আপনার কি মনে হচ্ছে পরীক্ষার আগে এখনো অনেক সময় আছে? এটা কি এক মাস? দুই? বছর? অনুশীলন দেখায় যে একজন শিক্ষার্থী যদি একটি পরীক্ষার জন্য আগে থেকে প্রস্তুতি নিতে শুরু করে তবে তার সাথে সবচেয়ে ভালোভাবে মোকাবিলা করতে পারে। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় এমন অনেক কঠিন কাজ রয়েছে যা স্কুলছাত্র এবং ভবিষ্যতের আবেদনকারীদের সর্বোচ্চ স্কোরের পথে বাধা হয়ে দাঁড়ায়। আপনাকে এই বাধাগুলি অতিক্রম করতে শিখতে হবে এবং পাশাপাশি, এটি করা কঠিন নয়। আপনাকে টিকিট থেকে বিভিন্ন কাজের সাথে কাজ করার নীতিটি বুঝতে হবে। তাহলে নতুনদের নিয়ে কোনো সমস্যা হবে না।

লগারিদমগুলি প্রথম নজরে অবিশ্বাস্যভাবে জটিল বলে মনে হয়, তবে একটি বিশদ বিশ্লেষণের সাথে পরিস্থিতি আরও সহজ হয়ে যায়। আপনি যদি সর্বোচ্চ স্কোর নিয়ে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে চান, তাহলে আপনার প্রশ্নে থাকা ধারণাটি বুঝতে হবে, যা আমরা এই নিবন্ধে করার প্রস্তাব করছি।

প্রথমত, আসুন এই সংজ্ঞাগুলি আলাদা করা যাক। লগারিদম (লগ) কি? এটি নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রাপ্ত করার জন্য বেস উত্থাপন করা আবশ্যক শক্তির একটি সূচক। যদি এটি পরিষ্কার না হয়, আসুন একটি প্রাথমিক উদাহরণ দেখি।

এই ক্ষেত্রে, 4 নম্বর পেতে নীচের বেসটি দ্বিতীয় শক্তিতে উঠাতে হবে।

এখন দ্বিতীয় ধারণাটি দেখা যাক। যেকোন ফর্মের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল একটি ধারণা যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের পরিবর্তনকে চিহ্নিত করে। যাইহোক, এটি একটি স্কুল পাঠ্যক্রম, এবং যদি আপনার এই ধারণাগুলির সাথে পৃথকভাবে সমস্যা হয় তবে বিষয়টি পুনরাবৃত্তি করা মূল্যবান।

লগারিদমের ডেরিভেটিভ

এই বিষয়ে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার অ্যাসাইনমেন্টে, আপনি উদাহরণ হিসাবে বেশ কয়েকটি কাজ দিতে পারেন। শুরুতে, সহজতম লগারিদমিক ডেরিভেটিভ। নিম্নলিখিত ফাংশনটির ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

আমাদের পরবর্তী ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে

একটি বিশেষ সূত্র আছে।

এই ক্ষেত্রে x=u, log3x=v. আমরা আমাদের ফাংশন থেকে সূত্রে মান প্রতিস্থাপন করি।

x এর ডেরিভেটিভ একের সমান হবে। লগারিদম একটু বেশি কঠিন। কিন্তু আপনি নীতিটি বুঝতে পারবেন যদি আপনি কেবলমাত্র মান প্রতিস্থাপন করেন। স্মরণ করুন যে lg x এর ডেরিভেটিভ হল দশমিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ, এবং ln x এর ডেরিভেটিভ হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ (e এর উপর ভিত্তি করে)।

এখন কেবল সূত্রে ফলিত মানগুলি প্লাগ করুন। এটি নিজে চেষ্টা করুন, তারপর আমরা উত্তরটি পরীক্ষা করব।

এখানে কিছু সমস্যা কি হতে পারে? আমরা প্রাকৃতিক লগারিদমের ধারণা চালু করেছি। আসুন এটি সম্পর্কে কথা বলি এবং একই সাথে এটির সাথে কীভাবে সমস্যাগুলি সমাধান করা যায় তা খুঁজে বের করি। আপনি জটিল কিছু দেখতে পাবেন না, বিশেষ করে যখন আপনি এটির ক্রিয়াকলাপের নীতিটি বোঝেন। আপনার এটিতে অভ্যস্ত হওয়া উচিত, যেহেতু এটি প্রায়শই গণিতে ব্যবহৃত হয় (এমনকি উচ্চতর শিক্ষাপ্রতিষ্ঠানেও)।

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ

এর মূল অংশে, এটি বেস e-এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ (যা একটি অমূলদ সংখ্যা যা প্রায় 2.7)। প্রকৃতপক্ষে, ln খুবই সহজ, তাই এটি প্রায়শই গণিতে সাধারণভাবে ব্যবহৃত হয়। আসলে, এটি দিয়ে সমস্যা সমাধান করাও সমস্যা হবে না। এটা মনে রাখা দরকার যে বেস e-তে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ x দ্বারা ভাগ করলে সমান হবে। নিম্নলিখিত উদাহরণের সমাধান সবচেয়ে প্রকাশক হবে।

আসুন এটিকে দুটি সহজ সমন্বিত একটি জটিল ফাংশন হিসাবে কল্পনা করি।

এটি রূপান্তর করার জন্য যথেষ্ট

আমরা x এর সাপেক্ষে u এর ডেরিভেটিভ খুঁজছি

এর দ্বিতীয় সঙ্গে অবিরত করা যাক

আমরা u=nx প্রতিস্থাপন করে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ সমাধান করার পদ্ধতি ব্যবহার করি।

শেষ পর্যন্ত কি হল?

