cos2x সূত্র কি? ত্রিকোণমিতির সূত্র

ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্র। পাঠ নং 1

ত্রিকোণমিতিতে ব্যবহৃত সূত্রের সংখ্যা বেশ বড় (“সূত্র” দ্বারা আমরা সংজ্ঞা বোঝাতে পারি না (উদাহরণস্বরূপ, tgx=sinx/cosx), কিন্তু অভিন্ন সমতা যেমন sin2x=2sinxcosx)। এই প্রাচুর্যের সূত্রে নেভিগেট করা সহজ করতে এবং শিক্ষার্থীদের অর্থহীন ঝাঁকুনি দিয়ে ক্লান্ত না করার জন্য, তাদের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলিকে হাইলাইট করা প্রয়োজন। তাদের মধ্যে কয়েকটি রয়েছে - মাত্র তিনটি। বাকি সবাই এই তিনটি সূত্র থেকে অনুসরণ করে। এটি হল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় এবং যোগফলের সাইন এবং কোসাইন এবং পার্থক্যের সূত্র:

পাপ 2 x+cos 2 x=1 (1)

পাপ(x±y)=sinxcosy±sinycosx(2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

এই তিনটি সূত্র থেকে সাইন এবং কোসাইন (পর্যায়ক্রমিকতা, পর্যায় মান, সাইন মান 30 0 = π/6=1/2, ইত্যাদি) সম্পূর্ণরূপে অনুসরণ করে এই দৃষ্টিকোণ থেকে, স্কুল পাঠ্যক্রমপ্রচুর আনুষ্ঠানিকভাবে অপ্রয়োজনীয়, অপ্রয়োজনীয় তথ্য ব্যবহার করা হয়। সুতরাং, সূত্র "1-3" হল ত্রিকোণমিতিক রাজ্যের শাসক। আসুন ফলাফলের সূত্রগুলিতে এগিয়ে যাই:

1) একাধিক কোণের সাইন এবং কোসাইন

যদি আমরা x=y মানকে (2) এবং (3) এ প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা পাব:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

আমরা সেই পাপ 0=0 অনুমান করেছি; cos0=1, সাইন এবং কোসাইনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যার আশ্রয় না নিয়ে। একইভাবে, "2-3" সূত্র দুইবার প্রয়োগ করে, আমরা sin3x-এর জন্য অভিব্যক্তি বের করতে পারি; cos3x; sin4x; cos4x, ইত্যাদি

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin x

শিক্ষার্থীদের জন্য টাস্ক: cos3x এর জন্য অনুরূপ অভিব্যক্তি বের করুন; sin4x; cos4x

2) ডিগ্রি কমানোর সূত্র

সাইন এবং কোসাইনের শক্তিগুলিকে একাধিক কোণের কোসাইন এবং সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে বিপরীত সমস্যার সমাধান করুন।

যেমন: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, তাই: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, তাই: sin 2 x=1/2-cos2x/2

এই সূত্র খুব প্রায়ই ব্যবহার করা হয়. তাদের আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমি আপনাকে তাদের বাম এবং ডান দিকের গ্রাফ আঁকার পরামর্শ দিচ্ছি। কোসাইন এবং সাইনের বর্গক্ষেত্রগুলির গ্রাফগুলি সরলরেখা “y=1/2” এর গ্রাফের চারপাশে “মোড়ানো” (এটি অনেক সময়কালে cos 2 x এবং sin 2 x এর গড় মান)। এই ক্ষেত্রে, দোলন ফ্রিকোয়েন্সি আসল (পিরিয়ড) এর তুলনায় দ্বিগুণ হয় cos ফাংশন 2 x sin 2 x সমান 2π /2=π), এবং দোলনের প্রশস্ততা অর্ধেক (cos2x এর আগে সহগ 1/2)।

টাস্ক: এক্সপ্রেস সিন 3 এক্স; cos 3 x; পাপ 4 x ; cos 4 x কোসাইন এবং একাধিক কোণের সাইনের মাধ্যমে।

