সমাধানকারী কুজনেটসভ।
III চার্ট

কাজ 7. ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

        আপনি আপনার বিকল্পগুলি ডাউনলোড করা শুরু করার আগে, বিকল্প 3 এর জন্য নীচে দেওয়া উদাহরণ অনুসারে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করুন। কিছু বিকল্প .rar ফরম্যাটে সংরক্ষণাগারভুক্ত করা হয়েছে

        7.3 চালান সম্পূর্ণ গবেষণাফাংশন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন

সমাধান।

        1) সংজ্ঞার পরিধি:         বা        , অর্থাৎ        .
.
এইভাবে:        ।

        2) অক্স অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই। প্রকৃতপক্ষে,           সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।
Oy অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই, যেহেতু        ।

        3) ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। অর্ডিনেট অক্ষ সম্পর্কে কোন প্রতিসাম্য নেই। উৎপত্তি সম্পর্কেও কোন প্রতিসাম্য নেই। কারণ
.
আমরা দেখতে পাই যে         এবং        .

        4) ফাংশন সংজ্ঞার ডোমেনে অবিচ্ছিন্ন
.

; .

; .
ফলস্বরূপ, বিন্দু         হল দ্বিতীয় প্রকারের একটি বিচ্ছিন্নতা বিন্দু (অসীম বিচ্ছিন্নতা)।

5) উল্লম্ব উপসর্গ:       

আসুন তির্যক অ্যাসিম্পটোট খুঁজে বের করি        । এখানে

;
.
ফলস্বরূপ, আমাদের একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট রয়েছে: y=0. কোন তির্যক উপসর্গ আছে.

        6) চলুন প্রথম ডেরিভেটিভ বের করা যাক। প্রথম ডেরিভেটিভ:
.
এবং এখানে কেন
.
চলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি যেখানে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, অর্থাৎ
.

        7) আসুন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:
.
এবং এই যাচাই করা সহজ, যেহেতু

ফাংশন গ্রাফ প্লট করার সময়, নিম্নলিখিত পরিকল্পনাটি মেনে চলা দরকারী:

1. ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন এবং বিচ্ছিন্নতা বিন্দু নির্ধারণ করুন, যদি থাকে।

2. ফাংশনটি জোড় বা বিজোড় বা কোনটি নয় তা নির্ধারণ করুন। যদি ফাংশনটি জোড় বা বিজোড় হয়, তবে এটির মান বিবেচনা করা যথেষ্ট x>0, এবং তারপর OY অক্ষ বা স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাপেক্ষে, মানগুলির জন্য এটি পুনরুদ্ধার করুন x<0 .

3. পর্যায়ক্রমিকতার জন্য ফাংশন পরীক্ষা করুন। যদি ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক হয়, তবে এটি একটি পিরিয়ডে বিবেচনা করা যথেষ্ট।

4. স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে ফাংশন গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজুন (যদি সম্ভব হয়)

5. চরমে ফাংশনের একটি অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং ফাংশনের বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানগুলি সন্ধান করুন।

6. বক্রতার প্রবর্তন বিন্দু এবং ফাংশনের উত্তল এবং অবতলতার ব্যবধানগুলি খুঁজুন।

7. ফাংশনের গ্রাফের উপসর্গগুলি খুঁজুন।

8. ধাপ 1-7 এর ফলাফল ব্যবহার করে, ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করুন। কখনও কখনও বৃহত্তর নির্ভুলতার জন্য বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত পয়েন্ট পাওয়া যায়; তাদের স্থানাঙ্কগুলি বক্ররেখার সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

উদাহরণ. এক্সপ্লোর ফাংশন y=x 3 -3xএবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

1) ফাংশনটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় (-∞; +∞)। কোন ব্রেকিং পয়েন্ট আছে.

