Еволюцията на човешкия мозък се е състояла в триизмерното пространство. Следователно ни е трудно да си представим пространства с размери, по-големи от три. Всъщност човешкият мозък не може да си представи геометрични обектис размери по-големи от три. И в същото време можем лесно да си представим геометрични обекти с размери не само три, но и с размери две и едно.

Разликата и аналогията между едноизмерните и двуизмерните пространства, както и разликата и аналогията между двуизмерните и триизмерните пространства ни позволяват леко да отворим екрана на мистерията, който ни огражда от пространства с по-високи измерения. За да разберете как се използва тази аналогия, помислете за много прост четириизмерен обект - хиперкуб, тоест четириизмерен куб. За да бъдем конкретни, да речем, че искаме да решим конкретен проблем, а именно да преброим броя на квадратните лица на четириизмерен куб. Цялото по-нататъшно разглеждане ще бъде много небрежно, без никакви доказателства, чисто по аналогия.

За да разберете как един хиперкуб е изграден от правилен куб, първо трябва да разгледате как един правилен куб е изграден от правилен квадрат. За по-голяма оригиналност при представянето на този материал тук ще наричаме обикновен квадрат SubCube (и няма да го бъркаме със сукуб).

За да изградите куб от подкуб, трябва да разширите подкуба в посоката перпендикулярна на равнинатаподкуб в посока на третото измерение. В този случай от всяка страна на първоначалния подкуб ще расте подкуб, който е страничната двуизмерна повърхност на куба, която ще ограничи триизмерния обем на куба от четири страни, две перпендикулярни на всяка посока в равнина на подкуба. А по новата трета ос също има два подкуба, които ограничават триизмерния обем на куба. Това е двуизмерното лице, където нашият подкуб първоначално беше разположен, и това двуизмерно лице на куба, където подкубът дойде в края на конструкцията на куба.

Това, което току-що прочетохте, е представено твърде подробно и с много уточнения. И има защо. Сега ще направим този трик, ще заменим някои думи в предишния текст официално по този начин:
куб -> хиперкуб
подкуб -> куб
равнина -> обем
трети -> четвърти
двуизмерен -> триизмерен
четири -> шест
триизмерен -> четириизмерен
две -> три
равнина -> пространство

В резултат на това получаваме следния смислен текст, който вече не изглежда прекалено подробен.

За да изградите хиперкуб от куб, трябва да разширите куба в посока, перпендикулярна на обема на куба в посока на четвъртото измерение. В този случай по един куб ще израсне от всяка страна на оригиналния куб, което е страничната триизмерна повърхност на хиперкуба, което ще ограничи четириизмерния обем на хиперкуба от шест страни, три перпендикулярни на всяка посока в пространство на куба. А по новата четвърта ос също има два куба, които ограничават четириизмерния обем на хиперкуба. Това е триизмерното лице, където първоначално беше разположен нашият куб, и триизмерното лице на хиперкуба, където кубът дойде в края на конструкцията на хиперкуба.

Защо сме толкова уверени, че сме получили правилното описание на конструкцията на хиперкуб? Да, защото чрез абсолютно същата формална замяна на думи получаваме описание на конструкцията на куб от описание на конструкцията на квадрат. (Проверете го сами.)

Сега е ясно, че ако друг триизмерен куб трябва да расте от всяка страна на куба, тогава лице трябва да расте от всеки ръб на първоначалния куб. Общо кубът има 12 ръба, което означава, че на тези 6 куба ще се появят допълнителни 12 нови лица (подкуби), които ограничават четириизмерния обем по трите оси на триизмерното пространство. И остават още два куба, които ограничават този четириизмерен обем отдолу и отгоре по четвъртата ос. Всяко от тези кубчета има 6 лица.

Като цяло откриваме, че хиперкубът има 12+6+6=24 квадратни лица.

Следващата снимка показва логическата структура на хиперкуб. Това е като проекция на хиперкуб върху триизмерното пространство. Това създава триизмерна рамка от ребра. На фигурата естествено виждате проекцията на тази рамка върху равнина.

На тази рамка вътрешният куб е като първоначалния куб, от който е започнала конструкцията и който ограничава четириизмерния обем на хиперкуба по четвъртата ос отдолу. Разтягаме този начален куб нагоре по четвъртата ос на измерване и той влиза във външния куб. Така че външният и вътрешният куб от тази фигура ограничават хиперкуба по четвъртата ос на измерване.

И между тези две кубчета можете да видите още 6 нови кубчета, които докосват общи лица с първите две. Тези шест куба ограничават нашия хиперкуб по трите оси на триизмерното пространство. Както можете да видите, те не само са в контакт с първите два куба, които са вътрешните и външните кубове на тази триизмерна рамка, но също така са в контакт един с друг.

