Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как да решавате най-простите и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Ние изучаваме концепцията « интегрална »

Интеграцията беше известна още през Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви е необходимо основно разбиране на основите. математически анализ. Вече имаме информация за граници и производни, необходими за разбиране на интегралите, в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете нашата статия за това как да изчислявате производни.

Антипроизводното съществува за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не пресмятаме постоянно противопроизводни елементарни функции, удобно е да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенното тяло, изминатото разстояние при неравномерно движениепът и много повече. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция? С помощта на интеграл! Нека го разбием извит трапец, ограничена от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат ​​граници на интегриране.

« Интеграл »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме имотите определен интеграл, което ще бъде полезно при решаване на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:

Свойства на определен интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу ще разгледаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За да затвърдите материала, изгледайте видео как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионален студентски сервиз и всяка тройна или линеен интегрална затворена повърхност ще можете да го направите.

За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:

1) Бъдете в състояние намеринеопределени интеграли.

2) Да можеш изчислявамопределен интеграл.

Както можете да видите, за да овладеете определен интеграл, трябва да имате доста добро разбиране на „обикновените“ неопределени интеграли. Ето защо, ако тепърва започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът изобщо не е заврял, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решения.

IN общ изгледопределеният интеграл се записва по следния начин:

Какво се добавя в сравнение с неопределения интеграл? повече граници на интеграция.

Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.

Преди да преминем към практически примери, малко "прецакване" на определения интеграл.

Какво е определен интеграл?Бих могъл да ви кажа за диаметъра на отсечка, границата на целочислените суми и т.н., но урокът е от практическо естество. Затова ще кажа, че определен интеграл е ЧИСЛО. Да, да, най-обикновен номер.

Определеният интеграл има ли геометричен смисъл?Яжте. И много добре. Най-популярната задача е изчисляване на площ с помощта на определен интеграл.

Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.

Как да решим определен интеграл?Използвайки познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:

По-добре е да препишете формулата на отделен лист, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.

Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:

1) Първо намираме противопроизводна функция(неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл никога не е добавен. Обозначението е чисто техническо и вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто маркировка. Защо е необходим самият запис? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.

2) Заместете стойността на горната граница в антипроизводната функция: .

3) Заместете стойността на долната граница в антипроизводната функция: .

4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.

Винаги ли съществува определен интеграл?Не, не винаги.

Например интегралът не съществува, тъй като сегментът на интегриране не е включен в областта на дефиниране на интегранта (стойностите под корен квадратенне може да бъде отрицателна). Ето един по-малко очевиден пример: . Такъв интеграл също не съществува, тъй като няма допирателна в точките на сегмента. Между другото, кой още не го е чел? методически материал Графики и основни свойства на елементарни функции– моментът да го направите е сега. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.

За да съществува определен интеграл изобщо, е необходимо функцията на интегранд да бъде непрекъсната в интервала на интегриране.

От горното следва първата важна препоръка: преди да започнете да решавате ВСЕКИ определен интеграл, трябва да се уверите, че интегралната функция е непрекъснат на интервала на интегриране. Когато бях студент, многократно имах инцидент, когато дълго време се борех с намирането на труден първоизводен и когато най-накрая го намерих, си блъсках мозъка над друг въпрос: „Каква глупост се оказа това ?" В опростена версия ситуацията изглежда така:

???!!!

Не можете да замествате отрицателни числа под корена!

Ако за решаване (в тестова работа, на тест, изпит) Предлага ви се несъществуващ интеграл като

тогава трябва да дадете отговор, че интегралът не съществува и да обосновете защо.

Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число? може би И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, на които се изнася отделна лекция.

Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би тази ситуация наистина се среща на практика.

– интегралът може лесно да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

За какво е необходима висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Затова нека разгледаме някои свойства на определения интеграл.

В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като промените знака:

Например, в определен интеграл, преди интегриране, е препоръчително да промените границите на интегриране в „обичайния“ ред:

– в тази форма е много по-удобно да се интегрира.

