ক) সমীকরণটি সমাধান করুন: .

খ) এই সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজুন যা সেগমেন্টের অন্তর্গত।

সমস্যার সমাধান

IN এই পাঠএকটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা হয়, যা গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির সময় C1 টাইপের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্রথমত, ফাংশনের সুযোগ নির্ধারণ করা হয় - আর্গুমেন্টের সমস্ত বৈধ মান। তারপর, সমাধানের সময়, রূপান্তর সঞ্চালিত হয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশনহ্রাস সূত্র ব্যবহার করে সাইন থেকে কোসাইন। এর পরে, সমীকরণের সমস্ত পদ তার বাম দিকে স্থানান্তরিত হয়, যেখানে বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরটি নেওয়া হয়। প্রতিটি ফ্যাক্টর শূন্যের সমান, যা আমাদের সমীকরণের মূল নির্ধারণ করতে দেয়। তারপর, বাঁক পদ্ধতি ব্যবহার করে, একটি প্রদত্ত অংশের শিকড় নির্ধারণ করা হয়। এটি করার জন্য, নির্মিত ইউনিট বৃত্তে, একটি প্রদত্ত সেগমেন্টের বাম সীমানা থেকে ডানদিকে একটি বাঁক চিহ্নিত করা হয়। এরপরে, একক বৃত্তে পাওয়া শিকড়গুলি তার কেন্দ্রের সাথে অংশ দ্বারা সংযুক্ত থাকে এবং এই অংশগুলি যে বিন্দুতে পালাকে ছেদ করে তা নির্ধারণ করা হয়। এই ছেদ বিন্দু হল সমস্যার দ্বিতীয় অংশের কাঙ্ক্ষিত উত্তর।

ক)সমীকরণ 2 (\sin x-\cos x)=tgx-1 সমাধান করুন।

খ) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right]।

সমাধান দেখান

সমাধান

ক)বন্ধনী খুললে এবং সমস্ত পদ বাম দিকে সরানো হলে, আমরা 1+2 \sin x-2 \ সমীকরণ পাই। cos x-tg x=0। বিবেচনা করে যে \cos x \neq 0, শব্দটি 2 \sin x 2 tan x \cos x দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, আমরা সমীকরণটি পাই 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) যেটিকে গ্রুপিংয়ের মাধ্যমে আকারে হ্রাস করা যেতে পারে (1-tg x)(1-2 \cos x)=0। 1-tg x=0, ট্যান x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

খ) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. ব্যবহার করেসংখ্যা বৃত্ত ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড় নির্বাচন করুন

\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right]।

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi)3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) উত্তর \frac\pi 4+\pi n,

খ) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi)3,

\frac(9\pi )4.

ক)অবস্থা সমীকরণটি সমাধান করুন

খ)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0। এই সমীকরণের মূলগুলি নির্দেশ করুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত

সমাধান দেখান

সমাধান

ক)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]; ODZ:

\begin(কেস) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \শেষ(কেস)

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0। \end(অ্যারে)\ ডান।

প্রথম সমীকরণটি সমাধান করা যাক। এটি করার জন্য আমরা একটি প্রতিস্থাপন করব \cos 4x=t, t \in [-1; 1]।তারপর \sin^24x=1-t^2।

আমরা পাই:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\notin [-1; 1]।

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

ইউনিট সার্কেল ব্যবহার করে, আমরা এমন সমাধান খুঁজে পাই যা ODZ কে সন্তুষ্ট করে।

“+” চিহ্নটি 1ম এবং 3য় ত্রৈমাসিককে চিহ্নিত করে, যেখানে tg x>0। আমরা পাই: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

খ) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. এর অন্তর্বর্তী শিকড় খুঁজে বের করা যাক

\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]। x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi; x=\frac(13\pi )(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) x=\frac(17\pi )(12)। \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

খ) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12);

\frac(17\pi )(12)।

\frac(9\pi )4.

