অষ্টম শ্রেণীতে, ছাত্রদের দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয় এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করা যায়। একই সময়ে, অভিজ্ঞতা দেখায়, বেশিরভাগ শিক্ষার্থী, সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, শুধুমাত্র একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে - একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র। ভালো মানসিক পাটিগণিত দক্ষতা আছে এমন ছাত্রদের জন্য, এই পদ্ধতিটি স্পষ্টভাবে অযৌক্তিক। উচ্চ বিদ্যালয়েও ছাত্রদের প্রায়ই দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয় এবং সেখানে বৈষম্যকারীর গণনা করার জন্য সময় ব্যয় করা দুঃখজনক। আমার মতে, দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়ন করার সময়, ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগে আরও বেশি সময় এবং মনোযোগ দেওয়া উচিত (এ.জি. মর্ডকোভিচ বীজগণিত -8 প্রোগ্রাম অনুসারে, "ভিয়েটার থিওরেম" বিষয় অধ্যয়নের জন্য মাত্র দুই ঘন্টা পরিকল্পনা করা হয়েছে। দ্বিঘাতের পচন ত্রিনামিক রৈখিক উপাদানে")।

বেশিরভাগ বীজগণিত পাঠ্যপুস্তকে, এই উপপাদ্যটি হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য প্রণয়ন করা হয় এবং বলে যে যদি সমীকরণের মূল থাকে এবং , তাহলে সমতা , , তাদের জন্য সন্তুষ্ট।তারপরে ভিয়েতার উপপাদ্যের সাথে কথোপকথনের একটি বিবৃতি তৈরি করা হয় এবং এই বিষয়টি অনুশীলন করার জন্য বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হয়।

আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ গ্রহণ করি এবং ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধানের যুক্তি খুঁজে বের করি।

উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন।

ধরা যাক এই সমীকরণটির মূল রয়েছে, যথা, এবং। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে, সমতাগুলি একই সাথে ধরে রাখতে হবে:

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন শিকড়ের গুণফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা। এর মানে হল সমীকরণের শিকড় একই চিহ্নের। এবং যেহেতু মূলের যোগফলও একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে সমীকরণের উভয় মূলই ধনাত্মক। আবার শিকড়ের গুণে ফিরে আসা যাক। আসুন আমরা ধরে নিই যে সমীকরণের মূলগুলি পূর্ণসংখ্যা ইতিবাচক সংখ্যা. তারপর সঠিক প্রথম সমতা শুধুমাত্র দুটি উপায়ে প্রাপ্ত করা যেতে পারে (ফ্যাক্টরগুলির ক্রম পর্যন্ত): বা . আসুন আমরা ভিয়েটার উপপাদ্যের দ্বিতীয় বিবৃতির সম্ভাব্যতা সংখ্যার প্রস্তাবিত জোড়া পরীক্ষা করি: . এইভাবে, সংখ্যা 2 এবং 3 উভয় সমতা পূরণ করে, এবং তাই প্রদত্ত সমীকরণের মূল।

উত্তর: 2; 3.

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার সময় যুক্তির প্রধান ধাপগুলিকে হাইলাইট করা যাক:

ভিয়েটার উপপাদ্যের বিবৃতি লিখ

(*)

• সমীকরণের মূলের চিহ্ন নির্ধারণ করুন (যদি গুণফল এবং মূলের যোগফল ধনাত্মক হয়, তাহলে উভয় মূলই ধনাত্মক সংখ্যা। যদি মূলের গুণফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয় এবং মূলের যোগফল ঋণাত্মক হয়, তাহলে উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা হলে মূলের গুণফল ঋণাত্মক সংখ্যা, তারপর শিকড় বিভিন্ন লক্ষণ আছে.
• তদুপরি, যদি মূলের যোগফল ধনাত্মক হয়, তাহলে একটি বড় মডুলাসযুক্ত মূলটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, এবং যদি মূলগুলির যোগফল শূন্যের কম হয়, তবে একটি বড় মডুলাস সহ মূলটি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা);
• পূর্ণসংখ্যার জোড়া নির্বাচন করুন যার গুণফল স্বরলিপিতে সঠিক প্রথম সমতা দেয় (*);
• পাওয়া সংখ্যার জোড়া থেকে, সেই জোড়া নির্বাচন করুন যেটি, স্বরলিপিতে দ্বিতীয় সমতায় প্রতিস্থাপিত হলে (*), সঠিক সমতা দেবে;