Можете да преброите директно във фигурата и да се уверите, че хиперкубът наистина има 24 лица. Но възниква този въпрос. Тази рамка на хиперкуб в триизмерно пространство е изпълнена с осем триизмерни куба без никакви пропуски. За да направите истински хиперкуб от тази триизмерна проекция на хиперкуб, трябва да обърнете тази рамка отвътре навън, така че всичките 8 куба да ограничават 4-измерен обем.

Прави се така. Каним обитател на четириизмерното пространство да ни посети и го молим да ни помогне. Той хваща вътрешния куб на тази рамка и го премества в посока на четвъртото измерение, което е перпендикулярно на нашето триизмерно пространство. В нашето триизмерно пространство ние го възприемаме така, сякаш цялата вътрешна рамка е изчезнала и е останала само рамката на външния куб.

Освен това нашият четириизмерен асистент предлага помощта си в родилните домове за безболезнено раждане, но нашите бременни жени са уплашени от перспективата, че бебето просто ще изчезне от стомаха и ще се озове в паралелно триизмерно пространство. Затова четириизмерният човек получава учтив отказ.

И ние сме озадачени от въпроса дали някои от нашите кубове са се разпаднали, когато сме обърнали рамката на хиперкуба отвътре навън. В края на краищата, ако някои триизмерни кубове, заобикалящи хиперкуб, докоснат своите съседи по рамката с лицата си, ще се докоснат ли те също със същите лица, ако четириизмерният куб обърне рамката отвътре навън?

Нека отново се обърнем към аналогията с пространствата с по-ниска размерност. Сравнете изображението на рамката на хиперкуба с проекцията на триизмерен куб върху равнина, показана на следващата снимка.

Жителите на двуизмерното пространство построиха рамка върху равнина за проекция на куб върху равнина и поканиха нас, триизмерните жители, да обърнем тази рамка отвътре навън. Взимаме четирите върха на вътрешния квадрат и ги преместваме перпендикулярно на равнината. Двуизмерните жители виждат пълното изчезване на цялата вътрешна рамка и им остава само рамката на външния квадрат. При такава операция всички квадрати, които са били в контакт с ръбовете си, продължават да се допират със същите ръбове.

Затова се надяваме, че логическата схема на хиперкуба също няма да бъде нарушена при обръщане на рамката на хиперкуба отвътре навън и броят на квадратните лица на хиперкуба няма да се увеличи и все още ще бъде равен на 24. Това, разбира се , изобщо не е доказателство, а чисто предположение по аналогия.

След всичко, което прочетохте тук, можете лесно да начертаете логическата рамка на петизмерен куб и да изчислите броя на върховете, ръбовете, лицата, кубовете и хиперкубовете, които има. Изобщо не е трудно.

Веднага след като успях да изнеса лекции след операцията, първият въпрос, който студентите зададоха беше:

Кога ще ни нарисувате 4-измерен куб? Иляс Абдулхаевич ни обеща!

Спомням си, че моите скъпи приятели понякога харесват момент на математически образователни дейности. Затова тук ще напиша част от моята лекция за математици. И ще пробвам без да съм скучен. В някои моменти чета лекцията по-стриктно, разбира се.

Нека първо се споразумеем. 4-измерното и още повече 5-6-7- и изобщо k-измерното пространство не ни е дадено в сетивните усещания.
„Ние сме нещастни, защото сме само триизмерни“, както каза моят учител в неделното училище, който пръв ми каза какво е 4-измерен куб. Неделното училище естествено беше изключително религиозно-математическо. По това време учехме хиперкубове. Седмица преди това, математическа индукция, седмица след това, цикли на Хамилтон в графики - съответно това е 7 клас.

Не можем да докоснем, помиришем, чуем или видим 4-измерен куб. Какво можем да направим с него? Можем да си го представим! Защото нашият мозък е много по-сложен от нашите очи и ръце.

И така, за да разберем какво е 4-измерен куб, нека първо разберем какво ни е на разположение. Какво е триизмерен куб?

добре, добре! Не ви моля за ясна математическа дефиниция. Само си представете най-простия и обикновен триизмерен куб. Въведени?

Добре.
За да разберем как да обобщим 3-измерен куб в 4-измерно пространство, нека да разберем какво е 2-измерен куб. Толкова е просто - това е квадрат!

Квадратът има 2 координати. Кубът има три. Квадратните точки са точки с две координати. Първата е от 0 до 1. А втората е от 0 до 1. Точките на куба имат три координати. И всяко е произволно число от 0 до 1.

Логично е да си представим, че 4-измерният куб е нещо, което има 4 координати и всичко е от 0 до 1.

/* Веднага е логично да си представим едномерен куб, който не е нищо повече от обикновен сегмент от 0 до 1. */

И така, чакайте, как се начертава 4-измерен куб? В крайна сметка не можем да начертаем 4-измерно пространство на равнина!
Но ние също не рисуваме триизмерно пространство на равнина, ние го рисуваме проекциявърху двуизмерна чертожна равнина. Поставяме третата координата (z) под ъгъл, като си представяме, че оста от чертожната равнина върви „към нас“.

