Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, с обяснения за тяхното приложение или обосновка за тяхната коректност. Освен това на отделна фигура е показано съответствието между буквените символи във формулите и графичните символи на чертежа.

Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства (равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• "Формула за площта на равностранен триъгълник"

Формули за площ на триъгълник

Обяснения към формулите:
a, b, c- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиус на окръжността, вписана в триъгълника
Р- радиус на окръжността, описана около триъгълника
ч- височина на триъгълника, спуснат настрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгъл срещу страна а на триъгълника
β - ъгъл срещу страна b на триъгълника
γ - ъгъл срещу страната c на триъгълника
ч а, ч b , ч c- височина на триъгълника, спуснат до страни a, b, c

Моля, имайте предвид, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че при решаване на реална геометрична задача ще ви бъде по-лесно да заместите визуално правилните местаформулите са правилни стойности.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника и дължината на страната, с която тази височина е намалена(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако построите всеки от тях в правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна на точно половината от площта на правоъгълника (Spr = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на задача с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда различен от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страната b, се оказва, че произведението на страната a и синуса на ъгъл γ, според свойствата на синуса в правоъгълен триъгълник, е равно на височината на триъгълника, който начертахме , което ни дава предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник чрез работаполовината от радиуса на вписаната в нея окръжност от сумата от дължините на всичките й страни(Формула 3), просто казано, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписания кръг (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като продуктът на всичките му страни се раздели на 4 радиуса на описаната около него окръжност (Формула 4)
• Формула 5 е намиране на площта на триъгълник чрез дължините на страните му и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула без използване на концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата на окръжността, описана около него от синусите на всеки от неговите ъгли. (Формула 8)
• Ако са известни дължината на едната страна и стойностите на два съседни ъгъла, тогава площта на триъгълника може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както според формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник въз основа на координатите на неговите върхове, които са посочени като (x;y) стойности за всеки от върховете. Моля, имайте предвид, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделни (или дори всички) върхове може да са в областта на отрицателните стойности

Забележка. Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите геометрична задача, която не е подобна тук, пишете за това във форума. В решенията вместо символа " корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази може да се използва символът √

Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение.

За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S=1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от условията на задачата във формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблицата със стойности тригонометрични функцииНека намерим и заместим стойността на синус 60 градуса в израза. Ще бъде равно на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Разтвор .

Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник приема формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на дадения триъгълник, а след това ще намерим площта на триъгълника, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата.

По-долу предоставяме текстово обяснение на решението на проблема стъпка по стъпка. В самия край обаче същото това решение е представено в по-удобна графична форма. Тези, които се интересуват, могат веднага да преминат към решенията.

За да решим, използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте първия ред на снимката по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се задават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е общ множител, който може да бъде изваден от скоби от всичките четири израза според общи правиламатематика.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвърти ред

Коренът квадратен от числото 256 е идеално извлечен, така че нека го извадим изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте петия ред на снимката по-долу)

За да отговорим на въпроса, зададен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния.
Нека определим съотношенията на площите, като разделим изразите един на друг и намалим получената дроб.

В интернет можете да намерите над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник. Много от тях се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Въпреки това, има редица сложни примерикъдето според условията на заданието са известни само едната страна и ъглите на триъгълника или радиусът на описаната или вписаната окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите, дадени по-долу, ще ви позволят да решите 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждане на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, показан на фигурата по-долу

На фигурата и по-долу във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики.
a,b,c – страни на триъгълника,
R – радиус на описаната окръжност,
r – радиус на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] – височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама – ъгли в близост до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се напише по следния начин

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, от тази формула може да се извлече една полезна връзка между височините

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълник през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това първата формула за площ е последвана от вторите от същия тип

Погледнете внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като работата включва две страни и ъгъла между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), ще получим две страни a,b а ъгълът е свързан с третияС (хамма).

3. За ъглите на триъгълник връзката е вярна

Зависимостта ви позволява да използвате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията:

Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площ по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е следната

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за други страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са посочени в равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата, взета по модул.

7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта с помощта на формулата

или

Доста често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли с калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "време две".

9. Следните формули използват известните радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълника или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Квадрат правоъгълен триъгълник с крака a и b е равно на половината от техния продукт

Формула за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

= една четвърт от произведението на квадрата на страната и корен от три.

Триъгълникът е три точки, които не лежат на една права и три отсечки, които ги свързват. В противен случай триъгълникът е многоъгълник, който има точно три ъгъла.

Тези три точки се наричат ​​върхове на триъгълника, а отсечките се наричат ​​страни на триъгълника. Страните на триъгълника образуват три ъгъла във върховете на триъгълника.

Равнобедрен триъгълник е този, в който двете страни са равни. Тези страни се наричат ​​странични, третата страна се нарича основа. IN равнобедрен триъгълникъглите при основата са равни.

Равностранен или правилен триъгълник е този, в който и трите страни са равни. Всички ъгли на равностранен триъгълник също са равни и са равни на 60°.

Площта на произволен триъгълник се изчислява по формулите: или

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

Площта на правилен или равностранен триъгълник се изчислява по формулите: или или

Къде а,b,c- страни на триъгълника, ч- височина на триъгълника, г- ъгъл между страните, Р- радиус на описаната окръжност, r- радиус на вписаната окръжност.

Площ на геометрична фигура- числова характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността е ограничена затворен контурот тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площта на триъгълник по страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
   
2. Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
   
3. Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формула за площта на квадрат по дължината на страната
   Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
   Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.

Формули за площ на успоредник

1. Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
   Площ на успоредник
2. Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
   Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sin α

където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
   Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
2. Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
   Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
   Площ на ромбравно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   Където S е площта на трапеца,
   - дължини на основите на трапеца,
   - дължини на страните на трапеца,
   

Понятие за площ

Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на едно. За пълнота нека си припомним две основни свойства за понятието области на геометричните фигури.

Свойство 1:Ако геометрични формиса равни, то техните повърхнини също са равни.

Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от площите на всичките й съставни фигури.

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Очевидно една от страните на триъгълника е диагонал на правоъгълник, едната страна на който е с дължина $5$ (тъй като има $5$ клетки), а другата е $6$ (тъй като има $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е

Тогава площта на триъгълника е равна на

Отговор: $15$.

След това ще разгледаме няколко метода за намиране на площите на триъгълниците, а именно с помощта на височината и основата, използвайки формулата на Heron и площта на равностранен триъгълник.

Как да намерите площта на триъгълник, като използвате неговата височина и основа

Теорема 1

Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на страната и височината на тази страна.

Математически това изглежда така

$S=\frac(1)(2)αh$

където $a$ е дължината на страната, $h$ е височината, начертана към нея.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, в който $AC=α$. Към тази страна е начертана височината $BH$, която е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.

Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а площта на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Следователно необходимата площ на триъгълника, по свойство 2, е равна на

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теоремата е доказана.

Пример 2

Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица

Основата на този триъгълник е равна на $9$ (тъй като $9$ е $9$ квадратчета). Височината също е $9$. Тогава, съгласно теорема 1, получаваме

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Отговор: 40,5$.

Формулата на Херон

Теорема 2

Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери, както следва

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.

Доказателство.

Помислете за следната фигура:

По Питагоровата теорема от триъгълника $ABH$ получаваме

От триъгълника $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

От тези две отношения получаваме равенството

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогава $α+β+γ=2ρ$, което означава

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теорема 1 получаваме

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$