আপনার উত্তরে সমীকরণের প্রাপ্ত মূল নির্দেশ করুন।

আরও কিছু উদাহরণ দেওয়া যাক। .

উদাহরণ 2: সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান।

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। -2; -5.

উত্তরঃ .

উদাহরণ 2: সমীকরণটি সমাধান করুন

উদাহরণ 3: সমীকরণটি সমাধান করুন

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। 2; -5.

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে পণ্যটি নেতিবাচক। এর অর্থ হল শিকড়গুলি বিভিন্ন লক্ষণের। মূলের যোগফলও একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর মানে হল যে বৃহত্তম মডুলাস সহ মূলটি ঋণাত্মক। আমরা ফ্যাক্টরগুলির জোড়া নির্বাচন করি যা পণ্য দেয় -10 (1 এবং -10; 2 এবং -5)। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -3 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল যে সংখ্যা 2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। উল্লেখ্য যে ভিয়েটার উপপাদ্য, নীতিগতভাবে, একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য প্রণয়ন করা যেতে পারে: যদি দ্বিঘাত সমীকরণশিকড় আছে এবং তারপর সমতা , , তাদের জন্য সন্তুষ্ট।

যাইহোক, এই উপপাদ্যটির প্রয়োগ বেশ সমস্যাযুক্ত, যেহেতু একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে অন্ততপক্ষে একটি মূল (যদি থাকে, অবশ্যই) একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা। এবং ভগ্নাংশ নির্বাচনের সাথে কাজ করা দীর্ঘ এবং কঠিন। কিন্তু এখনও একটি উপায় আছে. সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন . সমীকরণের উভয় দিককে প্রথম সহগ দ্বারা গুণ করুনক এবং ফর্মে সমীকরণ লিখুন . আসুন আমরা একটি নতুন চলক প্রবর্তন করি এবং হ্রাস করা দ্বিঘাত সমীকরণটি পাই, যার মূল এবং (যদি পাওয়া যায়) ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে পাওয়া যায়। তাহলে মূল সমীকরণের শিকড় হবে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে একটি সহায়ক হ্রাস সমীকরণ তৈরি করা খুব সহজ: দ্বিতীয় সহগটি সংরক্ষিত আছে এবং তৃতীয় সহগটি পণ্যের সমান. একটি নির্দিষ্ট দক্ষতার সাথে, শিক্ষার্থীরা অবিলম্বে একটি সহায়ক সমীকরণ তৈরি করে, ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে এর শিকড় খুঁজে বের করে এবং প্রদত্ত সম্পূর্ণ সমীকরণের মূল নির্দেশ করে। উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ 4: সমীকরণটি সমাধান করুন .

আসুন একটি সহায়ক সমীকরণ তৈরি করি এবং ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা এর শিকড় খুঁজে পাব। মানে মূল সমীকরণের শিকড় .

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। .

উদাহরণ 5: সমীকরণটি সমাধান করুন .

অক্জিলিয়ারী সমীকরণের ফর্ম আছে। ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে, এর শিকড় হল। মূল সমীকরণের শিকড় খোঁজা .

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। .

