Подготовка за Единния държавен изпит. Експоненциални уравнения

Посетете youtube канала на нашия уебсайт, за да сте в крак с всички нови видео уроци.

Първо, нека си припомним основните формули на степените и техните свойства.

Произведение на число асе среща сам по себе си n пъти, можем да запишем този израз като a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Степенни или експоненциални уравнения– това са уравнения, в които променливите са в степен (или степен), а основата е число.

Примери за експоненциални уравнения:

В този пример числото 6 е основата; то винаги е най-отдолу и променливата хстепен или показател.

Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 х *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Сега нека да разгледаме как се решават експоненциални уравнения?

Нека вземем едно просто уравнение:

2 x = 2 3

Този пример може да бъде решен дори в главата ви. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека видим как да формализираме това решение:

2 x = 2 3
х = 3

За да решим такова уравнение, премахнахме идентични основания(тоест двойки) и записах какво е останало, това са степени. Получихме отговора, който търсехме.

Сега нека обобщим нашето решение.

Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери идентичендали уравнението има основи отдясно и отляво. Ако причините не са същите, търсим варианти за разрешаване на този пример.
2. След като основите станат еднакви, приравнявамградуса и решете полученото ново уравнение.

Сега нека да разгледаме няколко примера:

Да започнем с нещо просто.

Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да приравним техните степени.

x+2=4 Получава се най-простото уравнение.
x=4 – 2
х=2
Отговор: x=2

В следващия пример можете да видите, че базите са различни: 3 и 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Първо, преместете деветката от дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=32. Нека използваме формулата за степен (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Получаваме 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Сега е ясно, че от лявата и дясната страна основите са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги отхвърлим и да приравним степените.

3x=2x+16 получаваме най-простото уравнение
3x - 2x=16
х=16
Отговор: x=16.

Нека разгледаме следния пример:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Първо, разглеждаме основите, основи две и четири. И имаме нужда те да бъдат еднакви. Трансформираме четирите, използвайки формулата (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Добавете към уравнението:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадохме пример по същите причини. Но други числа 10 и 24 ни притесняват. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна имаме 2 2x, повтарящи се, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Нека изчислим израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Разделяме цялото уравнение на 6:

Нека си представим 4=2 2:

2 2x = 2 2 основите са еднакви, изхвърляме ги и приравняваме степените.
2x = 2 е най-простото уравнение. Разделяме го на 2 и получаваме
х = 1
Отговор: x = 1.

Нека решим уравнението:

9 x – 12*3 x +27= 0

Нека трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Нашите основи са еднакви, равни на три. В този пример можете да видите, че първите три имат степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на подмяна. Заменяме числото с най-малката степен:

Тогава 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Заменяме всички степени x в уравнението с t:

t 2 - 12t+27 = 0
Получаваме квадратно уравнение. Решавайки чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Връщане към променливата х.

Вземете t 1:
t 1 = 9 = 3 x

следователно

3 х = 9
3 x = 3 2
х 1 = 2

Намерен е един корен. Търсим втория от t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 = 2; х 2 = 1.

На уебсайта можете да задавате въпроси, които ви интересуват в раздела ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ, ние определено ще ви отговорим.

Присъединете се към групата

На етапа на подготовка за финалния тест учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „ Експоненциални уравнения" Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва да овладеят напълно теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. След като са се научили да се справят с този тип задача, завършилите ще могат да разчитат високи резултатипри полагане на Единния държавен изпит по математика.

Пригответе се за изпитно тестване с Школково!

Когато преглеждат материалите, които са покрили, много ученици се сблъскват с проблема да намерят формулите, необходими за решаване на уравнения. Училищен учебникне винаги е под ръка и изборът на необходимата информация по дадена тема в интернет отнема много време.

Образователният портал Школково кани учениците да използват нашата база от знания. Изпълняваме напълно нов методподготовка за финалния тест. Като изучавате на нашия уебсайт, ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание на онези задачи, които причиняват най-много трудности.

Учителите в Школково са събрали, систематизирали и представили всичко необходимо за успех полагане на Единния държавен изпитматериал в най-простата и достъпна форма.

Основните дефиниции и формули са представени в раздела „Теоретична основа”.

За да разберете по-добре материала, ви препоръчваме да се упражнявате да изпълнявате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете да изпълнявате задачи в раздела „Директории“. Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.

Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към „Любими“. По този начин можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с вашия учител.

За да преминете успешно Единния държавен изпит, учете на портала Школково всеки ден!

Този урок е предназначен за тези, които тепърва започват да учат експоненциални уравнения. Както винаги, нека започнем с определението и прости примери.

Ако четете този урок, тогава подозирам, че вече имате поне минимално разбиране на най-простите уравнения - линейни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ и т.н. Възможността за решаване на такива конструкции е абсолютно необходима, за да не се „забиете“ в темата, която сега ще бъде обсъдена.

И така, експоненциални уравнения. Нека ви дам няколко примера:

\[((2)^(x))=4;\квад ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\квад ((9)^(x))=- 3\]

Някои от тях може да ви изглеждат по-сложни, докато други, напротив, са твърде прости. Но всички те имат една важна обща характеристика: тяхната нотация съдържа експоненциалната функция $f\left(x \right)=((a)^(x))$. И така, нека въведем определението:

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, съдържащо експоненциална функция, т.е. израз във формата $((a)^(x))$. В допълнение към посочената функция, такива уравнения могат да съдържат всякакви други алгебрични конструкции - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.

Добре тогава. Подредихме определението. Сега въпросът е: как да разрешим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.

Нека започнем с добрата новина: от моя опит в преподаването на много студенти мога да кажа, че повечето от тях намират експоненциални уравнения много по-лесно от същите логаритми и още повече тригонометрия.

Но има лоша новина: понякога съставителите на задачи за всякакви учебници и изпити са поразени от „вдъхновение“ и техният възпален от наркотици мозък започва да произвежда толкова брутални уравнения, че решаването им става проблематично не само за учениците - дори и за много учители зациклят на такива проблеми.

Все пак да не говорим за тъжни неща. И да се върнем към тези три уравнения, които бяха дадени в самото начало на историята. Нека се опитаме да разрешим всеки от тях.

Първо уравнение: $((2)^(x))=4$. Е, на каква степен трябва да повдигнете числото 2, за да получите числото 4? Вероятно второто? В крайна сметка $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - и получихме правилното числено равенство, т.е. наистина $x=2$. Е, благодаря, Кап, но това уравнение беше толкова просто, че дори моята котка можеше да го реши :)

Нека разгледаме следното уравнение:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но тук е малко по-сложно. Много ученици знаят, че $((5)^(2))=25$ е таблицата за умножение. Някои също подозират, че $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ по същество е дефиницията на отрицателни степени (подобно на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

И накрая, само няколко избрани осъзнават, че тези факти могат да бъдат комбинирани и да доведат до следния резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Така нашето първоначално уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Дясна стрелка ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Но това вече е напълно разрешимо! Отляво в уравнението има експоненциална функция, отдясно в уравнението има показателна функция, никъде няма нищо друго освен тях. Следователно можем да „изхвърлим“ базите и глупаво да приравним показателите:

Получихме най-простото линейно уравнение, което всеки ученик може да реши само с няколко реда. Добре, в четири реда:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ако не разбирате какво се случва в последните четири реда, не забравяйте да се върнете към темата " линейни уравнения“ и го повторете. Тъй като без ясно разбиране на тази тема, е твърде рано да се заемете с експоненциални уравнения.

\[((9)^(x))=-3\]

И така, как можем да разрешим това? Първа мисъл: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

След това си спомняме, че когато повишаваме степен на степен, показателите се умножават:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

И за такова решение ще получим честно заслужена двойка. Защото с хладнокръвието на покемон изпратихме знака минус пред тримата на степен на точно това три. Но не можете да направите това. И ето защо. Разгледайте различните сили на три:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Когато компилирах тази таблетка, не се извращавах колкото е възможно повече: взех предвид и положителни степени, и отрицателни, и дори дробни... добре, къде има поне една отрицателно число? Няма го! И не може да бъде, защото експоненциалната функция $y=((a)^(x))$, първо, винаги приема само положителни стойности (без значение колко едно се умножава или дели на две, пак ще бъде положително число), и второ, основата на такава функция - числото $a$ - по дефиниция е положително число!

