জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত হল প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলির পণ্যগুলির সম্পূর্ণ অংশ এবং বিবেচনাধীন বিভাগের সমতলে থাকা একটি নির্দিষ্ট অক্ষের দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি। জড়তার অক্ষীয় মুহূর্তের মাত্রা বাঁকানো বিকৃতি প্রতিরোধ করার মরীচির ক্ষমতাকে চিহ্নিত করে।

J - জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

জে x =

J y =

প্রতিরোধের অক্ষীয় মুহূর্তসম্পর্ক বলে অক্ষীয় মুহূর্তনিরপেক্ষ অক্ষ থেকে সবচেয়ে দূরে অংশের তন্তুগুলির দূরত্বের জড়তা।

W - প্রতিরোধের অক্ষীয় মুহূর্ত।

W x = , W y =

জড়তার পোলার মুহূর্তবলা হয়, পুরো অংশের উপর নেওয়া, বিভাগটির মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রে তাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা প্রাথমিক এলাকার গুণফলের যোগফল। স্থানাঙ্ক অক্ষ ছেদ না হওয়া পর্যন্ত।

জড়তার মেরু মুহূর্ত একটি অংশের টর্সনাল বিকৃতি প্রতিরোধ করার ক্ষমতাকে চিহ্নিত করে।

জড়তার মেরু মুহূর্ত।

= .

প্রতিরোধের পোলার মুহূর্তবিবেচনাধীন বিভাগের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র থেকে বিভাগটির সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দুর দূরত্ব থেকে জড়তার মেরু মুহুর্তের অনুপাতকে বলা হয়।

প্রতিরোধের পোলার মুহূর্ত

1. আয়তক্ষেত্রাকার বিভাগ।

J y = (mm 4), J x = (mm 4)

W x = (mm 3), W y = (মিমি 3)

2. বৃত্তাকার বিভাগ

J x = J y = (mm 4), = (mm 4)

W y = W x = (মিমি 3), = (মিমি 3)

3. রিং বিভাগ

J x = J y = - = (মিমি 4) , α=d/D

W y = W x = (মিমি 3)

= (মিমি 4)

=(মিমি 3)

4. বক্স বিভাগ।

জে x = =(মিমি 4)

J y = =(মিমি 4)

W x = (মিমি 3)

W y = (মিমি 3)

অভিন্ন স্ট্রেস বিতরণ সহ অংশগুলির গণনা।

এই ধরনের অংশগুলির মধ্যে রয়েছে চোখ এবং পিনের সাথে রড, সেইসাথে হাইড্রোলিক এবং বায়ুসংক্রান্ত সিলিন্ডার এবং অন্যান্য চাপের জাহাজ, দ্বিধাতু উপাদান (থার্মাল রিলে)।

ট্র্যাকশন গণনা।

1) রডের উপর প্রসার্য বল F প্রয়োগ করা হয়।

ট্র্যাকশন রড একটি অনুদৈর্ঘ্য লোড উপলব্ধি করে, যার প্রভাবে এটি প্রসারিত হয়। এই ক্ষেত্রে, পরম প্রসারণের মাত্রা প্রসারিত হুকের আইন দ্বারা নির্ধারিত হয়:

σ р =Eε। , σ р =F/A, , σ р =F/A<=[ σ р ]= σ T / n -

প্রসার্য ট্র্যাকশন শক্তি অবস্থা, (A=H*B, A=)।

আঙুলের সাথে মিথস্ক্রিয়া ফলস্বরূপ, লগগুলি যোগাযোগ এলাকার উপর চূর্ণ হয়।

নিষ্পেষণ শক্তি শর্ত:

σ সেমি = F/A<=[σ см ]= 2σ T / n , A=d*b.

চোখের সাথে মিথস্ক্রিয়া থেকে শিয়ারের জন্য আঙ্গুলগুলি গণনা করা হয়:

τ av =F/A<=[τ ср ]= 0,5σ T / n; A=*i, i - количество платежей среза (i=2).

2) কমপ্রেসিভ ফোর্স F2 রডে প্রয়োগ করা হয়।

থ্রাস্ট রড কম্প্রেশনে কাজ করে। পরম সংক্ষিপ্তকরণের মাত্রাও হুকের আইন দ্বারা নির্ধারিত হয়:

σ c =F/A<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n. – Для коротких стержней тяги.

লম্বা রড - যখন দৈর্ঘ্য ক্রস-বিভাগীয় মাত্রার 3 গুণ অতিক্রম করে। এখানে রড রডের তাত্ক্ষণিক বাঁকানোর সম্ভাবনা রয়েছে।

σ с =<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n, φ – коэффициент продольного изгиба, величина табличная – зависит от материала, гибкости стержня и характера закрепления концов стержня.

