Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интеграли, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво е дефинирано и неопределен интегралс?

Ако единствената употреба на интеграла, която познавате, е да получите нещо полезно от труднодостъпни места с кука във формата на интегрална икона, тогава добре дошли! Научете как да решавате прости и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Изучаваме концепцията « интегрална »

Интеграцията вече беше известна в Древен Египет. Разбира се, не в съвременна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено се отличава Нютон И Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Информация за границите и производните, необходими за разбирането на интегралите, вече имаме в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека да имаме някаква функция f(x) .

Неопределен интеграл на функцията f(x) такава функция се извиква F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, прочетете нашата статия за това как да изчислите производни.

Примитивът съществува за всички непрекъснати функции. Също така, постоянен знак често се добавя към антипроизводната, тъй като производните на функциите, които се различават с константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно примитивите елементарни функции, удобно е да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, преминало през неравномерно движениепътека и др. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример си представете графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция? С помощта на интеграл! Нека разбием криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сборът от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва, както следва:

Точките a и b се наричат ​​граници на интегриране.

« Интегрална »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка всякакъв вид работа

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена под знака на интеграла:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Вярно е и за разликата:

Свойства на определения интеграл

• линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се обърнат:

• В всякаквиточки а, бИ от:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.

За да консолидирате материала, гледайте видеоклип за това как интегралите се решават на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Свържете се с професионален студентски сервиз, и всяка тройна или криволинеен интегрална затворена повърхност ще бъде по силите ви.

Този калкулатор ви позволява да решите определен интеграл онлайн. Всъщност, изчисляване на определен интеграл- това е намиране на число, което е равно на площта под графиката на функцията. За решението е необходимо да се зададат границите на интеграция и функцията, която ще бъде интегрирана. След интегрирането, системата ще намери антипроизводна за дадена функция, изчислете неговите стойности в точките на границите на интегриране, намерете тяхната разлика, която ще бъде решение на определен интеграл. За да решите неопределен интеграл, трябва да използвате подобен онлайн калкулатор, който се намира на нашия уебсайт на връзката - Решете неопределения интеграл.

Ние позволяваме изчисляване на определен интеграл онлайнбързо и надеждно. Винаги ще получите правилното решение. Освен това за табличните интеграли отговорът ще бъде представен в класическата форма, тоест изразен чрез известни константи, като числото "pi", "exponent" и т.н. Всички изчисления са напълно безплатни и не изискват регистрация. Решавайки определен интеграл при нас, вие ще се спестите от отнемащи време и сложни изчисления, или като решите сами интеграла, ще можете да проверите своето решение.

За да се научите как да решавате определени интегралинеобходимо:

1) да мога намирамнеопределени интеграли.

2) да мога изчислиопределен интеграл.

Както можете да видите, за да овладеете определения интеграл, трябва да сте доста добре запознати с "обикновените" неопределени интеграли. Ето защо, ако току-що започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът все още не е заврил изобщо, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решение.

IN общ изгледОпределеният интеграл се записва така:

Какво е добавено в сравнение с неопределения интеграл? добави граници на интеграция.

Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.

Преди да преминем към практическите примери, малко "майната" на определения интеграл.

Какво е определен интеграл?Бих могъл да ви разкажа за диаметъра на деленето на отсечката, границата на интегралните суми и т.н., но урокът е от практически характер. Затова ще кажа, че определеният интеграл е ЧИСЛО. Да, да, най-често срещаното число.

Определеният интеграл има ли геометричен смисъл? Има. И много добре. Най-популярната задача изчисляване на площта с помощта на определен интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула Нютон-Лайбниц:

По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да бъде пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са както следва:

1) Първо намираме първообразната функция (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл никога не добавя. Обозначението е чисто техническо, а вертикалната пръчка няма никакво математическо значение, а всъщност е само зачертаване. Защо е необходим записът? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместваме стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместваме стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) Разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не, не винаги.

Например, интегралът не съществува, тъй като интегриращият сегмент не е включен в областта на дефиниране на интегралната функция (стойности под корен квадратенне може да бъде отрицателен). Ето един по-малко очевиден пример: . Такъв интеграл също не съществува, тъй като няма допирателна в точките на отсечката. Между другото, кой още не го е чел? методически материал Графики и основни свойства на елементарните функции- Сега е моментът да го направя. Ще бъде страхотно да помогнем по време на курса по висша математика.