ক)সূত্র: "গণিত। ইউনিফাইড স্টেট এক্সাম 2017 এর জন্য প্রস্তুতি। প্রোফাইল স্তর।" এড. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. সমীকরণটি সমাধান করুন:

খ)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; ব্যবধানের অন্তর্গত সমস্ত শিকড় তালিকাভুক্ত করুন

সমাধান দেখান

সমাধান

ক)\left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right]। কারণ\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, যে\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, মানে,প্রদত্ত সমীকরণ

এটি \cos^2x=\cos ^22x সমীকরণের সমতুল্য, যা ঘুরেফিরে, \cos^2x-\cos ^2 2x=0 সমীকরণের সমতুল্য। কিন্তু \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

এবং

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, তাহলে সমীকরণটি হয়ে যায়(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0।

তারপর হয় 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, অথবা 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0। হিসাবে প্রথম সমীকরণ সমাধানদ্বিঘাত সমীকরণ

\cos x এর সাথে সম্পর্কিত, আমরা পাই:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. তাই হয় \cos x=1 বা\cos x=-\frac12। যদি \cos x=1, তাহলে x=2k\pi , k \in \mathbb Z. যদি\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z. একইভাবে, দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা হয় \cos x=-1 বা পাব\cos x=\frac12। যদি \cos x=-1, তাহলে মূল x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. যদি\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

আসুন প্রাপ্ত সমাধানগুলি একত্রিত করি: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

খ) x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z।

আসুন একটি সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের মধ্যে পড়ে এমন মূলগুলি নির্বাচন করি। আমরা পাই: x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

খ) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

\frac(17\pi )(12)।

\frac(9\pi )4.

ক)অবস্থা 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx)।

খ)এই সমীকরণের মূলগুলি নির্দেশ করুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\ডান)।

সমাধান দেখান

সমাধান

ক) 1. হ্রাস সূত্র অনুযায়ী, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.সমীকরণের সংজ্ঞার ডোমেন হবে x এর মান যেমন \cos x \neq 0 এবং tan x \neq -1। ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণটি রূপান্তর করা যাক 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x। আমরা সমীকরণ পাই:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx)। উল্লেখ্য যে \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), তাই সমীকরণ হয়ে যায়: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx)। এখান থেকে \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. হ্রাস সূত্র এবং কোসাইন সূত্রের যোগফল ব্যবহার করে \sin x+\cos x রূপান্তর করুন: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =

\frac65। এখান থেকে\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5। মানে, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, মানে, বা

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. সেজন্য

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-আর্ক\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

খ) x এর পাওয়া মানগুলি সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত। প্রথমে k=0 এবং t=0 সমীকরণের মূল কোথায় পড়ে তা খুঁজে বের করা যাক।এই অনুযায়ী সংখ্যা হবে a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

এবং

b=\frac\pi 4-আরকোস \frac(3\sqrt 2)5।<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. আসুন সহায়ক অসমতা প্রমাণ করি: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

সত্যিই, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, এটাও খেয়াল করুন \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1.

মানে (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. অসমতা থেকে

0

\frac65। আর্ক কোসাইন সম্পত্তি দ্বারা আমরা পাই:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

arccos 1 \frac\pi 4+0

একইভাবে,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 k=-1 এবং t=-1 এর জন্য আমরা a-2\pi এবং b-2\pi সমীকরণের মূল পাই।\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg)।

একই সময়ে -2\pi 2\pi

এর মানে হল যে এই শিকড়গুলি প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত

\left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\ডান)। k এবং t এর অন্যান্য মানের জন্য, সমীকরণের মূলগুলি প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত নয়।

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

খ) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5।

\frac(17\pi )(12)।

\frac(9\pi )4.

ক)অবস্থা \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x)।

খ)এই সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত;

সমাধান দেখান

সমাধান

ক)আসুন সমীকরণটি রূপান্তরিত করি:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

খ)আমরা ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে সেগমেন্টের অন্তর্গত শিকড় খুঁজে পাই।

নির্দেশিত ব্যবধানে একটি একক সংখ্যা রয়েছে \frac\pi 2.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

খ) \frac\pi 2.