আইলেট এবং আঙ্গুলগুলি আগের হিসাবের অনুরূপভাবে গণনা করা হয়।

পাতলা দেয়ালযুক্ত পাত্রের গণনা।

পাতলা দেয়ালযুক্ত জাহাজের মধ্যে রয়েছে হাইড্রোলিক এবং বায়ুসংক্রান্ত সিলিন্ডার, রিসিভার, পাইপলাইন ইত্যাদি।

আকৃতির উপর নির্ভর করে, পাত্রগুলি হল:

নলাকার (হাইড্রোলিক এবং বায়ুসংক্রান্ত সিলিন্ডার, কিছু ধরণের রিসিভার, পাইপলাইন);

গোলাকার (কিছু ধরণের রিসিভার, বটম এবং নলাকার জাহাজের কভার, ঝিল্লি ইত্যাদি);

টরাস (পাইপলাইনের বক্ররেখার অংশ, পয়েন্টার প্রেসার গেজের সংবেদনশীল উপাদান)।

সমস্ত জাহাজে, তরল বা গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রভাবে, অনুদৈর্ঘ্য এবং ক্রস বিভাগে দেয়ালে চাপ দেখা দেয়।

নলাকার জাহাজ।

একটি পাতলা নলাকার শেল অভ্যন্তরীণ চাপ P সহ লোড করা হয়। - সিলিন্ডারের ক্রস বিভাগ হিসাবে গণনা করা হয়।

টরাস জাহাজ।

এগুলিকে বাঁকা নলাকার হিসাবে গণনা করা হয়।

15.10.04 তাপমাত্রা পরিবর্তনের সময় উদ্ভূত চাপের গণনা।

যখন তাপমাত্রা ওঠানামা করে, তখন অনমনীয় সমর্থনের মধ্যে স্থির একটি অংশ কম্প্রেসিভ বা প্রসার্য বিকৃতি অনুভব করে। যখন তাপমাত্রা Dt দ্বারা বৃদ্ধি পায় (হ্রাস), রডটি অবশ্যই পরম প্রসারণের পরিমাণ (খাটো করা) দ্বারা দীর্ঘায়িত (খাটো করা) আবশ্যক:

ডিl= কt* l* ডিt, যেখানে a t হল রৈখিক সম্প্রসারণের তাপমাত্রা সহগ (স্টিলের জন্য 12*10 -6 °C -1), তারপর পরম প্রসারণের মান (সংক্ষিপ্তকরণ): Δε t = Δ l টি / l = α টি* ডিt, কিন্তু কারণ যেহেতু রডটি কঠোরভাবে স্থির করা হয়েছে, এটি দীর্ঘায়িত (সংক্ষিপ্ত) করতে পারে না, তাই এর উপাদানগুলিতে সংকোচন (টেনশন) চাপ দেখা দেবে, যার মানগুলি হুকের আইন দ্বারা নির্ধারিত হয়:

σ с,р =E*ε t =E*α t *Δt।

স্থির তাত্ত্বিক মেকানিক্সের একটি বিভাগ যা শক্তির সাধারণ মতবাদ নির্ধারণ করে এবং বাহিনীর প্রভাবের অধীনে দেহের ভারসাম্যের শর্তগুলি অধ্যয়ন করে।

স্ট্যাটিক্স কিছু মৌলিক নীতির উপর ভিত্তি করে ( স্বতঃসিদ্ধ), যা মানবজাতির শতাব্দী প্রাচীন শিল্প অভিজ্ঞতা এবং তাত্ত্বিক গবেষণার একটি সাধারণীকরণ।

স্বতঃসিদ্ধ 1.যদি দুটি শক্তি একটি মুক্ত একেবারে অনমনীয় শরীরের উপর কাজ করে, তাহলে শরীরটি ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই শক্তিগুলি সমান হয় এবং বিপরীত দিকে একই সরল রেখা বরাবর নির্দেশিত হয় (চিত্র 1.2)।

চিত্র 1.2

স্বতঃসিদ্ধ 2।একটি সম্পূর্ণ অনমনীয় শরীরের উপর শক্তির একটি প্রদত্ত সিস্টেমের ক্রিয়া পরিবর্তন হবে না যদি এতে একটি ভারসাম্যপূর্ণ শক্তি ব্যবস্থা যোগ করা হয় বা এটি থেকে বিয়োগ করা হয়। যদি, তাহলে। পরিণতি: একটি একেবারে অনমনীয় শরীরের উপর একটি শক্তির ক্রিয়া পরিবর্তিত হবে না যদি বল প্রয়োগের বিন্দুটি তার ক্রিয়া রেখা বরাবর শরীরের অন্য কোন বিন্দুতে সরানো হয়। একটি বিন্দুতে একটি প্রয়োগিত শক্তি দ্বারা শরীরের উপর কাজ করা যাক কশক্তি আসুন এই শক্তির কর্মের লাইনে একটি নির্বিচারী বিন্দু নির্বাচন করি IN, এবং এটিতে সুষম শক্তি প্রয়োগ করুন এবং তদ্ব্যতীত, . যেহেতু বাহিনী শক্তির একটি সুষম ব্যবস্থা গঠন করে, তাই স্ট্যাটিক্সের দ্বিতীয় স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে সেগুলি বাতিল করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, শুধুমাত্র একটি শক্তি শরীরের উপর কাজ করবে, সমান কিন্তু বিন্দুতে প্রয়োগ করা হবে IN(চিত্র 1.3)।