2) ফাংশন বিজোড়, কারণ f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x), অতএব, এটি উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

3) ফাংশন পর্যায়ক্রমিক নয়।

4) স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ গ্রাফের ছেদ বিন্দু: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0,যারা ফাংশনের গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিকে বিন্দুতে ছেদ করে: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) সম্ভাব্য চরম পয়েন্ট খুঁজুন: y′ = 3x 2 -3; 3x 2 -3=0; x =-1; x = 1. ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটি বিরতিতে বিভক্ত হবে: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞)। আসুন প্রতিটি ফলের ব্যবধানে ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি খুঁজে বের করি:

ব্যবধানে (-∞; -1) y′>0 -ফাংশন বৃদ্ধি পায়

ব্যবধানে (-1; 1) y′<0 – ফাংশন কমে যাচ্ছে

ব্যবধানে (1; +∞) y′>0 -ফাংশন বৃদ্ধি পায়। ডট x =-1 - সর্বোচ্চ পয়েন্ট; x = 1 - সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

6) ইনফ্লেকশন পয়েন্ট খুঁজুন: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. ডট x = 0সংজ্ঞার ডোমেইনকে বিরতিতে (-∞; 0), (0; +∞) ভাগ করে। আসুন প্রতিটি ফলের ব্যবধানে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি খুঁজে বের করি:

ব্যবধানে (-∞;0) y′<0 – ফাংশনটি উত্তল

ব্যবধানে (0; +∞) y′>0 -ফাংশন অবতল। x = 0- ইনফ্লেকশন পয়েন্ট।

7) গ্রাফের কোন উপসর্গ নেই

8) আসুন ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি:

উদাহরণ।ফাংশনটি অন্বেষণ করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

1) ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল অন্তর (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥)। মান পরিসীমা এই ফাংশনটি হল ব্যবধান (-¥; ¥)।

ফাংশনের বিরতি পয়েন্টগুলি হল x = 1, x = -1।

2) ফাংশন বিজোড়, কারণ .

3) ফাংশন পর্যায়ক্রমিক নয়।

4) গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিকে বিন্দুতে ছেদ করে (0; 0)।

5) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজুন।

সমালোচনামূলক পয়েন্ট: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

আমরা ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা ব্যবধানে ফাংশনের ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি নির্ধারণ করি।

-¥ < x< -, y¢> 0, ফাংশন বাড়ছে

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0, ফাংশন বৃদ্ধি পায়

এটা স্পষ্ট যে বিন্দু এক্স= - সর্বোচ্চ বিন্দু, এবং বিন্দু এক্স= সর্বনিম্ন বিন্দু। এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মানগুলি যথাক্রমে 3/2 এবং -3/2 এর সমান।

6) ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন

তির্যক অ্যাসিম্পটোট সমীকরণ: y = x.

8) আসুন ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি।

যদি সমস্যাটির গ্রাফটির নির্মাণের সাথে f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ফাংশনটির সম্পূর্ণ অধ্যয়নের প্রয়োজন হয়, তাহলে আমরা এই নীতিটি বিশদভাবে বিবেচনা করব।

এই ধরনের একটি সমস্যা সমাধান করতে, আপনি প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ ব্যবহার করা উচিত প্রাথমিক ফাংশন. গবেষণা অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:

সংজ্ঞার ডোমেইন খোঁজা

যেহেতু গবেষণা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে বাহিত হয়, তাই এই পদক্ষেপটি দিয়ে শুরু করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 1

প্রদত্ত উদাহরণটি ODZ থেকে বাদ দেওয়ার জন্য হর-এর শূন্য খুঁজে বের করা জড়িত।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ফলস্বরূপ, আপনি রুট, লগারিদম এবং তাই পেতে পারেন। অতঃপর ODZ-কে অসমতা g (x) ≥ 0 দ্বারা একটি সমান ডিগ্রী g (x) 4 এর একটি মূলের জন্য অনুসন্ধান করা যেতে পারে, লগারিদমের লগের জন্য একটি g (x) অসমতা g (x) > 0 দ্বারা।