3) কমানোর সূত্র

পর্যায়ক্রমিকতা ব্যবহার করুন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, আপনাকে প্রথম ত্রৈমাসিকের মান থেকে ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের যেকোনো চতুর্থাংশে তাদের মানগুলি গণনা করার অনুমতি দেয়। হ্রাস সূত্রগুলি "প্রধান" সূত্রগুলির (2-3) বিশেষ ক্ষেত্রে যেমন: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

সুতরাং Cos(x+ π/2) = sinx

টাস্ক: sin (x+π/2) এর জন্য কমানোর সূত্র বের করুন; cos(x+ 3 π/2)

4) সূত্র যা কোসাইন এবং সাইনের যোগফল বা পার্থক্যকে একটি পণ্যে রূপান্তর করে এবং এর বিপরীতে।

দুটি কোণের যোগফল এবং পার্থক্যের সাইনের সূত্রটি লিখি:

সিন(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

আসুন এই সমতাগুলির বাম এবং ডান দিক যোগ করি:

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

অনুরূপ পদ বাতিল, তাই:

পাপ(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

ক) ডান থেকে বামে পড়ার সময় (*) আমরা পাই:

সিনক্সকোসি = 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

দুটি কোণের সাইনের গুণফল সমষ্টির সাইনের সমষ্টির অর্ধেক এবং এই কোণের পার্থক্যের সমান।

খ) বাম থেকে ডানে (*) পড়ার সময়, এটি বোঝানো সুবিধাজনক:

x-y = c. এখান থেকে আমরা খুঁজে বের করব এক্সএবং এমাধ্যমে rএবং সঙ্গে, এই দুটি সমতার বাম এবং ডান দিক যোগ এবং বিয়োগ:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, (x+y) এর পরিবর্তে (*) এবং (x-y) প্রাপ্ত নতুন ভেরিয়েবলের পরিবর্তে rএবং সঙ্গে, আসুন পণ্যটির মাধ্যমে সাইনের যোগফল কল্পনা করি:

sinp + sinc = 2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

সুতরাং, যোগফলের সাইন এবং কোণের পার্থক্যের মৌলিক সূত্রের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি হল দুটি নতুন সম্পর্ক (4) এবং (5)।

গ) এখন, সমতা (1) এবং (2) এর বাম এবং ডান দিক যোগ করার পরিবর্তে, আমরা তাদের একে অপরের থেকে বিয়োগ করব:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

এই পরিচয়টি ডান থেকে বামে পড়া (4) এর অনুরূপ একটি সূত্রের দিকে নিয়ে যায়, যা অরুচিকর হতে দেখা যায়, কারণ আমরা ইতিমধ্যেই জানি কিভাবে সাইন এবং কোসাইনের পণ্যগুলিকে সাইনের সমষ্টিতে পচানো যায় (দেখুন (4))। বাম থেকে ডানে পড়া (6) একটি সূত্র দেয় যা একটি পণ্যে সাইনের পার্থক্যকে ভেঙে দেয়:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

সুতরাং, একটি মৌলিক পরিচয় sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx থেকে, আমরা তিনটি নতুন (4), (5), (7) পেয়েছি।

অন্য একটি মৌলিক পরিচয়ের সাথে করা অনুরূপ কাজ cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny ইতিমধ্যে চারটি নতুনের দিকে নিয়ে যায়:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

টাস্ক: সাইন এবং কোসাইন এর যোগফলকে একটি পণ্যে রূপান্তর করুন:

সিনক্স + আরামদায়ক =? সমাধান: আপনি যদি সূত্রটি বের করার চেষ্টা না করেন, কিন্তু সাথে সাথে ত্রিকোণমিতিক সূত্রের কিছু সারণীতে উত্তরটি দেখেন, তাহলে আপনি একটি রেডিমেড ফলাফল নাও পেতে পারেন। শিক্ষার্থীদের বোঝা উচিত যে sinx+cosy = ... এর জন্য অন্য একটি সূত্র মনে রাখার এবং টেবিলে প্রবেশ করার কোন প্রয়োজন নেই, যেহেতু যেকোন কোসাইনকে সাইন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং বিপরীতভাবে, হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ: sinx = cos ( π/2 – x), cozy = sin (π/2 – y)। অতএব: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2।

মৌলিক ত্রিকোণমিতি সূত্র হল এমন সূত্র যা মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট অনেকগুলি সম্পর্কের দ্বারা পরস্পর সংযুক্ত। নীচে প্রধান ত্রিকোণমিতিক সূত্র, এবং সুবিধার জন্য আমরা উদ্দেশ্য অনুসারে তাদের গোষ্ঠীবদ্ধ করব। এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে আপনি একটি আদর্শ ত্রিকোণমিতি কোর্স থেকে প্রায় যেকোনো সমস্যা সমাধান করতে পারেন। আসুন আমরা অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে নীচে কেবলমাত্র সূত্রগুলি রয়েছে, এবং তাদের উপসংহার নয়, যা পৃথক নিবন্ধে আলোচনা করা হবে।

ত্রিকোণমিতির মৌলিক পরিচয়

ত্রিকোণমিতিক পরিচয়গুলি একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদান করে, যা একটি ফাংশনকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার অনুমতি দেয়।

ত্রিকোণমিতিক পরিচয়

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

এই পরিচয়গুলি সরাসরি একক বৃত্ত, সাইন (sin), কোসাইন (cos), স্পর্শক (tg) এবং cotangent (ctg) এর সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

কমানোর সূত্র

কমানোর সূত্র আপনাকে নির্বিচারে এবং নির্বিচারে বড় কোণগুলির সাথে কাজ করা থেকে 0 থেকে 90 ডিগ্রি পর্যন্ত কোণগুলির সাথে কাজ করার অনুমতি দেয়৷

কমানোর সূত্র

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

হ্রাস সূত্রগুলি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতার একটি ফলাফল।

ত্রিকোণমিতিক সংযোজন সূত্র

ত্রিকোণমিতিতে সংযোজন সূত্রগুলি আপনাকে এই কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে কোণের সমষ্টি বা পার্থক্যের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্রকাশ করতে দেয়।

ত্রিকোণমিতিক সংযোজন সূত্র

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

সংযোজন সূত্রের উপর ভিত্তি করে, একাধিক কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক সূত্র পাওয়া যায়।

একাধিক কোণের সূত্র: ডবল, ট্রিপল ইত্যাদি।

ডাবল এবং ট্রিপল অ্যাঙ্গেল সূত্র

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α সঙ্গে t g 2 α = t g 2 α - 1 2 · সঙ্গে t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

অর্ধকোণ সূত্র

সূত্র অর্ধকোণত্রিকোণমিতিতে দ্বৈত কোণ সূত্রের একটি ফলাফল এবং একটি অর্ধ কোণের মৌলিক ফাংশন এবং একটি সম্পূর্ণ কোণের কোসাইন এর মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে।

অর্ধকোণ সূত্র

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

ডিগ্রি কমানোর সূত্র

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

গণনা করার সময় কষ্টকর ক্ষমতা নিয়ে কাজ করা প্রায়ই অসুবিধাজনক। ডিগ্রী হ্রাস সূত্র আপনাকে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডিগ্রী নির্বিচারে বড় থেকে প্রথম পর্যন্ত কমাতে দেয়। এখানে তাদের সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি:

ডিগ্রী হ্রাস সূত্রের সাধারণ দৃশ্য

এমনকি n জন্য

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

বিজোড় n জন্য

পাপ n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin (n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পার্থক্য এবং যোগফলকে একটি পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় এবং অভিব্যক্তিগুলি সরল করার সময় সাইন এবং কোসাইনগুলির ফ্যাক্টরিং পার্থক্যগুলি ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণফল

যদি ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যের সূত্রগুলি একজনকে তাদের পণ্যে যেতে দেয়, তবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণফলের সূত্রগুলি বিপরীত রূপান্তরটি সম্পাদন করে - গুণফল থেকে যোগফল পর্যন্ত। সাইন, কোসাইন এবং কোসাইন দ্বারা সাইনের গুণফলের সূত্র বিবেচনা করা হয়।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণফলের সূত্র

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))