চিত্র.1.3

স্বতঃসিদ্ধ 3.একটি বিন্দুতে একটি কঠিন বস্তুর উপর প্রয়োগ করা দুটি বল একই বিন্দুতে একটি ফলস্বরূপ প্রয়োগ করা হয় এবং এই বলগুলির উপর বাহুতে নির্মিত একটি সমান্তরাল বৃত্তের তির্যক দ্বারা উপস্থাপিত হয়। ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের সমান ভেক্টর এবং একে ভেক্টরের জ্যামিতিক যোগফল বলা হয় এবং (চিত্র 1.4)।

স্বতঃসিদ্ধ 4.কর্ম এবং প্রতিক্রিয়ার সমতার আইন। একটি দেহের অন্যটির উপর যে কোনো ক্রিয়া করলে, একই মাত্রার প্রতিক্রিয়া হয়, কিন্তু দিক থেকে বিপরীত (চিত্র 1.5)।

চিত্র 1.5

স্বতঃসিদ্ধ 5.শক্ত করার নীতি। প্রদত্ত শক্তির সিস্টেমের প্রভাবের অধীনে পরিবর্তিত (বিকৃত) দেহের ভারসাম্য বিঘ্নিত হবে না যদি শরীরটিকে শক্ত বলে মনে করা হয়, যেমন একেবারে শক্ত।

4. পরিসংখ্যানের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য। স্থির মুহূর্ত। জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত, জড়তার মেরু মুহূর্ত (মৌলিক ধারণা)।

গণনার ফলাফল শুধুমাত্র ক্রস-বিভাগীয় এলাকার উপর নির্ভর করে না, তাই, উপাদানের শক্তির উপর সমস্যা সমাধান করার সময়, কেউ নির্ধারণ না করে করতে পারে না পরিসংখ্যানের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য: জড়তার স্থির, অক্ষীয়, পোলার এবং কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত। বিভাগটির মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের অবস্থান নির্ধারণ করতে সক্ষম হওয়া অপরিহার্য (তালিকাভুক্ত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের অবস্থানের উপর নির্ভর করে)। সাধারণ চিত্রগুলির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও: আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, সমদ্বিবাহু এবং সমকোণী ত্রিভুজ, বৃত্ত, অর্ধবৃত্ত। মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র এবং প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষগুলির অবস্থান নির্দেশিত হয়, এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারিত হয়, তবে শর্ত থাকে যে মরীচি উপাদানটি একজাত।

আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্রের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

একটি আয়তক্ষেত্রের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত (বর্গক্ষেত্র)

একটি আয়তক্ষেত্রাকার ত্রিভুজের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

সমকোণী ত্রিভুজের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

একটি আইসোসেলস ত্রিভুজের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

বৃত্তের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

একটি বৃত্তের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

সেমি সার্কেলের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

একটি অর্ধবৃত্তের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত

স্থির মুহূর্ত

ক্ষেত্রফল F সহ রডের ক্রস অংশটি বিবেচনা করা যাক। আসুন একটি অবাধ বিন্দু O এর মাধ্যমে স্থানাঙ্ক অক্ষ x এবং y আঁকুন। চলুন x এবং y স্থানাঙ্ক সহ একটি এলাকা উপাদান নির্বাচন করি (চিত্র 4.1)।

আসুন একটি অক্ষ সম্পর্কে জড়তার একটি স্থির মুহুর্তের ধারণাটি প্রবর্তন করি - x-অক্ষের দূরত্ব (y অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত) দ্বারা ক্ষেত্রফল উপাদানের গুণফলের সমান একটি মান:

একইভাবে, y-অক্ষ সম্পর্কে জড়তার স্থির মুহূর্ত হল:

F ক্ষেত্রফলের উপর এই জাতীয় পণ্যগুলির সংক্ষিপ্তকরণের পরে, আমরা x এবং y অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র চিত্রের জড়তার স্থির মুহূর্ত পাই:

.

জড়তার স্থির মুহূর্তঅক্ষের সাপেক্ষে চিত্রটি দৈর্ঘ্য ঘনক (cm3) এককে পরিমাপ করা হয়, এবং ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং শূন্যের সমান হতে পারে।

চিত্রের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হতে দিন। শক্তির মুহুর্তের সাথে সাদৃশ্য অব্যাহত রেখে, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি লিখতে পারি:

সুতরাং, একটি অক্ষের সাপেক্ষে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের মুহূর্ত (স্থির মুহূর্ত) হল ক্ষেত্রফলের গুণফল এবং এর মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র থেকে অক্ষের দূরত্ব।

কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তআয়তক্ষেত্রাকার অক্ষের সাপেক্ষে শরীরের জড়তা কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থানিম্নলিখিত পরিমাণ বলা হয়:

যেখানে x, yএবং z- একটি ছোট শরীরের উপাদানের স্থানাঙ্ক আয়তন dV, ঘনত্ব ρ এবং ভর dm.

OX অক্ষ বলা হয় শরীরের জড়তার প্রধান অক্ষ, যদি জড়তা কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত জে xyএবং জে xzএকই সাথে শূন্যের সমান। শরীরের প্রতিটি বিন্দুর মাধ্যমে জড়তার তিনটি প্রধান অক্ষ আঁকা যায়। এই অক্ষগুলি একে অপরের সাথে পারস্পরিকভাবে লম্ব। শরীরের জড়তা মুহূর্তএকটি নির্বিচারে বিন্দুতে আঁকা জড়তার তিনটি প্রধান অক্ষের সাথে সম্পর্কিত ওমৃতদেহ বলা হয় শরীরের জড়তা প্রধান মুহূর্ত.