Сега е напълно ясно как да нарисувате 4-измерен куб. По същия начин, по който позиционирахме третата ос под определен ъгъл, нека вземем четвъртата ос и също я позиционираме под определен ъгъл.
И – готово! -- проекция на 4-измерен куб върху равнина.

какво? Какво е това все пак? Винаги чувам шепот от задните бюра. Нека обясня по-подробно какво представлява тази бъркотия от редове.
Първо погледнете триизмерния куб. какво направихме Взехме квадрата и го плъзнахме по третата ос (z). Това е като много, много хартиени квадрати, залепени заедно в купчина.
Същото е и с 4-измерен куб. Нека наречем четвъртата ос, за удобство и за научна фантастика, „времевата ос“. Трябва да вземем обикновен триизмерен куб и да го преместим през времето от времето „сега“ до времето „след час“.

Имаме куб "сега". На снимката е розово.

И сега го плъзгаме по четвъртата ос - по времевата ос (показах го в зелено). И получаваме куба на бъдещето - син.

Всеки връх на „куба сега“ оставя следа във времето - сегмент. Свързвайки нейното настояще с нейното бъдеще.

Накратко, без текст: начертахме два еднакви триизмерни куба и свързахме съответните върхове.
Точно както направиха с 3-измерен куб (начертайте 2 еднакви 2-измерни куба и свържете върховете).

За да начертаете 5-измерен куб, ще трябва да начертаете две копия на 4-измерен куб (4-измерен куб с пета координата 0 и 4-измерен куб с пета координата 1) и да свържете съответните върхове с ръбове. Вярно е, че в самолета ще има такава бъркотия от ръбове, че ще бъде почти невъзможно да се разбере нищо.

След като сме си представили 4-измерен куб и дори сме успели да го нарисуваме, можем да го изследваме по различни начини. Не забравяйте да го изследвате както в ума си, така и от картината.
например. Двумерен куб е ограничен от 4 страни с едномерни кубове. Това е логично: за всяка от 2-те координати има както начало, така и край.
Триизмерен куб е ограничен от 6 страни с двуизмерни кубове. За всяка от трите координати има начало и край.
Това означава, че един 4-измерен куб трябва да бъде ограничен от осем 3-измерни куба. За всяка от 4-те координати - от двете страни. На фигурата по-горе ясно виждаме 2 лица, които го ограничават по „времевата“ координата.

Ето два куба (те са леко наклонени, защото имат 2 измерения, проектирани върху равнината под ъгъл), ограничаващи нашия хиперкуб отляво и отдясно.

Също така лесно се забелязват „горни“ и „долни“.

Най-трудното е да разберете визуално къде са „отпред“ и „отзад“. Предният започва от предния ръб на „куба сега“ и до предния ръб на „куба на бъдещето“ - той е червен. Задната е лилава.

Те са най-трудни за забелязване, защото други кубове са заплетени под краката, които ограничават хиперкуба в различна проектирана координата. Но имайте предвид, че кубовете все още са различни! Ето отново снимката, където са осветени „кубът на настоящето“ и „кубът на бъдещето“.

Разбира се, възможно е да проектирате 4-измерен куб в 3-измерно пространство.
Първият възможен пространствен модел е ясен как изглежда: трябва да вземете 2 кубични рамки и да свържете съответните им върхове с нов ръб.
В момента нямам този модел в наличност. На лекцията показвам на студентите малко по-различен триизмерен модел на 4-измерен куб.

Знаете как един куб се проектира върху равнина като тази.
Все едно гледаме куб отгоре.

Близкият ръб, разбира се, е голям. И далечният край изглежда по-малък, виждаме го през близкия.

Ето как можете да проектирате 4-измерен куб. Сега кубът е по-голям, виждаме куба на бъдещето в далечината, така че изглежда по-малък.

От другата страна. От горната страна.

Директно точно от страната на ръба:

От страната на ребрата:

И последният ъгъл, асиметричен. От раздела „кажи ми, че погледнах между ребрата му“.

Е, тогава можете да измислите всичко. Например, точно както има развитие на 3-измерен куб върху равнина (това е като да изрежете лист хартия, така че когато го сгънете, да получите куб), същото се случва и с развитието на 4-измерен куб в пространство. Все едно да изрежем парче дърво, така че като го сгънем в 4-измерно пространство, да получим тесеракт.

Можете да изучавате не само 4-измерен куб, но и n-измерни кубове като цяло. Например, вярно ли е, че радиусът на сфера, описана около n-мерен кубпо-малко от дължината на ръба на този куб? Или ето един по-прост въпрос: колко върха има един n-мерен куб? Колко ръба (едномерни лица)?