ODZ এর সীমানা অধ্যয়ন করা এবং উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস খুঁজে বের করা

ফাংশনের সীমানায় উল্লম্ব উপসর্গ আছে, যখন এই ধরনের বিন্দুতে একতরফা সীমা অসীম হয়।

উদাহরণ 2

উদাহরণস্বরূপ, x = ± 1 2 এর সমান সীমানা বিন্দু বিবেচনা করুন।

তারপর একতরফা সীমা খুঁজে বের করার জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করা প্রয়োজন। তাহলে আমরা পাই: লিম x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ লিম x → - 1 2 + 0 f (x) = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = লিম x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ লিম x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

এটি দেখায় যে একতরফা সীমাগুলি অসীম, যার অর্থ x = ± 1 2 সরল রেখাগুলি গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গ।

একটি ফাংশনের অধ্যয়ন এবং এটি জোড় বা বিজোড় কিনা

যখন শর্ত y (- x) = y (x) সন্তুষ্ট হয়, ফাংশনটি জোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি পরামর্শ দেয় যে গ্রাফটি Oy এর সাপেক্ষে প্রতিসমভাবে অবস্থিত। যখন শর্ত y (- x) = - y (x) সন্তুষ্ট হয়, ফাংশনটি বিজোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এর মানে হল প্রতিসাম্য স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে আপেক্ষিক। যদি অন্তত একটি অসমতা সন্তুষ্ট না হয়, আমরা সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন প্রাপ্ত করি।

সমতা y (- x) = y (x) নির্দেশ করে যে ফাংশনটি জোড়। নির্মাণ করার সময়, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে ওয়ের সাথে প্রতিসাম্য থাকবে।

অসমতা সমাধানের জন্য, যথাক্রমে f " (x) ≥ 0 এবং f " (x) ≤ 0 শর্তগুলির সাথে বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা 1

স্থির পয়েন্ট- এই বিন্দু যা ডেরিভেটিভকে শূন্যে পরিণত করে।

সমালোচনামূলক পয়েন্ট- এগুলি হল সংজ্ঞার ডোমেনের অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়, নিম্নলিখিত নোটগুলি অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত:

• f " (x) > 0 ফর্মের ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস বৈষম্যের বিদ্যমান ব্যবধানের জন্য, সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না;
• যে বিন্দুতে ফাংশনটিকে একটি সীমাবদ্ধ ডেরিভেটিভ ছাড়া সংজ্ঞায়িত করা হয় সেগুলি অবশ্যই বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, y = x 3, যেখানে বিন্দু x = 0 ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করে, ডেরিভেটিভের এতে অসীমতার মান রয়েছে পয়েন্ট, y " = 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 ক্রমবর্ধমান ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে);
• মতবিরোধ এড়াতে, শিক্ষা মন্ত্রনালয়ের দ্বারা সুপারিশকৃত গাণিতিক সাহিত্য ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসের ব্যবধানে গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির অন্তর্ভুক্তি যদি তারা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে সন্তুষ্ট করে।

সংজ্ঞা 2

জন্য একটি ফাংশনের বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান নির্ধারণ করে, এটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন:

• ডেরিভেটিভ
• সমালোচনামূলক পয়েন্ট;
• সমালোচনামূলক পয়েন্ট ব্যবহার করে সংজ্ঞা ডোমেনকে বিরতিতে ভাগ করুন;
• প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন, যেখানে + একটি বৃদ্ধি এবং - একটি হ্রাস।

উদাহরণ 3

সংজ্ঞার ডোমেনে ডেরিভেটিভ খুঁজুন f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2।

সমাধান

সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• স্থির পয়েন্ট খুঁজুন, এই উদাহরণে আছে x = 0;
• হর এর শূন্য খুঁজে বের করুন, উদাহরণটি x = ± 1 2 এ শূন্যের মান নেয়।