জড়তার প্রধান অক্ষের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে ভর কেন্দ্রমৃতদেহ বলা হয় শরীরের জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষ, এবং এই অক্ষ সম্পর্কে জড়তা মুহূর্ত হল এটি জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় মুহূর্ত. প্রতিসাম্যের অক্ষএকটি সমজাতীয় দেহ সর্বদা জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষগুলির মধ্যে একটি।

জড়তার পোলার মুহূর্ত- প্রাথমিক প্ল্যাটফর্মের এলাকার পণ্যগুলির অবিচ্ছেদ্য যোগফল dAমেরু থেকে তাদের দূরত্বের প্রতি বর্গক্ষেত্র - ρ 2 (পোলার কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে), সমগ্র ক্রস-বিভাগীয় এলাকা দখল করা হয়েছে। অর্থাৎ:

এই মানটি টর্শন প্রতিরোধ করার জন্য একটি বস্তুর ক্ষমতা ভবিষ্যদ্বাণী করতে ব্যবহৃত হয়। এটির দৈর্ঘ্যের একক থেকে চতুর্থ শক্তির মাত্রা রয়েছে ( মি 4 , সেমি 4 ) এবং শুধুমাত্র ইতিবাচক হতে পারে।

একটি ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তের মতো আকৃতির একটি ক্রস-বিভাগীয় এলাকার জন্য rজড়তার মেরু মুহূর্ত হল:

আমরা যদি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম 0 এর উৎপত্তিকে মেরুজগতের মেরু (চিত্র দেখুন) এর সাথে একত্রিত করি, তাহলে

কারণ .

যদি m = 1, n = 1 হয়, তাহলে আমরা বৈশিষ্ট্য পাই

যাকে বলা হয় জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত.

জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তস্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে আপেক্ষিক – প্রাথমিক এলাকার পণ্যের সমষ্টি dAএই অক্ষ থেকে তাদের দূরত্বে, সমগ্র ক্রস-বিভাগীয় এলাকা দখল করা হয়েছে ক.

অন্তত একটি অক্ষর থাকলে yবা zবিভাগটির প্রতিসাম্যের অক্ষ, এই অক্ষগুলির সাপেক্ষে এই জাতীয় বিভাগের জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত শূন্যের সমান (যেহেতু এই ক্ষেত্রে প্রতিটি ধনাত্মক মান z·y·dAআমরা চিঠিপত্র ঠিক একই, কিন্তু ঋণাত্মক, অংশের প্রতিসাম্য অক্ষের অন্য দিকে রাখতে পারি, চিত্র দেখুন)।

আসুন আমরা অতিরিক্ত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি যা তালিকাভুক্ত প্রধানগুলি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে এবং প্রায়শই শক্তি এবং দৃঢ়তার গণনায় ব্যবহৃত হয়।

জড়তার পোলার মুহূর্ত

জড়তার পোলার মুহূর্ত জেপিবৈশিষ্ট্যের নাম দিন

অন্যদিকে,

জড়তার পোলার মুহূর্ত(একটি প্রদত্ত বিন্দুর সাথে আপেক্ষিক) – প্রাথমিক এলাকার পণ্যগুলির সমষ্টি dAতাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা এই বিন্দু পর্যন্ত, সমগ্র ক্রস-বিভাগীয় এলাকা দখল করা হয়েছে ক.

জড়তার মুহুর্তের মাত্রা SI তে m 4।

প্রতিরোধের মুহূর্ত

প্রতিরোধের মুহূর্তকিছু অক্ষের সাথে আপেক্ষিক - দূরত্ব দ্বারা বিভক্ত একই অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার মুহুর্তের সমান একটি মান ( ymaxবা z সর্বোচ্চ) এই অক্ষ থেকে সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দুতে

প্রতিরোধের মুহুর্তের মাত্রা SI তে m 3।

জড়তার ব্যাসার্ধ

জড়তার ব্যাসার্ধএকটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাথে সম্পর্কিত বিভাগকে সম্পর্ক থেকে নির্ধারিত মান বলা হয়:

গাইরেশনের ব্যাসার্ধ m এর SI ইউনিটে প্রকাশ করা হয়।

মন্তব্য:আধুনিক কাঠামোর উপাদানগুলির ক্রস-সেকশনগুলি প্রায়শই ইলাস্টিক বিকৃতির বিভিন্ন প্রতিরোধের সাথে উপাদানগুলির একটি নির্দিষ্ট সংমিশ্রণকে উপস্থাপন করে, যা ইয়ং'স মডুলাস দ্বারা একটি পদার্থবিদ্যার কোর্স থেকে জানা যায়। ই. একটি অসংলগ্ন বিভাগের সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে, ইয়ং মডুলাস হল বিভাগের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলির একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, যেমন E = E(z, y). অতএব, স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্যে একজাতীয় অংশের অনমনীয়তা এমন বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা একটি সমজাতীয় বিভাগের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির চেয়ে জটিল, যেমন ফর্মের স্থিতিস্থাপক-জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি।