এখন মনে রাখা যাক এই উদাহরণে n বলতে কী বোঝানো হয়েছে? এটি প্রাকৃতিক লগারিদমে x এর সামনে উপস্থিত হতে পারে এমন যেকোনো সংখ্যা। আপনার জন্য এটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে উত্তরটি তার উপর নির্ভর করে না। আপনি যা চান তা প্রতিস্থাপন করুন, উত্তরটি এখনও 1/x হবে।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এখানে জটিল কিছু নেই; এই বিষয়ে সমস্যাগুলি দ্রুত এবং কার্যকরভাবে সমাধান করার জন্য আপনাকে কেবল নীতিটি বুঝতে হবে। এখন আপনি তত্ত্বটি জানেন, আপনাকে যা করতে হবে তা হল অনুশীলনে। দীর্ঘ সময়ের জন্য তাদের সমাধানের নীতিটি মনে রাখার জন্য সমস্যা সমাধানের অনুশীলন করুন। স্কুল থেকে স্নাতক হওয়ার পরে আপনার এই জ্ঞানের প্রয়োজন নাও হতে পারে, তবে পরীক্ষায় এটি আগের চেয়ে আরও বেশি প্রাসঙ্গিক হবে। আপনার জন্য শুভকামনা!

মনে রাখা খুব সহজ.

ঠিক আছে, চলুন দূরে না যাই, অবিলম্বে বিপরীত ফাংশন বিবেচনা করা যাক। কোন ফাংশনটি সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত? লগারিদম:

আমাদের ক্ষেত্রে, ভিত্তি হল সংখ্যা:

এই ধরনের লগারিদম (অর্থাৎ, একটি বেস সহ একটি লগারিদম) "প্রাকৃতিক" বলা হয় এবং আমরা এটির জন্য একটি বিশেষ স্বরলিপি ব্যবহার করি: আমরা পরিবর্তে লিখি।

এটা কি সমান? অবশ্যই।

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভও খুব সহজ:

উদাহরণ:

1. ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
2. ফাংশনের ডেরিভেটিভ কি?

উত্তর: সূচকীয় এবং প্রাকৃতিক লগারিদম একটি ডেরিভেটিভ দৃষ্টিকোণ থেকে অনন্যভাবে সহজ ফাংশন। অন্য কোন বেসের সাথে সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলির একটি আলাদা ডেরিভেটিভ থাকবে, যা আমরা পার্থক্যের নিয়মগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে পরে বিশ্লেষণ করব।

পার্থক্যের নিয়ম

কিসের নিয়ম? আবার নতুন টার্ম, আবার?!...

পার্থক্যডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া।

এতটুকুই। এই প্রক্রিয়াটিকে এক কথায় আর কী বলা যায়? ডেরিভেটিভ নয়... গণিতবিদগণ ডিফারেনশিয়ালকে একটি ফাংশনের একই বৃদ্ধি বলে। এই শব্দটি ল্যাটিন ডিফারেন্সিয়া - পার্থক্য থেকে এসেছে। এখানে।

এই সমস্ত নিয়ম প্রাপ্ত করার সময়, আমরা দুটি ফাংশন ব্যবহার করব, উদাহরণস্বরূপ, এবং. তাদের বৃদ্ধির জন্য আমাদের সূত্রেরও প্রয়োজন হবে:

মোট 5 টি নিয়ম আছে।

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে বের করা হয়।

যদি - কিছু ধ্রুবক সংখ্যা (ধ্রুবক), তারপর।

স্পষ্টতই, এই নিয়মটি পার্থক্যের জন্যও কাজ করে: .

এটা প্রমাণ করা যাক. এটা হতে দিন, বা সহজ.

উদাহরণ।

ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন:

1. একটি বিন্দুতে;
2. একটি বিন্দুতে;
3. একটি বিন্দুতে;
4. বিন্দুতে

সমাধান:

1. (ডেরিভেটিভ সব পয়েন্টে একই, যেহেতু এটি একটি লিনিয়ার ফাংশন, মনে আছে?);

পণ্যের ডেরিভেটিভ

এখানে সবকিছু একই রকম: আসুন একটি নতুন ফাংশন প্রবর্তন করি এবং এর বৃদ্ধি খুঁজে পাই:

ডেরিভেটিভ:

উদাহরণ:

1. ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন এবং;
2. একটি বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান:

একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এখন আপনার জ্ঞান যে কোন সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে শিখতে যথেষ্ট, এবং শুধুমাত্র সূচক নয় (আপনি কি এখনও এটি ভুলে গেছেন?)।

সুতরাং, যেখানে কিছু সংখ্যা.

আমরা ইতিমধ্যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ জানি, তাই আসুন আমাদের ফাংশনটিকে একটি নতুন বেসে কমানোর চেষ্টা করি:

এটি করার জন্য, আমরা একটি সহজ নিয়ম ব্যবহার করব: . তারপর:

ওয়েল, এটা কাজ. এখন ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন, এবং ভুলে যাবেন না যে এই ফাংশনটি জটিল।

এটা কি কাজ করেছে?

এখানে, নিজেকে পরীক্ষা করুন:

সূত্রটি একটি সূচকের ডেরিভেটিভের সাথে খুব মিল ছিল: এটি যেমন ছিল, এটি একই রয়ে গেছে, শুধুমাত্র একটি ফ্যাক্টর উপস্থিত হয়েছে, যা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা, কিন্তু একটি পরিবর্তনশীল নয়।

উদাহরণ:
ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন:

উত্তর:

এটি এমন একটি সংখ্যা যা ক্যালকুলেটর ছাড়া গণনা করা যায় না, অর্থাৎ এটিকে সহজ আকারে লেখা যায় না। অতএব, আমরা উত্তরে এই ফর্মে এটি রেখেছি।

মনে রাখবেন যে এখানে দুটি ফাংশনের ভাগফল, তাই আমরা সংশ্লিষ্ট পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করি:

এই উদাহরণে, দুটি ফাংশনের গুণফল:

লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এটি এখানে অনুরূপ: আপনি ইতিমধ্যে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ জানেন:

অতএব, একটি ভিন্ন বেস সহ একটি নির্বিচারী লগারিদম খুঁজে বের করতে, উদাহরণস্বরূপ:

আমাদের এই লগারিদমকে বেসে কমাতে হবে। আপনি কিভাবে লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করবেন? আমি আশা করি আপনি এই সূত্রটি মনে রাখবেন:

শুধুমাত্র এখন আমরা পরিবর্তে লিখব:

হরটি কেবল একটি ধ্রুবক (একটি ধ্রুবক সংখ্যা, একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া)। ডেরিভেটিভ খুব সহজভাবে প্রাপ্ত হয়:

সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রায় কখনও পাওয়া যায় না, তবে সেগুলি জানা অপ্রয়োজনীয় হবে না।

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

একটি "জটিল ফাংশন" কি? না, এটি একটি লগারিদম নয়, এবং একটি আর্কটেনজেন্ট নয়৷ এই ফাংশনগুলি বোঝা কঠিন হতে পারে (যদিও আপনি যদি লগারিদমটি কঠিন মনে করেন তবে "লগারিদম" বিষয়টি পড়ুন এবং আপনি ঠিক থাকবেন), তবে গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, "জটিল" শব্দের অর্থ "কঠিন" নয়।

একটি ছোট পরিবাহক বেল্ট কল্পনা করুন: দুই ব্যক্তি বসে আছে এবং কিছু বস্তুর সাথে কিছু কাজ করছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি একটি র্যাপারে একটি চকোলেট বার মোড়ানো, এবং দ্বিতীয়টি এটি একটি ফিতা দিয়ে বাঁধে। ফলাফল হল একটি যৌগিক বস্তু: একটি চকলেট বার মোড়ানো এবং একটি ফিতা দিয়ে বাঁধা। একটি চকলেট বার খেতে, আপনাকে বিপরীত ক্রমে বিপরীত পদক্ষেপগুলি করতে হবে।

আসুন একটি অনুরূপ গাণিতিক পাইপলাইন তৈরি করি: প্রথমে আমরা একটি সংখ্যার কোসাইন খুঁজে বের করব, এবং তারপর ফলাফলের সংখ্যাটিকে বর্গক্ষেত্র করব। সুতরাং, আমাদের একটি সংখ্যা (চকলেট) দেওয়া হয়, আমি এর কোসাইন (র্যাপার) খুঁজে পাই এবং তারপরে আমি যা পেয়েছি তা আপনি বর্গাকার করেন (এটি একটি ফিতা দিয়ে বেঁধে)। কি হয়েছে? ফাংশন। এটি একটি জটিল ফাংশনের একটি উদাহরণ: যখন, এর মান খুঁজে বের করার জন্য, আমরা ভেরিয়েবলের সাথে সরাসরি প্রথম অ্যাকশনটি সঞ্চালন করি এবং তারপর প্রথমটির ফলাফলের সাথে একটি দ্বিতীয় ক্রিয়া সম্পাদন করি।

অন্য কথায়, একটি জটিল ফাংশন হল একটি ফাংশন যার আর্গুমেন্ট অন্য ফাংশন: .

আমাদের উদাহরণের জন্য, .

আমরা সহজেই বিপরীত ক্রমে একই পদক্ষেপগুলি করতে পারি: প্রথমে আপনি এটিকে বর্গ করুন, এবং তারপর আমি ফলাফলের সংখ্যার কোসাইনটি সন্ধান করব:। এটা অনুমান করা সহজ যে ফলাফল প্রায় সবসময় ভিন্ন হবে। জটিল ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য: যখন কর্মের ক্রম পরিবর্তিত হয়, ফাংশন পরিবর্তিত হয়।

দ্বিতীয় উদাহরণ: (একই জিনিস)। .

আমরা শেষ যে ক্রিয়াটি করি তাকে বলা হবে "বাহ্যিক" ফাংশন, এবং কর্ম প্রথম সঞ্চালিত - সেই অনুযায়ী "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন(এগুলি অনানুষ্ঠানিক নাম, আমি কেবল সহজ ভাষায় উপাদান ব্যাখ্যা করার জন্য এগুলি ব্যবহার করি)।

কোন ফাংশনটি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা নিজের জন্য নির্ধারণ করার চেষ্টা করুন:

উত্তর:অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ফাংশনগুলিকে আলাদা করা ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের অনুরূপ: উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনে

1. আমরা প্রথমে কি কর্ম সঞ্চালন করব? প্রথমে, সাইন গণনা করা যাক, এবং শুধুমাত্র তারপর এটি ঘনক. এর মানে হল এটি একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, কিন্তু একটি বহিরাগত।
   এবং মূল ফাংশন হল তাদের রচনা: .
2. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
3. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
4. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
5. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।

আমরা ভেরিয়েবল পরিবর্তন করি এবং একটি ফাংশন পাই।

ঠিক আছে, এখন আমরা আমাদের চকলেট বার বের করব এবং ডেরিভেটিভের সন্ধান করব। পদ্ধতিটি সর্বদা বিপরীত হয়: প্রথমে আমরা বাইরের ফাংশনের ডেরিভেটিভের সন্ধান করি, তারপর আমরা অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা ফলাফলকে গুণ করি। মূল উদাহরণের সাথে, এটি এইরকম দেখায়:

আরেকটি উদাহরণ:

সুতরাং, অবশেষে অফিসিয়াল নিয়ম প্রণয়ন করা যাক:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

এটা সহজ মনে হচ্ছে, তাই না?

আসুন উদাহরণ সহ পরীক্ষা করা যাক:

সমাধান:

1) অভ্যন্তরীণ: ;

বাহ্যিক: ;

2) অভ্যন্তরীণ: ;

(এখনই এটি কাটার চেষ্টা করবেন না! কোসাইনের নীচে থেকে কিছুই বের হয় না, মনে আছে?)