এবং আরও একটি ক্ষেত্রে যখন ভিয়েতার উপপাদ্যের প্রয়োগ আপনাকে মৌখিকভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে দেয়। এটা প্রমাণ করা কঠিন নয় সংখ্যা 1 হল সমীকরণের মূল , যদি এবং শুধুমাত্র যদি. সমীকরণের দ্বিতীয় মূলটি ভিয়েতার উপপাদ্য দ্বারা পাওয়া যায় এবং এর সমান। আরও একটি বিবৃতি: যাতে সংখ্যা –1 সমীকরণের মূল জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট. তাহলে ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে সমীকরণের দ্বিতীয় মূলটি সমান। প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য অনুরূপ বিবৃতি তৈরি করা যেতে পারে।

উদাহরণ 6: সমীকরণটি সমাধান করুন।

লক্ষ্য করুন যে সমীকরণের সহগগুলির যোগফল শূন্য। সুতরাং, সমীকরণের শিকড় .

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। .

উদাহরণ 7. সমীকরণটি সমাধান করুন।

এই সমীকরণের সহগ সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে (প্রকৃতপক্ষে, 1-(-999)+(-1000)=0)। সুতরাং, সমীকরণের শিকড় .

প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। ..

ভিয়েতার উপপাদ্য প্রয়োগের উদাহরণ

টাস্ক 1. ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করুন।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

কার্য 2. অক্জিলিয়ারী হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণে পাস করে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করুন।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

কার্য 3. সম্পত্তি ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করুন।

ভিয়েতার উপপাদ্যটি প্রায়শই ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে এমন শিকড় পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়। আপনি যদি শিকড় খুঁজে পেয়ে থাকেন, তাহলে \(p এর মান গণনা করতে আপনি \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) সূত্র ব্যবহার করতে পারেন \) এবং \(q\)। এবং যদি সেগুলি মূল সমীকরণের মতোই হয় তবে শিকড়গুলি সঠিকভাবে পাওয়া যায়।

উদাহরণ স্বরূপ, আসুন, ব্যবহার করে, সমীকরণটি সমাধান করি \(x^2+x-56=0\) এবং মূল পাই: \(x_1=7\), \(x_2=-8\)। আসুন আমরা সমাধান প্রক্রিয়ায় ভুল করেছি কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি। আমাদের ক্ষেত্রে, \(p=1\), এবং \(q=-56\)। ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা আমাদের আছে:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(কেস)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(কেস)\ )

উভয় বিবৃতি একত্রিত হয়েছে, যার মানে আমরা সঠিকভাবে সমীকরণটি সমাধান করেছি।

এই চেক মৌখিকভাবে করা যেতে পারে। এটি 5 সেকেন্ড সময় নেবে এবং আপনাকে বোকা ভুল থেকে বাঁচাবে।

ভিয়েটার কনভার্স থিওরেম

যদি \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), তাহলে \(x_1\) এবং \(x_2\) দ্বিঘাত সমীকরণের মূল হয় \ (x^ 2+px+q=0\)।

অথবা একটি সহজ উপায়ে: আপনার যদি ফর্মটির একটি সমীকরণ থাকে \(x^2+px+q=0\), তাহলে সিস্টেমটি সমাধান করা \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) আপনি এর শিকড় খুঁজে পাবেন।

এই উপপাদ্যটির জন্য ধন্যবাদ, আপনি দ্রুত একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে পারেন, বিশেষ করে যদি এই মূলগুলি হয়। এই দক্ষতা গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি অনেক সময় বাঁচায়।

উদাহরণ . সমীকরণটি সমাধান করুন \(x^2-5x+6=0\)।

সমাধান : ভিয়েটার বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে শিকড়গুলি শর্ত পূরণ করে: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)।
সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি দেখুন \(x_1 \cdot x_2=6\)। \(6\) সংখ্যাটি কোন দুটিতে পচে যেতে পারে? \(2\) এবং \(3\), \(6\) এবং \(1\) বা \(-2\) এবং \(-3\), এবং \(-6\) এবং \(- 1\)। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ আপনাকে বলবে কোন জুটি বেছে নিতে হবে: \(x_1+x_2=5\)। \(2\) এবং \(3\) একই রকম, যেহেতু \(2+3=5\)।
উত্তর : \(x_1=2\), \(x_2=3\)।

