Тема: теорема, обратна на теорематаПитагор.

Цели на урока: 1) разгледайте теоремата, обратна на теоремата на Питагор; приложението му в процеса на решаване на проблеми; консолидират теоремата на Питагор и подобряват уменията за решаване на проблеми за нейното приложение;

2) развивам логическо мислене, творческо търсене, познавателен интерес;

3) да се култивира у учениците отговорно отношение към ученето и култура на математическата реч.

Тип урок. Урок за усвояване на нови знания.

Напредък на урока

І. Организационен момент

ІІ. Актуализация знания

Урок за менбихискахзапочнете с четиристишие.

Да, пътят на познанието не е гладък

Но ние знаем ученически години,

Има повече мистерии, отколкото отговори,

И няма ограничение за търсене!

И така, в последния урок научихте Питагоровата теорема. Въпроси:

За коя фигура е вярна Питагоровата теорема?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Изложете Питагоровата теорема.

Как може да се напише Питагоровата теорема за всеки триъгълник?

Кои триъгълници се наричат ​​равни?

Формулирайте критериите за равенство на триъгълниците?

Сега нека направим малко самостоятелна работа:

Решаване на задачи с помощта на чертежи.

№1

(1 б.) Намерете: AB.

№2

(1 б.) Намерете: VS.

№3

( 2 б.)Намерете: AC

№4

(1 точка)Намерете: AC

№5 Дадено от: ABCгромб

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 см

Намерете: Бг

Самотест No1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Учене нов материал.

Древните египтяни изграждали прави ъгли на земята по този начин: разделяли въжето на 12 възела равни части, завързва краищата му, след което въжето се опъва на земята, така че да се образува триъгълник със страни 3, 4 и 5 деления. Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 деления, беше прав.

Можете ли да обясните правилността на тази преценка?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка се поставя въпросът: ще бъде ли триъгълникът правоъгълен?

Поставяме проблем: как да определим, без да правим измервания, дали триъгълник с дадени страни ще бъде правоъгълен. Решаването на този проблем е целта на урока.

Запишете темата на урока.

Теорема. Ако сборът от квадратите на двете страни на триъгълник е равен на квадрата на третата страна, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Докажете теоремата самостоятелно (направете план за доказателство с помощта на учебника).

От тази теорема следва, че триъгълник със страни 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числа, за които е валидно равенство , се наричат ​​Питагорови тройки. А триъгълниците, чиито дължини на страните са изразени чрез питагорови тройки (6, 8, 10), са питагорови триъгълници.

Консолидация.

защото , тогава триъгълник със страни 12, 13, 5 не е правоъгълен.

защото , тогава триъгълник със страни 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (a, b, c)

( - не е)

Цели на урока:

Образователни: формулирайте и докажете Питагоровата теорема и обратната теорема на Питагоровата теорема. Покажете тяхното историческо и практическо значение.

Развитие: развива вниманието, паметта, логическото мислене на учениците, способността да разсъждават, сравняват и правят изводи.

Образователни: да се култивира интерес и любов към темата, точност, способност да слушате другари и учители.

Оборудване: Портрет на Питагор, плакати със задачи за консолидация, учебник „Геометрия” за 7-9 клас (I.F. Sharygin).

План на урока:

I. Организационен момент – ​​1 мин.

II. Проверка на домашни – 7 мин.

III. Встъпително слово на учителя, историческа справка – 4-5 мин.

IV. Формулиране и доказателство на Питагоровата теорема – 7 мин.

V. Формулиране и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема – 5 мин.

Консолидиране на нов материал:

а) устно – 5-6 минути.
б) писмено – 7-10 минути.

VII. домашна работа– 1 мин.

VIII. Обобщаване на урока – 3 мин.

Напредък на урока

I. Организационен момент.

II. Проверка на домашните.

клауза 7.1, № 3 (на дъската според готовия чертеж).

Състояние: Надморската височина на правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата на сегменти с дължина 1 и 2. Намерете катетите на този триъгълник.

BC = a; СА = b; BA = c; BD = a 1; DA = b1; CD = h C

Допълнителен въпрос: запишете съотношенията в правоъгълен триъгълник.

Раздел 7.1, № 5. Изрежете правоъгълен триъгълникна три подобни триъгълника.

Обяснете.

ASN ~ ABC ~ SVN

(насочете вниманието на учениците към правилността на писане на съответните върхове на подобни триъгълници)

III. Встъпително слово на учителя, историческа справка.

Истината ще остане вечна щом слабия човек я познае!