3) অভ্যন্তরীণ: ;

বাহ্যিক: ;

এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে এটি একটি তিন-স্তরের জটিল ফাংশন: সর্বোপরি, এটি ইতিমধ্যেই নিজেই একটি জটিল ফাংশন, এবং আমরা এটি থেকে মূলও বের করি, অর্থাৎ, আমরা তৃতীয় ক্রিয়া সম্পাদন করি (চকোলেটটিকে একটি মোড়কে রাখুন। এবং ব্রিফকেসে একটি ফিতা সহ)। তবে ভয় পাওয়ার কোন কারণ নেই: আমরা এখনও এই ফাংশনটিকে যথারীতি একই ক্রমে "আনপ্যাক" করব: শেষ থেকে।

অর্থাৎ, প্রথমে আমরা মূলকে আলাদা করি, তারপর কোসাইন, এবং শুধুমাত্র তারপর বন্ধনীতে প্রকাশ করি। এবং তারপর আমরা এটি সব গুণ.

এই ধরনের ক্ষেত্রে, কর্ম সংখ্যা করা সুবিধাজনক। অর্থাৎ, আসুন আমরা যা জানি তা কল্পনা করি। এই অভিব্যক্তিটির মান গণনা করার জন্য আমরা কোন ক্রমে ক্রিয়া সম্পাদন করব? আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

পরবর্তী ক্রিয়াটি সঞ্চালিত হয়, সংশ্লিষ্ট ফাংশনটি তত বেশি "বাহ্যিক" হবে। কর্মের ক্রম আগের মত একই:

এখানে বাসা সাধারণত 4-স্তরের হয়। এর কর্মের কোর্স নির্ধারণ করা যাক.

1. আমূল অভিব্যক্তি। .

2. মূল। .

3. সাইন। .

4. বর্গক্ষেত্র। .

5. সব একসাথে রাখা:

ডেরিভেটিভ সংক্ষেপে প্রধান জিনিস সম্পর্কে

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ- আর্গুমেন্টের অসীম বৃদ্ধির জন্য আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাত:

মৌলিক ডেরিভেটিভস:

পার্থক্য করার নিয়ম:

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে নেওয়া হয়:

যোগফলের ডেরিভেটিভ:

পণ্যের ডেরিভেটিভ:

ভাগফলের ডেরিভেটিভ:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

1. আমরা "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি এবং এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই।
2. আমরা "বাহ্যিক" ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি এবং এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই।
3. আমরা প্রথম এবং দ্বিতীয় পয়েন্টের ফলাফল গুন করি।

জটিল ডেরিভেটিভস। লগারিদমিক ডেরিভেটিভ।
একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমরা আমাদের পার্থক্য কৌশল উন্নত করতে অবিরত. এই পাঠে, আমরা আমাদের কভার করা উপাদানগুলিকে একীভূত করব, আরও জটিল ডেরিভেটিভগুলি দেখব, এবং বিশেষ করে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সাথে একটি ডেরিভেটিভ খোঁজার জন্য নতুন কৌশল এবং কৌশলগুলির সাথে পরিচিত হব।

যে পাঠকদের প্রস্তুতির মাত্রা কম তাদের নিবন্ধটি উল্লেখ করা উচিত কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে? সমাধানের উদাহরণ, যা আপনাকে প্রায় স্ক্র্যাচ থেকে আপনার দক্ষতা বাড়াতে অনুমতি দেবে। এর পরে, আপনাকে পৃষ্ঠাটি সাবধানে অধ্যয়ন করতে হবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, বুঝুন এবং সমাধান করুন সবউদাহরণ আমি দিয়েছি। এই পাঠটি যৌক্তিকভাবে একটি সারিতে তৃতীয়, এবং এটি আয়ত্ত করার পরে আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে মোটামুটি জটিল ফাংশনগুলিকে আলাদা করতে পারবেন। “কোথায় আর এই পদ গ্রহণ করা অবাঞ্ছিত? এটা যথেষ্ট!", যেহেতু সমস্ত উদাহরণ এবং সমাধান বাস্তব পরীক্ষা থেকে নেওয়া হয় এবং প্রায়শই অনুশীলনে সম্মুখীন হয়।

এর পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু করা যাক। ক্লাসে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভআমরা বিস্তারিত মন্তব্য সহ উদাহরণ একটি সংখ্যা দেখেছি. ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের অন্যান্য শাখাগুলি অধ্যয়ন করার সময়, আপনাকে প্রায়শই পার্থক্য করতে হবে এবং উদাহরণগুলি বিশদভাবে বর্ণনা করা সর্বদা সুবিধাজনক নয় (এবং সর্বদা প্রয়োজনীয় নয়)। অতএব, আমরা মৌখিকভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অনুশীলন করব। এর জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত "প্রার্থী" হল সহজতম জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, উদাহরণস্বরূপ:

জটিল ফাংশন পার্থক্য নিয়ম অনুযায়ী :

ভবিষ্যতে অন্যান্য ম্যাটান বিষয়গুলি অধ্যয়ন করার সময়, এই ধরনের একটি বিস্তারিত রেকর্ড প্রায়শই প্রয়োজন হয় না, এটি অনুমান করা হয় যে শিক্ষার্থী কীভাবে অটোপাইলটে এই ধরনের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে হয়। কল্পনা করা যাক যে সকাল 3 টায় ফোন বেজে উঠল এবং একটি মনোরম কণ্ঠ জিজ্ঞাসা করল: "দুটি X এর স্পর্শকটির ডেরিভেটিভ কী?" এটি একটি প্রায় তাত্ক্ষণিক এবং নম্র প্রতিক্রিয়া দ্বারা অনুসরণ করা উচিত: .