উদাহরণ . ভিয়েটার উপপাদ্যের কথোপকথন ব্যবহার করে, দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
ক) \(x^2-15x+14=0\); খ) \(x^2+3x-4=0\); গ) \(x^2+9x+20=0\); ঘ) \(x^2-88x+780=0\)।

সমাধান :
ক) \(x^2-15x+14=0\) – কোন উপাদানে \(14\) পচে যায়? \(2\) এবং \(7\), \(-2\) এবং \(-7\), \(-1\) এবং \(-14\), \(1\) এবং \(14\) ) সংখ্যার কোন জোড়া যোগ করে \(15\)? উত্তর: \(1\) এবং \(14\)।

b) \(x^2+3x-4=0\) – কোন উপাদানে \(-4\) পচে যায়? \(-2\) এবং \(2\), \(4\) এবং \(-1\), \(1\) এবং \(-4\)। সংখ্যার কোন জোড়া যোগ করে \(-3\)? উত্তর: \(1\) এবং \(-4\)।

গ) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) কোন ফ্যাক্টরগুলিতে প্রসারিত হয়? \(4\) এবং \(5\), \(-4\) এবং \(-5\), \(2\) এবং \(10\), \(-2\) এবং \(-10\ ), \(-20\) এবং \(-1\), \(20\) এবং \(1\)। সংখ্যার কোন জোড়া যোগ করে \(-9\)? উত্তর: \(-4\) এবং \(-5\)।

d) \(x^2-88x+780=0\) – কোন উপাদানে \(780\) পচে যায়? \(390\) এবং \(2\)। তারা কি \(88\) পর্যন্ত যোগ করবে? না. \(780\) এর অন্য কোন গুণক আছে? \(78\) এবং \(10\)। তারা কি \(88\) পর্যন্ত যোগ করবে? হ্যাঁ। উত্তর: \(78\) এবং \(10\)।

শেষ শব্দটিকে সমস্ত সম্ভাব্য কারণগুলির মধ্যে প্রসারিত করার প্রয়োজন নেই (শেষ উদাহরণের মতো)। আপনি অবিলম্বে তাদের যোগফল \(-p\) দেয় কিনা তা পরীক্ষা করতে পারেন।

গুরুত্বপূর্ণ !ভিয়েটার উপপাদ্য এবং কনভার্স উপপাদ্য শুধুমাত্র এর সাথে কাজ করে, অর্থাৎ একটি যার জন্য \(x^2\) এর সহগ একের সমান। যদি আমাদের প্রাথমিকভাবে একটি অ-হ্রাসিত সমীকরণ দেওয়া হয়, তাহলে আমরা এটিকে \(x^2\) এর সামনে সহগ দ্বারা ভাগ করে কমিয়ে আনতে পারি।

যেমন, সমীকরণ \(2x^2-4x-6=0\) দেওয়া যাক এবং আমরা ভিয়েটার একটি উপপাদ্য ব্যবহার করতে চাই। কিন্তু আমরা পারি না, যেহেতু \(x^2\) এর সহগ \(2\) এর সমান। আসুন সম্পূর্ণ সমীকরণটিকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে এটি থেকে পরিত্রাণ পাই।

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

প্রস্তুত. এখন আপনি উভয় উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন।

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের উত্তর

প্রশ্নঃ ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে আপনি কোন সমাধান করতে পারবেন?
প্রদত্ত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর, ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা লক্ষ্য করি যে গুণফলটি ধনাত্মক, এবং যোগফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এর অর্থ হল উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা। আমরা 10 (-1 এবং -10; -2 এবং -5) একটি গুণফল দেয় এমন জোড়া ফ্যাক্টর নির্বাচন করি। সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া -7 পর্যন্ত যোগ করে। এর মানে হল সংখ্যা -2 এবং -5 এই সমীকরণের মূল। দুর্ভাগ্যবশত না. যদি সমীকরণে পূর্ণসংখ্যা না থাকে বা সমীকরণটির একেবারেই কোনো শিকড় না থাকে, তাহলে ভিয়েটার উপপাদ্য সাহায্য করবে না। এই ক্ষেত্রে আপনাকে ব্যবহার করতে হবে বৈষম্যমূলক . ভাগ্যক্রমে, সমীকরণের 80% স্কুল কোর্সগণিতের সম্পূর্ণ সমাধান আছে।