Както при неопределения интеграл, определеният интеграл има линейни свойства:

– това важи не само за две, но и за произволен брой функции.

В определен интеграл може да се извърши замяна на интеграционна променлива, но в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.

За определен интеграл е вярно следното: формула за интегриране по части:

Пример 1

Решение:

(1) Изваждаме константата от интегралния знак.

(2) Интегрирайте върху таблицата, като използвате най-популярната формула . Препоръчително е да отделите възникващата константа от и да я поставите извън скобата. Не е необходимо да правите това, но е препоръчително - защо са допълнителните изчисления?

(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц

.

Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.

Пример 2

Изчислете определен интеграл

Това е пример, който можете да решите сами, решението и отговорът са в края на урока.

Нека усложним малко задачата:

Пример 3

Изчислете определен интеграл

Решение:

(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.

(2) Интегрираме според таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.

(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:

СЛАБОТО БРЪНКО в определения интеграл са грешките в изчисленията и често срещаното ОБЪРКВАНЕ В ЗНАЦИТЕ. Бъдете внимателни! Обръщам специално внимание на третия член:

– първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично

(особено когато заместването на горната и долната граница се извършва устно и не се изписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.

Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например, аз самият съм свикнал да решавам такива интеграли като този:

Тук вербално използвах правилата за линейност и вербално интегрирах с помощта на таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с отбелязани граници:

(за разлика от трите скоби в първия метод). И в „цялата“ антипроизводна функция, първо заместих 4, след това –2, като отново извърших всички действия в ума си.

Какви са недостатъците на краткото решение? Всичко тук не е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично мен не ме интересува - обикновени дробиРазчитам на калкулатор.
Освен това има повишен риск от допускане на грешка в изчисленията, така че е по-добре студентът да използва първия метод; с „моя“ метод за решаване знакът определено ще се загуби някъде.

Безспорните предимства на втория метод са скоростта на решение, компактността на нотацията и фактът, че първоизводната

е в една скоба.

>> >> >> Интеграционни методи

Основни методи за интегриране

Дефиниция на интеграл, определен и неопределен, таблица на интегралите, формула на Нютон-Лайбниц, интегриране по части, примери за изчисляване на интеграли.

Неопределен интеграл

Нека u = f(x) и v = g(x) са функции, които имат непрекъснато . Тогава, според работата,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

За израза d(uv) антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата е валидна:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Тази формула изразява правилото интеграция по части. Това води интегрирането на израза udv=uv"dx до интегрирането на израза vdu=vu"dx.

Нека, например, искате да намерите ∫xcosx dx. Нека поставим u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от заместването на променливи. Но има цели класове интеграли, например ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват точно с помощта на интегриране по части.

Определен интеграл

Интеграционни методи, понятието определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим отсечката [a,b] на n части с точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума от формата f(ξ i)Δ x i се нарича интегрална сума, а нейната граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) от a до b и се означава:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируеми на интервала, се наричат ​​числата a и b долна и горна граница на интеграла.

Интеграционни методиимат следните свойства:

Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.

Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент има неопределен интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, свързващ определения интеграл с неопределения интеграл:

F(b) - F(a). (8,6)

Геометрична интерпретация: представлява площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), прави x = a и x = b и сегмент от оста Ox.

Неправилни интеграли

Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат ​​неправилни. Неправилни интеграли от първи род -Това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:

(8.7)

Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен несобствен интеграл на f(x) в интервала [a,+ ∞), а функцията f(x) се нарича интегрируема в безкрайния интервал [a,+ ∞ ). В противен случай се казва, че интегралът не съществува или се разминава.

Неправилните интеграли на интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:

Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f (x) е непрекъснато за всички стойности x на сегмента, с изключение на точката c, в която f (x) има безкрайно прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bсумата се нарича:

ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначение:

Примери за интегрални изчисления

Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).

