Задача 20 Основно ниво на Единния държавен изпит

1) Охлювът изпълзява нагоре по дървото 4 м през нощта, а през нощта височината на дървото е 13 м за първи път?(4-1 = 3, сутринта на 4-ия ден ще бъде на височина 9 м, а след ден ще изпълзи 4 м. Отговор: 4 )

2) Охлювът изпълзява нагоре по дървото 4 м през нощта, а през нощта височината му е 10 м за първи път?Отговор: 7

3) Охлювът се изкачва на 3 м за един ден и се спуска 2 м за една нощ. Колко дни ще му трябват, за да се изкачи до върха на дървото?Отговор:8

4) Пръчката е маркирана с напречни линии в червено, жълто и зелено. Ако разрежете пръчка по червените линии, ще получите 15 парчета, ако по жълтите линии - 5 парчета, а ако по зелените линии - 7 парчета. Колко парчета ще получите, ако разрежете пръчка по линиите и на трите цвята?? ( Ако срежете пръчка по червените линии, ще получите 15 линии, следователно, ако срежете пръчката по жълтите линии, ще получите 5 линии, следователно ще има 4 линии по зелените линии, ще получите 7 части, следователно ще има 6 линии: 14 + 4 + 6 = 24 линии. отговор: 25 )

5) Пръчката е маркирана с напречни линии в червено, жълто и зелено. Ако срежете пръчка по червените линии, ще получите 5 парчета, ако по жълтите линии, 7 парчета, а ако по зелените линии, 11 парчета. Колко парчета ще получите, ако разрежете пръчка по линиите и на трите цвята?отговор : 21

6) Пръчката е маркирана с напречни линии в червено, жълто и зелено. Ако разрежете пръчка по червените линии, ще получите 10 парчета, ако по жълтите линии - 8 парчета, ако по зелените - 8 парчета. Колко парчета ще получите, ако разрежете пръчка по линиите и на трите цвята?отговор : 24

7) В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

за 2 златни монети получавате 3 сребърни и една медна;

за 5 сребърни монети получавате 3 златни и една медна.

Николай имаше само сребърни монети. След няколко посещения в обменното бюро сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 50 медни монети. С колко е намалял броят на сребърните монети на Никола? Отговор: 10

8) В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

· за 2 златни монети получавате 3 сребърни и една медна;

· за 5 сребърни монети получавате 3 златни и една медна.

Николай имаше само сребърни монети. След няколко посещения в обменното бюро сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 100 медни монети. Колко е намалял броят на сребърните монети на Никола? ? Отговор: 20

9) В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

2) за 6 сребърни монети получавате 4 златни и една медна.

Никола имаше само сребърни монети. След като посети обменното бюро, сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 35 медни монети. С колко са намалели сребърниците на Никола?Отговор: 10

10) В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

1) за 3 златни монети вземете 4 сребърни и една медна;

2) за 7 сребърни монети получавате 4 златни и една медна.

Никола имаше само сребърни монети. След като посети обменното бюро, сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 42 медни монети. С колко са намалели сребърниците на Никола?Отговор: 30

11) В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

1) за 4 златни монети вземете 5 сребърни и една медна;

2) за 8 сребърни монети получавате 5 златни и една медна.

Николай имаше само сребърни монети. След няколко посещения в обменното бюро сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 45 медни монети. С колко е намалял броят на сребърните монети на Никола?Отговор: 35

12) В кошницата има 50 гъби: шафранки и млечни гъби. Известно е, че сред всеки 28 гъби има поне една шафранка, а сред всеки 24 гъби има поне една млечна гъба. Колко млечни гъби има в кошницата?( Според условията на проблема: (50-28)+1=23 - трябва да има шапки от шафранено мляко. ( 50-24)+1=27 - трябва да има млечни гъби. Отговор: млечни гъби в кошница 27 .)

13) В кошницата има 40 гъби: шафранки и млечни гъби. Известно е, че сред всеки 17 гъби има поне една шафранка, а сред всеки 25 гъби има поне една млечна гъба. Колко капачки от шафраново мляко има в кошницата? (Според условията на проблема: (40-17)+1=24 - трябва да има шапки от шафранено мляко. ( 40-25)+1=16 24 .)