ভিয়েতার উপপাদ্য (আরো সঠিকভাবে, উপপাদ্য উপপাদ্যের কথোপকথনভিয়েটা) আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য সময় কমাতে দেয়। আপনি শুধু এটা কিভাবে ব্যবহার করতে জানতে হবে. কিভাবে Vieta এর উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে শিখবেন? একটু চিন্তা করলে কষ্ট হয় না।

এখন আমরা শুধুমাত্র Vieta-এর উপপাদ্য ব্যবহার করে হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করার বিষয়ে কথা বলব A হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে a, অর্থাৎ x² এর সহগ একের সমান। এছাড়াও দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা সম্ভব যা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দেওয়া হয় না, তবে অন্তত একটি মূল একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। তাদের অনুমান করা কঠিন।

ভিয়েটার উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যটি বলে: যদি x1 এবং x2 সংখ্যাগুলি এমন হয় যে

তাহলে x1 এবং x2 হল দ্বিঘাত সমীকরণের মূল

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, শুধুমাত্র 4টি বিকল্প সম্ভব। আপনি যুক্তির লাইন মনে রাখলে, আপনি খুব দ্রুত সম্পূর্ণ শিকড় খুঁজে পেতে শিখতে পারেন।

I. যদি q একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়,

এর মানে হল যে মূল x1 এবং x2 একই চিহ্নের সংখ্যা (যেহেতু একই চিহ্নের সাথে সংখ্যাগুলিকে গুণ করলেই একটি ধনাত্মক সংখ্যা তৈরি হয়)।

I.a. যদি -p একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, (যথাক্রমে, পি<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

আই.বি. যদি -p একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, (যথাক্রমে, p>0), তারপর উভয় মূলই ঋণাত্মক সংখ্যা (আমরা একই চিহ্নের সংখ্যা যোগ করেছি এবং একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পেয়েছি)।

২. যদি q একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়,

এর মানে হল x1 এবং x2 শিকড়ের বিভিন্ন চিহ্ন রয়েছে (সংখ্যাকে গুণ করার সময়, একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায় শুধুমাত্র তখনই যখন কারণগুলির চিহ্নগুলি ভিন্ন হয়)। এই ক্ষেত্রে, x1+x2 আর যোগফল নয়, বরং একটি পার্থক্য (সর্বশেষে, সংখ্যা যোগ করার সময় বিভিন্ন লক্ষণআমরা বড় মডিউল থেকে ছোট বিয়োগ করি)। অতএব, x1+x2 দেখায় কতটা শিকড় x1 এবং x2 আলাদা, অর্থাৎ, একটি মূল অন্যটির থেকে কতটা বড় (পরম মান)।

II.a যদি -p একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, (অর্থাৎ, পৃ<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. যদি -p একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, (p>0), তারপর বৃহত্তর (মডিউল) রুট একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।

উদাহরণ ব্যবহার করে ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান বিবেচনা করা যাক।

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করুন:

এখানে q=12>0, সুতরাং মূল x1 এবং x2 একই চিহ্নের সংখ্যা। তাদের যোগফল -p=7>0, তাই উভয় মূলই ধনাত্মক সংখ্যা। আমরা পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করি যার গুণফল 12 এর সমান। এগুলি হল 1 এবং 12, 2 এবং 6, 3 এবং 4। যোগফল 3 এবং 4 জোড়ার জন্য 7। এর মানে হল 3 এবং 4 হল সমীকরণের মূল।

এই উদাহরণে, q=16>0, যার অর্থ হল মূল x1 এবং x2 একই চিহ্নের সংখ্যা। তাদের যোগফল -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

এখানে q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, তারপর বড় সংখ্যাটি ধনাত্মক। সুতরাং শিকড় 5 এবং -3।

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Viète (1540-1603) – গণিতবিদ, বিখ্যাত Viète সূত্রের স্রষ্টা

ভিয়েতার উপপাদ্যদ্বিঘাত সমীকরণ দ্রুত সমাধান করতে হবে (সহজ কথায়)।

আরো বিস্তারিত, তারপর ভিয়েতার উপপাদ্য হল যে একটি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল দ্বিতীয় সহগের সমান, যা বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয় এবং গুণফলটি মুক্ত পদের সমান। যেকোন হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল রয়েছে এই বৈশিষ্ট্যটি।

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে, আপনি সহজেই নির্বাচনের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন, তাই আসুন আমাদের শুভ 7ম গ্রেডের জন্য তার হাতে তলোয়ার নিয়ে এই গণিতবিদকে "ধন্যবাদ" বলি।

ভিয়েতার উপপাদ্যের প্রমাণ

উপপাদ্য প্রমাণ করতে, আপনি সুপরিচিত মূল সূত্র ব্যবহার করতে পারেন, যার জন্য আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল এবং গুণফল রচনা করব। শুধুমাত্র এর পরেই আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে তারা সমান এবং সেই অনুযায়ী,।

ধরা যাক আমাদের একটি সমীকরণ আছে: এই সমীকরণের নিম্নলিখিত মূল রয়েছে: এবং . আসুন প্রমাণ করি যে, .

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র অনুসারে:

1. মূলের সমষ্টি খুঁজুন:

আসুন এই সমীকরণটি দেখি, কীভাবে আমরা এটিকে ঠিক এইভাবে পেয়েছি:

= .

ধাপ 1. ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করা, এটি দেখা যাচ্ছে:

= = .

ধাপ 2. আমাদের একটি ভগ্নাংশ আছে যেখানে আমাদের বন্ধনী খুলতে হবে:

আমরা ভগ্নাংশটি 2 দ্বারা কম করি এবং পাই:

আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফলের সম্পর্ক প্রমাণ করেছি।

2. শিকড়ের গুণফল খুঁজুন:

= = = = = .

আসুন এই সমীকরণটি প্রমাণ করি:

ধাপ 1. ভগ্নাংশ গুণ করার জন্য একটি নিয়ম আছে, যা অনুসারে আমরা এই সমীকরণটি গুণ করি:

এখন আমরা বর্গমূলের সংজ্ঞাটি স্মরণ করি এবং গণনা করি:

= .

ধাপ 3. চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যের কথা স্মরণ করা যাক: অতএব, ডি (বৈষম্যমূলক) এর পরিবর্তে, আমরা শেষ ভগ্নাংশে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে দেখা যাচ্ছে:

= .

ধাপ 4. বন্ধনী খুলুন এবং ভগ্নাংশে অনুরূপ পদ যোগ করুন:

ধাপ 5. আমরা "4a" ছোট করি এবং পাই।

তাই আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে শিকড়ের গুণফলের সম্পর্ক প্রমাণ করেছি।

গুরুত্বপূর্ণ!যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মাত্র মূল আছে।

উপপাদ্য ভিয়েটার উপপাদ্যের সাথে কনভার্স করে

ভিয়েটার উপপাদ্যের বিপরীতে উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা আমাদের সমীকরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি। উপপাদ্য নিজেই বুঝতে, আপনি আরো বিস্তারিত বিবেচনা করতে হবে.