প্রথম উদাহরণটি অবিলম্বে স্বাধীন সমাধানের উদ্দেশ্যে করা হবে।

উদাহরণ 1

মৌখিকভাবে নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন, একটি ক্রিয়াতে, উদাহরণস্বরূপ: . কাজটি সম্পূর্ণ করতে আপনাকে শুধুমাত্র ব্যবহার করতে হবে প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী(যদি এখনো মনে না থাকে)। আপনার যদি কোন অসুবিধা থাকে, আমি পাঠটি পুনরায় পড়ার পরামর্শ দিই একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

পাঠের শেষে উত্তর

জটিল ডেরিভেটিভস

প্রাথমিক আর্টিলারি প্রস্তুতির পরে, ফাংশনের 3-4-5 নেস্টিং সহ উদাহরণগুলি কম ভীতিকর হবে। নিচের দুটি উদাহরণ কারো কাছে জটিল মনে হতে পারে, কিন্তু আপনি যদি সেগুলি বুঝতে পারেন (কেউ কষ্ট পাবে), তবে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের বাকি প্রায় সবকিছুই শিশুর রসিকতার মতো মনে হবে।

উদাহরণ 2

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথমত, এটি প্রয়োজনীয় ঠিকআপনার বিনিয়োগ বুঝতে. যে ক্ষেত্রে সন্দেহ আছে, আমি আপনাকে একটি দরকারী কৌশলের কথা মনে করিয়ে দিচ্ছি: আমরা উদাহরণ স্বরূপ "x" এর পরীক্ষামূলক মান নিই এবং চেষ্টা করি (মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে) এই মানটিকে "ভয়ানক অভিব্যক্তি" এ প্রতিস্থাপন করার জন্য।

1) প্রথমে আমাদের অভিব্যক্তিটি গণনা করতে হবে, যার অর্থ যোগফলটি গভীরতম এম্বেডিং।

2) তারপর আপনাকে লগারিদম গণনা করতে হবে:

4) তারপর কোসাইন কিউব করুন:

5) পঞ্চম ধাপে পার্থক্য:

6) এবং পরিশেষে, সবচেয়ে বাইরের ফাংশন হল বর্গমূল:

একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য সূত্র বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা হয়, বাইরেরতম ফাংশন থেকে ভেতরের দিকে। আমরা সিদ্ধান্ত:

মনে হচ্ছে কোন ত্রুটি নেই...

(1) বর্গমূলের ডেরিভেটিভ নিন।

(2) আমরা নিয়ম ব্যবহার করে পার্থক্যের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি

(3) ট্রিপলের ডেরিভেটিভ শূন্য। দ্বিতীয় মেয়াদে আমরা ডিগ্রি (কিউব) এর ডেরিভেটিভ নিই।

(4) কোসাইন এর ডেরিভেটিভ নিন।

(5) লগারিদমের ডেরিভেটিভ নিন।

(6) এবং অবশেষে, আমরা গভীরতম এম্বেডিংয়ের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।

এটা খুব কঠিন মনে হতে পারে, কিন্তু এটি সবচেয়ে নৃশংস উদাহরণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, কুজনেটসভের সংগ্রহটি নিন এবং আপনি বিশ্লেষণকৃত ডেরিভেটিভের সমস্ত সৌন্দর্য এবং সরলতার প্রশংসা করবেন। আমি লক্ষ্য করেছি যে তারা পরীক্ষায় একই জিনিস দিতে পছন্দ করে যাতে পরীক্ষা করা হয় যে একজন শিক্ষার্থী কীভাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয় বা বুঝতে পারে না।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য।

উদাহরণ 3

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

ইঙ্গিত: প্রথমে আমরা রৈখিকতা নিয়ম এবং পণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করি

পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

এটি ছোট এবং সুন্দর কিছুতে এগিয়ে যাওয়ার সময়।
একটি উদাহরণের জন্য দুটি নয়, তিনটি ফাংশনের গুণফল দেখানো অস্বাভাবিক নয়। কিভাবে তিনটি কারণের পণ্যের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যায়?

উদাহরণ 4

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

প্রথমে আমরা দেখি, তিনটি ফাংশনের গুণফলকে দুটি ফাংশনের গুণফল এ পরিণত করা কি সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের গুণফলের মধ্যে দুটি বহুপদ থাকে, তাহলে আমরা বন্ধনী খুলতে পারতাম। কিন্তু বিবেচনাধীন উদাহরণে, সমস্ত ফাংশন ভিন্ন: ডিগ্রি, সূচক এবং লগারিদম।

এই ধরনের ক্ষেত্রে এটি প্রয়োজনীয় ক্রমানুসারেপণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করুন দুইবার

কৌশলটি হল যে "y" দ্বারা আমরা দুটি ফাংশনের গুণফলকে বোঝাই: , এবং "ve" দ্বারা আমরা লগারিদম বোঝাই: . কেন এটা করা যাবে? এটা কি সম্ভব - এটি দুটি কারণের একটি পণ্য নয় এবং নিয়ম কাজ করে না?! জটিল কিছু নেই:

এখন নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা বাকি বন্ধনী থেকে:

আপনি মোচড়ও পেতে পারেন এবং বন্ধনীর বাইরে কিছু রাখতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে উত্তরটি এই ফর্মটিতে ঠিক রেখে দেওয়া ভাল - এটি পরীক্ষা করা আরও সহজ হবে।

বিবেচিত উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে:

উভয় সমাধান একেবারে সমতুল্য।

উদাহরণ 5

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের উদাহরণ; নমুনায় এটি প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।

আসুন ভগ্নাংশ সহ অনুরূপ উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 6

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আপনি এখানে যেতে পারেন বিভিন্ন উপায় আছে:

অথবা এই মত:

তবে সমাধানটি আরও কম্প্যাক্টলি লেখা হবে যদি আমরা প্রথমে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করি , সম্পূর্ণ অংকের জন্য নিচ্ছেন:

