Изброяваме интегралите от елементарни функции, които понякога се наричат ​​таблични:

Всяка от горните формули може да бъде доказана, като се вземе производната на дясната страна (в резултат на това ще се получи интеграндът).

Интеграционни методи

Нека разгледаме някои основни методи за интеграция. Те включват:

1. Метод на разлагане(директна интеграция).

Този метод се основава на директното прилагане на таблични интеграли, както и на прилагането на свойства 4 и 5 на неопределения интеграл (т.е. изваждане на постоянния фактор извън скобите и/или представяне на интегранта като сума от функции - разширяване на интегранта в членове).

Пример 1Например, за да намерите (dx/x 4), можете директно да използвате табличния интеграл за x n dx. Наистина, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2За да намерим, използваме същия интеграл:

Пример 3За да намерите, трябва да вземете

Пример 4За да намерим, представяме интегранта във формата и използвайте табличния интеграл за експоненциална функция:

Помислете за използването на скоби на постоянния фактор.

Пример 5Да намерим например . Имайки предвид това, получаваме

Пример 6Да намерим. Тъй като , използваме табличния интеграл Вземете

Можете също да използвате скоби и таблични интеграли в следните два примера:

Пример 7

(ние използваме и );

Пример 8

(ние използваме и ).

Нека да разгледаме по-сложни примери, които използват сумарния интеграл.

Пример 9Например, да намерим
. За да приложим метода на разширение в числителя, ние използваме формулата на куба на сумата  и след това разделяме получения полином член по член на знаменателя.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Трябва да се отбележи, че в края на решението се записва една обща константа C (а не отделни при интегрирането на всеки член). В бъдеще се предлага също така да се пропуснат константите от интегрирането на отделните членове в процеса на решаване, стига изразът да съдържа поне един неопределен интеграл (ще запишем една константа в края на решението).

Пример 10Да намерим . За да разрешим този проблем, разлагаме числителя на множители (след това можем да намалим знаменателя).

Пример 11.Да намерим. Тук могат да се използват тригонометрични идентичности.

Понякога, за да разложите израз на термини, трябва да използвате по-сложни техники.

Пример 12.Да намерим . В интегранта избираме целочислената част от дробта . Тогава

Пример 13Да намерим

2. Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът се базира на следната формула: f(x)dx=f((t))`(t)dt, където x =(t) е функция, диференцируема на разглеждания интервал.

Доказателство. Нека намерим производните по отношение на променливата t от лявата и дясната част на формулата.

Обърнете внимание, че от лявата страна има сложна функция, чийто междинен аргумент е x = (t). Следователно, за да го диференцираме по отношение на t, първо диференцираме интеграла по отношение на x и след това вземаме производната на междинния аргумент по отношение на t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производна на дясната страна:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Тъй като тези производни са равни, по следствие от теоремата на Лагранж, лявата и дясната част на доказаната формула се различават с някаква константа. Тъй като самите неопределени интеграли са дефинирани до неопределен постоянен член, тази константа може да бъде пропусната в крайната нотация. Доказано.

Успешната промяна на променлива ни позволява да опростим първоначалния интеграл и в най-простите случаи да го намалим до табличен. При прилагането на този метод се разграничават методите на линейно и нелинейно заместване.

а) Метод на линейно заместваненека да разгледаме един пример.

Пример 1
. Тогава Lett= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Трябва да се отбележи, че новата променлива не трябва да се изписва изрично. В такива случаи се говори за преобразуване на функция под знака на диференциала или за въвеждане на константи и променливи под знака на диференциала, т.е. относно имплицитно заместване на променлива.

Пример 2Например, нека намерим cos(3x + 2)dx. По свойствата на диференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогаваcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

И в двата разгледани примера за намиране на интегралите е използвано линейното заместване t=kx+b(k0).

В общия случай е вярна следната теорема.

Теорема за линейно заместване. Нека F(x) е някаква първоизводна за функцията f(x). Тогаваf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, където k и b са някои константи, k0.

Доказателство.

По дефиниция на интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Изваждаме постоянния фактор k за интегралния знак: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Сега можем да разделим лявата и дясната част на равенството на k и да получим твърдението, което трябва да се докаже с точност до записа на постоянен член.

Тази теорема гласи, че ако изразът (kx+b) се замести в дефиницията на интеграла f(x)dx= F(x) + C, тогава това ще доведе до появата на допълнителен фактор 1/k отпред на антипроизводното.

Използвайки доказаната теорема, решаваме следните примери.

Пример 3

Да намерим . Тук kx+b= 3 –x, т.е. k= -1,b= 3. Тогава

Пример 4

Да намерим. Тук kx+b= 4x+ 3, т.е. k= 4,b= 3. Тогава

Пример 5

Да намерим . Тук kx+b= -2x+ 7, т.е. k= -2,b= 7. Тогава

.

Пример 6Да намерим
. Тук kx+b= 2x+ 0, т.е. k= 2,b= 0.

.

Нека сравним получения резултат с пример 8, който беше решен чрез метода на разлагане. Решавайки същия проблем по друг метод, получихме отговора
. Нека сравним резултатите: По този начин тези изрази се различават един от друг с постоянен термин , т.е. получените отговори не си противоречат.

Пример 7Да намерим
. Избираме пълен квадрат в знаменателя.

В някои случаи промяната на променливата не редуцира интеграла директно до табличен, но може да опрости решението, като направи възможно прилагането на метода на разлагане на следващата стъпка.

Пример 8Например, да намерим . Заменете t=x+ 2, след това dt=d(x+ 2) =dx. Тогава

,

където C \u003d C 1 - 6 (при заместване вместо t на израза (x + 2), вместо първите два члена, получаваме ½x 2 -2x - 6).