Решение. Нека означим t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.

Решение: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример3.32 . Намерете ∫dx/sinx

Пример3.33. Намери .

Решение. =

.

Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.

Решение. Нека интегрираме по части. Нека означим u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.

Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.

Решение. Нека приложим формулата за интегриране по части. Нека означим u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx.
∫e x cosxdx също интегрира по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:

Пример 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получихме отношението ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, от което 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.

Пример 3.38 Решение: Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

. Изчислете J = . .

Пример 3.39 Решение. Като се има предвид, че = d(lnx), заместваме lnx = t. Тогава J = .

. Изчислете J = Решение. Ние имаме: =

. Ето защо

За какво са интегралите? Опитайте се сами да отговорите на този въпрос.

• Когато обясняват темата за интегралите, учителите изброяват области на приложение, които са малко полезни за училищните умове. Сред тях:
• изчисляване на площта на фигура.
• Изчисляване на телесна маса с неравномерна плътност.
• определяне на изминатото разстояние при движение с променлива скорост.

и т.н.

Не винаги е възможно да се свържат всички тези процеси, така че много ученици се объркват, дори ако имат всички основни познания, за да разберат интеграла.Основната причина за невежеството

– неразбиране на практическото значение на интегралите.

Интеграл - какво е това?Предпоставки

. Необходимостта от интеграция възниква в Древна Гърция. По това време Архимед започва да използва методи, които по същество са подобни на съвременното интегрално смятане, за да намери площта на кръг. Основният подход за определяне на площта на неравномерните фигури тогава беше „Методът на изчерпване“, който е доста лесен за разбиране.Същността на метода

. Монотонна последователност от други фигури се вписва в тази фигура и след това се изчислява границата на последователността на техните области. Тази граница беше взета като площ на тази фигура. Този метод лесно проследява идеята за интегрално смятане, което е да се намери границата на безкрайна сума. Тази идея по-късно беше използвана от учените за разрешаванеастронавтика, икономика, механика и др.

Модерен интеграл. Класическата теория на интеграцията е формулирана в общ вид от Нютон и Лайбниц. Той се основава на съществуващите тогава закони на диференциалното смятане. За да го разберете, трябва да имате някои основни познания, които ще ви помогнат да използвате математическия език, за да опишете визуални и интуитивни идеи за интегралите.

Обясняваме концепцията за „Интеграл“

Процесът на намиране на производната се нарича диференциацияи намиране на антипроизводното – интеграция.

Интеграл математически език– това е антипроизводната на функцията (това, което беше преди производната) + константата „C“.

Интеграл с прости думие площта на криволинейна фигура. Неопределеният интеграл е цялата площ. Определеният интеграл е площта в дадена област.

Интегралът се записва така:

Всеки интегранд се умножава по компонента "dx". Той показва над коя променлива се извършва интегрирането. "dx" е нарастването на аргумента. Вместо X може да има всеки друг аргумент, например t (време).

Неопределен интеграл

Неопределен интеграл няма граници на интегриране.

За да се решат неопределени интеграли, е достатъчно да се намери първоизводната на интегранта и да се добави "C" към него.

Определен интеграл

В определен интеграл ограниченията "a" и "b" се записват върху знака за интегриране. Те са посочени на оста X на графиката по-долу.

За да изчислите определен интеграл, трябва да намерите антипроизводното, да замените стойностите "a" и "b" в него и да намерите разликата. В математиката това се нарича Формула на Нютон-Лайбниц:

Таблица с интеграли за ученици (основни формули)

Изтеглете интегралните формули, ще ви бъдат полезни

Как да изчислим правилно интеграла

Има няколко прости операции за трансформиране на интеграли. Ето основните от тях:

Премахване на константа от знака за интеграл

Разлагане на интеграла на сбор в сбора на интегралите

Ако размените a и b, знакът ще се промени

Можете да разделите интеграла на интервали, както следва:

Това са най-простите свойства, въз основа на които по-късно ще бъдат формулирани по-сложни теореми и методи на смятане.