14) В кошницата има 30 гъби: шафранки и млечни гъби. Известно е, че сред всеки 12 гъби има поне една шафранка, а сред всеки 20 гъби има поне една млечна гъба. Колко капачки от шафраново мляко има в кошницата?(Според изложението на проблема: (30-12)+1=19 - трябва да има шапки от шафранено мляко. ( 30-20)+1=11 - трябва да има млечни гъби. Отговор: шапки от шафраново мляко в кошница 19 .)

15) В кошницата има 45 гъби: шафранки и млечни гъби. Известно е, че сред всеки 23 гъби има поне една шафранка, а сред всеки 24 гъби има поне една млечна гъба. Колко капачки от шафраново мляко има в кошницата?( Според условията на проблема: (45-23)+1=23 - трябва да има шапки от шафранено мляко. ( 45-24)+1=22 - трябва да има млечни гъби. Отговор: шапки от шафраново мляко в кошница 23 .)

16) В кошницата има 25 гъби: шафранки и млечни гъби. Известно е, че сред всеки 11 гъби има поне една шафранка, а сред всеки 16 гъби има поне една млечна гъба. Колко капачки от шафраново мляко има в кошницата? (Тъй като сред всеки 11 гъби поне една е гъба, тогава има не повече от 10 гъби общо в кошницата, тогава има точно 10 млечни гъби и точно шафранови шапки Отговор: 15.

17) Собственикът се уговорил с работниците да му изкопаят кладенец при следните условия: за първия метър той ще им плати 4200 рубли, а за всеки следващ - с 1300 рубли повече от предишния. Колко пари ще трябва да плати собственикът на работниците, ако изкопаят кладенец с дълбочина 11 метра??(Отговор: 117700)

18) Собственикът се съгласи с работниците да му изкопаят кладенец при следните условия: за първия метър той ще им плати 3700 рубли, а за всеки следващ - с 1700 рубли повече от предишния. Колко пари ще трябва да плати собственикът на работниците, ако изкопаят кладенец с дълбочина 8 метра? (77200 )

19) Собственикът се съгласи с работниците да изкопаят кладенец при следните условия: за първия метър той ще им плати 3500 рубли, а за всеки следващ - с 1600 рубли повече от предишния. Колко пари ще трябва да плати собственикът на работниците, ако изкопаят кладенец с дълбочина 9 метра? (89100 )

20) Собственикът се съгласи с работниците да му изкопаят кладенец при следните условия: за първия метър той ще им плати 3900 рубли, а за всеки следващ метър ще плати с 1200 рубли повече от предишния. Колко рубли ще трябва да плати собственикът на работниците, ако изкопаят кладенец с дълбочина 6 метра?(41400)

21) Треньорът посъветва Андрей да прекара 15 минути на бягащата пътека в първия ден от занятията, а на всеки следващ урок да увеличи времето, прекарано на бягащата пътека, със 7 минути. В колко сесии Андрей ще прекара общо 2 часа и 25 минути на бягащата пътека, ако следва съветите на треньора? (5 )

22) Треньорът посъветва Андрей да прекара 22 минути на бягащата пътека в първия ден от занятията и на всеки следващ урок да увеличава времето, прекарано на бягащата пътека с 4 минути, докато достигне 60 минути, и след това да продължи да тренира 60 минути всеки ден За колко сесии, започвайки от първата, Андрей ще прекара общо 4 часа и 48 минути на бягащата пътека? (8 )

23) На първия ред в киното има 24 места, като всеки следващ ред има по 2 места повече от предишния. Колко места има на осмия ред? (38 )

24) Лекарят предписва на пациента да приема лекарството по следната схема: първия ден трябва да вземе 3 капки, а всеки следващ ден - 3 капки повече от предишния ден. След като вземе 30 капки, той пие 30 капки от лекарството още 3 дни, след което намалява приема с 3 капки дневно. Колко бутилки лекарство трябва да купи пациентът за целия курс на лечение, ако всяка бутилка съдържа 20 ml лекарство (което е 250 капки)?(2) сума аритметична прогресиякато първият член е равен на 3, разликата е равна на 3 и последният член е равен на 30.; 165 + 90 + 135 = 390 капки; 3+ 3( п -1)=30; п =10 и 27- 3( п -1)=3; п =9

