в 7 клас по учебника на Мордкович Александър Григориевич.

Линейна функция y=kx и нейната графика.

Цели:

Обобщете и задълбочете знанията по темата „Линейна функция y = kx +m и нейната графика“ Разгледайте свойствата на графиките на линейни функции y = kx с различни коефициенти k.

Да се ​​насърчи развитието на наблюдението, способността за анализ, сравнение, обобщение.

Събудете у учениците необходимостта да обосновават твърденията си, възпитавайте самоконтрол и взаимен контрол.

Напредък на урока:

Организационен момент.

Встъпително слово на учителя.

Вече сте изучавали линейната функция y =kx +m и сте се научили как да изграждате графики на тази функция, а сега, моля, разгледайте графиките на следните функции и отговорете на въпросите:

СЛАЙД 2

Линейните функции се нанасят върху координатната равнина:

y=x,

y =0.5x;

y=-x;

y=-4x

Ще бъдат ли тези функции линейни? защо Какво е общото между тези четири обсъждани функции? По какво се различават от изучаваните преди това линейни функции?

СЛАЙД 3

Графики на данни за линейни функции.

СЛАЙД 4 (въпроси за слайд 3)

Отговори:

Графиките на тези линейни функции са или в 1-ва и 3-та четвъртина, или във 2-ра и 4-та четвъртина.

Каква е връзката между коефициента k и местоположението на графиката върху координатната равнина?

СЛАЙД 5 (отговори на въпроси на слайд 4)

Всички графики на тези линейни функции минават през началото O(0;0)

СЛАЙД 6

Ако коефициентът k<0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Ако коефициентът k >0, тогава линейната функция нараства и се намира в първата и третата четвърт.

СЛАЙД 8

Сега изпълнете следните задачи в учебник № 348 (a, b), 355:

Задача № 348(а; б).
Начертайте линейна функция:
а) y = 2x,
б) y = -3x.
В една координатна равнина.
Какво можете да кажете за графиките на тези линейни функции?

(Те минават през началото, линейната функция y=2x е нарастваща и се намира в 1-ва и 3-та четвърт, а линейната функция y=-3x е намаляваща и се намира във 2-ра и 4-та четвърт).

СЛАЙД 9

Решение (намиране на координатите на точки от данни на линейни функции). Колко координати на точки са необходими за начертаване на графика на дадени линейни функции? защо (Първо, защото графиките на линейните данни минават през началото, тоест точката с координата (0;0) и ние вече го знаем.)

СЛАЙД10

Ако сте изпълнили задачата правилно, трябва да получите графика като тази.

СЛАЙД11

По подобен начин изграждаме графиката на линейната функция y = -3x

Какво можете да кажете за тази функция? В кои квадранти ще се намира графиката на тази линейна функция?

Ако приемем стойността на абсцисата за положителна, тогава ординатата е отрицателна и, обратно, ако стойността на абсцисата е отрицателна, тогава ординатата е положителна.

СЛАЙД12

Ако сте изпълнили задачата правилно, тогава трябва да получите графика на тази линейна функция y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулиране на задача № 355)

СЛАЙД14

(Въпроси, които активират решението на задачата).

СЛАЙД15

Намиране на координатите на точки за начертаване на графика на дадена линейна функция y=0,4x.

СЛАЙД16

Използвайки графиката на тази линейна функция, намираме стойността на ординатата, съответстваща на стойността на абсцисата, равна на 0; 5; 10; -5.

Ако x =0, тогава y =0

Ако x =5, тогава y =2

Ако x =10, тогава y =4

Ако x =-5, тогава y =-2

СЛАЙД17

Използвайки графиката на тази линейна функция, намираме стойността x, съответстваща на стойността y, равна на 0; 2; 4; -2.

Ако y =0, тогава x =0

Ако y =2, тогава x =5

Ако y =4, тогава x =10

Ако y =-2, тогава x =-5

СЛАЙД18

Решение на неравенството: 0,4x >0. Какво трябва да знаем, за да решим това неравенство? Намерете при какви стойности на абсцисата (x) графиката на тази линейна функция ще бъде над оста на вол.

СЛАЙД19

Сега, използвайки графиката на тази линейна функция, решаваме неравенството: -2≤y ≤0.

Нека помислим как да решим това неравенство?

1. Маркирайте точките y =-2 и y =0 на оста oy.

2. Получаваме сегмент от права линия, който се намира в рамките на стойностите -2≤y ≤0:

От ординатата, равна на -2, и ординатата, равна на 0, спускаме перпендикуляра към графиката на тази линейна функция.

3. От краищата на сегмента на правата линия на графиката спуснете перпендикуляри към оста на вола.

4. Получихме стойностите на абсцисата, в рамките на които се намира графиката на тази права линия: -5≤x ≤0. Този интервал ще бъде решението на тази задача.

СЛАЙД 20

Домашна работа – самостоятелна работа №356.

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Числото $k$ се нарича наклон на правата.

Когато $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте фигура 1.

ориз. 1. Геометрично значение на наклона на линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $ВС=kx_0+b$. Да намерим пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така можем да направим следния извод:

Заключение

Геометрично значениекоефициент $k$. Ъгловият коефициент на правата линия $k$ е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази права линия спрямо оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Областта на дефиниция са всички числа.
2. Диапазонът от стойности е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. Когато $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).