প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করতে আমরা সংখ্যা অক্ষের উপর পয়েন্ট রাখি। এটি করার জন্য, ব্যবধান থেকে যে কোনও পয়েন্ট নেওয়া এবং একটি গণনা করা যথেষ্ট। যদি ফলাফলটি ইতিবাচক হয়, আমরা গ্রাফে + চিত্রিত করি, যার অর্থ ফাংশনটি বাড়ছে, এবং - মানে এটি হ্রাস পাচ্ছে।

উদাহরণস্বরূপ, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, যার মানে হল বাম দিকের প্রথম ব্যবধানে একটি + চিহ্ন রয়েছে৷ সংখ্যারেখাটি বিবেচনা করুন৷

উত্তরঃ

• ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় - ∞; - 1 2 এবং (- 1 2 ; 0 ] ;
• ব্যবধান একটি হ্রাস আছে [ 0 ; 1 2) এবং 1 2 ; + ∞।

ডায়াগ্রামে, + এবং - ব্যবহার করে, ফাংশনের ইতিবাচকতা এবং নেতিবাচকতা চিত্রিত করা হয়েছে, এবং তীরগুলি হ্রাস এবং বৃদ্ধি নির্দেশ করে।

একটি ফাংশনের এক্সট্রিম পয়েন্টগুলি হল সেই পয়েন্ট যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং যার মাধ্যমে ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন হয়।

উদাহরণ 4

যদি আমরা একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে x = 0, তাহলে এতে ফাংশনের মান f(0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 এর সমান। যখন ডেরিভেটিভের চিহ্ন + থেকে - থেকে পরিবর্তিত হয় এবং x = 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তখন স্থানাঙ্ক (0; 0) সহ বিন্দুটিকে সর্বাধিক বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয়। যখন চিহ্নটি - থেকে + তে পরিবর্তিত হয়, তখন আমরা একটি সর্বনিম্ন পয়েন্ট পাই।

উত্তল এবং অবতলতা f "" (x) ≥ 0 এবং f "" (x) ≤ 0 ফর্মের অসমতা সমাধান করে নির্ধারিত হয়। কম ব্যবহৃত হয় উত্তল নামটি অবতলতার পরিবর্তে নিচের দিকে এবং উত্তলতার পরিবর্তে উর্ধ্বমুখী।

সংজ্ঞা 3

জন্য অবতলতা এবং উত্তলতার ব্যবধান নির্ণয় করাপ্রয়োজনীয়:

• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন;
• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ফাংশনের শূন্য খুঁজুন;
• উপস্থিত বিন্দুগুলির সাথে সংজ্ঞা ক্ষেত্রটিকে বিরতিতে ভাগ করুন;
• ব্যবধানের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ 5

সংজ্ঞার ডোমেন থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

আমরা লব এবং হর এর শূন্য খুঁজে পাই, যেখানে আমাদের উদাহরণে আছে যে হর x = ± 1 2 এর শূন্য

এখন আপনাকে সংখ্যা লাইনে বিন্দুগুলি প্লট করতে হবে এবং প্রতিটি ব্যবধান থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করতে হবে। আমরা যে পেতে

উত্তরঃ

• ফাংশনটি ব্যবধান থেকে উত্তল - 1 2 ; 1 2;
• ফাংশনটি অন্তর থেকে অবতল - ∞ ; - 1 2 এবং 1 2; + ∞।

সংজ্ঞা 4

ইনফ্লেকশন পয়েন্ট- এটি x 0 ফর্মের একটি বিন্দু; f (x 0)। যখন এটির ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক থাকে, তখন যখন এটি x 0 এর মধ্য দিয়ে যায় তখন ফাংশনটি বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করে।

অন্য কথায়, এটি এমন একটি বিন্দু যার মধ্য দিয়ে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাস করে এবং চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং বিন্দুতে এটি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই। সমস্ত পয়েন্ট ফাংশনের ডোমেন হিসাবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণে, এটা স্পষ্ট ছিল যে কোন প্রবর্তন বিন্দু নেই, যেহেতু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন x = ± 1 2 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়। তারা, ঘুরে, সংজ্ঞা সুযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয় না.

অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটস খোঁজা

অনন্তে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার সময়, আপনাকে অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটগুলি সন্ধান করতে হবে।

সংজ্ঞা 5

তির্যক উপসর্গসরলরেখা ব্যবহার করে চিত্রিত করা হয়, সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত y = k x + b, যেখানে k = lim x → ∞ f (x) x এবং b = lim x → ∞ f (x) - k x।

k = 0 এবং b অসীমের সমান না হলে, আমরা দেখতে পাই যে তির্যক অ্যাসিম্পটোট হয়ে গেছে অনুভূমিক.

অন্য কথায়, অ্যাসিম্পটোটগুলিকে এমন রেখা হিসাবে বিবেচনা করা হয় যেখানে একটি ফাংশনের গ্রাফটি অসীমতায় পৌঁছায়। এটি একটি ফাংশন গ্রাফের দ্রুত নির্মাণের সুবিধা দেয়।

যদি কোন উপসর্গ না থাকে, কিন্তু ফাংশনটি উভয় অসীমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে ফাংশনের গ্রাফটি কীভাবে আচরণ করবে তা বোঝার জন্য এই অসীমগুলিতে ফাংশনের সীমা গণনা করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 6

এর একটি উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা যাক

k = লিম x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

হয় অনুভূমিক উপসর্গ. ফাংশন পরীক্ষা করার পরে, আপনি এটি নির্মাণ শুরু করতে পারেন।

মধ্যবর্তী পয়েন্টে একটি ফাংশনের মান গণনা করা

গ্রাফটিকে আরও নির্ভুল করতে, মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে বেশ কয়েকটি ফাংশন মান খুঁজে বের করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

উদাহরণ 7

আমরা যে উদাহরণটি বিবেচনা করেছি তা থেকে, x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। যেহেতু ফাংশনটি জোড়, আমরা পাই যে মানগুলি এই বিন্দুতে মানগুলির সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, আমরা x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 পাই।

আসুন লিখি এবং সমাধান করি:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ফাংশনের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা, ইনফ্লেকশন পয়েন্ট এবং মধ্যবর্তী বিন্দু নির্ধারণ করতে, অ্যাসিম্পটোটস তৈরি করা প্রয়োজন। সুবিধাজনক উপাধির জন্য, বৃদ্ধি, হ্রাস, উত্তল এবং অবতলতার ব্যবধানগুলি রেকর্ড করা হয়। চলুন নিচের ছবিটি দেখি।

চিহ্নিত পয়েন্টগুলির মাধ্যমে গ্রাফ রেখাগুলি আঁকতে হবে, যা আপনাকে তীরগুলি অনুসরণ করে অ্যাসিম্পটোটের কাছে যেতে দেবে।

এটি ফাংশনের সম্পূর্ণ অনুসন্ধান শেষ করে। কিছু প্রাথমিক ফাংশন নির্মাণের ক্ষেত্রে রয়েছে যার জন্য জ্যামিতিক রূপান্তর ব্যবহার করা হয়।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

এই পাঠটি "একটি ফাংশন এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির তদন্ত" বিষয়কে কভার করে। এই পাঠটি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে গ্রাফিং ফাংশন কভার করে। ফাংশনটি অধ্যয়ন করা হয়, এর গ্রাফ তৈরি করা হয় এবং বেশ কয়েকটি সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করা হয়।

বিষয়: ডেরিভেটিভ

পাঠ: একটি ফাংশন অন্বেষণএবং সম্পর্কিত কাজ

এই ফাংশনটি অধ্যয়ন করা, একটি গ্রাফ তৈরি করা, একঘেয়েতার ব্যবধান, সর্বাধিক, সর্বনিম্ন এবং এই ফাংশন সম্পর্কে জ্ঞানের সাথে কী সমস্যা রয়েছে তা সন্ধান করা প্রয়োজন।