25) Лекарят предписва на пациента да приема лекарството по следната схема: първия ден трябва да вземе 20 капки, а всеки следващ ден - 3 капки повече от предишния. След 15-дневен прием пациентът прави почивка от 3 дни и продължава да приема лекарството по обратната схема: на 19-ия ден приема същия брой капки, както на 15-ия ден, след което ежедневно намалява дозата с 3 капки, докато дозата стане по-малко от 3 капки на ден. Колко бутилки лекарство трябва да купи пациентът за целия курс на лечение, ако всяка бутилка съдържа 200 капки? (7 ) ще пие 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) В магазин за домакински уреди обемът на продажбите на хладилници е сезонен. През януари са продадени 10 хладилника, а през следващите три месеца са продадени 10 броя. От май продажбите са се увеличили с 15 броя спрямо предходния месец. От септември обемът на продажбите започна да намалява с 15 хладилника всеки месец спрямо предходния месец. Колко хладилника е продал магазинът за една година?(360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) На повърхността на глобуса с флумастер са начертани 12 паралела и 22 меридиана. На колко части начертаните линии разделят повърхността на земното кълбо?

( 13 22= 286)

28) На повърхността на земното кълбо с флумастер са начертани 17 паралела и 24 меридиана. На колко части начертаните линии разделят повърхността на земното кълбо?Меридианът е дъга от окръжност, свързваща северния и южния полюс. Паралелът е окръжност, лежаща в равнина успоредна на равнинатаекватор.( 18 24 = 432)

29) Какъв е най-малкият брой последователни числа, които трябва да се вземат, така че произведението им да се дели на 7?(2) Ако формулировката на проблема звучеше така: „Какъв е най-малкият брой последователни числа, които трябва да бъдат взети, така че тяхното произведение гарантирано се дели на 7? Тогава ще трябва да вземете седем последователни числа.

30) Какъв е най-малкият брой последователни числа, които трябва да се вземат, така че произведението им да се дели на 9?(2)

31) Произведението от десет последователни числа се дели на 7. На какво може да бъде равен остатъкът?(0) Сред 10 последователни числа едно от тях определено ще се дели на 7, така че произведението на тези числа е кратно на седем. Следователно остатъкът при разделяне на 7 е нула.

32) Скакалец скача по координатна линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се окаже, след като направи точно 6 скока, започвайки от началото? (скакалецът може да се окаже в точки: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; само 7 точки.)

33) Скакалец скача по координатна линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се окаже, след като направи точно 12 скока, започвайки от началото? (скакалецът може да бъде в точките: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12; само 13 точки.)

34) Скакалец скача по координатна линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се окаже, след като направи точно 11 скока, започвайки от началото?(може да се появи в точки: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; общо 12 точки.)

35) Скакалецът скача по координатната линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се окаже, след като направи точно 8 скока, започвайки от началото?

Имайте предвид, че скакалецът може да се окаже само в точки с четни координати, тъй като броят на скоковете, които прави, е четен. Максималният скакалец може да бъде в точки, чийто модул не надвишава осем. Така скакалецът може да се окаже в точки: −8, −6, -2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 за общо 9 точки.