2.2। সরল পরিসংখ্যানের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের গণনা

আয়তক্ষেত্রাকার বিভাগ

আসুন অক্ষের সাপেক্ষে আয়তক্ষেত্রের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত নির্ধারণ করি z. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে মাত্রা সহ প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলিতে ভাগ করা যাক খ(প্রস্থ) এবং dy(উচ্চতা)। তারপরে এই জাতীয় প্রাথমিক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (ছায়াযুক্ত) সমান dA = b dy. মান প্রতিস্থাপন dAপ্রথম সূত্রে, আমরা পাই

সাদৃশ্য দ্বারা, আমরা অক্ষ সম্পর্কে অক্ষীয় মুহূর্ত লিখি এ:

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রতিরোধের অক্ষীয় মুহূর্ত:

;

একইভাবে, আপনি অন্যান্য সাধারণ পরিসংখ্যানগুলির জন্য জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি পেতে পারেন।

বৃত্তাকার বিভাগ

এটি প্রথমে খুঁজে পাওয়া সুবিধাজনক জড়তার মেরু মুহূর্ত জে পি।

তারপর, একটি বৃত্ত জন্য যে দেওয়া J z = J y, ক J p = J z + J y, আমরা খুঁজে পাব জেজেড =জে = জেপি / 2.

আসুন বৃত্তটিকে বেধের অসীম রিংগুলিতে ভাগ করি dρএবং ব্যাসার্ধ ρ ; এই ধরনের একটি রিং এলাকা dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন dAজন্য একটি অভিব্যক্তি মধ্যে জেপিএবং একীকরণ, আমরা পেতে

2.3। সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহুর্তের গণনা

zএবং y:

"নতুন" অক্ষের সাপেক্ষে এই বিভাগের জড়তার মুহূর্তগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন৷ z 1এবং y 1, কেন্দ্রীয় বেশী সমান্তরাল এবং তাদের থেকে দূরত্বে ব্যবধান কএবং খযথাক্রমে:

"নতুন" স্থানাঙ্ক সিস্টেমের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক z 1 0 1 y 1"পুরানো" অক্ষে স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে zএবং yতাই:

যেহেতু অক্ষ zএবং y- কেন্দ্রীয়, তারপর স্থির মুহূর্ত Sz = 0.

অবশেষে, আমরা অক্ষের সমান্তরাল স্থানান্তরের জন্য "পরিবর্তন" সূত্রগুলি লিখতে পারি:

উল্লেখ্য যে স্থানাঙ্ক কএবং খতাদের চিহ্নকে বিবেচনায় রেখে প্রতিস্থাপন করতে হবে (সমন্বয় ব্যবস্থায় z 1 0 1 y 1).

2.4। স্থানাঙ্ক অক্ষ ঘোরানোর সময় জড়তার মুহূর্তগুলির গণনা

কেন্দ্রীয় অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি স্বেচ্ছাচারী বিভাগের জড়তার মুহূর্তগুলি জানা যাক z, y:

; ;

চলুন কুড়াল ঘুরানো যাক z, yএকটি কোণে α ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে, এই দিকের অক্ষগুলির ঘূর্ণনের কোণটিকে ধনাত্মক বলে বিবেচনা করে।

"নতুন" (ঘূর্ণিত) অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার মুহূর্তগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন৷ z 1এবং y 1:

প্রাথমিক সাইটের স্থানাঙ্ক dA"নতুন" সমন্বয় ব্যবস্থায় z 1 0y 1এইভাবে "পুরানো" অক্ষগুলিতে স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে:

আমরা এই মানগুলিকে "নতুন" অক্ষগুলিতে জড়তার মুহুর্তগুলির জন্য সূত্রগুলিতে প্রতিস্থাপন করি এবং শব্দ দ্বারা শব্দটিকে একীভূত করি:

অবশিষ্ট অভিব্যক্তিগুলির সাথে অনুরূপ রূপান্তর করার পরে, স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি ঘোরানোর সময় আমরা অবশেষে "পরিবর্তন" সূত্রগুলি লিখব:

মনে রাখবেন যে আমরা যদি প্রথম দুটি সমীকরণ যোগ করি তবে আমরা পাব

অর্থাৎ জড়তার মেরু মুহূর্ত হল পরিমাণ অপরিবর্তনীয়(অন্য কথায়, স্থানাঙ্ক অক্ষ ঘোরানোর সময় অপরিবর্তিত)।

2.5। প্রধান অক্ষ এবং জড়তার প্রধান মুহূর্ত

এখন অবধি, একটি নির্বিচারে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিভাগগুলির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা হয়েছে, তবে যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিভাগটিকে জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির ক্ষুদ্রতম সংখ্যক দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে তা সর্বাধিক ব্যবহারিক স্বার্থের। এই "বিশেষ" সমন্বয় ব্যবস্থাটি বিভাগের প্রধান অক্ষগুলির অবস্থান দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। আসুন ধারণাগুলি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক: প্রধান অক্ষএবং জড়তার প্রধান মুহূর্ত.