За да съществува определен интеграл изобщо, е необходимо интегралната функция да е непрекъсната в интервала на интегриране.

От гореизложеното следва първата важна препоръка: преди да продължите с решението на ВСЯКО определен интеграл, трябва да се уверите, че интегралната функция непрекъснато в интервала на интегриране. Като студент многократно имах инцидент, когато дълго време страдах от намирането на труден примитив и когато най-накрая го намерих, се озадачих над още един въпрос: „какви глупости се оказаха?“. В опростен вариант ситуацията изглежда така:

???!!!

Не можете да замените отрицателни числа под корена!

Ако за решение (в контролна работа, на тест, изпит) Предлага ви несъществуващ интеграл лайк

тогава трябва да дадете отговор, че интегралът не съществува и да обосновете защо.

Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число? Може би. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, на която се изнася отделна лекция.

Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би такава ситуация наистина се случва на практика.

- интегралът се изчислява спокойно по формулата на Нютон-Лайбниц.

Без какво не може висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Следователно разглеждаме някои свойства на определен интеграл.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, докато променяте знака:

Например, в определен интеграл преди интегрирането е препоръчително да промените границите на интегриране до "обичайния" ред:

- в тази форма интеграцията е много по-удобна.

Що се отнася до неопределения интеграл, свойствата на линейността са валидни за определения интеграл:

- това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

В определен интеграл може да се извърши промяна на интеграционната променлива, обаче, в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.

За определен интеграл, формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(2) Интегрираме в таблицата, използвайки най-популярната формула . Препоръчително е да отделите появилата се константа от и да я изключите от скобата. Не е необходимо да се прави това, но е желателно - защо допълнителни изчисления?

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц

.

Първо заместваме в горната граница, след това в долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване, решение и отговор в края на урока.

Нека го направим малко по-трудно:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

(2) Интегрираме над таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.

(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:

СЛАБА ВРЪЗКА в определения интеграл са грешките в изчисленията и често срещано ОБЪРКВАНЕ НА ЗНАКА. Бъди внимателен! Аз се фокусирам върху третия мандат:

- първо място в хит парада на грешките поради невнимание, много често пишат автоматично

(особено когато замяната на горната и долната граница се извършва устно и не е подписана толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например аз самият решавах такива интеграли като този:

Тук използвах устно правилата за линейност, устно интегрирани върху масата. В крайна сметка получих само една скоба с очертаните граници:

(за разлика от трите скоби в първия метод). И в "цялата" антипроизводна функция първо замених първо 4, след това -2, отново изпълнявайки всички действия наум.

Какви са недостатъците на метода за кратко решение? Тук всичко не е много добре от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично не ме интересува - броя обикновени дроби на калкулатор.
Освен това има повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре за студент-манекени да използва първия метод, с „моят“ метод на решение, знакът определено ще се изгуби някъде.

Безспорните предимства на втория метод са скоростта на решението, компактността на нотацията и факта, че антипроизводната

е в една скоба.

Определен интеграл. Примери за решение

Здравей отново. В този урок ще анализираме подробно такова прекрасно нещо като определен интеграл. Този път въведението ще бъде кратко. Всичко. Защото снежна буря извън прозореца.

За да научите как да решавате определени интеграли, трябва:

1) да мога намирамнеопределени интеграли.

2) да мога изчислиопределен интеграл.

Както можете да видите, за да овладеете определения интеграл, трябва да сте доста добре запознати с "обикновените" неопределени интеграли. Ето защо, ако току-що започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът все още не е заврил изобщо, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решение. Освен това има pdf курсове за ултра бързо обучение- ако ви остава буквално ден, половин ден.

Най-общо определеният интеграл се записва като:

Какво е добавено в сравнение с неопределения интеграл? добави граници на интеграция.

Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.

Преди да преминем към практически примери, малко често задавани въпроси относно определения интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула Нютон-Лайбниц:

По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да бъде пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са както следва:

1) Първо намираме първообразната функция (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл не е добавен. Обозначението е чисто техническо, а вертикалната пръчка няма никакво математическо значение, а всъщност е само зачертаване. Защо е необходим записът? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместваме стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместваме стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) Разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не, не винаги.