Пример 9Да намерим
. Нека t= 2x+ 1, тогава dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Заменяме израза (2x + 1) вместо t, отваряме скобите и даваме подобни.

Имайте предвид, че в процеса на трансформации преминахме към друг постоянен член, защото групата на постоянните членове в процеса на трансформации може да бъде пропусната.

б) Метод на нелинейно заместваненека да разгледаме един пример.

Пример 1
. Нека t= -x 2 . Освен това, човек може да изрази x чрез t, след това да намери израз за dx и да приложи промяна на променлива в необходимия интеграл. Но в този случай е по-лесно да се направи друго. Намерете dt=d(-x 2) = -2xdx. Обърнете внимание, че изразът xdx е фактор на подинтегралната функция на търсения интеграл. Изразяваме го от полученото равенство xdx= - ½dt. Тогава

Главни интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на основите. Тези формули, разбира се, трябва да се запомнят. Когато изчислявате по-сложни интеграли, ще трябва да ги използвате постоянно.

Обърнете специално внимание на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към отговора, когато интегрирате!

Интеграл от константа

∫ A d x = A x + C (1)

Интегриране на мощностна функция

Всъщност може да се ограничи до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група са толкова често срещани, че си струва да им обърнем малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненциалната функция и на хиперболичните функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запомняне) може да се счита за специален случайформули (9). Формули (10) и (11) за интегралите на хиперболичния синус и хиперболичния косинус се извеждат лесно от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометрични функции

Грешка, която учениците често правят: бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, по някаква причина много хора вярват, че интегралът на функцията sinx е равен на cosx. Това не е вярно! Интегралът от синус е "минус косинус", но интегралът от cosx е "само синус":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Редуциране на интеграли до обратни тригонометрични функции

Формула (16), която води до аркутангенса, естествено е частен случай на формула (17) за a=1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

По-сложни интеграли

Тези формули също е желателно да запомните. Те също се използват доста често и изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Общи правила за интегриране

1) Интегралът от сумата на две функции е равен на сумата от съответните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралът на разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да бъде извадена от интегралния знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види, че свойство (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27).

4) Интеграл на сложна функция, ако вътрешната функция е линейна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тук F(x) е първоизводната за функцията f(x). Имайте предвид, че тази формула работи само когато вътрешната функция е Ax + B.

Важно: не съществува универсална формулаза интеграла на произведението на две функции, както и за интеграла на дробта:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (тридесет)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), трябва да измислите начин да се "борите" с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, някъде ще трябва да направите промяна на променлива, а понякога дори "училищните" формули на алгебра или тригонометрия могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Пример 1. Намерете интеграла: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Използваме формули (25) и (26) (интегралът на сбора или разликата на функциите е равен на сбора или разликата на съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Спомнете си, че константата може да бъде извадена от интегралния знак (формула (27)). Изразът се преобразува във формата

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Ще трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Да се ​​интегрираме степенна функция, синус, експонента и константа 1. Не забравяйте да добавите произволна константа C в края:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформации получаваме крайния отговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тествайте се с диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на оригиналния интегранд.

Обобщена таблица на интегралите

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (математически анализ, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран преподавател, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Нека решим проблемите ви заедно!

Може също да се интересувате

Определение 1

Производната $F(x)$ за функцията $y=f(x)$ на отсечката $$ е функция, която е диференцируема във всяка точка от тази отсечка и за нейната производна е в сила следното равенство:

Определение 2

Колекцията от всички примитиви дадена функция$y=f(x)$, дефиниран на някакъв интервал, се нарича неопределен интеграл на дадената функция $y=f(x)$. Неопределеният интеграл се обозначава със символа $\int f(x)dx $.

От таблицата на производните и Определение 2, получаваме таблица на основните интеграли.

Пример 1

Проверете валидността на формула 7 от таблицата на интегралите:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Нека разграничим дясната страна: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Пример 2

Проверете валидността на формула 8 от таблицата на интегралите:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 3

Проверете валидността на формула 11" от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Разграничете дясната страна: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 4

Проверете валидността на формула 12 от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Производната е равна на интегранта. Следователно формулата е правилна.

Пример 5

Проверете валидността на формула 13 "от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 6

Проверете валидността на формула 14 от таблицата на интегралите:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

Разграничете дясната страна: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Производната се оказа равна на подинтегралната функция. Следователно формулата е правилна.

Пример 7

Намерете интеграла:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Нека използваме теоремата за сумарния интеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Нека използваме теоремата за изваждане на постоянния фактор от интегралния знак:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Според таблицата на интегралите:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Когато изчисляваме първия интеграл, използваме правило 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Следователно,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Интегрирането е една от основните операции в математическия анализ. Таблиците на известните антипроизводни може да са полезни, но сега, след появата на системите за компютърна алгебра, те губят своето значение. По-долу е даден списък на най-често срещаните антипроизводни.

Таблица на основните интеграли

Друга компактна версия

Таблица с интеграли от тригонометрични функции

От рационални функции

От ирационални функции

Интеграли на трансцендентни функции

"C" е произволна константа на интегриране, която се определя, ако стойността на интеграла в даден момент е известна. Всяка функция има безкраен брой първоизводни.

Повечето ученици и студенти имат проблеми с изчисляването на интеграли. Тази страница съдържа таблици на интегралитеот тригонометрични, рационални, ирационални и трансцендентални функции, които ще помогнат при решаването. Повече ще ви помогне производна таблица.

Видео - как да намерите интеграли

Ако не сте напълно наясно с тази тема, изгледайте видеото, което обяснява всичко в детайли.