সংখ্যাগুলো যদি এরকম হয়:

এবং, তারপর তারা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল।

ভিয়েটার কনভার্স থিওরেমের প্রমাণ

ধাপ 1।আসুন সমীকরণে এর সহগগুলির জন্য অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

ধাপ 2।আসুন সমীকরণের বাম দিকটি রূপান্তর করি:

ধাপ 3. আসুন সমীকরণের শিকড়গুলি খুঁজে বের করি, এবং এর জন্য আমরা এমন বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করি যে পণ্যটি শূন্যের সমান:

বা এটি কোথা থেকে আসে: বা।

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান সহ উদাহরণ

উদাহরণ 1

ব্যায়াম

সমীকরণের মূল না খুঁজে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের বর্গক্ষেত্রের যোগফল, গুণফল এবং যোগফল নির্ণয় করুন।

সমাধান

ধাপ 1. এর বৈষম্যমূলক সূত্র মনে রাখা যাক. আমরা অক্ষরের জন্য আমাদের সংখ্যা প্রতিস্থাপন. অর্থাৎ, , – এটি প্রতিস্থাপন করে, এবং . এটি এই থেকে অনুসরণ করে:

দেখা যাচ্ছে:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

আসুন মূলের বর্গগুলির যোগফল এবং গুণফলের মাধ্যমে প্রকাশ করি:

উত্তর

7; 12; 25.

উদাহরণ 2

ব্যায়াম

সমীকরণটি সমাধান করুন। যাইহোক, দ্বিঘাত সমীকরণ সূত্র ব্যবহার করবেন না।

সমাধান

এই সমীকরণটির মূল রয়েছে যার বৈষম্যকারী (D) শূন্যের চেয়ে বেশি। তদনুসারে, ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে, এই সমীকরণের মূলের যোগফল 4 এর সমান এবং গুণফল 5। প্রথমে, আমরা সংখ্যাটির ভাজক নির্ধারণ করি, যার যোগফল 4 এর সমান। এই সংখ্যাগুলি হল “ 5" এবং "-1"। তাদের গুণফল সমান – 5, এবং তাদের যোগফল – 4। এর মানে হল, ভিয়েটার উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, তারা এই সমীকরণের মূল।

উত্তর

এবং উদাহরণ 4

ব্যায়াম

একটি সমীকরণ লিখুন যেখানে প্রতিটি মূল সমীকরণের সংশ্লিষ্ট মূলের দ্বিগুণ হয়:

সমাধান

ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে, এই সমীকরণের মূলের যোগফল 12 এর সমান, এবং গুণফল = 7। এর মানে হল দুটি মূল ধনাত্মক।

নতুন সমীকরণের মূলের যোগফল সমান হবে:

এবং কাজ.

ভিয়েটার উপপাদ্যের বিপরীতে উপপাদ্য দ্বারা, নতুন সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

উত্তর

ফলাফলটি একটি সমীকরণ, যার প্রতিটি মূল দ্বিগুণ বড়:

সুতরাং, আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমীকরণটি কীভাবে সমাধান করব তা দেখেছি। এই উপপাদ্যটি ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক যদি আপনি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের লক্ষণ জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করেন। অর্থাৎ, যদি সূত্রের মুক্ত পদটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয় এবং দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত মূল থাকে, তাহলে উভয়ই ঋণাত্মক বা ধনাত্মক হতে পারে।

এবং যদি মুক্ত শব্দটি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, এবং যদি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত মূল থাকে, তবে উভয় চিহ্ন ভিন্ন হবে। অর্থাৎ, একটি মূল যদি ধনাত্মক হয়, তবে অন্য মূলটি কেবল ঋণাত্মক হবে।

দরকারী উত্স:

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., বুনিমোভিচ E.A বীজগণিত 8ম গ্রেড: মস্কো "এনলাইটেনমেন্ট", 2016 – 318 পি.
2. রুবিন এজি, চুলকভ পিভি - পাঠ্যপুস্তক বীজগণিত 8ম শ্রেণি: মস্কো "বালাস", 2015 - 237 পি।
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – বীজগণিত 8ম শ্রেণী: মস্কো "এনলাইটেনমেন্ট", 2014 – 300

ভিয়েতার উপপাদ্য, বিপরীত ভিয়েতার সূত্র এবং ডামিগুলির সমাধান সহ উদাহরণআপডেট: নভেম্বর 22, 2019 দ্বারা: বৈজ্ঞানিক প্রবন্ধ.রু