Е, как тогава да решим уравнението $((9)^(x))=-3$? Но няма как: няма корени. И в този смисъл експоненциалните уравнения са много подобни на квадратните уравнения - също може да няма корени. Но ако в квадратни уравненияброят на корените се определя от дискриминанта (положителен дискриминант - 2 корена, отрицателен - без корени), тогава в експоненциалите всичко зависи от това какво е вдясно от знака за равенство.

Така формулираме ключовия извод: най-простото експоненциално уравнение от вида $((a)^(x))=b$ има корен тогава и само ако $b \gt 0$. Познавайки този прост факт, можете лесно да определите дали предложеното ви уравнение има корени или не. Тези. Струва ли си изобщо да го решавате или веднага да запишете, че няма корени.

Това знание ще ни помогне много пъти, когато трябва да решим повече сложни задачи. Засега достатъчно текстове - време е да изучим основния алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения.

Как да решаваме експоненциални уравнения

И така, нека формулираме проблема. Необходимо е да се реши експоненциалното уравнение:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Според „наивния“ алгоритъм, който използвахме по-рано, е необходимо да представим числото $b$ като степен на числото $a$:

Освен това, ако вместо променливата $x$ има някакъв израз, ще получим ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Стрелка надясно ((3)^(-x))=((3)^(4))\Стрелка надясно -x=4\Стрелка надясно x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Дясна стрелка ((5)^(2x))=((5)^(3))\Дясна стрелка 2x=3\Дясна стрелка x=\frac(3)( 2). \\\край (подравняване)\]

И колкото и да е странно, тази схема работи в около 90% от случаите. Ами тогава останалите 10%? Останалите 10% са леко „шизофренични“ експоненциални уравнения от вида:

\[((2)^(x))=3;\квад ((5)^(x))=15;\квад ((4)^(2x))=11\]

Добре, на каква степен трябва да повдигнете 2, за да получите 3? първо? Но не: $((2)^(1))=2$ не е достатъчно. Второ? Също така не: $((2)^(2))=4$ е твърде много. Кое тогава?

Знаещите студенти вероятно вече са се досетили: в такива случаи, когато не е възможно да се реши „красиво“, влиза в действие „тежката артилерия“ - логаритмите. Нека ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на всяко друго положително число(с изключение на едно):

Помните ли тази формула? Когато разказвам на учениците си за логаритми, винаги предупреждавам: тази формула (тя е и основното логаритмично тъждество или, ако желаете, дефиницията на логаритъм) ще ви преследва много дълго време и ще „изскочи“ в повечето неочаквани места. Е, тя изплува. Нека да разгледаме нашето уравнение и тази формула:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ако приемем, че $a=3$ е оригиналното ни число отдясно, а $b=2$ е самата основа експоненциална функция, към който искаме да намалим дясната страна, получаваме следното:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Стрелка надясно x=( (\log )_(2))3. \\\край (подравняване)\]

Получихме малко странен отговор: $x=((\log )_(2))3$. В някоя друга задача мнозина биха имали съмнения при такъв отговор и биха започнали да проверяват решението си: ами ако някъде се е промъкнала грешка? Бързам да ви зарадвам: тук няма грешка, а логаритмите в корените на експоненциалните уравнения са напълно типична ситуация. Така че свиквайте.

Сега нека решим останалите две уравнения по аналогия:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Стрелка надясно ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Стрелка надясно 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\край (подравняване)\]

това е! Между другото, последният отговор може да бъде написан по различен начин:

Въведохме фактор в аргумента на логаритъма. Но никой не ни спира да добавим този фактор към основата:

Освен това и трите варианта са правилни - те са просто различни форми на запис на едно и също число. Кое да изберете и запишете в това решение зависи от вас да решите.

Така се научихме да решаваме всякакви експоненциални уравнения от вида $((a)^(x))=b$, където числата $a$ и $b$ са строго положителни. Суровата реалност на нашия свят обаче е, че такива прости задачи ще се срещат много, много рядко. По-често ще срещнете нещо подобно:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

И така, как можем да разрешим това? Може ли това изобщо да се реши? И ако е така, как?