• Бегач пробяга 250 м за 36 секунди. Намерете средната скорост на бегача по цялото разстояние. Дайте своя отговор в километри в час и обяснете алгоритъма за решаване на задачата. 13
• Парцелът е с формата на правоъгълник със страни 30 метра и 20 метра. Собственикът е оградил в имота квадратна заграждение със страна 12 метра. Намерете площта на останалата част от парцела. Дайте отговора си в квадратни метри и напишете алгоритъм за решаване на задачата. 15
• Ъгълът при върха срещу основата на равнобедрен триъгълник е 30°. Страничната страна на триъгълника е 11. Намерете лицето на този триъгълник. Запишете решението на задачата. 11
• В цилиндричен съд нивото на течността достига 48 cm. На каква височина ще бъде нивото на течността, ако се налее във втори цилиндричен съд, чийто диаметър е 2 пъти по-голям от диаметъра на първия? Обяснете решението на проблема. 20
• Град N има 150 000 жители. Сред тях 15% са деца и юноши. Сред възрастните 45% не работят (пенсионери, студенти, домакини и др.). Колко възрастни жители работят? Опишете решението на проблема. 21
• Един бележник в магазина струва 22 рубли. Колко рубли ще плати купувачът за 70 тетрадки, ако при закупуване на повече от 50 тетрадки магазинът дава 5% отстъпка от цената на цялата покупка? Напишете решението на задачата. 20
• Един метър въже в магазин струва 19 рубли. Колко рубли ще плати купувачът за 60 метра въже, ако при закупуване на повече от 50 метра въже магазинът дава 5% отстъпка от цената на цялата покупка? Напишете алгоритъм за решаване на задачата. 22

В единния държавен изпит за основно ниво има задача за изобретателност под номер 20. Повечето от тези проблеми се решават доста просто. Нека разпределим задачите, представени в отворената банка за единен държавен изпит, по тип и да им дадем конвенционално име:

Нека да разгледаме първите четири типа.

Тип 1.

Скакалецът скача по координатна линия във всяка посока на единичен сегмент с един скок. Скакалецът започва да скача от началото. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се озове, след като направи точно 11 скока?

Решение . Имайте предвид, че скакалецътв крайна сметка може да завърши само в точки с нечетни координати,защото броят на скоковете, които прави, е нечетен.

Максималният скакалец може да бъде в точкичийто модул не надвишава единадесет. Така скакалецът може да се окаже в точки: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11;само 12 точки.

отговор: 12

Задачи за самостоятелно решаване.

• Заекът скача по координатната линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която заекът може да попадне след точно 6 скока, започвайки от началото?

• Врабчето скача по права линия във всяка посока. Дължината на скока е равна на единична отсечка. В колко точки може да се озове едно врабче след 5 скока?

• Скакалецът скача по координатната линия във всяка посока за единичен сегмент на скок. Колко различни точки има на координатната права, в която скакалецът може да се окаже, след като направи точно 12 скока, започвайки от началото?

Тип 2.

Проблем 1.Охлювът изпълзява нагоре по дървото 4 м през нощта, а височината на дървото е 10 м. За колко дни ще пропълзи до върха на дървото първия път?

Решение . През деня охлювът ще пълзи 4 метра, а през нощта ще се плъзга 3 метра. Общо за един ден тя ще пропълзи метър. След шест дни ще се издигне на височина от шест метра. И през деня следващия дентя вече ще бъде на върха на дървото.

отговор: 7

Проблем 2. Петролна компания пробива кладенец за добив на нефт, който според данните от геоложките проучвания се намира на дълбочина 3 км. През работния ден сондажите стигат до 300 метра дълбочина, но през нощта кладенецът отново се „затлачва“, тоест запълва се с почва на дълбочина 30 метра. Колко работни дни ще са необходими на петролните работници, за да пробият кладенец до дълбочината на петрол?

Решение . През деня кладенецът се увеличава с 300 − 30 = 270 m. До началото на единадесетия работен ден нефтените работници ще пробият 2700 метра. През единадесетия работен ден петролните работници ще пробият още 300 метра, тоест ще достигнат дълбочина от 3 км.

отговор: 11

Задача 3.Вследствие на наводнението ямата се е напълнила с вода до ниво от 2 метра. Строителната помпа непрекъснато изпомпва вода, като понижава нивото й с 20 см на час. Подпочвените води, напротив, повишават нивото на водата в ямата с 5 см на час. Колко часа работа на помпата ще са необходими, за да падне нивото на водата в ямата до 80 cm?

Решение . За един час нивото на водата в ямата намалява с 20 − 5 = 15 cm. Необходимо е да се изпомпват 2 · 100 − 80 = 120 cm вода. Следователно нивото на водата в ямата ще падне до 80 cm за 120: 15 = 8 часа.