\frac(17\pi )(12)।

\frac(9\pi )4.

ডিজেডের অন্তর্ভুক্ত নয়।

মানে, \sin x \neq 1.

একটি গুণনীয়ক দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করুন (\sin x-1),শূন্য থেকে ভিন্ন। আমরা সমীকরণ পেতে \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),বা সমীকরণ 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x)বাম দিকে হ্রাস সূত্র এবং ডান দিকে হ্রাস সূত্র প্রয়োগ করে, আমরা সমীকরণটি পাই 2 \cos ^2 x=1-\cos x।এই সমীকরণ প্রতিস্থাপন দ্বারা হয় \cos x=t,যেখানে -1 \leqslant t \leqslant 1বর্গক্ষেত্রে হ্রাস করুন: 2t^2+t-1=0,যার শিকড় t_1=-1এই অনুযায়ী সংখ্যা হবে t_2=\frac12।পরিবর্তনশীল x-এ ফিরে, আমরা পাই \cos x = \frac12বা \cos x=-1,যেখানে x=\frac \pi 3+2\pi m, m \ in \ mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

খ)আসুন বৈষম্য সমাধান করি

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , মি, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12)।

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12)।

পরিসরে কোনো পূর্ণসংখ্যা নেই \left[ -\frac7(12); -\frac1(12)\right]।

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34।

এই অসমতা k=-1 দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, তারপর x=-\pi।

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

ক) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, মি, n, k \in \mathbb Z;

খ) -\pi।

এই নিবন্ধে আমি 2 উপায় ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে শিকড় নির্বাচন করা: অসমতা ব্যবহার করে এবং ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে। আসুন সরাসরি একটি দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণে চলে যাই এবং আমরা কীভাবে জিনিসগুলি কাজ করে তা খুঁজে বের করব।

ক) sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x) সমীকরণটি সমাধান করুন
খ) ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত এই সমীকরণের সমস্ত মূল খুঁজুন [-7Pi/2; -2Pi]

বিন্দু a সমাধান করা যাক।

sine sin(Pi/2+x) = cos(x) এর জন্য হ্রাস সূত্রটি ব্যবহার করা যাক

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + পিন, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

বিন্দুর সমাধান করি।

1) অসমতা ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন

এখানে সবকিছু সহজভাবে করা হয়েছে, আমরা আমাদের দেওয়া ব্যবধানে ফলের শিকড় প্রতিস্থাপন করি [-7Pi/2; -2Pi], n এর জন্য পূর্ণসংখ্যার মান খুঁজুন।

7Pi/2 Pi/2 এর থেকে কম বা সমান + পিন -2Pi এর থেকে কম বা সমান

আমরা অবিলম্বে Pi দ্বারা সবকিছু বিভক্ত

7/2 কম বা সমান 1/2 + n -2 এর থেকে কম বা সমান

7/2 - 1/2 কম বা n এর থেকে কম বা সমান -2 - 1/2

4 কম বা সমান n এর থেকে কম বা সমান -5/2

এই ব্যবধানে n পূর্ণসংখ্যা হল -4 এবং -3। এর মানে হল যে এই ব্যবধানের মূলগুলি হবে Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

একইভাবে আমরা আরও দুটি অসমতা তৈরি করি

7Pi/2 Pi/4 এর থেকে কম বা সমান + 2Pin -2Pi এর থেকে কম বা সমান
-15/8 কম বা সমান n এর থেকে কম বা -9/8 এর সমান

এই ব্যবধানে কোনো সম্পূর্ণ n নেই

7Pi/2 কম বা সমান -Pi/4 + 2Pin -2Pi এর থেকে কম বা সমান
-13/8 কম বা সমান n এর থেকে কম বা -7/8 এর সমান

এই ব্যবধানে একটি পূর্ণসংখ্যা n হল -1। এর মানে হল এই ব্যবধানে নির্বাচিত রুট হল -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4।