নীতিগতভাবে, উদাহরণটি সমাধান করা হয়েছে, এবং যদি এটি যেমন রেখে দেওয়া হয় তবে এটি একটি ত্রুটি হবে না। কিন্তু আপনার যদি সময় থাকে তবে খসড়াটি পরীক্ষা করে দেখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে উত্তরটি সহজ করা যায় কিনা? আসুন লবের রাশি কমিয়ে একটি সাধারণ হর এবং এর তিনতলা ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে দিন:

অতিরিক্ত সরলীকরণের অসুবিধা হল ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময় ভুল করার ঝুঁকি নেই, কিন্তু ব্যানাল স্কুল ট্রান্সফর্মেশনের সময়। অন্যদিকে, শিক্ষকরা প্রায়ই অ্যাসাইনমেন্ট প্রত্যাখ্যান করেন এবং ডেরিভেটিভটিকে "মনে আনতে" বলেন।

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 7

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করতে থাকি এবং এখন আমরা একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করব যখন পার্থক্যের জন্য "ভয়ানক" লগারিদম প্রস্তাব করা হয়

উদাহরণ 8

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এখানে আপনি একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করে দীর্ঘ পথ যেতে পারেন:

তবে প্রথম পদক্ষেপটি অবিলম্বে আপনাকে হতাশায় নিমজ্জিত করে - আপনাকে একটি ভগ্নাংশের শক্তি থেকে এবং তারপরে একটি ভগ্নাংশ থেকেও অপ্রীতিকর ডেরিভেটিভ নিতে হবে।

সেজন্য আগেকিভাবে একটি "পরিশীলিত" লগারিদমের ডেরিভেটিভ নিতে হয়, এটি প্রথমে সুপরিচিত স্কুল বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সরলীকৃত হয়:

! যদি আপনার হাতে একটি অনুশীলন নোটবুক থাকে তবে এই সূত্রগুলি সরাসরি সেখানে অনুলিপি করুন। যদি আপনার কাছে একটি নোটবুক না থাকে তবে সেগুলিকে কাগজের টুকরোতে অনুলিপি করুন, যেহেতু পাঠের অবশিষ্ট উদাহরণগুলি এই সূত্রগুলির চারপাশে ঘুরবে৷

সমাধান নিজেই এই মত কিছু লেখা যেতে পারে:

চলুন ফাংশন রূপান্তর করা যাক:

ডেরিভেটিভ খোঁজা:

ফাংশনটিকেই প্রাক-রূপান্তর করা সমাধানটিকে ব্যাপকভাবে সরল করেছে। এইভাবে, যখন একটি অনুরূপ লগারিদম পার্থক্যের জন্য প্রস্তাব করা হয়, তখন সর্বদা "এটিকে ভেঙে ফেলা" পরামর্শ দেওয়া হয়।

এবং এখন আপনার নিজের সমাধান করার জন্য কয়েকটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 9

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

উদাহরণ 10

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমস্ত রূপান্তর এবং উত্তর পাঠের শেষে রয়েছে।

লগারিদমিক ডেরিভেটিভ

লগারিদমের ডেরিভেটিভ যদি এমন মধুর সঙ্গীত হয়, তবে প্রশ্ন জাগে: কিছু ক্ষেত্রে কৃত্রিমভাবে লগারিদম সংগঠিত করা কি সম্ভব? পারে! এবং এমনকি প্রয়োজনীয়।

উদাহরণ 11

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা সম্প্রতি অনুরূপ উদাহরণ দেখেছি। কি করতে হবে? আপনি ক্রমানুসারে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম এবং তারপর গুণফলের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করতে পারেন। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে আপনি একটি বিশাল তিন-তলা ভগ্নাংশের সাথে শেষ করবেন, যা আপনি মোটেও মোকাবেলা করতে চান না।

কিন্তু তত্ত্ব এবং অনুশীলনে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের মতো একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে। লগারিদমগুলি উভয় দিকে "ঝুলিয়ে" দিয়ে কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা যেতে পারে:

দ্রষ্টব্য : কারণ একটি ফাংশন নেতিবাচক মান নিতে পারে, তারপর, সাধারণভাবে বলতে গেলে, আপনাকে মডিউলগুলি ব্যবহার করতে হবে: , যা পার্থক্যের ফলে অদৃশ্য হয়ে যাবে। যাইহোক, বর্তমান নকশাটিও গ্রহণযোগ্য, যেখানে ডিফল্টরূপে এটি বিবেচনায় নেওয়া হয় জটিলঅর্থ কিন্তু যদি সব দৃঢ়তা, তারপর উভয় ক্ষেত্রেই একটি সংরক্ষণ করা উচিত যে.

এখন আপনাকে যতটা সম্ভব ডান দিকের লগারিদমটি "ব্রেক আপ" করতে হবে (আপনার চোখের সামনে সূত্রগুলি?) আমি এই প্রক্রিয়াটি বিশদভাবে বর্ণনা করব:

এর পার্থক্য দিয়ে শুরু করা যাক।
আমরা প্রাইমের অধীনে উভয় অংশই শেষ করি:

ডানদিকের ডেরিভেটিভটি বেশ সহজ; আমি এটিতে মন্তব্য করব না, কারণ আপনি যদি এই পাঠ্যটি পড়ছেন তবে আপনি এটিকে আত্মবিশ্বাসের সাথে পরিচালনা করতে সক্ষম হবেন।

বাম পাশ সম্পর্কে কি?

বাম দিকে আমরা আছে জটিল ফাংশন. আমি প্রশ্নটির পূর্বাভাস দিয়েছি: "কেন, লগারিদমের নিচে একটি অক্ষর "Y" আছে?"