И сега Питагоровата теорема е вярна, както в далечната му епоха.

Неслучайно започнах урока си с думите на немския писател Шамисо. Нашият урок днес е за Питагоровата теорема. Нека напишем темата на урока.

Пред вас е портрет на великия Питагор. Роден през 576 г. пр.н.е. Живял 80 години, той починал през 496 г. пр.н.е. Известен като древногръцки философ и учител. Той бил син на търговеца Мнесарх, който често го вземал на пътувания, благодарение на което момчето развило любопитство и желание да научава нови неща. Питагор е прякор, даден му заради неговото красноречие („Питагор“ означава „убедителен чрез реч“). Самият той не е писал нищо. Всички негови мисли са записани от неговите ученици. В резултат на първата лекция, която изнесе, Питагор придоби 2000 ученици, които заедно със своите съпруги и деца образуваха огромно училище и създадоха държава, наречена „Велика Гърция“, която се основаваше на законите и правилата на почитания Питагор като божествени заповеди. Той пръв нарича своите разсъждения за смисъла на живота философия (философия). Беше склонен към мистификация и демонстративно поведение. Един ден Питагор се скрил под земята и научил за всичко, което се случва от майка си. Тогава, изсъхнал като скелет, той заяви на публично събрание, че е бил в Хадес и показа удивителни познания за земните събития. За това трогнатите жители го признаха за Бог. Питагор никога не е плакал и като цяло е бил недостъпен за страстите и вълнението. Той вярваше, че идва от семе, което е по-добро от човешкото. Целият живот на Питагор е легенда, достигнала до нашето време и ни разказала за най-талантливия човек на древния свят.

IV. Формулиране и доказателство на Питагоровата теорема.

Знаете формулировката на Питагоровата теорема от вашия курс по алгебра. Да си спомним за нея.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Тази теорема обаче е известна много години преди Питагор. 1500 години преди Питагор, древните египтяни са знаели, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълен и са използвали това свойство за конструиране на прави ъгли при планиране на парцели и изграждане на сгради. В най-старата китайска математическа и астрономическа работа, достигнала до нас, „Жиу-би“, написана 600 години преди Питагор, сред другите предложения, свързани с правоъгълния триъгълник, се съдържа Питагоровата теорема. Още по-рано тази теорема е била известна на индусите. Така че Питагор не е открил това свойство на правоъгълния триъгълник, той вероятно е първият, който го обобщава и доказва, пренася го от областта на практиката в областта на науката.

СЪС древни временаматематиците намират все повече и повече доказателства на Питагоровата теорема. Известни са повече от сто и половина от тях. Нека си припомним алгебричното доказателство на Питагоровата теорема, познато ни от курса по алгебра. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ на данни” G.V. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г.).

Поканете учениците да си спомнят доказателството за чертежа и да го напишат на дъската.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Древните индуси, на които принадлежи това разсъждение, обикновено не са го записвали, а са придружавали рисунката само с една дума: „Виж“.

Нека разгледаме в съвременна презентация едно от доказателствата, принадлежащи на Питагор. В началото на урока си спомнихме теоремата за отношенията в правоъгълен триъгълник:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Нека добавим последните две равенства член по член:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Въпреки привидната простота на това доказателство, то далеч не е най-простото. В края на краищата, за това беше необходимо да начертаете височината в правоъгълен триъгълник и да разгледате подобни триъгълници. Моля, запишете това доказателство в бележника си.

V. Формулиране и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема.

Коя теорема се нарича обратна на тази теорема? (...ако условието и заключението са обърнати.)

Нека сега се опитаме да формулираме теоремата, обратна на Питагоровата теорема.

Ако в триъгълник със страни a, b и c е изпълнено равенството c 2 = a 2 + b 2, то този триъгълник е правоъгълен, а правият ъгъл е противоположен на страната c.

(Доказателство на обратната теорема на плаката)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Докажи:

ABC - правоъгълник,

Доказателство:

Да разгледаме правоъгълен триъгълник A 1 B 1 C 1,

където C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Тогава, според Питагоровата теорема, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Тоест B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC от трите страни ABC е правоъгълен

C = 90°, което трябваше да се докаже.

VI. Консолидиране на изучения материал (устно).

1. На базата на плакат с готови рисунки.

Фиг. 1: намерете AD, ако ВD = 8, ВDA = 30°.

Фиг.2: намерете CD, ако BE = 5, BAE = 45°.

Фиг.3: намерете BD, ако BC = 17, AD = 16.