প্রধান অক্ষ- দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ, যার সাথে আপেক্ষিক জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত শূন্য, যখন জড়তার অক্ষীয় মুহূর্তগুলি চরম মান নেয় (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন)।

বিভাগের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া প্রধান অক্ষগুলিকে বলা হয় প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষ.

প্রধান অক্ষ সম্পর্কে জড়তা মুহূর্ত বলা হয় জড়তার প্রধান মুহূর্ত।

প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষগুলি সাধারণত অক্ষর দ্বারা মনোনীত হয় uএবং v; জড়তার প্রধান মুহূর্ত- জে উএবং Jv(সংজ্ঞা অনুসারে J uv = 0).

আসুন আমরা অভিব্যক্তিগুলি বের করি যা আমাদেরকে প্রধান অক্ষের অবস্থান এবং জড়তার প্রধান মুহুর্তগুলির মাত্রা খুঁজে পেতে দেয়। সেটা জেনেও J uv= 0, আমরা সমীকরণ ব্যবহার করি (2.3):

কোণ α 0 যেকোনো কেন্দ্রীয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রধান অক্ষের অবস্থান নির্ধারণ করে zএবং y. কোণ α 0 অক্ষের মধ্যে জমা zএবং অক্ষ uএবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ইতিবাচক বলে মনে করা হয়।

উল্লেখ্য যে যদি একটি বিভাগে প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ থাকে, তাহলে, জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে (বিভাগ 2.1, অনুচ্ছেদ 4 দেখুন), এই ধরনের একটি অক্ষ সর্বদা বিভাগের প্রধান অক্ষ হবে।

কোণ বাদ α অভিব্যক্তিতে (2.1) এবং (2.2) (2.4) ব্যবহার করে, আমরা জড়তার প্রধান অক্ষীয় মুহূর্তগুলি নির্ধারণের জন্য সূত্রগুলি পাই:

আসুন নিয়মটি লিখুন: সর্বাধিক অক্ষ সর্বদা অক্ষ (z বা y) এর সাথে একটি ছোট কোণ তৈরি করে যার সাথে জড়তার মুহূর্তটির মূল্য বেশি।

2.6। ক্রস বিভাগের যুক্তিসঙ্গত ফর্ম

সরাসরি বাঁকানোর সময় একটি মরীচির ক্রস সেকশনে একটি নির্বিচারে বিন্দুতে স্বাভাবিক চাপগুলি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

, (2.5)

যেখানে এম- বিবেচনাধীন ক্রস বিভাগে নমন মুহূর্ত; এ– বিবেচনাধীন বিন্দু থেকে মূল কেন্দ্রীয় অক্ষের লম্ব থেকে বাঁকানো মুহূর্তের কর্মের সমতলের দূরত্ব; জে এক্স- বিভাগের জড়তার প্রধান কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।

প্রদত্ত ক্রস বিভাগে সর্বাধিক প্রসার্য এবং সংকোচনশীল স্বাভাবিক চাপগুলি নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে সবচেয়ে দূরে বিন্দুতে ঘটে। তারা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

; ,

যেখানে 1 এএবং 2 এ- প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষ থেকে দূরত্ব এক্সসবচেয়ে দূরবর্তী প্রসারিত এবং সংকুচিত fibers.

প্লাস্টিক সামগ্রী দিয়ে তৈরি রশ্মির জন্য, যখন [σ p ] = [σ c ] ( [σ p ], [σ c ] হল যথাক্রমে উত্তেজনা এবং কম্প্রেশনে মরীচি উপাদানের জন্য অনুমোদিত চাপ), যে বিভাগগুলি কেন্দ্রে প্রতিসম অক্ষ ব্যবহার করা হয়। এই ক্ষেত্রে, শক্তি অবস্থার ফর্ম আছে:

≤ [σ], (2.6)

যেখানে W x = J x / y সর্বোচ্চ- প্রধান কেন্দ্রীয় অক্ষের সাথে সম্পর্কিত মরীচির ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলের প্রতিরোধের মুহূর্ত; ymax = h/2(জ- বিভাগের উচ্চতা); M সর্বোচ্চ- পরম মান সবচেয়ে বড় নমন মুহূর্ত; [σ] – উপাদানের অনুমোদনযোগ্য নমন চাপ।

শক্তি শর্ত ছাড়াও, মরীচি অর্থনীতির অবস্থাও সন্তুষ্ট করতে হবে। সবচেয়ে লাভজনক হল সেই ক্রস-বিভাগীয় আকৃতি যার জন্য সবচেয়ে কম উপাদানের (বা ক্ষুদ্রতম ক্রস-বিভাগীয় এলাকা দিয়ে) প্রতিরোধের সবচেয়ে বড় মুহূর্ত পাওয়া যায়। বিভাগের আকৃতিটি যুক্তিসঙ্গত হওয়ার জন্য, যদি সম্ভব হয় তবে বিভাগটিকে মূল কেন্দ্রীয় অক্ষ থেকে দূরে বিতরণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণস্বরূপ, একটি স্ট্যান্ডার্ড আই-বিম একই উপাদান থেকে তৈরি একই ক্রস-সেকশনের একটি বর্গাকার রশ্মির চেয়ে প্রায় সাতগুণ শক্তিশালী এবং ত্রিশ গুণ শক্ত।