Не изпадайте в паника. Всички тези уравнения бързо и лесно се свеждат до простите формули, които вече разгледахме. Просто трябва да запомните няколко трика от курса по алгебра. И разбира се, няма правила за работа с дипломи. Сега ще ви разкажа за всичко това. :)

Преобразуване на експоненциални уравнения

Първото нещо, което трябва да запомните: всяко експоненциално уравнение, независимо колко сложно може да бъде, по един или друг начин трябва да бъде сведено до най-простите уравнения - тези, които вече сме разгледали и които знаем как да решим. С други думи, схемата за решаване на всяко експоненциално уравнение изглежда така:

Запишете първоначалното уравнение. Например: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Направи някакви странни глупости. Или дори някои глупости, наречени "преобразуване на уравнение";
На изхода вземете най-простите изрази от формата $((4)^(x))=4$ или нещо друго подобно. Освен това едно начално уравнение може да даде няколко такива израза наведнъж.

С първата точка всичко е ясно - дори моята котка може да напише уравнението на лист хартия. Третата точка също изглежда повече или по-малко ясна - вече сме решили цял куп такива уравнения по-горе.

Но какво да кажем за втората точка? Какви трансформации? Преобразуване на какво в какво? и как?

Е, нека разберем. На първо място бих искал да отбележа следното. Всички експоненциални уравнения са разделени на два вида:

Уравнението е съставено от експоненциални функции с една и съща основа. Пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Формулата съдържа експоненциални функции с различни основи. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Да започнем с уравненията от първия тип – те са най-лесни за решаване. И при решаването им ще ни помогне такава техника като подчертаване на стабилни изрази.

Изолиране на стабилен израз

Нека да разгледаме това уравнение отново:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

какво виждаме Четирите са издигнати на различна степен. Но всички тези степени са прости сборове на променливата $x$ с други числа. Ето защо е необходимо да запомните правилата за работа със степени:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\край (подравняване)\]

Просто казано, събирането може да се преобразува в произведение на степените, а изваждането може лесно да се преобразува в деление. Нека се опитаме да приложим тези формули към степените от нашето уравнение:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\край (подравняване)\]

Нека пренапишем оригиналното уравнение, като вземем предвид този факт, и след това съберем всички членове отляво:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\край (подравняване)\]

Първите четири члена съдържат елемента $((4)^(x))$ - нека го извадим от скобите:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\край (подравняване)\]

Остава да разделим двете страни на уравнението на дробта $-\frac(11)(4)$, т.е. по същество умножете по обърнатата дроб - $-\frac(4)(11)$. Получаваме:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\край (подравняване)\]

това е! Редуцирахме първоначалното уравнение до най-простата му форма и получихме крайния отговор.

В същото време в процеса на решаване открихме (и дори го извадихме от скобата) общия множител $((4)^(x))$ - това е стабилен израз. Тя може да бъде обозначена като нова променлива или можете просто да я изразите внимателно и да получите отговора. Във всеки случай основният принцип на решението е следният:

Намерете в оригиналното уравнение стабилен израз, съдържащ променлива, която лесно се разграничава от всички експоненциални функции.

Добрата новина е, че почти всяко експоненциално уравнение ви позволява да изолирате такъв стабилен израз.

Но лошата новина е, че тези изрази могат да бъдат доста трудни и могат да бъдат доста трудни за идентифициране. Така че нека да разгледаме още един проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Може би някой сега има въпрос: „Паша, убит ли си? Тук има различни бази – 5 и 0,2.” Но нека опитаме да преобразуваме степента към основа 0,2. Например, нека се отървем от десетичната дроб, като я намалим до обикновена:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Както можете да видите, числото 5 все пак се появи, макар и в знаменателя. В същото време индикаторът беше пренаписан като отрицателен. Сега нека си припомним едно от най-важните правила за работа с дипломи:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тук, разбира се, малко се излъгах. Тъй като за пълно разбиране формулата за премахване на отрицателните индикатори трябваше да бъде написана така:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ надясно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

От друга страна, нищо не ни пречеше да работим само с дроби:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ дясно))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Но в този случай трябва да можете да повишите степен до друга степен (нека ви напомня: в този случай индикаторите се сумират). Но не трябваше да „обръщам“ дробите - може би това ще бъде по-лесно за някои.

Във всеки случай оригиналното експоненциално уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\край (подравняване)\]

Така се оказва, че първоначалното уравнение може да бъде решено дори по-просто от разгледаното по-рано: тук дори не е необходимо да избирате стабилен израз - всичко е намалено от само себе си. Остава само да запомним, че $1=((5)^(0))$, от което получаваме:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\край (подравняване)\]

Това е решението! Получихме окончателния отговор: $x=-2$. В същото време бих искал да отбележа една техника, която значително опрости всички изчисления за нас:

В експоненциалните уравнения не забравяйте да се отървете от десетични знаци, конвертирайте ги в обикновени. Това ще ви позволи да видите едни и същи бази от градуси и значително ще опрости решението.

Нека сега да преминем към повече сложни уравнения, в който има различни основи, които изобщо не се свеждат една към друга с помощта на степени.

Използване на свойството Degrees

Нека ви напомня, че имаме още две особено сурови уравнения:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Основната трудност тук е, че не е ясно какво да се даде и на каква база. Къде определени изрази? Къде са същите основания? Няма нищо от това.

Но нека се опитаме да тръгнем по различен начин. Ако няма готови еднакви бази, можете да опитате да ги намерите чрез факторизиране на съществуващите бази.

Да започнем с първото уравнение:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\край (подравняване)\]

Но можете да направите обратното - да направите числото 21 от числата 7 и 3. Това е особено лесно да се направи отляво, тъй като показателите на двете степени са еднакви:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\край (подравняване)\]

това е! Извадихте експонентата извън продукта и веднага получихте красиво уравнение, което може да се реши в няколко реда.

Сега нека разгледаме второто уравнение. Тук всичко е много по-сложно:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

В този случай дробите се оказаха нередуцируеми, но ако нещо може да се намали, не забравяйте да го намалите. Често ще се появят интересни причини, с които вече можете да работите.

За съжаление не се появи нищо особено за нас. Но виждаме, че показателите отляво в продукта са противоположни:

Нека ви напомня: за да се отървете от знака минус в индикатора, просто трябва да „обърнете“ дробта. Е, нека пренапишем оригиналното уравнение:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\край (подравняване)\]

Във втория ред просто извадихме общата експонента от продукта от скобата съгласно правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, а в последния просто умножиха числото 100 по дроб.

Сега имайте предвид, че числата отляво (в основата) и отдясно са донякъде сходни. как? Да, очевидно е: те са степени на едно и също число! Ние имаме:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \десен))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Така нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\вдясно))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

В този случай вдясно можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно просто да „обърнете“ фракцията:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Нашето уравнение най-накрая ще приеме формата:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Това е решението. Неговата основна идея се свежда до факта, че дори и с различни бази ние се опитваме с кука или измама да сведем тези бази до едно и също нещо. За това ни помагат елементарни трансформации на уравнения и правила за работа със степени.

Но какви правила и кога да използвате? Как разбирате, че в едно уравнение трябва да разделите двете страни на нещо, а в друго трябва да разложите основата на експоненциалната функция?

Отговорът на този въпрос ще дойде с опита. Първо опитайте ръката си с прости уравнения и след това постепенно усложнявайте задачите - и много скоро вашите умения ще бъдат достатъчни, за да решите всяко експоненциално уравнение от същия Единен държавен изпит или всяка независима / тестова работа.

И за да ви помогна в този труден въпрос, предлагам да изтеглите набор от уравнения за независимо решение. Всички уравнения имат отговори, така че винаги можете да се тествате.

Като цяло ти пожелавам успешно обучение. И ще се видим в следващия урок - там ще анализираме наистина сложни експоненциални уравнения, където описаните по-горе методи вече не са достатъчни. И простото обучение също няма да е достатъчно :)

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок

: урок за обобщаване и комплексно приложение на знания, умения и способности по темата „Експоненциални уравнения и методи за тяхното решаване“.

Цели на урока.

Образователни:
повторете и систематизирайте основния материал от темата „Експоненциални уравнения, техните решения“; консолидират способността за използване на подходящи алгоритми при решаване на експоненциални уравнения от различни видове; подготовка за единен държавен изпит.
Образователни:
развиват логическото и асоциативното мислене на учениците; насърчаване на развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания.
Образователни:
култивирайте отдаденост, внимание и точност при решаване на уравнения.

Оборудване:

компютър и мултимедиен проектор.

Използва се в клас информационни технологии : методическа подкрепакъм урока - презентация в Microsoft Power Point.

Напредък на урока

Всяко умение идва с упорит труд

аз Поставяне на цел на урока(Слайд номер 2 )

В този урок ще обобщим и обобщим темата „Експоненциални уравнения, техните решения“. Да се запознаем с типичните Задачи за единен държавен изпитразлични години по тази тема.

Задачите за решаване на експоненциални уравнения могат да бъдат намерени във всяка част от задачите на Единния държавен изпит. В частта „ В " Обикновено те предлагат решаване на най-простите експоненциални уравнения. В частта „ С " Можете да намерите по-сложни експоненциални уравнения, чието решение обикновено е един от етапите на изпълнение на задачата.

Например ( Слайд номер 3 ).

Единен държавен изпит - 2007 г

Въпрос 4 – Намерете най-голямата стойност на израза x y, Къде ( X; при) – решение на системата:

Единен държавен изпит - 2008 г

Q 1 – Решете уравненията:

а) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

б) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Единен държавен изпит - 2009 г

Въпрос 4 – Открийте значението на израза x + y, Къде ( X; при) – решение на системата:

Единен държавен изпит - 2010 г

– Решете уравнението: 7 X– 2 = 49. – Намерете корените на уравнението: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Решете системата от уравнения:

II. Актуализиране на основни знания. Повторение

(Слайдове № 4 – 6 презентации към урока)

Показано на екрана фоново обобщение на теоретичния материал по темата.

Обсъждат се следните въпроси:

Как се наричат уравненията показателно?
Назовете основните начини за решаването им. Дайте примери за техните видове ( Слайд номер 4 )

(Решете самостоятелно предложените уравнения за всеки метод и направете самотест с помощта на слайда)

Каква теорема се използва при решаване на прости експоненциални уравнения от вида: и f(x) = a g(x)?
Какви други методи за решаване на експоненциални уравнения съществуват? ( Слайд номер 5 )

Метод на факторизиране

Техниката на деление (умножение) с експоненциален израз, различен от нула, при решаване на хомогенни експоненциални уравнения

съвет:

Когато решавате експоненциални уравнения, е полезно първо да направите трансформации, като получите степени с еднакви основи от двете страни на уравнението.

Решаване на уравнения чрез последните два метода с последващи коментари

(Слайд номер 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3т- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Решаване на задачи за единен държавен изпит 2010 г

Учениците решават самостоятелно задачите, предложени в началото на урока на слайд № 3, като използват инструкции за решението, проверяват напредъка си в решаването и отговорите към тях с помощта на презентация ( Слайд номер 7). По време на работа се обсъждат варианти и решения, като се обръща внимание на евентуални грешки в решението.

: а) 7 X– 2 = 49, б) (1/6) 12 – 7 х = 36. отговор: а) X= 4, б) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Може да се замени с 0,5 = 4 – 0,5)

Решение. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

отговор: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 тг г+ 4 = 5 -tg г, при cos г< 0.

Насоки към решението

. 5 5 tg г+ 4 = 5 -tg г¦ 5 tg г 0,

5 5 2g г+ 4 5 тг y – 1 = 0. Нека X= 5 tg г , …

5 tg г = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Тъй като tg г= -1 и cos г< 0, тогава при II координатна четвърт

отговор: при= 3/4 + 2к, к Н.

IV. Работа в екип на дъската

Обмисля се задача за обучение с високо ниво - Слайд номер 8. С помощта на този слайд се осъществява диалог между учителя и учениците, което улеснява разработването на решение.

– При какъв параметър А уравнение 2 2 X – 3 2 X + А 2 – 4А= 0 има два корена?

Нека t= 2 X, Къде t > 0 . получаваме t 2 – 3t + (А 2 – 4А) = 0 .

1). Тъй като уравнението има два корена, тогава D > 0;

2). защото t 1,2 > 0, тогава t 1 t 2 > 0, т.е А 2 – 4А> 0 (?...).

отговор: А(– 0,5; 0) или (4; 4,5).

V. Контролна работа

(Слайд номер 9 )

Учениците изпълняват тестова работана листове, упражняване на самоконтрол и самооценка на извършената работа с помощта на презентация, утвърдена в темата. Те самостоятелно определят програма за регулиране и коригиране на знанията въз основа на допуснати грешки в работните тетрадки. Листове с изпълнена самостоятелна работа се предават на учителя за проверка.

Подчертаните цифри са от основно ниво, тези със звездичка са от повишена сложност.