প্রথমত, ডেরিভেটিভ ছাড়াই ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত তথ্যের সম্পূর্ণ সুবিধা নেওয়া যাক।

1. ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধানগুলি খুঁজুন এবং ফাংশনের গ্রাফের একটি স্কেচ তৈরি করুন:

1) আসুন খুঁজে বের করা যাক।

2) ফাংশন শিকড়: , এখান থেকে

3) ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান (চিত্র 1 দেখুন):

ভাত। 1. একটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।

এখন আমরা জানি যে ব্যবধানে এবং গ্রাফটি X-অক্ষের উপরে, ব্যবধানে - X-অক্ষের নীচে।

2. আসুন প্রতিটি মূলের আশেপাশে একটি গ্রাফ তৈরি করি (চিত্র 2 দেখুন)।

ভাত। 2. মূলের কাছাকাছি একটি ফাংশনের গ্রাফ।

3. সংজ্ঞার ডোমেনে প্রতিটি বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর আশেপাশে ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করুন। বিন্দুতে সংজ্ঞার ডোমেইন ভেঙে যায়। যদি মানটি বিন্দুর কাছাকাছি হয়, তাহলে ফাংশনের মানটি প্রবণ হয় (চিত্র 3 দেখুন)।

ভাত। 3. বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর আশেপাশে ফাংশনের গ্রাফ।

4. আসুন আমরা নির্ধারণ করি কিভাবে গ্রাফটি অসীম বিন্দুর আশেপাশে আচরণ করে:

চলুন এটি সীমা ব্যবহার করে লিখি

. এটি গুরুত্বপূর্ণ যে খুব বড় জন্য, ফাংশনটি ঐক্য থেকে প্রায় আলাদা নয়।

আসুন ডেরিভেটিভ, এর ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধানগুলি খুঁজে বের করি এবং তারা ফাংশনের জন্য একঘেয়েতার ব্যবধান হবে, সেই বিন্দুগুলি খুঁজে বের করুন যেখানে ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান, এবং খুঁজে বের করুন কোথায় সর্বাধিক বিন্দু এবং কোথায় সর্বনিম্ন বিন্দু।

এখান থেকে, . এই পয়েন্টগুলি সংজ্ঞার ডোমেনের অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট। চলুন জেনে নেওয়া যাক ব্যবধানে ডেরিভেটিভের কোন চিহ্ন রয়েছে এবং এই বিন্দুগুলির মধ্যে কোনটি সর্বাধিক বিন্দু এবং কোনটি সর্বনিম্ন বিন্দু (চিত্র 4 দেখুন)।

ভাত। 4. ডেরিভেটিভের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।

ডুমুর থেকে। 4 দেখা যায় যে বিন্দুটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু, বিন্দুটি একটি সর্বাধিক বিন্দু। বিন্দুতে ফাংশনের মান হল . বিন্দুতে ফাংশনের মান হল 4। এখন ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক (চিত্র 5 দেখুন)।

ভাত। 5. ফাংশন গ্রাফ।

এভাবে আমরা নির্মাণ করেছি একটি ফাংশনের গ্রাফ. এর বর্ণনা করা যাক. আসুন আমরা সেই ব্যবধানগুলি লিখি যেগুলির উপর ফাংশন একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়: , - এইগুলি হল সেই ব্যবধান যেখানে ডেরিভেটিভ নেতিবাচক। ব্যবধানে ফাংশন একঘেয়ে বৃদ্ধি পায় এবং . - সর্বনিম্ন পয়েন্ট, - সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

পরামিতি মানের উপর নির্ভর করে সমীকরণের মূল সংখ্যা খুঁজুন।

1. ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করুন। এই ফাংশনের গ্রাফটি উপরে প্লট করা হয়েছে (চিত্র 5 দেখুন)।