2. Правоъгълен ли е триъгълникът, ако страните му са изразени с числа:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (не)	9 2 + 12 2 = 15 2 (да)	15 2 + 20 2 = 25 2 (да)

Как се казват тройките от числа в последните два случая? (Питагоров).

VI. Решаване на задачи (писмено).

№ 9. Страната на равностранен триъгълник е равна на a. Намерете височината на този триъгълник, радиуса на описаната окръжност и радиуса на вписаната окръжност.

№ 14. Докажете, че в правоъгълен триъгълник радиусът на описаната окръжност е равен на медианата, прекарана към хипотенузата и равен на половината от хипотенузата.

VII. домашна работа.

Параграф 7.1, стр. 175-177, разгледайте теорема 7.4 (обобщена теорема на Питагор), № 1 (устно), № 2, № 4.

VIII. Обобщение на урока.

Какво ново научихте в клас днес? …………

Питагор е бил преди всичко философ. Сега искам да ви прочета няколко негови изказвания, които са все още актуални в нашето време за вас и мен.

• Не вдигайте прах по пътя на живота.
• Правете само това, което няма да ви разстрои по-късно и няма да ви принуди да се покаете.
• Никога не правете това, което не знаете, но научете всичко, което трябва да знаете, и тогава ще водите спокоен живот.
• Не затваряйте очи, когато искате да заспите, без да сте подредили всичките си действия от изминалия ден.
• Научете се да живеете просто и без лукс.

Питагоровата теорема гласи:

В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:

a 2 + b 2 = c 2,

• аИ b– крака, образуващи прав ъгъл.
• с– хипотенуза на триъгълника.

Формули на Питагоровата теорема

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Доказателство на Питагоровата теорема

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

S = \frac(1)(2) ab

За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:

• стр– полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r– радиус на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).

След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълника:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Обратна теорема на Питагор:

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Тоест за всеки три положителни числа а, бИ c, така че

a 2 + b 2 = c 2,

има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза c.

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Доказано е от учения математик и философ Питагор.

Значението на теорематаВъпросът е, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.

Допълнителен материал:

Според Ван дер Ваерден е много вероятно съотношението да е така общ изгледе бил известен във Вавилон още около 18 век пр.н.е. д.

Около 400 г. пр.н.е. пр. н. е., според Прокъл, Платон е дал метод за намиране на питагорови триплети, съчетавайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема се появява в Елементи на Евклид.

Формулировки

Основната постановка съдържа алгебрични операции – в правоъгълен триъгълник, чиито дължини са равни a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), е изпълнено следното отношение:

.

Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ на фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху крака. Теоремата е формулирана в тази форма в Елементите на Евклид.

Обратна теорема на Питагор- твърдение за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).

Доказателство

В научната литература има записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталното й значение за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на отношенията между елементите на триъгълник (например популярният метод на подобие), методът на площите, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Класическото доказателство на Евклид има за цел да установи равенството на площите между правоъгълници, образувани чрез разрязване на квадрат над хипотенузата с височина прав ъгълс квадрати над краката.

Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда CHи лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на лицата на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); по подобен начин се установява равенството на площите на втория правоъгълник, съставляващ квадрата над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет.

Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)се установява чрез съответствието на триъгълниците △ A C K ​​​​(\displaystyle \триъгълник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).

По този начин доказателството установява, че площта на квадрат над хипотенузата, съставен от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите върху катетите.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Методът на площта включва и доказателство, намерено от Леонардо да Винчи. Нека е даден правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)с прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани HJ (\displaystyle HJ)на последния от външната страна е построен триъгълник, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)И △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които се оказва, от една страна, равна на сумата от половината от площите на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, половината от площта на квадрата върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата от площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки увеличения на краката a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Използвайки метода за разделяне на променливите, човек може да изведе от тях диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константата като 0, което води до твърдението на теоремата.

Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независими приноси от нарастването на различните крака.

Вариации и обобщения

Подобни геометрични фигури от три страни

Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в Елементите, преминавайки от областите на квадратите отстрани към областите на произволни подобни геометрични форми: сумата от площите на такива фигури, изградени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна фигура, изградена върху хипотенузата.

Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C), построен на крака с дълж a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)Съответно важи следната връзка:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), след това готово.

Освен това, ако е възможно да се докаже, без да се позовава на Питагоровата теорема, че за три квадратаподобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник имат следната връзка: A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, може да се изведе доказателство на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а отстрани - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците от страните се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от двете по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третата, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки съотношението за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.