এটি অবশ্যই মনে রাখা উচিত যে যখন অভিনয় লোডের সাথে বিভাগের অবস্থান পরিবর্তিত হয়, তখন মরীচির শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয়, যদিও ক্রস-বিভাগীয় এলাকা অপরিবর্তিত থাকে। ফলস্বরূপ, বিভাগটিকে অবশ্যই এমনভাবে স্থাপন করতে হবে যাতে বল রেখাটি মূল অক্ষগুলির সাথে মিলে যায় যার সাথে জড়তার মুহূর্তটি ন্যূনতম। মরীচির বাঁকটি তার সর্বোচ্চ দৃঢ়তার সমতলে সঞ্চালিত হয় তা নিশ্চিত করার জন্য আপনার চেষ্টা করা উচিত।

একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে একটি অংশের জড়তার অক্ষীয় (বা নিরক্ষীয়) মুহূর্ত হল এই অক্ষ থেকে তাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা তার সমগ্র ক্ষেত্রফল F জুড়ে নেওয়া প্রাথমিক এলাকার পণ্যগুলির সমষ্টি, যেমন

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (মেরু) সাপেক্ষে একটি অংশের জড়তার মেরু মুহূর্ত হল এই বিন্দু থেকে তাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা তার সমগ্র এলাকা F জুড়ে নেওয়া প্রাথমিক এলাকার পণ্যগুলির সমষ্টি, অর্থাৎ

দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে একটি অংশের জড়তার কেন্দ্রমুখী মুহূর্ত হল তার সমগ্র এলাকা F এবং এই অক্ষগুলি থেকে তাদের দূরত্বের উপর নেওয়া প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলির পণ্যগুলির সমষ্টি, যেমন

জড়তার মুহূর্তগুলি ইত্যাদিতে প্রকাশ করা হয়।

জড়তার অক্ষীয় এবং মেরু মুহূর্তগুলি সর্বদা ইতিবাচক হয়, যেহেতু অবিচ্ছেদ্য চিহ্নগুলির অধীনে তাদের অভিব্যক্তিগুলি অঞ্চলগুলির মান (সর্বদা ধনাত্মক) এবং একটি প্রদত্ত অক্ষ বা মেরু থেকে এই অঞ্চলগুলির দূরত্বের বর্গগুলি অন্তর্ভুক্ত করে।

চিত্রে। 9.5, a ক্ষেত্রফল F সহ একটি বিভাগ দেখায় এবং y এবং z অক্ষগুলি দেখায়। y অক্ষের সাপেক্ষে এই বিভাগের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত:

জড়তার এই মুহূর্তের যোগফল

এবং তাই

এইভাবে, দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে একটি বিভাগের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্তের যোগফল এই অক্ষগুলির ছেদ বিন্দুর সাপেক্ষে এই বিভাগের জড়তার মেরু মুহুর্তের সমান।

জড়তার কেন্দ্রমুখী মুহূর্তগুলি ইতিবাচক, নেতিবাচক বা শূন্য হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে দেখানো বিভাগের জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত। 9.5, a, y এবং অক্ষের সাপেক্ষে ধনাত্মক, যেহেতু এই বিভাগের প্রধান অংশের জন্য, প্রথম চতুর্ভুজে অবস্থিত, এর মান , এবং তাই, ধনাত্মক।

আপনি যদি y-অক্ষের ধনাত্মক দিক বা বিপরীত দিক (চিত্র 9.5, b) পরিবর্তন করেন বা এই উভয় অক্ষকে 90° (চিত্র 9.5, c) দ্বারা ঘোরান, তাহলে জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তটি নেতিবাচক হয়ে যাবে (এর পরম মান পরিবর্তিত হবে না), যেহেতু প্রধান অংশ বিভাগটি তখন একটি চতুর্ভুজে অবস্থিত হবে যার জন্য y স্থানাঙ্কগুলি ধনাত্মক এবং z স্থানাঙ্কগুলি ঋণাত্মক৷ আপনি যদি উভয় অক্ষের ইতিবাচক দিকগুলিকে বিপরীত দিকে পরিবর্তন করেন তবে এটি জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের চিহ্ন বা মাত্রা পরিবর্তন করবে না।

আসুন একটি চিত্র বিবেচনা করা যাক যা এক বা একাধিক অক্ষের (চিত্র 10.5) সম্পর্কে প্রতিসম। আসুন অক্ষগুলি আঁকুন যাতে তাদের মধ্যে অন্তত একটি (এই ক্ষেত্রে, y-অক্ষ) চিত্রের প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে মিলে যায়। এই ক্ষেত্রে, অক্ষের ডানদিকে অবস্থিত প্রতিটি প্ল্যাটফর্ম একই প্ল্যাটফর্মের সাথে মিলে যায় যা প্রথমটির সাথে প্রতিসমভাবে অবস্থিত, কিন্তু y-অক্ষের বাম দিকে। এই ধরনের প্রতিসমভাবে অবস্থিত প্ল্যাটফর্মের প্রতিটি জোড়ার জড়তার কেন্দ্রমুখী মুহূর্ত সমান:

তাই,

এইভাবে, অক্ষের সাপেক্ষে অংশটির জড়তার কেন্দ্রমুখী মুহূর্ত, যার একটি বা উভয়ই এর প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে মিলে যায়, শূন্যের সমান।

একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে একটি জটিল অংশের জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত একই অক্ষের সাপেক্ষে এর উপাদান অংশগুলির জড়তার অক্ষীয় মুহূর্তের সমষ্টির সমান।

একইভাবে, যেকোন দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে একটি জটিল অংশের জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত একই অক্ষের সাপেক্ষে এর উপাদান অংশগুলির জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের সমষ্টির সমান। এছাড়াও, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে একটি জটিল অংশের জড়তার মেরু মুহূর্ত একই বিন্দুর সাপেক্ষে এর উপাদান অংশগুলির জড়তার মেরু মুহূর্তের সমষ্টির সমান।

এটা মনে রাখা উচিত যে বিভিন্ন অক্ষ এবং বিন্দু সম্পর্কে গণনা করা জড়তার মুহূর্তগুলিকে যোগ করা যায় না।

1. পারস্পরিক লম্ব অক্ষ সম্পর্কে জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত x0y (ত্রিভুজের বাহুর সাথে মিলিত) (চিত্র 2.17)।

একটি অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত নির্ধারণ করতে এক্সঅসীম প্রস্থের একটি ফালা আকারে একটি প্রাথমিক এলাকা নির্বাচন করা যাক dу, অক্ষের সমান্তরাল এক্স, দূরত্বে এতার কাছ থেকে সাইট এলাকা . ফালা দৈর্ঘ্য b(y)আমরা ঘাঁটিগুলির সাথে ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে নির্ধারণ করি b(y)এবং খ, যেখানে . তারপর . এই প্রতিস্থাপন

জন্য অভিব্যক্তি মধ্যে অনুপাত আমি এক্স(2.21) এবং ইন্টিগ্রেশনের সীমা নির্ধারণ করে “0- জ", আমরা পাই

.

একইভাবে সংজ্ঞায়িত আমি y.

2. অক্ষ সম্পর্কে জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত x0y (ত্রিভুজের বাহুর সাথে মিলে যায়)

জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত, সংজ্ঞা অনুসারে, সমান

আমরা আগের মতো একই প্রাথমিক প্ল্যাটফর্ম ব্যবহার করি (চিত্র 2.17 দেখুন)। সমন্বয়কারী হিসেবে এক্সআসুন আমরা প্রাথমিক প্ল্যাটফর্মের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের স্থানাঙ্কটি গ্রহণ করি

.

আমরা এই অভিব্যক্তি, সেইসাথে জন্য সূত্র প্রতিস্থাপন dAঅখণ্ডের অধীনে এবং 0 থেকে পরিসরে সংহত জ

সুতরাং, একটি সমকোণী ত্রিভুজ আকারে একটি বিভাগের জড়তার মুহুর্তগুলির সূত্রগুলি, পায়ের সাথে মিলিত অক্ষগুলির সাথে সম্পর্কিত, ফর্ম রয়েছে

মনে রাখবেন যে বিবেচনাধীন বিভাগের জন্য, ত্রিভুজের পায়ের সমান্তরাল কেন্দ্রীয় অক্ষ (CO) সম্পর্কে জড়তার মুহূর্তগুলি আরও বেশি আগ্রহের।

3. পারস্পরিক লম্ব কেন্দ্র সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত x এর সাথে sy এর সাথে (ত্রিভুজের বাহুর সমান্তরাল)

অক্ষ সম্পর্কে একটি সমকোণী ত্রিভুজের জড়তার মুহুর্তগুলির জন্য সূত্র x এর সাথে sy এর সাথে(চিত্র 2.17 দেখুন) এক্সপ্রেশন (2.24) ব্যবহার করে সহজেই প্রাপ্ত করা যেতে পারে, সেইসাথে অক্ষের সমান্তরাল অনুবাদের উপপাদ্য, যা অনুসারে:

জড়তার অক্ষীয় মুহূর্ত ; ;

জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্ত .

এখানে: ক, e- স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিভাগের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক x0y

উপরের সূত্রগুলিতে এই অভিব্যক্তিগুলির পাশাপাশি সম্পর্কগুলি (2.24) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই

(2.25)

উল্লেখ্য যে অক্ষের সাপেক্ষে বিভাগের অভিযোজন জড়তার কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের চিহ্নকে প্রভাবিত করে। বিবেচনাধীন অভিযোজন জন্য এটা যে পরিণত<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат এক্স´ এ(দ্বিতীয় এবং চতুর্থ স্থানাঙ্ক)। এটি জড়তার ফলে কেন্দ্রাতিগ মুহূর্তের নেতিবাচক চিহ্ন নির্ধারণ করে। নীচে একটি সমকোণী ত্রিভুজের বিভিন্ন অভিযোজন সহ ডায়াগ্রামগুলি রয়েছে যেগুলির জন্য চিহ্নটি নির্দেশ করা হয়েছে সেগুলির সমান্তরাল কেন্দ্রগুলির সাপেক্ষে৷