отговор: 8

Проблем 4. Пълна кофа с вода с обем 8 литра се излива в резервоар с обем 38 литра на всеки час, започвайки от 12 часа. Но има малка празнина на дъното на резервоара и от него изтичат 3 литра за час. В кой момент от време (в часове) резервоарът ще бъде напълно напълнен?

Решение . В края на всеки час обемът на водата в резервоара се увеличава с 8 − 3 = 5 литра. След 6 часа, тоест в 18 часа, в резервоара ще има 30 литра вода. В 18 часа в резервоара ще се добавят 8 литра вода и обемът на водата в резервоара ще стане 38 литра.

отговор: 18

Решете сами.

• Охлювът изпълзява нагоре по дървото 4 м през нощта и колко дни ще му трябват, за да изпълзи до върха на дървото първия път?

• Охлювът изпълзява нагоре по дървото 4 m през нощта и колко дни ще му трябват, за да изпълзи до върха на дървото първия път?

• Охлювът изпълзява нагоре по дървото 3 м през нощта, а през нощта височината на охлюва е 28 м първия път?

Тип 3.

Задача 1.Саша покани Петя на гости, като каза, че живее в седмия вход в апартамент № 462, но забрави да каже етажа. Приближавайки се до къщата, Петя откри, че къщата е на седем етажа. На кой етаж живее Саша? (На всички етажи броят на апартаментите е еднакъв; номерата на апартаментите в сградата започват с единица.)

Решение . Тъй като в първите 7 входа има поне 462 апартамента, във всеки вход има поне 462: 7 = 66 апартамента. Следователно на всеки от 7-те етажа във входа има поне 9 апартамента.

Нека на всяка площадка има 9 апартамента. Тогава в първите седем входа има само 9 · 7 · 7 = 441 апартамента, а апартамент 462 ще бъде в осмия вход, което противоречи на условието.

Нека на всеки обект има по 10 апартамента. Тогава в първите седем входа има 10 · 7 · 7 = 490 апартамента, а в първите шест - 420. Следователно апартамент 462 се намира в седмия вход. Той е 42-ри поред, тъй като има по 10 апартамента на етаж, намира се на пети етаж.

Ако във всеки обект има 11 апартамента, то в първите шест входа ще има 11 · 7 · 6 = 462 апартамента, тоест 462 апартамента в шестия вход, което противоречи на условието.

И така, Саша живее на петия етаж.

отговор: 5

Проблем 2. Всички входове на къщата са с еднакъв брой етажи, като на всеки етаж има еднакъв брой апартаменти. В този случай броят на етажите в къщата е по-голям от броя на апартаментите на етажа, броят на апартаментите на етажа е по-голям от броя на входовете, а броят на входовете е повече от един. Колко етажа има сградата, ако има общо 110 апартамента?

Решение. Броят на апартаментите, етажите и входовете може да бъде само цяло число.

Имайте предвид, че числото 110 се дели на 2, 5 и 11. Следователно къщата трябва да има 2 входа, 5 апартамента и 11 етажа.

отговор: 11

Решете сами.

• Саша покани Петя на гости, като каза, че живее в осмия вход в апартамент № 468, но забрави да каже етажа. Приближавайки се до къщата, Петя открива, че къщата е висока 12 етажа. На кой етаж живее Саша? (На всички етажи броят на апартаментите е еднакъв; номерата на апартаментите в сградата започват с единица.)

• Саша покани Петя на гости, като каза, че живее в дванадесетия вход в апартамент № 465, но забрави да каже етажа. Приближавайки се до къщата, Петя откри, че къщата е на пет етажа. На кой етаж живее Саша? (На всички етажи броят на апартаментите е еднакъв; номерата на апартаментите в сградата започват с единица.)

• Катя и нейната приятелка Лена отидоха да посетят Света, знаейки, че тя живее в апартамент 364 на 6-ти вход. Когато се приближиха до къщата, откриха, че къщата е висока 16 етажа. На кой етаж живее Света? (На всички етажи броят на апартаментите е еднакъв, номерата на апартаментите започват с единица).

• Игор реши да направи домашна работапо математика с Коля и отишъл до дома му, знаейки, че той живее до къщата, в пети вход и в апартамент 206. Приближавайки се до къщата, Игор откри, че е на девет етажа. На кой етаж живее Коля? (Броят на апартаментите на всички етажи е еднакъв; номерата на апартаментите в сградата започват от единица).

• Всички входове на къщата са с еднакъв брой етажи, като на всеки етаж има еднакъв брой апартаменти. В този случай броят на етажите в къщата е по-голям от броя на апартаментите на етажа, броят на апартаментите на етажа е по-голям от броя на входовете, а броят на входовете е повече от един. Колко етажа има сградата, ако има общо 170 апартамента?

Тип 4.

В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:

• за 2 златни монети получавате 3 сребърни и една медна;

• за 5 сребърни монети получавате 3 златни и една медна.

Николай имаше само сребърни монети. След няколко посещения в обменното бюро сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 50 медни монети. С колко е намалял броят на сребърните монети на Никола?

Решение . Нека Николай първо извърши x операции от втори тип, а след това y операции от първи тип. Тъй като след няколко операции не останаха златни монети иброят на медните монети се е увеличил с 50, нека създадем и решим система от уравнения:

Тогава имаше 3y -5x = 90 – 100 = -10 сребърни монети, тоест 10 по-малко.

отговор: 10

Решете сами.

• за 3 златни монети получавате 4 сребърни и една медна;за 6 сребърни монети получавате 4 златни и една медна.Николай имаше само сребърни монети. След като посети обменното бюро, сребърните му монети станаха по-малки, не се появиха златни, но се появиха 35 медни монети. С колко е намалял броят на сребърните монети на Никола?

• В обменното бюро можете да извършите една от двете операции:за2 златодвземете монети3 среброди една медна;за5 вземете сребърни монети3

През деня охлювът пълзи нагоре по дървото `4` m, а през нощта се плъзга на `2` m височината на дървото е `14` m върха на дървото за първи път? източник:Единен държавен изпит 2017. Математика. Основно ниво. 30 опции за обучение изпитни работи. Изд. Yashchenko I.V. / М.: 2017. - 160 стр. ( вариант №9)

Решение:

Ако изчислите колко метра изминава един охлюв точно за един ден и разделите височината на дървото на това число, отговорът ще бъде неверен. Защото охлювът може да достигне върха на дървото през деня и след това да изпълзи надолу през нощта. Освен това, ако решите задачата за охлюв и дърво по този начин, се оказва, че в един момент охлювът пълзи по-високо от върха на дървото. Следователно този подход не може да се използва. Ще решим проблема постепенно.

На първия денОхлювът пропълзя `4` метра. Тази височина е по-малка от височината на дървото, така че се оказва, че охлювът не е достигнал зададената височина през първия ден. През нощта той се снижи с `2` метра, което означава, че през деня се издигна на височина `4−2=2` метра.

На втория денохлювът изпълзя на височина: `2+4=6` метра и се спусна през нощта на `2` метра: `6-2=4` метра.

За третия ден:
издигна се на височина `4+4=8` метра;
слезе на височина `8-2=6` метра.

За четвъртия ден:
издигна се на височина `6+4=10` метра;
слезе на височина `10-2=8` метра.

На петия ден:
издигна се на височина `8+4=12` метра;
слезе на височина `12-2=10` метра.

За шестия ден:
се издигна на височина `10+4=14` метра.

Така за първи път охлювът ще изпълзи на 14 метра височина на шестия ден.

Решаване на олимпиадни задачи в основно училище

Движение на гъсеница.