Например, интегралът не съществува, защото интервалът на интегриране не е включен в областта на интегралната функция (стойностите под корен квадратен не могат да бъдат отрицателни). Ето един по-малко очевиден пример: . Тук, на интервала на интегриране допирателнаиздържа безкрайни паузив точките , , и следователно такъв определен интеграл също не съществува. Впрочем кой още не е чел методическия материал Графики и основни свойства на елементарните функции- Сега е моментът да го направя. Ще бъде страхотно да помогнем по време на курса по висша математика.

За това за да съществува въобще определеният интеграл, е достатъчно интегралната функция да е непрекъсната на интервала на интегриране.

От гореизложеното следва първата важна препоръка: преди да продължите с решението на ВСЯКО определен интеграл, трябва да се уверите, че интегралната функция непрекъснато в интервала на интегриране. Като студент многократно имах инцидент, когато дълго време страдах от намирането на труден примитив и когато най-накрая го намерих, се озадачих над още един въпрос: „какви глупости се оказаха?“. В опростен вариант ситуацията изглежда така:

???! Не можете да замените отрицателни числа под корена! Какво по дяволите?! първоначална небрежност.

Ако за решение (в тест, в тест, изпит) ви се предлага интеграл като или , тогава трябва да дадете отговор, че този определен интеграл не съществува и да обосновете защо.

! Забележка : в последния случай думата „сигурен“ не може да бъде пропусната, т.к интегралът с точкови прекъсвания се разделя на няколко, в този случай на 3 неправилни интеграла и формулировката „този интеграл не съществува“ става неправилна.

Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число?Може би. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, на която се изнася отделна лекция.

Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би такава ситуация наистина се случва на практика.

- интегралът се изчислява спокойно по формулата на Нютон-Лайбниц.

Без какво не може висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Следователно разглеждаме някои свойства на определен интеграл.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като същевременно промените знака:

Например, в определен интеграл преди интегрирането е препоръчително да промените границите на интегриране до "обичайния" ред:

- в тази форма интеграцията е много по-удобна.

- това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

В определен интеграл може да се извърши промяна на интеграционната променлива, обаче, в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.

За определен интеграл, формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(2) Интегрираме в таблицата, използвайки най-популярната формула . Препоръчително е да отделите появилата се константа от и да я изключите от скобата. Не е необходимо да се прави това, но е желателно - защо допълнителни изчисления?

. Първо заместваме в горната граница, след това в долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване, решение и отговор в края на урока.

Нека го направим малко по-трудно:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

(2) Интегрираме над таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.

(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:

СЛАБА ВРЪЗКА в определения интеграл са грешките в изчисленията и често срещано ОБЪРКВАНЕ НА ЗНАКА. Бъди внимателен! Аз се фокусирам върху третия мандат: - първо място в хит парада на грешките поради невнимание, много често пишат автоматично (особено когато замяната на горната и долната граница се извършва устно и не е подписана толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например аз самият решавах такива интеграли като този:

Тук използвах устно правилата за линейност, устно интегрирани върху масата. В крайна сметка получих само една скоба с очертаните граници: (за разлика от трите скоби в първия метод). И в "цялата" антипроизводна функция първо замених първо 4, след това -2, отново изпълнявайки всички действия наум.

Какви са недостатъците на метода за кратко решение? Тук всичко не е много добре от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично не ме интересува - броя обикновени дроби на калкулатор.
Освен това има повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре за студент-манекени да използва първия метод, с „моят“ метод на решение, знакът определено ще се изгуби някъде.

Несъмнените предимства на втория метод обаче са скоростта на решението, компактността на нотацията и фактът, че антипроизводната е в една скоба.

Съвет: преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, е полезно да проверите: правилно ли е намерен самият антидериват?

И така, във връзка с разглеждания пример: преди да замените горната и долната граница в антипроизводната функция, препоръчително е да проверите върху черновата дали неопределеният интеграл изобщо е намерен правилно? диференцирайте:

Получава се оригиналният интеграл, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно. Сега можете да приложите формулата на Нютон-Лайбниц.

Такава проверка няма да е излишна при изчисляване на определен интеграл.

Пример 4

Изчислете определен интеграл

Това е пример за самостоятелно решаване. Опитайте се да го разрешите по кратък и подробен начин.