2. সরলরেখার একটি পরিবার দিয়ে গ্রাফটি বিচ্ছিন্ন করুন এবং উত্তরটি লিখুন (চিত্র 6 দেখুন)।

ভাত। 6. সরলরেখা সহ একটি ফাংশনের গ্রাফের ছেদ।

1) কখন - একটি সমাধান।

2) জন্য - দুটি সমাধান।

3) কখন - তিনটি সমাধান।

4) কখন - দুটি সমাধান।

5) কখন - তিনটি সমাধান।

6) কখন - দুটি সমাধান।

7) কখন - একটি সমাধান।

এইভাবে, আমরা একটি সিদ্ধান্ত নিয়েছে গুরুত্বপূর্ণ কাজ, যথা, পরামিতির উপর নির্ভর করে সমীকরণের সমাধানের সংখ্যা খুঁজে বের করা। বিভিন্ন বিশেষ ক্ষেত্রে হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যেখানে একটি সমাধান, বা দুটি সমাধান, বা তিনটি সমাধান হবে। উল্লেখ্য, এই বিশেষ ক্ষেত্রে, এই বিশেষ ক্ষেত্রের সমস্ত উত্তর সাধারণ উত্তরে রয়েছে।

1. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু, গ্রেড 10 (দুটি অংশে)। জন্য টিউটোরিয়াল শিক্ষা প্রতিষ্ঠান(প্রোফাইল স্তর) ed. এ জি মর্ডকোভিচ। -এম.: মেমোসিন, 2009।

2. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু, গ্রেড 10 (দুটি অংশে)। শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য সমস্যা বই (প্রোফাইল স্তর), ed. এ জি মর্ডকোভিচ। -এম.: মেমোসিন, 2007।

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণদশম শ্রেণীর জন্য ( প্রশিক্ষণ ম্যানুয়ালসঙ্গে স্কুল এবং ক্লাস ছাত্রদের জন্য গভীরভাবে অধ্যয়নগণিত)।-এম.: শিক্ষা, 1996।

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের গভীর অধ্যয়ন।-এম.: শিক্ষা, 1997।

5. উচ্চ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে আবেদনকারীদের গণিতের সমস্যা সংগ্রহ (এম.আই. স্কানভি দ্বারা সম্পাদিত) - এম.: উচ্চ বিদ্যালয়, 1992।

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. বীজগণিত সিমুলেটর.-কে.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু। 8-11 গ্রেড: গণিতের গভীর অধ্যয়ন সহ স্কুল এবং ক্লাসের জন্য একটি ম্যানুয়াল (শিক্ষামূলক উপকরণ) - এম.: বাস্টার্ড, 2002।

8. সাহাকিয়ান এস.এম., গোল্ডম্যান এ.এম., ডেনিসভ ডি.ভি. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতির সমস্যা (সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের 10-11 গ্রেডের শিক্ষার্থীদের জন্য একটি ম্যানুয়াল) - এম.: প্রসভেশেনি, 2003।

9. কার্প এ.পি. বীজগণিতের সমস্যা এবং বিশ্লেষণের নীতির সংগ্রহ: পাঠ্যপুস্তক। 10-11 গ্রেডের জন্য ভাতা। গভীরতা সহ অধ্যয়নরত গণিত.-এম.: শিক্ষা, 2006.

10. গ্লেজার G.I. স্কুলে গণিতের ইতিহাস। গ্রেড 9-10 (শিক্ষকদের জন্য ম্যানুয়াল)।-এম.: শিক্ষা, 1983

অতিরিক্ত ওয়েব সম্পদ

2. পোর্টাল প্রাকৃতিক বিজ্ঞান ().

ঘরেই বানিয়ে নিন

নং 45.7, 45.10 (বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা, গ্রেড 10 (দুটি অংশে)। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য সমস্যা বই (প্রোফাইল স্তর) এ. জি. মর্ডকোভিচ দ্বারা সম্পাদিত। - এম.: মেমোসিন, 2007।)