Не можем да пренебрегнем един интересен древен проблем:
В неделя в 6 часа сутринта гъсеницата решила да се изкачи на върха на 12-футово дърво. През деня тя успя да се издигне 4 фута, а през нощта в съня си се плъзна 3 фута. Кога гъсеницата ще достигне върха?
Нека разберем колко фута може да изкачи една гъсеница за един ден.
4 – 3 = 1 (фута).
Отговорът е, че гъсеницата ще се издигне 12 фута за 12 дни. Но този отговор е неправилен, тъй като не е необходимо да се взема предвид последното обхождане на гъсеницата.
12 – 4 = 8 (фута).
Минаха 8 дни. Гъсеницата се издигна на 8 фута. На деветия ден ще се издигне 12 фута и до 18 часа в понеделник ще достигне върха.
Отговор: следващата седмица в понеделник в 18 часа ще достигне върха.
Важно е учениците да разберат, че когато гъсеницата достигне върха, в този момент отброяването на времето спира. Тя постигна целта си и вече няма значение дали ще падне или не.
За първата задача е по-добре да изберете опция, при която височината на стълба е малка и с помощта на чертеж можете да проследите целия път на гъсеницата.
Охлюв се изкачва по 10-метров стълб. През деня се издига с 5 m, а през нощта се понижава с 4 m. Колко дни ще са необходими на охлюва, за да стигне до върха на колоната?

Картината показва, че ще отнеме 6 дни, преди охлювът да достигне върха на дървото. Също така е необходимо да се запише аритметичният метод за решаване:
1. 5 – 4= 1(m) – охлювът се издига за ден.
2. 10 – 5 = 5 (m) – охлювът трябва да премине без последно повдигане.
3. 5: 1 = 5 (дни) – гъсеницата ще трябва да измине 5 m.
4. 5 + 1 =6 (дни) – гъсеницата трябва да се изкачи до върха на дървото, тъй като на последния шести ден гъсеницата веднага ще се издигне 5 м и ще достигне върха.
В литературата срещнах няколко проблема, които могат да се считат за варианти на този проблем.
1. Охлюв пълзи по стълб с височина 20 м. Всеки ден той се издига с 1 м. След колко дни ще достигне върха?
2. Височината на стълба е 10 м. През деня мравка го изкачва на 4 м, а през нощта пада на 2 м. Колко дни ще са необходими на мравката, за да изпълзи до върха на стълба?
3. По вертикален стълб с височина 6 m пълзи охлюв. През деня се издига с 4 м, през нощта се спуска с 3 м. Колко дни ще са й необходими, за да стигне до върха?
4. Охлюв се катери по стълб, висок 100 m. През деня тя изкачва стълба 5 м, през нощта пада 4 м. Колко дни ще й отнеме да се изкачи до върха на стълба?
5. Всеки ден охлюв пълзи 7 m нагоре по стената, а през нощта слиза 4 m надолу. В кой ден, започвайки от земята, ще стигне до покрива на къща, чиято височина е 19 m?
6. Червей пълзи по ствола на липа. През нощта се издига с 4 м нагоре, а през деня се спуска с 2 м надолу. На осмата нощ червеят стигнал върха на дървото. Колко е висока липата?
7. В 6 часа сутринта в понеделник гъсеницата започна да пълзи по дърво с височина 12 м. През деня (до 18 ч.) се изкачи на 4 м, а през нощта се спусна на 3 м ще стигне ли върха?
8. Петя, като прави крачка в секунда, върви по следния начин: 2 крачки напред, една крачка назад. Колко секунди ще му отнеме да направи 20 крачки?
9. Гъсеница пълзи по ствола на ябълково дърво. През първия час се е повишила с 10 см, през втория е спаднала с 4 см, през третия отново се е повишила и т.н. С колко см ще се издигне гъсеницата за 11 часа?
10. Гномът Confusion отива в клетката с тигъра. Всеки път, когато направи 2 крачки напред, тигърът ръмжи, а джуджето прави крачка назад. Колко време ще му отнеме да стигне до клетката, ако до нея има 5 стъпки, а Confused прави една стъпка за 1 секунда?
11. В 6 часа в неделя гъсеницата започна да пълзи по дървото. През деня, тоест до 18 часа, той изпълзя на 5 м височина, а през нощта се спусна на 2 метра. В кой ден и час ще бъде на височина 9 метра?
12. Витя наблюдава паяк, който се издига на върха на дърво с височина 12 м. При това се издига така: през деня се издига на 5 метра, а през нощта насън се спуска на 4 метра ще отнеме ли паякът да се издигне до върха?
13. По вертикална колона с височина 6 m се движи охлюв. През деня тя се издига с 4 м, през нощта в съня си се плъзга с 3 м. Колко дни ще са й необходими, за да стигне до върха?