Примери за интегрални изчисления

Решаване на неопределен интеграл

Решаване на определен интеграл

Основни понятия за разбиране на темата

За да разберете същността на интеграцията и да не затваряте страницата от неразбиране, ще ви обясним няколко основни понятия. Какво е функция, производна, граница и първоизводна.

функция– правило, според което всички елементи от едно множество се съотнасят с всички елементи от друго.

Производна– функция, която описва скоростта на промяна на друга функция във всяка конкретна точка. На строг език това е границата на съотношението на нарастването на функция към нарастването на аргумента. Изчислява се ръчно, но е по-лесно да се използва производна таблица, която съдържа повечето от стандартните функции.

Увеличаване– количествена промяна във функцията с известна промяна в аргумента.

Лимит– стойността, към която клони стойността на функцията, когато аргументът клони към определена стойност.

Пример за граница: да кажем, че ако X е равно на 1, Y ще бъде равно на 2. Но какво ще стане, ако X не е равно на 1, а клони към 1, тоест никога не го достига? В този случай y никога няма да достигне 2, а само ще клони към тази стойност. На математически език това се изписва по следния начин: limY(X), за X –> 1 = 2. Това се чете: границата на функцията Y(X), за x клонящо към 1, е равно на 2.

Както вече споменахме, производната е функция, която описва друга функция. Оригиналната функция може да бъде производна на друга функция. Тази друга функция се нарича антипроизводно.

Заключение

Намирането на интегралите не е трудно. Ако не разбирате как да направите това,. Вторият път става по-ясно. Запомнете!Решаването на интеграли се свежда до прости трансформации на интегралната функция и търсенето й в .

Ако текстовото обяснение не ви подхожда, вижте видеоклипа за значението на интеграла и производната:

Интеграли - какво представляват, как се решават, примери за решения и обяснение за манекениактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

Процесът на решаване на интеграли в науката, наречена математика, се нарича интегриране. Използвайки интеграция, можем да намерим някои физични величини: площ, обем, маса на телата и много други.

Интегралите могат да бъдат неопределени или определени. Нека разгледаме формата на определен интеграл и се опитаме да го разберем физически смисъл. Той е представен в следната форма: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна чертаписане на определен интеграл на неопределен интеграл е, че има граници на интегриране на a и b. Сега ще разберем защо са необходими и какво всъщност означава определен интеграл. IN геометричен смисълтакъв интеграл равна на площфигура, ограничена от кривата f(x), линии a и b и оста Ox.

От фиг. 1 става ясно, че определеният интеграл е същата област, която е оцветена в сиво. Нека проверим това с прост пример. Нека намерим площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислим по обичайния начин на умножаване на дължината по ширината.

От фиг. 2 става ясно, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Нека направим проверката по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на фигурата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Както можете вижте, всичко пасва идеално.

Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решаването на такива интеграли е намиране на противопроизводни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите първоизводната, можете да използвате нашата помощ при решаването на задачи по математика или трябва самостоятелно да запомните свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Намирането изглежда така $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.

За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ върху променлива. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване таблична функцияот функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. За това има различни методии свойства, които ще разгледаме по-нататък.

И така, нека сега създадем алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?

Алгоритъм за изчисляване на интеграли

1. Нека разберем определен интеграл или не.
2. Ако не е дефинирано, тогава трябва да намерите функцията на антипроизводната $ F(x) $ на интегранта $ f(x) $, като използвате математически трансформации, водещи до таблична форма на функцията $ f(x) $.
3. Ако е дефинирано, тогава трябва да изпълните стъпка 2 и след това да замените границите $ a $ и $ b $ в антипроизводната функция $ F(x) $. Ще разберете с каква формула да направите това в статията „Формула на Нютон-Лайбниц“.

Примери за решения

И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени. Научихме тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат описани в други статии.