আসল বিষয়টি হ'ল এই "এক অক্ষরের খেলা" - এটি নিজেই একটি ফাংশন(যদি এটি খুব স্পষ্ট না হয়, তাহলে নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিবন্ধটি পড়ুন)। অতএব, লগারিদম একটি বাহ্যিক ফাংশন, এবং "y" একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন। এবং আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করি :

বাম দিকে, যেন জাদু দ্বারা, আমাদের একটি ডেরিভেটিভ আছে। এরপরে, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে, আমরা "y" বাম পাশের হর থেকে ডান পাশের শীর্ষে স্থানান্তর করি:

এবং এখন মনে রাখা যাক কোন ধরনের "প্লেয়ার"-ফাংশন সম্পর্কে আমরা পার্থক্যের সময় কথা বলেছিলাম? চলুন অবস্থা দেখে নেওয়া যাক:

চূড়ান্ত উত্তর:

উদাহরণ 12

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এই ধরনের উদাহরণের একটি নমুনা নকশা পাঠের শেষে রয়েছে।

লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে 4-7 নং উদাহরণগুলির যেকোনও সমাধান করা সম্ভব ছিল, আরেকটি বিষয় হল যে সেখানে ফাংশনগুলি সহজ, এবং সম্ভবত লগারিদমিক ডেরিভেটিভের ব্যবহার খুব যুক্তিযুক্ত নয়।

একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমরা এখনও এই ফাংশন বিবেচনা না. একটি শক্তি-সূচক ফাংশন একটি ফাংশন যার জন্য ডিগ্রী এবং বেস উভয়ই "x" এর উপর নির্ভর করে. একটি ক্লাসিক উদাহরণ যা আপনাকে যেকোনো পাঠ্যপুস্তক বা বক্তৃতায় দেওয়া হবে:

কিভাবে একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়?

শুধু আলোচিত কৌশলটি ব্যবহার করা প্রয়োজন - লগারিদমিক ডেরিভেটিভ। আমরা উভয় দিকে লগারিদম ঝুলিয়ে রাখি:

একটি নিয়ম হিসাবে, ডানদিকে ডিগ্রিটি লগারিদমের নীচে থেকে নেওয়া হয়:

ফলস্বরূপ, ডানদিকে আমাদের দুটি ফাংশনের গুণফল রয়েছে, যা আদর্শ সূত্র অনুসারে আলাদা করা হবে .

আমরা এটি করার জন্য ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই, আমরা উভয় অংশকে স্ট্রোকের অধীনে আবদ্ধ করি:

পরবর্তী কর্ম সহজ:

অবশেষে:

যদি কোন রূপান্তর সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার না হয়, দয়া করে উদাহরণ নং 11-এর ব্যাখ্যাগুলি মনোযোগ সহকারে পুনরায় পড়ুন।

ব্যবহারিক কাজে, শক্তি-সূচক ফাংশন সর্বদা বিবেচিত বক্তৃতা উদাহরণের চেয়ে আরও জটিল হবে।

উদাহরণ 13

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি।

ডানদিকে আমাদের একটি ধ্রুবক এবং দুটি ফ্যাক্টরের গুণফল রয়েছে - "x" এবং "লগারিদম x এর লগারিদম" (অন্য একটি লগারিদম লগারিদমের নীচে থাকে)। পার্থক্য করার সময়, যেমনটি আমরা মনে রাখি, অবিলম্বে ধ্রুবকটিকে ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে সরিয়ে নেওয়া ভাল যাতে এটি পথে না যায়; এবং, অবশ্যই, আমরা পরিচিত নিয়ম প্রয়োগ করি :

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রের প্রমাণ এবং ডেরিভেটিভ এবং লগারিদমের ভিত্তি a. ln 2x, ln 3x এবং ln nx এর ডেরিভেটিভ গণনার উদাহরণ। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি ব্যবহার করে nম ক্রম লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রের প্রমাণ।

বিষয়বস্তু

আরও দেখুন: লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ
প্রাকৃতিক লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্র এবং লগারিদমের ভিত্তি a এর জন্য

x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ x দ্বারা ভাগ করা একের সমান:
(1) (ln x)′ =.

a এর লগারিদমের ডেরিভেটিভটি a এর প্রাকৃতিক লগারিদম দ্বারা গুণিত পরিবর্তনশীল x দ্বারা ভাগ করা একের সমান:
(2) (log a x)′ =.

প্রমাণ

কিছু ধনাত্মক সংখ্যা একের সমান নয়। একটি পরিবর্তনশীল x এর উপর নির্ভর করে একটি ফাংশন বিবেচনা করুন, যা বেসের লগারিদম:
.
এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় .
(3) .

চলুন x চলকের সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ বের করি।
সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভ হল নিম্নলিখিত সীমা:আসুন এই অভিব্যক্তিটিকে পরিচিত গাণিতিক বৈশিষ্ট্য এবং নিয়মগুলিতে হ্রাস করতে রূপান্তর করি। এটি করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত তথ্যগুলি জানতে হবে:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ক)লগারিদমের বৈশিষ্ট্য। আমাদের নিম্নলিখিত সূত্রগুলির প্রয়োজন হবে:
(7) .
খ)
লগারিদমের ধারাবাহিকতা এবং একটানা ফাংশনের জন্য সীমার বৈশিষ্ট্য:এখানে একটি ফাংশন আছে যার একটি সীমা আছে এবং এই সীমাটি ইতিবাচক।
(8) .

ইন)
.
দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার অর্থ:

.

আসুন এই তথ্যগুলিকে আমাদের সীমাতে প্রয়োগ করি। প্রথমে আমরা বীজগণিতীয় রাশিকে রূপান্তর করি
.

এটি করার জন্য, আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি (4) এবং (5) প্রয়োগ করি।
.
আসুন সম্পত্তি (7) এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা (8) ব্যবহার করি: এবং অবশেষে, আমরা সম্পত্তি প্রয়োগ (6):লগারিদম থেকে বেস eডাকা
.
প্রাকৃতিক লগারিদম
.

. এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়:

তারপর;

এইভাবে, আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (2) পেয়েছি।
.
প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ
(1) .