Косинусова теорема

Питагоровата теорема е специален случайповече обща теоремакосинус, който свързва дължините на страните в произволен триъгълник:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

където е ъгълът между страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.

Свободен триъгълник

Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Табит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни се вписва равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta ), срещуположната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият - със страни a (\displaystyle a), най-отдалечената от него страна на вписаното равнобедрен триъгълник, И r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият - симетрично на него отстрани b (\displaystyle b)със страната s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това е изпълнена следната връзка:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

израждаща се в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Връзката е следствие от сходството на образуваните триъгълници:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Теорема на Папус за площите

Неевклидова геометрия

Питагоровата теорема се извлича от аксиомите на евклидовата геометрия и не е валидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.

В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.

Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.

Сферична геометрия

За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Това равенство може да се изведе като частен случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Къде ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Къде γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страната c (\displaystyle c).

Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичен триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.

Приложение

Разстояние в двумерни правоъгълни системи

Най-важното приложение на Питагоровата теорема е определянето на разстоянието между две точки в правоъгълна координатна система: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))И (c, d) (\displaystyle (c,d))е равно на:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

За комплексни числаПитагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модула на комплексно число – за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината

Разглеждане на теми училищна програмаИзползването на видео уроци е удобен начин за изучаване и усвояване на материала. Видеото помага да се концентрира вниманието на учениците върху основните теоретични принципи и да не се пропуска важни подробности. Ако е необходимо, учениците винаги могат да прослушат видео урока отново или да се върнат няколко теми назад.

Този видео урок за 8. клас ще помогне на учениците да учат нова темав геометрията.

В предишната тема изучавахме Питагоровата теорема и анализирахме нейното доказателство.

Има и теорема, която е известна като обратната теорема на Питагор. Нека го разгледаме по-отблизо.

Теорема. Триъгълникът е правоъгълен, ако има следното равенство: стойността на едната страна на триъгълника на квадрат е същата като сумата на другите две страни на квадрат.

Доказателство. Да предположим, че ни е дадено триъгълник ABC, в която е в сила равенството AB 2 = CA 2 + CB 2. Необходимо е да се докаже, че ъгъл С е равен на 90 градуса. Да разгледаме триъгълник A 1 B 1 C 1, в който ъгъл C 1 е равен на 90 градуса, страната C 1 A 1 е равна на CA и страната B 1 C 1 е равна на BC.

Прилагайки Питагоровата теорема, записваме отношението на страните в триъгълника A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Като замените израза с равни страни, получаваме A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.

От условията на теоремата знаем, че AB 2 = CA 2 + CB 2. Тогава можем да запишем A 1 B 1 2 = AB 2, от което следва, че A 1 B 1 = AB.

Открихме, че в триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 трите страни са равни: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Така че тези триъгълници са равни. От равенството на триъгълниците следва, че ъгъл C е равен на ъгъл C 1 и съответно равен на 90 градуса. Установихме, че триъгълник ABC е правоъгълен и неговият ъгъл C е 90 градуса. Доказахме тази теорема.

След това авторът дава пример. Да предположим, че ни е даден произволен триъгълник. Известни са размерите на страните му: 5, 4 и 3 единици. Нека проверим твърдението от теоремата, обратна на Питагоровата теорема: 5 2 = 3 2 + 4 2. Твърдението е вярно, което означава, че този триъгълник е правоъгълен.

В следващите примери триъгълниците също ще бъдат правоъгълни, ако страните им са равни:

5, 12, 13 единици; вярно е равенството 13 2 = 5 2 + 12 2;

8, 15, 17 единици; вярно е равенството 17 2 = 8 2 + 15 2;

7, 24, 25 единици; равенството 25 2 = 7 2 + 24 2 е вярно.

Концепцията за триъгълник на Питагор е известна. Това е правоъгълен триъгълник, чиито страни са равни на цели числа. Ако краката на питагоровия триъгълник са означени с a и c, а хипотенузата с b, тогава стойностите на страните на този триъгълник могат да бъдат записани с помощта на следните формули:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

където m, n, k са произволни естествени числа, и стойността m по-голяма стойностп.

Интересен факт: триъгълник със страни 5, 4 и 3 също се нарича египетски триъгълник; такъв триъгълник е бил известен в Древен Египет.

В този видео урок научихме теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Разгледахме подробно доказателствата. Учениците научиха и кои триъгълници се наричат ​​Питагорови триъгълници.

Учениците могат лесно да се запознаят сами с темата „Обратната теорема на Питагор“ с помощта на този видео урок.