Промяна на променлива в определен интеграл

За определения интеграл са валидни всички видове замествания, както и за неопределения интеграл. Така че, ако не сте много добри в заместванията, трябва внимателно да прочетете урока. Метод на заместване в неопределен интеграл.

Няма нищо страшно или сложно в този параграф. Новостта се крие във въпроса как да промените границите на интеграция при подмяна.

В примерите ще се опитам да дам такива видове заместители, които все още не са виждани никъде в сайта.

Пример 5

Изчислете определен интеграл

Основен въпростук изобщо не е в определен интеграл, а в това как правилно да се извърши подмяната. Гледаме вътре интегрална масаи разбираме как изглежда най-вече нашият интеграл? Очевидно на дългия логаритъм: . Но има едно несъответствие, в табличния интеграл под корена, а в нашия - "x" до четвърта степен. Идеята за замяна произтича от разсъжденията - би било хубаво по някакъв начин да превърнем нашата четвърта степен в квадрат. Истинско е.

Първо, подготвяме нашия интеграл за подмяна:

От горните съображения, замяната естествено се подсказва:
Така всичко ще бъде наред в знаменателя: .
Откриваме в какво ще се превърне останалата част от интегралната функция, за това намираме диференциала:

В сравнение със замяната в неопределения интеграл, ние добавяме допълнителна стъпка.

Намиране на нови граници на интеграция.

Това е достатъчно просто. Разглеждаме нашата подмяна и старите граници на интеграция, .

Първо, заместваме долната граница на интегриране, тоест нула, в израза за заместване:

След това заместваме горната граница на интегриране в израза за заместване, тоест корен от три:

Готов. И просто нещо…

Нека продължим с решението.

(1) Според замяната напишете нов интеграл с нови граници на интегриране.

(2) Това е най-простият интеграл на таблицата, ние интегрираме върху таблицата. По-добре е да оставите константата извън скобите (не можете да направите това), за да не се намесва в по-нататъшните изчисления. Вдясно начертаваме линия, показваща новите граници на интегриране - това е подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц .

Стремим се да напишем отговора в най-компактната форма, тук използвах свойствата на логаритмите.

Друга разлика от неопределения интеграл е, че след като сме направили заместването, не се изискват замествания.

А сега няколко примера за независимо решение. Какви замествания да извършите - опитайте се да отгатнете сами.

Пример 6

Изчислете определен интеграл

Пример 7

Изчислете определен интеграл

Това са примери за самопомощ. Решения и отговори в края на урока.

И в края на параграфа няколко важни точки, анализът на които се появи благодарение на посетителите на сайта. Първият засяга легитимност на замяната. В някои случаи не може да се направи!Така че Пример 6 изглежда може да се разреши с универсално тригонометрично заместване, но горната граница на интеграция ("пи")не са включени в домейнтази допирателна и следователно тази замяна е незаконна! По този начин, функцията "замяна" трябва да е непрекъсната във всичкоточки от сегмента на интеграция.

В друг имейл беше получен следният въпрос: „Трябва ли да променим границите на интегриране, когато приведем функцията под диференциалния знак?“. Първоначално исках да „отмахна глупостите“ и автоматично да отговоря „разбира се, че не“, но след това се замислих за причината за такъв въпрос и изведнъж открих, че информацията липсва. Но това е, макар и очевидно, но много важно:

Ако поставим функцията под знака на диференциала, тогава няма нужда да променяме границите на интегриране! Защо? Защото в този случай няма реален преход към нова променлива. Например:

И тук сумирането е много по-удобно от академичната подмяна с последващо „рисуване“ на нови граници на интеграция. По този начин, ако определеният интеграл не е много сложен, тогава винаги се опитвайте да поставите функцията под знака на диференциала! По-бърз е, по-компактен е и е често срещан - както ще видите десетки пъти!

Благодаря ви много за вашите писма!

Метод на интегриране по части в определен интеграл

Тук има още по-малко новост. Всички публикации на статията Интегриране по части в неопределен интегралса напълно валидни и за определен интеграл.
Плюс това, има само един детайл, във формулата за интегриране по части се добавят границите на интеграция:

Тук формулата на Нютон-Лайбниц трябва да се приложи два пъти: за продукта и след като вземем интеграла.

Аз например отново избрах вида интеграл, който не съм виждал никъде другаде в сайта. Примерът не е най-лесният, но много, много информативен.

Пример 8

Изчислете определен интеграл

Ние решаваме.

Интегриране по части:

Който е имал затруднения с интеграла, вижте урока Интеграли от тригонометрични функции, където е разгледано подробно.

(1) Записваме решението в съответствие с формулата за интегриране по части.

(2) За продукта използваме формулата на Нютон-Лайбниц. За останалия интеграл използваме свойствата на линейността, като го разделяме на два интеграла. Не се обърквайте от знаци!

(4) Прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц за двата намерени антидеривата.

Честно казано, не ми харесва формулата и, ако е възможно, ... изобщо без него! Помислете за втория начин на решаване, от моя гледна точка той е по-рационален.

Изчислете определен интеграл

В първата стъпка намирам неопределения интеграл:

Интегриране по части:

Установена е антипроизводна функция. В този случай няма смисъл да добавяте константа.

Какво е предимството на подобно пътуване? Няма нужда да „влачите“ границите на интеграцията, наистина можете да бъдете измъчени десетки пъти, като пишете малки иконки на границите на интеграцията

Във втората стъпка проверявам(обикновено на чернова).

Също така е логично. Ако намеря неправилно първопроизводната функция, тогава ще реша и определения интеграл неправилно. По-добре е да разберете веднага, нека разграничим отговора:

Първоначалната интегрална функция е получена, което означава, че антипроизводната функция е намерена правилно.

Третият етап е прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц:

И тук има значителна полза! При „моя“ начин на решаване има много по-нисък риск да се объркате при замествания и изчисления – формулата на Нютон-Лайбниц се прилага само веднъж. Ако чайникът реши подобен интеграл, използвайки формулата (първия начин), тогава стопудово ще сбърка някъде.

Разглежданият алгоритъм за решение може да се приложи към всеки определен интеграл.

Уважаеми студенти, отпечатайте и запазете:

Ами ако е даден определен интеграл, който изглежда сложен или не е ясно веднага как да го решим?

1) Първо намираме неопределения интеграл (антипроизводна функция). Ако на първия етап имаше неудобство, е безсмислено да се люлее лодката с Нютон и Лайбниц. Има само един начин - да повишите нивото си на знания и умения за решаване неопределени интеграли.

2) Проверяваме откритата антипроизводна функция чрез диференциране. Ако бъде намерен неправилно, третата стъпка ще бъде загуба на време.

3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц. Ние извършваме всички изчисления ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНО - тук е най-слабото звено в задачата.

И за закуска, неразделна част за самостоятелно решение.

Пример 9

Изчислете определен интеграл

Решението и отговорът са някъде наблизо.

Следният препоръчан урок по темата е − Как да изчислим площта на фигура с помощта на определения интеграл?
Интегриране по части:

Определено ли ги реши и получи ли такива отговори? ;-) И има порно на старицата.

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интеграли, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба на интеграла, която познавате, е да получите нещо полезно от труднодостъпни места с кука във формата на интегрална икона, тогава добре дошли! Научете как да решавате прости и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Изучаваме концепцията « интегрална »

Интеграцията е била позната в древен Египет. Разбира се, не в съвременна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено се отличава Нютон И Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Информацията за , която също е необходима за разбиране на интеграли, вече е в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека да имаме някаква функция f(x) .

Неопределен интеграл на функцията f(x) такава функция се извиква F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, за това как да прочетете в нашата статия.

Антипроизводна съществува за всички непрекъснати функции. Също така, постоянен знак често се добавя към антипроизводната, тъй като производните на функциите, които се различават с константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарните функции, е удобно да ги приведете в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, пътят, изминат при неравномерно движение, и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример си представете графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция? С помощта на интеграл! Нека разбием криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сборът от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва, както следва:

Точките a и b се наричат ​​граници на интегриране.

« Интегрална »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена под знака на интеграла:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Вярно е и за разликата:

Свойства на определения интеграл

• линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се обърнат:

• В всякаквиточки а, бИ от:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.

За да консолидирате материала, гледайте видеоклип за това как интегралите се решават на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Обърнете се към професионален студентски сервиз и всеки троен или криволинейн интеграл върху затворена повърхност ще бъде във вашата власт.