Определение 1

Ако за всяка двойка $(x,y)$ от стойности на две независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $z$, тогава се казва, че $z$ е функция на две променливи $(x,y) $. Нотация: $z=f(x,y)$.

Във връзка с функцията $z=f(x,y)$, нека разгледаме концепциите за общи (общи) и частични увеличения на функция.

Нека е дадена функция $z=f(x,y)$ от две независими променливи $(x,y)$.

Бележка 1

Тъй като променливите $(x,y)$ са независими, едната от тях може да се променя, докато другата остава постоянна.

Нека дадем на променливата $x$ увеличение от $\Delta x$, като запазим стойността на променливата $y$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи увеличение, което ще се нарича частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $x$. Обозначение:

По същия начин ще дадем на променливата $y$ увеличение от $\Delta y$, като запазим стойността на променливата $x$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи увеличение, което ще се нарича частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $y$. Обозначение:

Ако на аргумента $x$ е дадено увеличението $\Delta x$, а на аргумента $y$ е дадено увеличението $\Delta y$, тогава получаваме пълно увеличение дадена функция$z=f(x,y)$. Обозначение:

Така имаме:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ с $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ с $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - общо нарастване на функцията $z=f(x,y)$.

Пример 1

Решение:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - частично нарастване на функцията $z=f(x,y)$ върху $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - частично нарастване на функцията $z=f(x,y)$ спрямо $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - общо нарастване на функцията $z=f(x,y)$.

Пример 2

Изчислете частичното и общото увеличение на функцията $z=xy$ в точка $(1;2)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Решение:

По дефиницията на частично увеличение намираме:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частично нарастване на функцията $z=f(x,y)$ върху $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ с $y$;

По дефиницията на общото увеличение намираме:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - общо увеличение на функцията $z=f(x,y)$.

следователно

\[\Делта _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Делта _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Делта z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Бележка 2

Общото увеличение на дадена функция $z=f(x,y)$ не е равно на сумата от нейните частични увеличения $\Delta _(x) z$ и $\Delta _(y) z$. Математическа нотация: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Пример 3

Проверете забележките за твърдение за функция

Решение:

$\Делта _(x) z=x+\Делта x+y$; $\Делта _(y) z=x+y+\Делта y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получено в пример 1)

Нека намерим сумата от частичните увеличения на дадена функция $z=f(x,y)$

\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z=x+\Делта x+y+(x+y+\Делта y)=2\cdot (x+y)+\Делта x+\Делта y.\]

\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z\ne \Делта z.\]

Определение 2

Ако за всяка тройка $(x,y,z)$ от стойности на три независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $w$, тогава се казва, че $w$ е функция на три променливи $(x, y,z)$ в тази област.

Нотация: $w=f(x,y,z)$.

Определение 3

Ако за всеки набор $(x,y,z,...,t)$ от стойности на независими променливи от някакъв домейн е асоциирана определена стойност $w$, тогава се казва, че $w$ е функция на променливи $(x,y, z,...,t)$ в тази област.

Нотация: $w=f(x,y,z,...,t)$.

За функция на три или повече променливи, по същия начин, както за функция на две променливи, се определят частични увеличения за всяка от променливите:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z,... ,t )$ от $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частично увеличение на функцията $w =f (x,y,z,...,t)$ по $t$.

Пример 4

Напишете функции за частично и общо нарастване

Решение:

По дефиницията на частично увеличение намираме:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частично нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$ върху $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частично нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$ върху $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частично нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$ върху $z$;

По дефиницията на общото увеличение намираме:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - общо нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$.

Пример 5

Изчислете частичното и пълното увеличение на функцията $w=xyz$ в точката $(1;2;1)$ за $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Делта z=0,1$.

Решение:

По дефиницията на частично увеличение намираме:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частично нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$ над $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частично увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$ с $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частично нарастване на функцията $w=f(x,y,z)$ върху $z$;

По дефиницията на общото увеличение намираме:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - общо увеличение на функцията $w=f(x,y,z)$.

следователно

\[\Делта _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Делта _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Делта _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Делта z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

СЪС геометрична точкаОт гледна точка общото нарастване на функцията $z=f(x,y)$ (по дефиниция $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) е равно на увеличението на приложението на графиката на функцията $z =f(x,y)$ при преместване от точка $M(x,y)$ до точка $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (фиг. 1).

Фигура 1.

В живота не винаги се интересуваме от точните стойности на каквито и да било количества. Понякога е интересно да се знае промяната в това количество, напр. средна скороставтобус, отношението на количеството движение към периода от време и др. За да сравните стойността на функция в определена точка със стойностите на същата функция в други точки, е удобно да използвате понятия като „увеличаване на функцията“ и „увеличаване на аргумента“.

Понятията "увеличаване на функцията" и "увеличаване на аргумента"

Да кажем, че x е произволна точка, която лежи в някаква околност на точката x0. Увеличението на аргумента в точката x0 е разликата x-x0. Увеличението се обозначава, както следва: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Понякога тази стойност се нарича също нарастване на независимата променлива в точка x0. От формулата следва: x = x0+∆x. В такива случаи те казват, че първоначалната стойност на независимата променлива x0 е получила увеличение ∆x.

Ако променим аргумента, тогава стойността на функцията също ще се промени.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Увеличаване на функция f в точка x0,съответното нарастване ∆х е разликата f(x0 + ∆х) - f(x0). Приращението на функция се означава по следния начин: ∆f. Така получаваме по дефиниция:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Понякога ∆f се нарича също нарастване на зависимата променлива и ∆у се използва за това обозначение, ако функцията е била например y=f(x).

Геометрично значение на нарастването

Вижте следната снимка.

Както можете да видите, нарастването показва промяната на ординатата и абсцисата на точка. И съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента определя ъгъла на наклона на секанса, минаващ през началната и крайната позиция на точката.

Нека да разгледаме примери за увеличаване на функция и аргумент

Пример 1.Намерете увеличението на аргумента ∆x и увеличението на функцията ∆f в точката x0, ако f(x) = x 2, x0=2 а) x=1,9 б) x =2,1

Нека използваме формулите, дадени по-горе:

а) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

б) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Пример 2.Изчислете увеличението ∆f за функцията f(x) = 1/x в точка x0, ако увеличението на аргумента е равно на ∆x.

Отново ще използваме формулите, получени по-горе.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

по медицинска и биологична физика

ЛЕКЦИЯ №1

ПРОИЗВОДНА И ДИФЕРЕНЦИАЛНИ ФУНКЦИИ.

ЧАСТИЧНИ ПРОИЗВОДНИ.

1. Понятието производна, нейното механично и геометрично значение.

А ) Увеличаване на аргумент и функция.

Нека е дадена функция y=f(x), където x е стойността на аргумента от областта на дефиниране на функцията. Ако изберете две стойности на аргумента x o и x от определен интервал от областта на дефиниране на функцията, тогава разликата между двете стойности на аргумента се нарича увеличение на аргумента: x - x o = ∆x.

Стойността на аргумента x може да се определи чрез x 0 и неговото увеличение: x = x o + ∆x.

Разликата между две стойности на функцията се нарича нарастване на функцията: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Увеличаването на аргумент и функция може да бъде представено графично (фиг. 1). Увеличението на аргумента и увеличението на функцията може да бъде положително или отрицателно. Както следва от фиг. 1, геометрично приращението на аргумента ∆х се представя чрез приращението на абсцисата, а приращението на функцията ∆у чрез приращението на ординатата. Увеличението на функцията трябва да се изчисли в следния ред:

даваме на аргумента увеличение ∆x и получаваме стойността – x+Δx;

2) намиране на стойността на функцията за стойността на аргумента (x+∆x) – f(x+∆x);

3) намерете нарастването на функцията ∆f=f(x + ∆x) - f(x).

Пример:Определете увеличението на функцията y=x 2, ако аргументът се промени от x o =1 на x=3. За точка x o стойността на функцията f(x o) = x² o; за точката (x o +∆x) стойността на функцията f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, откъдето ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.б)

Проблеми, водещи до концепцията за производна. Определение за производна, нейното физическо значение.

Концепцията за нарастване на аргумента и функцията е необходима за въвеждане на концепцията за производна, която исторически възниква въз основа на необходимостта да се определи скоростта на определени процеси.

За променливо движение стойността ∆Ѕ/∆t определя стойността  ср. , т.е. ср. =∆S/∆t Но средната скорост не дава възможност да се отразят характеристиките на движението на тялото и да се даде представа за истинската скорост в момент t. Когато периодът от време намалява, т.е. при ∆t→0 средната скорост клони към своята граница – моментна скорост:

 моментално =
 ср. =
∆S/∆t.

Моментната скорост на химическа реакция се определя по същия начин:

 моментално =
 ср. =
∆х/∆t,

където x е количеството вещество, образувано по време на химическа реакция за време t. Подобни проблеми за определяне на скоростта на различни процеси доведоха до въвеждането в математиката на понятието производна функция.

Нека се даде непрекъсната функция f(x), дефиниран на интервала ]a, в [т.е. неговото нарастване ∆f=f(x+∆x)–f(x). Връзка
е функция на ∆x и изразява средната скорост на изменение на функцията.

Ограничение на съотношението , когато ∆х→0, при условие че тази граница съществува, се нарича производна на функцията :

y" x =

.

Производната се означава:
– (Yigree щрих от X); " (x) – (eff просто върху x) ; y" – (гръцка черта); dy/dх – (de igrek от de x); - (гръцки с точка).

Въз основа на дефиницията на производната можем да кажем, че моментната скорост на праволинейно движение е производната по време на пътя:

 моментално = S" t = f " (t).

По този начин можем да заключим, че производната на функция по отношение на аргумента x е моментната скорост на промяна на функцията f(x):

y" x =f " (x)= момент.

Това е физическият смисъл на производната. Процесът на намиране на производната се нарича диференциране, така че изразът „диференциране на функция“ е еквивалентен на израза „намиране на производната на функция“.

V)Геометрично значение на производната.

П
производната на функцията y = f(x) има просто геометрично значение, свързано с концепцията за допирателна към крива линия в някаква точка M. В същото време допирателната, т.е. права линия се изразява аналитично като y = kx = tan· x, където  – ъгълът на наклона на допирателната (правата линия) към оста X Нека си представим непрекъсната крива като функция y = f(x), вземем точка M1 на кривата и точка M1 близо до нея и начертайте секуща. чрез тях. Неговият наклон към sec =tg β = .Ако доближим точка M 1 до M, тогава нарастването на аргумента ∆x ще клони към нула и секансът при β=α ще заеме позицията на допирателна. От фиг. 2 следва: tgα =
tgβ =
=y" x. Но tgα е равно на наклона на допирателната към графиката на функцията:

k = tgα =
=y" x = f " (X). И така, ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функция в дадена точка е равен на стойността на нейната производна в точката на допиране. Това е геометричното значение на производната.

G)Общо правило за намиране на производната.

Въз основа на дефиницията на производната, процесът на диференциране на функция може да бъде представен по следния начин:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

намерете нарастването на функцията: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

образува съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента:

;

Пример: f(x)=x 2; " f

(x)=?. Въпреки това, както се вижда дори от товапрост пример , прилагането на посочената последователност при прием на производни е трудоемък и сложен процес. Ето защо, за различни функции ние въвеждамеобщи формули

диференциране, които са представени под формата на таблица на “Основни формули за диференциране на функции”.

Много лесен за запомняне. Е, нека не отиваме далеч, нека го разгледаме веднагаобратна функция . Коя функция е обратна наекспоненциална функция

? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? разбира се

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

1. Примери:
2. Намерете производната на функцията.

Каква е производната на функцията? Отговори: Изложител инатурален логаритъм

- функциите са уникално прости по отношение на производни. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...Диференциация

е процесът на намиране на производната.

това е всичко Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Диференциалът на математиците е същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. тук

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

1. Намерете производните на функциите:
2. Намерете производните на функциите:
3. Намерете производните на функциите:
4. в точка;

в точката.

1. Решения: (производната е една и съща във всички точки, тъй като товалинейна функция

, помниш ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

1. Производна:
2. Намерете производните на функциите и;

в точката.

Намерете производната на функцията в точка.

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За това ще използваме просто правило: . След това:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

проработи ли

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Производната на естествения логаритъм също е много проста:
Намерете производните на функциите:

Каква е производната на функцията?

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише повече в проста форма. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Имайте предвид, че тук е частно от две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

какво се случи" сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). какво стана функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Каква е производната на функцията?Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

1. Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
   И първоначалната функция е тяхната композиция: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
3. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
4. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
5. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.

Променяме променливите и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. По отношение на оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

в точката.

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
2. Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

Нека X– аргумент (независима променлива); y=y(x)– функция.

Нека вземем фиксирана стойност на аргумента х=х 0 и изчислете стойността на функцията г 0 =y(x 0 ) . Сега нека да зададем произволно нарастване (промяна) на аргумента и го обозначете  X ( Xможе да има всякакъв знак).

Аргументът за увеличение е точка X 0 +  X. Да кажем, че съдържа и функционална стойност y=y(x 0 +  X)(виж снимката).

Така при произволна промяна на стойността на аргумента се получава промяна на функцията, която се извиква нарастване стойности на функцията:

и не е произволен, а зависи от вида на функцията и стойността
.

Могат да се увеличават аргументи и функции окончателен, т.е. изразени като постоянни числа, в който случай понякога се наричат ​​крайни разлики.

В икономиката крайните увеличения се разглеждат доста често. Например таблицата показва данни за дължината на железопътната мрежа на дадена държава. Очевидно нарастването на дължината на мрежата се изчислява чрез изваждане на предишната стойност от следващата.

Ще разглеждаме дължината на железопътната мрежа като функция, чийто аргумент ще бъде времето (години).

	Дължина на железницата към 31 декември хил. км.	Увеличаване	Средногодишен прираст

Само по себе си увеличаването на функция (в този случай дължината на железопътната мрежа) не характеризира добре промяната на функцията. В нашия пример от факта, че 2,5>0,9 не може да се заключи, че мрежата е нараснала по-бързо през 2000-2003 години, отколкото през 2004 g., тъй като нарастването 2,5 се отнася за тригодишен период и 0,9 - само за една година. Следователно е съвсем естествено увеличението във функция да води до промяна на единица в аргумента. Увеличението на аргумента тук е периоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Получаваме това, което се нарича в икономическата литература среден годишен прираст.

Можете да избегнете операцията за намаляване на увеличението на единицата за промяна на аргумента, ако вземете стойностите на функцията за стойности на аргумент, които се различават с единица, което не винаги е възможно.

В математическия анализ, по-специално в диференциалното смятане, се разглеждат безкрайно малки (IM) увеличения на аргумент и функция.

Диференциране на функция на една променлива (производна и диференциал) Производна на функция

Увеличения на аргумент и функция в точка X 0 могат да се разглеждат като сравними безкрайно малки величини (вижте тема 4, сравнение на BM), т.е. BM от същия ред.

Тогава съотношението им ще има крайна граница, която се определя като производна на функцията в t X 0 .

Ограничение на съотношението на нарастването на функция към увеличението на BM на аргумента в точка х=х 0 наречен производна функции в дадена точка.

Символичното обозначение на производна с черта (или по-скоро с римската цифра I) е въведено от Нютон. Можете също да използвате долен индекс, който показва с коя променлива се изчислява производната, например . Друга нотация, предложена от основателя на смятането на производните, немският математик Лайбниц, също е широко използвана:
. Ще научите повече за произхода на това обозначение в раздела Функционален диференциал и аргументен диференциал.

Този брой прогнози скоростпромени във функцията, преминаваща през точка
.

Да инсталираме геометричен смисълпроизводна на функция в точка. За целта ще начертаем функцията y=y(x)и маркирайте върху него точките, които определят промяната y(x)между тях

Тангента към графиката на функция в точка М 0
ще разгледаме граничното положение на секанса М 0 Мпредвид това
(точка Мплъзга се по графиката на функция до точка М 0 ).

Нека помислим
. очевидно,
.

Ако точката Мнасочва по графиката на функцията към точката М 0 , след това стойността
ще клони към определена граница, която обозначаваме
. В същото време.

Граничен ъгъл  съвпада с ъгъла на наклона на допирателната, прекарана към графиката на функцията вкл. М 0 , така че производната
числено равен допирателна наклон в посочената точка.

-

геометричен смисъл на производната на функция в точка.

По този начин можем да напишем допирателната и нормалните уравнения ( нормално - това е права линия, перпендикулярна на допирателната) към графиката на функцията в дадена точка X 0 :

Тангента - .

нормално -
.

Интерес представляват случаите, когато тези прави са разположени хоризонтално или вертикално (виж Тема 3, специални случаи на разположение на права в равнина). тогава,

Ако
;

Ако
.

Определението за производна се нарича диференциация функции.

 Ако функцията е в точка X 0 има крайна производна, тогава се нарича диференцируемив този момент. Функция, която е диференцируема във всички точки на даден интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

 Теорема . Ако функцията y=y(x)диференцируеми вкл. X 0 , тогава той е непрекъснат в тази точка.

по този начин приемственост– необходимо (но не достатъчно) условие за диференцируемост на функция.