এই সরলতার কারণে, প্রাকৃতিক লগারিদমটি গাণিতিক বিশ্লেষণে এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সম্পর্কিত গণিতের অন্যান্য শাখায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য বেসের সাথে লগারিদমিক ফাংশনগুলিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে সম্পত্তি ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে (6):
.

ভিত্তির সাপেক্ষে লগারিদমের ডেরিভেটিভ সূত্র (1) থেকে পাওয়া যাবে, যদি আপনি পার্থক্য চিহ্ন থেকে ধ্রুবকটিকে বের করেন:
.

লগারিদমের ডেরিভেটিভ প্রমাণ করার অন্যান্য উপায়

এখানে আমরা অনুমান করি যে আমরা সূচকের ডেরিভেটিভের সূত্রটি জানি:
(9) .
তারপরে আমরা প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি বের করতে পারি, এই শর্তে যে লগারিদমটি সূচকের বিপরীত ফাংশন।

আসুন প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করি, বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র প্রয়োগ করা:
.
আমাদের ক্ষেত্রে.
.
প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত ফাংশন হল সূচকীয়:
.
এর ডেরিভেটিভ সূত্র (9) দ্বারা নির্ধারিত হয়। ভেরিয়েবল যে কোন চিঠি দ্বারা মনোনীত করা যেতে পারে. সূত্রে (9), ভেরিয়েবল x কে y দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন:
.
সেই থেকে
.
তারপর

সূত্র প্রমাণিত। এখন আমরা ব্যবহার করে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করিজটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য নিয়ম
.
. যেহেতু ফাংশন এবং একে অপরের বিপরীত, তারপর
(10) .
চলুন x চলকের ক্ষেত্রে এই সমীকরণটিকে আলাদা করা যাক:
.
x এর ডেরিভেটিভ একের সমান:
.
আমরা জটিল ফাংশনগুলির পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি:
.
এখানে এর বিকল্প করা যাক (10):
.

এখান থেকে

উদাহরণ এর ডেরিভেটিভস খুঁজুন ln 2x, ln 3x এবং.

lnnx মূল ফাংশন একটি অনুরূপ ফর্ম আছে. তাই আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাব y = লগ nx . তারপর আমরা n = 2 এবং n = 3 প্রতিস্থাপন করব। এবং, এইভাবে, আমরা এর ডেরিভেটিভগুলির জন্য সূত্রগুলি পাই ln 2x ln 2x, .

এবং
মূল ফাংশন একটি অনুরূপ ফর্ম আছে. তাই আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাব .
সুতরাং, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজছি
1) আসুন এই ফাংশনটিকে দুটি ফাংশন নিয়ে গঠিত একটি জটিল ফাংশন হিসাবে কল্পনা করি:
2) একটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে ফাংশন: ;
একটি পরিবর্তনশীল উপর নির্ভর করে ফাংশন: .
.

তারপর মূল ফাংশন ফাংশন গঠিত হয় এবং:
.
চলুন x ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
চলুন চলকটির সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আমরা একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।

এখানে আমরা এটা সেট আপ.
(11) .
তাই আমরা খুঁজে পেয়েছি:
.
আমরা দেখি যে ডেরিভেটিভটি n-এর উপর নির্ভর করে না।
.

; ; .

এই ফলাফলটি বেশ স্বাভাবিক যদি আমরা পণ্যের লগারিদমের সূত্রটি ব্যবহার করে মূল ফাংশনটি রূপান্তর করি:

- এটি একটি ধ্রুবক। এর ডেরিভেটিভ শূন্য। তারপর, যোগফলের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, আমাদের আছে:
(12) .

মডুলাস x এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ
.
আসুন আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি - মডুলাস x এর প্রাকৃতিক লগারিদম:
.

এর মামলা বিবেচনা করা যাক.
,
কোথায়.
কিন্তু আমরা উপরের উদাহরণে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভও খুঁজে পেয়েছি। এটি n এর উপর নির্ভর করে না এবং এর সমান
.
সেই থেকে
.

আমরা এই দুটি কেসকে একটি সূত্রে একত্রিত করি:
.

তদনুসারে, লগারিদমের ভিত্তি a করার জন্য, আমাদের আছে:
.

প্রাকৃতিক লগারিদমের উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভ

ফাংশন বিবেচনা করুন
.
আমরা এটির প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি:
(13) .

আসুন সেকেন্ড-অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আসুন তৃতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আসুন চতুর্থ অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.

আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে nth অর্ডার ডেরিভেটিভের ফর্ম রয়েছে:
(14) .
গাণিতিক আবেশ দ্বারা এটি প্রমাণ করা যাক।

প্রমাণ

আসুন n = 1 মানটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (14):
.
যেহেতু , তারপর যখন n = 1 , সূত্র (14) বৈধ।

ধরা যাক যে সূত্র (14) n = k এর জন্য সন্তুষ্ট। + 1 .

আসুন প্রমাণ করি যে এটি বোঝায় যে সূত্রটি n = k এর জন্য বৈধ
.
প্রকৃতপক্ষে, n = k এর জন্য আমাদের আছে:

.
পরিবর্তনশীল x এর সাথে পার্থক্য করুন:
.
তাই আমরা পেয়েছি: 1 এই সূত্রটি n = k + এর জন্য সূত্র (14) এর সাথে মিলে যায় 1 .

.

সুতরাং, অনুমান থেকে যে সূত্র (14) n = k এর জন্য বৈধ, এটি অনুসরণ করে যে সূত্রটি (14) n = k + এর জন্য বৈধ

অতএব, সূত্র (14), nম ক্রম ডেরিভেটিভের জন্য, যেকোনো n-এর জন্য বৈধ।
.
লগারিদমের উচ্চ ক্রমগুলির ডেরিভেটিভস বেস a
.

একটি লগারিদমের nম ক্রম ডেরিভেটিভকে বেস a করার জন্য, আপনাকে এটিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে হবে: