Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ни позволяват да преминем от сумата на тези ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Нека незабавно да отбележим, че не трябва да бъркате формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сбора и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме техните изводи и показваме примери за приложение при конкретни проблеми.

Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика за синуси

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули за сбор и разлика за косинуси

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат ​​съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Нека дадем формулировката за всяка формула.

Дефиниции на формули за суми и разлики на синуси и косинуси

Сума от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.

Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.

Сума от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разлика на косинусите на два ъгъларавен на удвоения продукт на синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.

Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Нека ги изброим по-долу

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Нека си представим и самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.

Извеждане на формулата за сбор от синуси

В сумата sin α + sin β заместваме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. получаваме

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз, а към втория - формулата за синуса на ъгловите разлики (вижте формулите по-горе)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете скобите, добавете подобни членове и получете необходимата формула

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.

Извеждане на формулата за разликата на синусите

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Извеждане на формулата за сбор от косинуси

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Извеждане на формулата за разликата на косинусите

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примери за решаване на практически задачи

Първо, нека проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2, β = π 6. Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо ще използваме таблицата с основните стойности на тригонометричните функции и след това ще приложим формулата за сбора на синусите.

Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим разликата между синусите на тези ъгли.

Пример 2. Приложение на формулата за разликата на синусите

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат ​​формули за преминаване от сбор към продукт. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения и при преобразуване на тригонометрични изрази.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тригонометричните формули имат редица свойства, едно от които е използването на формули за намаляване на степента. Те помагат за опростяване на изразите чрез намаляване на степента.

Определение 1

Формулите за редукция работят на принципа на изразяване на степента на синус и косинус чрез синус и косинус на първа степен, но кратно на ъгъла. Когато се опрости, формулата става удобна за изчисления и кратността на ъгъла се увеличава от α до n α.

Формули за намаляване на степени, тяхното доказателство

По-долу е дадена таблица с формули за намаляване на градуса от 2 до 4 за ъгли sin и cos. След като ги прочетем ще попитаме обща формулаза всички степени.

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 sin α - sin 3 α 4 sin 4 = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Тези формули са предназначени за намаляване на степента.

Има формули за двойния ъгъл на косинус и синус, от които следват формулите за намаляване на степента cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1. Равенствата се разрешават по отношение на квадрата на синус и косинус, които са дадени като sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулите за намаляване на степените на тригонометричните функции имат нещо общо с формулите за синус и косинус половин ъгъл.

Формулата за троен ъгъл sin 3 α = 3 · sin α - 4 · sin 3 α и cos 3 α = - 3 · cos α + 4 · cos 3 α.

Ако решим равенството по отношение на синус и косинус в куб, получаваме формули за намаляване на степени за синус и косинус:

sin 3 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4.

Формулите за четвъртата степен на тригонометричните функции изглеждат така: sin 4 α = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8.

За да намалите степените на тези изрази, можете да действате на 2 етапа, тоест да ги намалите два пъти, тогава изглежда така:

sin 4 α = (sin 2 α) 2 = (1 - cos 2 α 2) 2 = 1 - 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 - 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = (cos 2 α) 2 = (1 + cos 2 α 2) 2 = 1 + 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

За решаване на някои проблеми ще бъде полезна таблица с тригонометрични идентичности, което ще направи много по-лесно трансформирането на функции:

Най-простите тригонометрични тъждества

Частното от деленето на синуса на ъгъл алфа на косинуса на същия ъгъл е равно на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за коректността на преобразуването на най-простите тригонометрични тъждества.
Частното от деленето на косинуса на ъгъл алфа на синуса на същия ъгъл е равно на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъл е равен на единица, разделена на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сборът от квадратите на синуса и косинуса на един и същи ъгъл е равен на едно (Формула 4). вижте също доказателството за сумата от квадратите на косинус и синус.
Сборът от едно и тангенса на ъгъл е равен на съотношението едно към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Едно плюс котангенсът на ъгъл е равно на частното от едно, делено на синус квадрат на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).

Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)

За да се отървете от отрицателната стойност степенна мяркаъгъл, когато изчислявате синус, косинус или тангенс, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (идентичности), базирани на принципите на четните или нечетните тригонометрични функции.

Както можете да видите, косинуси секансът е дори функция , синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.

Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателна стойностсинус на същия положителен ъгъл (минус синус алфа).
Косинусът минус алфа ще даде същата стойност като косинуса на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус тангенс алфа.

Формули за намаляване на двойни ъгли (синус, косинус, тангенс и котангенс на двойни ъгли)

Ако трябва да разделите ъгъл наполовина или обратното, да преминете от двоен ъгъл към единичен ъгъл, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:

Преобразуване на двоен ъгъл (синус на двоен ъгъл, косинус на двоен ъгъл и тангенс на двоен ъгъл) в единичен се случва съгласно следните правила:

Синус на двоен ъгълравно на удвоеното произведение на синуса и косинуса на един ъгъл

Косинус на двоен ъгълравна на разликата между квадрата на косинуса на отделен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл

Косинус на двоен ъгълравно на удвоения квадрат на косинуса на отделен ъгъл минус едно

Косинус на двоен ъгълравно на едно минус двоен синус на квадрат на единичен ъгъл

Тангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл, а знаменателят е равен на едно минус тангенса на квадрат на единичен ъгъл.

Котангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е квадрат на котангенса на отделен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл

Формули за универсално тригонометрично заместване

Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометрична функция (sin α, cos α, tan α) на две и да намалите израза до стойността на половин ъгъл. От стойността на α получаваме α/2.

Тези формули се наричат формули на универсално тригонометрично заместване. Тяхната стойност се състои в това, че тригонометричен израз с тяхна помощ се свежда до изразяване на тангенса на половин ъгъл, независимо от тригонометрични функции (sincos tg ctg) бяха в израза първоначално. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.

Тригонометрични тъждества за полуъглови трансформации

Следват формулите за тригонометрично преобразуване на половин ъгъл в цялата му стойност.
Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се редуцира до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.

Тригонометрични формули за събиране на ъгли

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани, като се използват следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:

Тангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.

Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на ъгъла, който се намалява, и тангенса на ъгъла, който се изважда, а знаменателят е едно плюс произведението на тангенсите на тези ъгли.

Котангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.

Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангенсите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равен на сбора от котангенсите на тези ъгли.

Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, тангенса на 105 градуса (tg 105). Ако си го представите като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъгли и след това просто да замените табличните стойности на тангентата 45 и тангентата 60 градуса.

Формули за преобразуване на сумата или разликата на тригонометрични функции

Изрази, представляващи сбор от формата sin α + sin β, могат да бъдат трансформирани с помощта на следните формули:

Формули за троен ъгъл - преобразуване sin3α cos3α tan3α в sinα cosα tanα

Понякога е необходимо да се трансформира тройната стойност на ъгъл, така че аргументът на тригонометричната функция да стане ъгъл α вместо 3α.
В този случай можете да използвате формулите за трансформация на троен ъгъл (идентичности):

Формули за преобразуване на произведения на тригонометрични функции

Ако има нужда да се преобразува произведението на синуси от различни ъгли, косинуси от различни ъгли или дори произведение от синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:


В този случай произведението на функциите синус, косинус или тангенс на различни ъгли ще бъде преобразувано в сбор или разлика.

Формули за редуциране на тригонометрични функции

Трябва да използвате таблицата за намаляване, както следва. В реда избираме функцията, която ни интересува. В колоната има ъгъл. Например синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α.

Уточняват се връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични тъждества

Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.

Формули за намаляване

Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (наричат ​​се още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основна цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универсално тригонометрично заместване

Завършваме нашия преглед на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се наричаше универсално тригонометрично заместване. Удобството му се състои в това, че всички тригонометрични функции се изразяват рационално чрез тангенса на полуъгъл без корени.

Референции.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.