Бакаляр Мария

Изучават се методи за въвеждане на понятието четириизмерен куб (тесеракт), неговата структура и някои свойства. Въпросът какви триизмерни обекти се получават при пресичане на четириизмерен куб от хиперравнини, успоредни на неговите триизмерни стени. , както и хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Разгледана е многомерната апаратура, използвана за изследване. аналитична геометрия.

Изтегляне:

Преглед:

Въведение………………………………………………………………………………….2

Основна част……………………………………………………………..4

Заключения………….. …………………………………………………………..12

Препратки…………………………………………………………..13

Въведение

Четириизмерното пространство отдавна привлича вниманието както на професионални математици, така и на хора, далеч от изучаването на тази наука. Интересът към четвъртото измерение може да се дължи на предположението, че нашият триизмерен свят е „потопен“ в четириизмерното пространство, точно както равнината е „потопена“ в триизмерно пространство, правата е „потопена” в равнината, а точката е в правата. Освен това четириизмерното пространство играе важна роля в съвременна теорияотносителността (т.нар. пространство-време или пространство на Минковски), и може да се разглежда и като частен случайразмерно евклидово пространство (с).

Четириизмерният куб (тесеракт) е обект в четириизмерното пространство, който има максимално възможното измерение (точно както обикновеният куб е обект в триизмерното пространство). Забележете, че той също е от пряк интерес, а именно може да се появи в оптимизационни проблеми на линейното програмиране (като област, в която се търси минимум или максимум линейна функциячетири променливи) и се използва също в цифровата микроелектроника (при програмиране на работата на дисплей на електронен часовник). В допълнение, самият процес на изучаване на четириизмерен куб допринася за развитието пространствено мисленеи въображение.

Следователно изследването на структурата и специфични свойствачетириизмерен куб е доста актуален. Струва си да се отбележи, че по отношение на структурата четириизмерният куб е проучен доста добре. Много по-голям интерес представлява естеството на неговите сечения от различни хиперравнини. По този начин основната цел на тази работа е да се изследва структурата на тесеракта, както и да се изясни въпросът какви триизмерни обекти ще се получат, ако четириизмерен куб се разчлени от хиперравнини, успоредни на една от неговите три- размерни лица или чрез хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Хиперравнината в четириизмерното пространство ще се нарича триизмерно подпространство. Можем да кажем, че права линия в равнина е едномерна хиперравнина, равнина в триизмерно пространство е двумерна хиперравнина.

Целта определи целите на изследването:

1) Изучаване на основните факти на многомерната аналитична геометрия;

2) Изучаване на характеристиките на конструирането на кубове с размери от 0 до 3;

3) Изучаване на структурата на четириизмерен куб;

4) Аналитично и геометрично описва четириизмерен куб;

5) Направете модели на разработки и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубове.

6) Използвайки апарата на многоизмерната аналитична геометрия, опишете триизмерни обекти, получени в резултат на пресичането на четириизмерен куб с хиперравнини, успоредни на една от неговите триизмерни лица, или хиперравнини, перпендикулярни на основния му диагонал.

Получената по този начин информация ще ни позволи да разберем по-добре структурата на тесеракта, както и да идентифицираме дълбоки аналогии в структурата и свойствата на кубовете с различни размери.

Основна част

Първо ще опишем математически апарат, които ще използваме по време на това проучване.

1) Векторни координати: ако, Това

2) Уравнение на хиперравнина с нормален векторизглежда тук

3) Самолети и са успоредни тогава и само ако

4) Разстоянието между две точки се определя по следния начин: ако, Това

5) Условие за ортогоналност на векторите:

Първо, нека разберем как да опишем четириизмерен куб. Това може да стане по два начина - геометричен и аналитичен.

Ако говорим за геометричния метод на уточняване, тогава е препоръчително да се проследи процесът на конструиране на кубове, като се започне от нулево измерение. Куб с нулево измерение е точка (имайте предвид, между другото, че точка може да играе ролята и на топка с нулево измерение). След това въвеждаме първото измерение (оста x) и на съответната ос отбелязваме две точки (два нулеви куба), разположени на разстояние 1 една от друга. Резултатът е сегмент - едномерен куб. Веднага да отбележим характерна особеност: Границата (краищата) на едномерен куб (сегмент) са два нулевомерни куба (две точки). След това въвеждаме второто измерение (ординатната ос) и в равнинатанека построим два едномерни куба (два сегмента), краищата на които са на разстояние 1 един от друг (всъщност единият сегмент е ортогонална проекциядруг). Свързвайки съответните краища на сегментите, получаваме квадрат - двуизмерен куб. Отново имайте предвид, че границата на двуизмерен куб (квадрат) е четири едноизмерни куба (четири сегмента). Накрая въвеждаме третото измерение (приложната ос) и конструираме в пространствотодва квадрата по такъв начин, че единият от тях да е ортогонална проекция на другия (съответните върхове на квадратите са на разстояние 1 един от друг). Нека свържем съответните върхове с сегменти - получаваме триизмерен куб. Виждаме, че границата на триизмерен куб е шест двуизмерни куба (шест квадрата). Описаните конструкции ни позволяват да идентифицираме следния модел: на всяка стъпкаразмерният куб се „движи, оставяйки следа“ визмерване на разстояние 1, докато посоката на движение е перпендикулярна на куба. Формалното продължение на този процес ни позволява да стигнем до концепцията за четириизмерен куб. А именно, ще принудим триизмерния куб да се движи в посока на четвъртото измерение (перпендикулярно на куба) на разстояние 1. Действайки подобно на предишния, тоест чрез свързване на съответните върхове на кубовете, ще получим четириизмерен куб. Трябва да се отбележи, че геометрично такава конструкция в нашето пространство е невъзможна (тъй като е триизмерна), но тук не срещаме никакви противоречия от логическа гледна точка. Сега нека преминем към аналитичното описание на четириизмерен куб. Също така се получава формално, чрез аналогия. И така, аналитичната спецификация на единичен куб с нулево измерение има формата:

Аналитичната задача на едномерен единичен куб има формата:

Аналитичната задача на двумерен единичен куб има формата:

Аналитичната задача на тримерен единичен куб има формата:

Сега е много лесно да се даде аналитично представяне на четириизмерен куб, а именно:

Както виждаме, както за геометричните, така и за аналитични методиза определяне на четириизмерен куб е използван методът на аналогиите.

Сега, използвайки апарата на аналитичната геометрия, ще разберем каква е структурата на четириизмерен куб. Първо, нека разберем какви елементи включва. Тук отново можем да използваме аналогия (да изложим хипотеза). Границите на едномерен куб са точки (нулеви кубове), на двумерен куб - сегменти (едномерни кубове), на тримерен куб - квадрати (двумерни лица). Може да се приеме, че границите на тесеракта са триизмерни кубове. За да докажем това, нека изясним какво се разбира под върхове, ръбове и лица. Върховете на куб са неговите ъглови точки. Тоест координатите на върховете могат да бъдат нули или единици. Така се разкрива връзка между размера на куба и броя на неговите върхове. Нека приложим правилото за комбинаторно произведение - тъй като върхаизмерен куб има точнокоординати, всяка от които е равна на нула или единица (независимо от всички останали), тогава общо имавърхове По този начин за всеки връх всички координати са фиксирани и могат да бъдат равни наили . Ако фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях еднакваили , независимо от останалите), с изключение на една, получаваме прави линии, съдържащи ръбовете на куба. Подобно на предишния, можете да преброите, че има точнонеща. И ако сега фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях еднакваили , независимо от останалите), с изключение на някои две, получаваме равнини, съдържащи двумерни лица на куба. Използвайки правилото на комбинаториката, намираме, че има точнонеща. След това, по подобен начин - фиксиране на всички координати (поставяне на всяка от тях еднакваили , независимо от останалите), с изключение на някои три, получаваме хиперравнини, съдържащи триизмерни лица на куба. По същото правило изчисляваме броя им - точнои т.н. Това ще бъде достатъчно за нашите изследвания. Нека приложим получените резултати към структурата на четириизмерен куб, а именно във всички получени формули, които поставяме. Следователно четириизмерният куб има: 16 върха, 32 ръба, 24 двуизмерни лица и 8 триизмерни лица. За по-голяма яснота нека дефинираме аналитично всички негови елементи.

Върхове на четириизмерен куб:

Ръбове на четириизмерен куб ():

Двуизмерни лица на четириизмерен куб (подобни ограничения):

Триизмерни лица на четириизмерен куб (подобни ограничения):

Сега, след като структурата на четириизмерния куб и методите за дефинирането му са описани достатъчно подробно, нека преминем към изпълнението на основната цел - да изясним природата на различните секции на куба. Да започнем с елементарния случай, когато сеченията на куба са успоредни на една от неговите триизмерни стени. Например, разгледайте неговите сечения с хиперравнини, успоредни на лицетоОт аналитичната геометрия е известно, че всяко такова сечение ще бъде дадено от уравнениетоНека дефинираме аналитично съответните секции:

Както виждаме, получихме аналитична спецификация за триизмерен единичен куб, лежащ в хиперравнина

За да установим аналогия, нека напишем сечението на триизмерен куб с равнинаПолучаваме:

Това е квадрат, разположен в равнина. Аналогията е очевидна.

Сечения на четиримерен куб с хиперравнинидават напълно сходни резултати. Това също ще бъдат единични триизмерни кубове, разположени в хиперравнинисъответно.

Сега нека разгледаме секциите на четириизмерен куб с хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Първо, нека решим тази задача за триизмерен куб. Използвайки описания по-горе метод за определяне на единичен триизмерен куб, той заключава, че като главен диагонал може да се вземе например сегмент с краищаи . Това означава, че векторът на главния диагонал ще има координати. Следователно уравнението на всяка равнина, перпендикулярна на главния диагонал, ще бъде:

Нека да определим границите на промяна на параметрите. защото , тогава, добавяйки тези неравенства член по член, получаваме:

или .

Ако , тогава (поради ограничения). По същия начин - ако, това . И така, кога и кога режещата равнина и кубът имат точно едно обща точка (и съответно). Сега нека отбележим следното. Ако(отново поради променливи ограничения). Съответните равнини пресичат едновременно три лица, тъй като в противен случай сечащата равнина би била успоредна на една от тях, което не се случва според условието. Ако, тогава равнината пресича всички лица на куба. Ако, тогава равнината пресича лицата. Нека представим съответните изчисления.

Нека След това самолетътпресича линиятапо права линия и . Освен това ръбът. Ръб равнината се пресича по права линия, и

Нека След това самолетътпреминава границата:

ръб в права линия и .

ръб в права линия и .

ръб в права линия и .

ръб в права линия и .

ръб в права линия и .

ръб в права линия и .

Този път получаваме шест сегмента, които имат последователно общи краища:

Нека След това самолетътпресича линиятапо права линия и . Ръб равнината се пресича по права линия, и . Ръб равнината се пресича по права линия, и . Тоест получаваме три сегмента, които имат по двойки общи краища:По този начин за посочените стойности на параметъраравнината ще пресече куба правилен триъгълникс върхове

И така, ето изчерпателно описание на равнинните фигури, получени, когато кубът е пресечен от равнина, перпендикулярна на главния му диагонал. Основната идея беше следната. Необходимо е да се разбере кои лица пресича равнината, по кои множества ги пресича и как тези множества са свързани помежду си. Например, ако се окаже, че равнината пресича точно три лица по сегменти, които имат по двойки общи краища, тогава сечението е равностранен триъгълник(което се доказва чрез пряко преброяване на дължините на отсечките), чиито върхове са тези краища на отсечките.

Използвайки същия апарат и същата идея за изучаване на раздели, следните факти могат да бъдат изведени по напълно аналогичен начин:

1) Векторът на един от главните диагонали на четиримерен единичен куб има координатите

2) Всяка хиперравнина, перпендикулярна на главния диагонал на четириизмерен куб, може да бъде записана във формата.

3) В уравнението на секуща хиперравнина, параметърътможе да варира от 0 до 4;

4) Когато и секуща хиперравнина и четириизмерен куб имат една обща точка (и съответно);

5) Кога напречното сечение ще създаде правилен тетраедър;

6) Кога в напречно сечение резултатът ще бъде октаедър;

7) Кога напречното сечение ще произведе правилен тетраедър.

Съответно тук хиперравнината пресича тесеракта по равнина, върху която поради ограниченията на променливите е разпределена триъгълна област (аналогия - равнината пресича куба по права линия, върху която поради ограниченията на променливи, беше разпределен сегмент). В случай 5) хиперравнината пресича точно четири триизмерни лица на тесеракта, т.е. получават се четири триъгълника, които имат по двойки общи страни, с други думи, образувайки тетраедър (как може да се изчисли е правилно). В случай 6) хиперравнината пресича точно осем триизмерни лица на тесеракта, т.е. получават се осем триъгълника, които имат последователно общи страни, с други думи, образувайки октаедър. Случай 7) е напълно подобен на случай 5).

Нека илюстрираме това с конкретен пример. А именно, изучаваме сечението на четиримерен куб с хиперравнинаПоради променливи ограничения, тази хиперравнина пресича следните триизмерни лица:Ръб пресича по равнинаПоради ограниченията на променливите имаме:Получаваме триъгълна област с върховеследващ,получаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникПо този начин върховете на тетраедъра имат следните координати. Както е лесно да се изчисли, този тетраедър наистина е правилен.

Изводи

И така, в процеса на това изследване бяха проучени основните факти на многомерната аналитична геометрия, бяха проучени характеристиките на конструиране на кубове с размери от 0 до 3, структурата на четириизмерен куб беше проучена, четириизмерен куб беше проучен аналитично и геометрично описани, направени са модели на разработки и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубове, триизмерни кубове са аналитично описани обекти, получени в резултат на пресичането на четириизмерен куб с хиперравнини, успоредни на една от неговите три- размерни лица или с хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал.

Проведеното изследване позволи да се идентифицират дълбоки аналогии в структурата и свойствата на кубчета с различни размери. Използваната техника на аналогия може да се приложи в изследванията, напр.дименсионална сфера илиразмерен симплекс. а именноедна размерна сфера може да се дефинира като набор от точкипространствено пространство на еднакво разстояние от дадена точка, което се нарича център на сферата. следващ,размерен симплекс може да се дефинира като частпространствено пространство, ограничено от минималния бройразмерни хиперравнини. Например, едномерен симплекс е сегмент (част от едномерно пространство, ограничено от две точки), двумерен симплекс е триъгълник (част от двумерно пространство, ограничено от три прави линии), триизмерен симплекс е тетраедър (част от триизмерното пространство, ограничено от четири равнини). накраяние дефинираме размерния симплекс като частпространствено пространство, ограниченохиперравнина на измерение.

Имайте предвид, че въпреки многобройните приложения на тесеракта в някои области на науката, това проучваневсе още е до голяма степен математическо изследване.

Референции

1) Бугров Я.С., Николски С.М.Висша математика, том 1 – М.: Дропа, 2005 – 284 с.

2) Квантов. Четириизмерен куб / Дужин С., Рубцов В., № 6, 1986 г.

3) Квантов. Как се рисува размерен куб / Демидович Н.Б., № 8, 1974 г.

Хиперкуб и Платонови тела

Моделирайте пресечен икосаедър ("футболна топка") в системата "Вектор".
в който всеки петоъгълник е ограничен от шестоъгълници

Пресечен икосаедърможе да се получи чрез отрязване на 12 върха, за да се образуват лица във формата правилни петоъгълници. В този случай броят на върховете на новия многостен се увеличава 5 пъти (12×5=60), 20 триъгълни лица се превръщат в правилни шестоъгълници (общо лицата стават 20+12=32), А броят на ръбовете се увеличава до 30+12×5=90.

Стъпки за конструиране на пресечен икосаедър в системата Vector

Фигури в 4-измерно пространство.

--à

--à ?

Например дадени са куб и хиперкуб. Хиперкубът има 24 лица. Това означава, че 4-измерният октаедър ще има 24 върха. Въпреки че не, хиперкубът има 8 лица на кубове - всеки има център в своя връх. Това означава, че 4-измерният октаедър ще има 8 върха, което е още по-леко.

4-измерен октаедър. Състои се от осем равностранни и равни тетраедъра,
свързани с четири във всеки връх.

ориз. Опит за симулация
хиперсфера-хиперсфера в системата Вектор

Предни - задни лица - топки без изкривяване. Други шест топки могат да бъдат дефинирани чрез елипсоиди или квадратни повърхности (чрез 4 контурни линии като генератори) или чрез лица (първо определени чрез генератори).

Още техники за „изграждане“ на хиперсфера
- същата „футболна топка“ в 4-измерно пространство

Приложение 2

За изпъкнали многостени има свойство, което свързва броя на техните върхове, ръбове и лица, доказано през 1752 г. от Леонхард Ойлер и наречено теорема на Ойлер.

Преди да го формулирате, разгледайте познатите ни полиедри и попълнете следната таблица, в която B е броят на върховете, P - ръбовете и G - лицата на даден многостен:

От тази таблица веднага става ясно, че за всички избрани полиедри е валидно равенството B - P + G = 2. Оказва се, че това равенство е валидно не само за тези полиедри, но и за произволен изпъкнал многостен.

Теорема на Ойлер. За всеки изпъкнал многостен равенството е в сила

B - P + G = 2,

където B е броят на върховете, P е броят на ръбовете и G е броят на лицата на даден полиедър.

Доказателство.За да докажете това равенство, представете си повърхността на този многостен, направена от еластичен материал. Нека премахнем (изрежем) едно от лицата му и разтегнем останалата повърхност върху равнина. Получаваме многоъгълник (образуван от ръбовете на отстраненото лице на многостена), разделен на по-малки многоъгълници (образувани от останалите лица на многостена).

Обърнете внимание, че страните на полигоните могат да бъдат деформирани, уголемени, намалени или дори извити, стига да няма празнини в страните. Броят на върховете, ръбовете и лицата няма да се промени.

Нека докажем, че полученото разделяне на многоъгълника на по-малки многоъгълници удовлетворява равенството

(*)B - P + G " = 1,

където B – общ бройвърхове, P е общият брой на ръбовете и Г " е броят на многоъгълниците, включени в разделянето. Ясно е, че Г " = Г - 1, където Г е броят на лицата на даден многостен.

Нека докажем, че равенството (*) не се променя, ако се начертае диагонал в някой многоъгълник на даден дял (фиг. 5, а). Наистина, след начертаване на такъв диагонал, новият дял ще има B върхове, P+1 ръбове и броят на полигоните ще се увеличи с един. Следователно имаме

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Използвайки това свойство, ние начертаваме диагонали, които разделят входящите полигони на триъгълници и за полученото разделение показваме осъществимостта на равенството (*) (фиг. 5, b). За да направите това, последователно ще премахнем външните ръбове, намалявайки броя на триъгълниците. В този случай са възможни два случая:

а) за премахване на триъгълник ABCнеобходимо е да се премахнат две ребра, в нашия случай ABи пр.н.е.;

б) за премахване на триъгълникMKNнеобходимо е да премахнете един ръб, в нашия случайMN.

И в двата случая равенството (*) няма да се промени. Например, в първия случай, след премахване на триъгълника, графиката ще се състои от B - 1 върха, P - 2 ръба и G " - 1 многоъгълник:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Помислете сами за втория случай.

По този начин премахването на един триъгълник не променя равенството (*). Продължавайки този процес на премахване на триъгълници, в крайна сметка ще стигнем до дял, състоящ се от един триъгълник. За такова разделение B = 3, P = 3, Г " = 1 и следователно B – Р + Г " = 1. Това означава, че равенството (*) е в сила и за първоначалното разделение, от което накрая получаваме, че за това разделение на многоъгълника равенството (*) е вярно. Така за първоначалния изпъкнал многостен равенството B - P + G = 2 е вярно.

Пример за полиедър, за който отношението на Ойлер не е валидно,показано на фигура 6. Този полиедър има 16 върха, 32 ръба и 16 лица. Така за този полиедър е в сила равенството B – P + G = 0.

Приложение 3.

Филмът Cube 2: Hypercube е научнофантастичен филм, продължение на филма Cube.

Осем непознати се събуждат в стаи с форма на куб. Стаите са разположени в четириизмерен хиперкуб. Стаите непрекъснато се движат чрез „квантова телепортация“ и ако се изкачите в следващата стая, е малко вероятно да се върнете в предишната. Пресечете се в хиперкуб паралелни светове, времето тече по различен начин в някои стаи, а някои стаи са смъртоносни капани.

Сюжетът на филма до голяма степен повтаря историята на първата част, което се отразява и в образите на някои от героите. Умира в стаите на хиперкуба Нобелов лауреатРозенцвайг, който пресмята точно времеразрушаване на хиперкуба.

Критика

Ако в първата част хората, затворени в лабиринт, се опитваха да си помогнат, в този филм всеки е сам за себе си. Има много ненужни специални ефекти (известни още като капани), които не свързват логично тази част от филма с предишната. Тоест, оказва се, че филмът Cube 2 е един вид лабиринт на бъдещето 2020-2030, но не и 2000 г. В първата част всички видове капани теоретично могат да бъдат създадени от човек. Във втората част тези капани са някаква компютърна програма, така наречената „виртуална реалност“.

Тесерактът е четириизмерен хиперкуб - куб в четириизмерното пространство.
Според Оксфордския речник думата тесеракт е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му „Нова ера на мисълта“. По-късно някои наричат ​​същата фигура тетракуб (на гръцки τετρα - четири) - четириизмерен куб.
Един обикновен тесеракт в евклидовото четириизмерно пространство се дефинира като изпъкнала обвивка от точки (±1, ±1, ±1, ±1). С други думи, той може да бъде представен като следния набор:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини x_i= +- 1, i=1,2,3,4, пресечната точка на които със самия тесеракт го определя триизмерни лица (които са обикновени кубове) Всяка двойка непаралелни триизмерни лица се пресичат, за да образуват двуизмерни лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 триизмерни лица, 24 двуизмерни лица, 32 ръба и 16 върха.
Популярно описание
Нека се опитаме да си представим как ще изглежда един хиперкуб, без да напускаме триизмерното пространство.
В едномерно „пространство“ - на линия - избираме сегмент AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB, начертаваме успореден на него сегмент DC и свързваме краищата им. Резултатът е квадратна CDBA. Повтаряйки тази операция с равнината, получаваме триизмерен куб CDBAGHFE. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба CDBAGHFEKLJIOPNM.
Едномерният сегмент AB служи като страна на двумерния квадрат CDBA, квадратът - като страна на куба CDBAGHFE, който от своя страна ще бъде страната на четиримерния хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 на изместения в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а други 8 ръба "начертават" неговите осем върха, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуб. В двумерното пространство има само едно (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири, които описват страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от неговите дванадесет ръба.
Точно както страните на квадрата са 4 едномерни сегмента, а страните (лицата) на куба са 6 двуизмерни квадрата, така и за „четириизмерния куб“ (тесеракт) страните са 8 триизмерни куба . Пространствата на противоположните двойки тесерактни кубове (т.е. триизмерните пространства, към които принадлежат тези кубове) са успоредни. На фигурата това са кубовете: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
По подобен начин можем да продължим нашите разсъждения за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как четириизмерният хиперкуб ще изглежда за нас, жителите на триизмерното пространство. За целта ще използваме вече познатия метод на аналогиите.
Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на ръба. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (нейните близки и далечни ръбове), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите „кутии“ - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху „нашето“ пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират по посока на четвъртата ос. Можете също да опитате да си представите куба не в проекция, а в пространствено изображение.
Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен по дължината на лицето си, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в перспектива ще изглеждат като доста сложна фигура. Самият четириизмерен хиперкуб се състои от безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.
Като разрежете шестте лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура- сканиране. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. И триизмерното развитие на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, „израстващи“ от него, плюс още един - окончателното „хиперлице“.
Свойствата на тесеракта са продължение на свойствата геометрични формипо-малко измерение в четириизмерно пространство.