সুতরাং বি পয়েন্টে উত্তর: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য আপনাকে বুঝতে হবে কিভাবে এই বৃত্তটি কাজ করে। আমি কীভাবে এটি বুঝতে পারি তা সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব। আমি মনে করি স্কুলগুলিতে, বীজগণিত পাঠের সময়, এই বিষয়টি শিক্ষকের চতুর শব্দগুলির সাথে অনেকবার ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, পাঠ্যপুস্তকগুলিতে জটিল ফর্মুলেশন ছিল। ব্যক্তিগতভাবে, আমি এটিকে একটি বৃত্ত হিসাবে বুঝি যা অসীম সংখ্যক বার ঘুরে বেড়ানো যায়, এটি সাইন এবং কোসাইন ফাংশন পর্যায়ক্রমিক হওয়ার দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়।

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে আসুন

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 2 বার ঘুরে আসুন

ঘড়ির কাঁটার দিকে 1 বার ঘুরি (মানগুলি নেতিবাচক হবে)

আমাদের প্রশ্নে ফিরে আসা যাক, আমাদের ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন করতে হবে [-7Pi/2; -2Pi]

-7Pi/2 এবং -2Pi নম্বরগুলি পেতে আপনাকে দুবার ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বৃত্তের চারপাশে যেতে হবে। এই ব্যবধানে সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে, আপনাকে অনুমান এবং বিকল্প করতে হবে।

x = Pi/2 + পিন বিবেচনা করুন। এই পরিসরের কোথাও x হওয়ার জন্য n প্রায় কি হওয়া উচিত? আমরা প্রতিস্থাপন করি, ধরা যাক -2, আমরা পাই/2 - 2Pi = -3Pi/2 পাই, স্পষ্টতই এটি আমাদের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই আমরা -3 এর কম নিই, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, এটি উপযুক্ত, আসুন আবার চেষ্টা করি -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, এছাড়াও উপযুক্ত।

Pi/4 + 2Pin এবং -Pi/4 + 2Pin-এর জন্য একইভাবে যুক্তি দিয়ে, আমরা আরেকটি মূল -9Pi/4 খুঁজে পাই।

দুটি পদ্ধতির তুলনা।

প্রথম পদ্ধতি (বৈষম্য ব্যবহার করে) অনেক বেশি নির্ভরযোগ্য এবং বোঝা অনেক সহজ, কিন্তু আপনি যদি সত্যিই ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত এবং দ্বিতীয় নির্বাচন পদ্ধতি সম্পর্কে গুরুতর হন, তাহলে শিকড় নির্বাচন করা অনেক দ্রুত হবে, আপনি পরীক্ষায় প্রায় 15 মিনিট বাঁচাতে পারবেন .

আপনি আপনার সমস্যার বিস্তারিত সমাধান অর্ডার করতে পারেন!!!

একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের (`sin x, cos x, tan x` বা `ctg x`) চিহ্নের অধীনে একটি অজানা সমতাকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়, এবং এটি তাদের সূত্র যা আমরা আরও বিবেচনা করব।

সবচেয়ে সহজ সমীকরণগুলিকে বলা হয় `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, যেখানে `x` পাওয়া যাবে কোণ, `a` যেকোনো সংখ্যা। আসুন তাদের প্রতিটির মূল সূত্র লিখি।

1. সমীকরণ `sin x=a`।

`|a|>1` এর জন্য এর কোনো সমাধান নেই।

যখন `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. সমীকরণ `cos x=a`

`

যখন `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

গ্রাফে সাইন এবং কোসাইন এর জন্য বিশেষ কেস।

3. সমীকরণ `tg x=a`

`a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।

মূল সূত্র: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. সমীকরণ `ctg x=a`

এছাড়াও `a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

সারণীতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের মূলের সূত্র

সাইনের জন্য:
কোসাইনের জন্য:
স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য:
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমন্বিত সমীকরণ সমাধানের সূত্র:

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

যেকোন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত:

• এটিকে সহজে রূপান্তরিত করার সাহায্যে;
• উপরে লেখা মূল সূত্র এবং টেবিল ব্যবহার করে প্রাপ্ত সহজতম সমীকরণটি সমাধান করুন।

উদাহরণ ব্যবহার করে সমাধানের প্রধান পদ্ধতিগুলো দেখি।

বীজগণিত পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিতে একটি পরিবর্তনশীলকে প্রতিস্থাপন করা এবং এটিকে একটি সমতায় প্রতিস্থাপন করা জড়িত।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

একটি প্রতিস্থাপন করুন: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, তারপর `2y^2-3y+1=0`,

আমরা শিকড় খুঁজে পাই: `y_1=1, y_2=1/2`, যেখান থেকে দুটি কেস অনুসরণ করে:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`।

উত্তর: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

ফ্যাক্টরাইজেশন।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `sin x+cos x=1`।

সমাধান। সমতার সমস্ত পদ বাম দিকে সরানো যাক: `sin x+cos x-1=0`। ব্যবহার করে, আমরা বাম দিকের রূপান্তর এবং ফ্যাক্টরাইজ করি:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

উত্তর: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

একটি সমজাতীয় সমীকরণে হ্রাস

প্রথমে, আপনাকে এই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটিকে দুটি ফর্মের একটিতে কমাতে হবে:

`a sin x+b cos x=0` (প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ) অথবা `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ)।

তারপর উভয় অংশকে `cos x \ne 0` দ্বারা ভাগ করুন - প্রথম ক্ষেত্রে, এবং `cos^2 x \ne 0` - দ্বিতীয়টির জন্য। আমরা `tg x` এর জন্য সমীকরণ পাই: `a tg x+b=0` এবং `a tg^2 x + b tg x +c =0`, যা পরিচিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

সমাধান। আসুন ডান দিকে লিখি `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`।

এটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, আমরা এর বাম এবং ডান দিকগুলিকে `cos^2 x \ne 0` দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাই:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`। চলুন প্রতিস্থাপন করা যাক `tg x=t`, এর ফলে `t^2 + t - 2=0`। এই সমীকরণের মূল হল `t_1=-2` এবং `t_2=1`। তারপর:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

উত্তর। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

অর্ধকোণ সরানো

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

সমাধান। চলুন ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্র প্রয়োগ করি, যার ফলে: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

উপরে বর্ণিত বীজগণিত পদ্ধতি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

উত্তর। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

অক্জিলিয়ারী কোণ ভূমিকা

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে `a sin x + b cos x =c`, যেখানে a,b,c সহগ এবং x একটি চলক, উভয় পক্ষকে `sqrt (a^2+b^2)` দ্বারা ভাগ করুন:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`।

বাম দিকের সহগগুলির সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যথা তাদের বর্গক্ষেত্রের যোগফল 1 এর সমান এবং তাদের মডিউলগুলি 1 এর বেশি নয়৷ আসুন আমরা সেগুলিকে নিম্নরূপ বোঝাই: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, তারপর:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন:

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `3 sin x+4 cos x=2`।

সমাধান। সমতার উভয় দিককে `sqrt (3^2+4^2)` ​​দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`।

আসুন `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` বোঝাই। যেহেতু `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, তাহলে আমরা `\varphi=arcsin 4/5` কে একটি সহায়ক কোণ হিসেবে নিই। তারপর আমরা ফর্মে আমাদের সমতা লিখি:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

সাইনের জন্য কোণের যোগফলের সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা আমাদের সমতা নিম্নলিখিত আকারে লিখি:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

উত্তর। `x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

ভগ্নাংশ মূলদ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

এগুলি ভগ্নাংশের সাথে সমতা যার লব এবং হর ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ধারণ করে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

সমাধান। সমতার ডান দিকটিকে `(1+cos x)` দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন। ফলস্বরূপ আমরা পাই:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

বিবেচনা করে যে হরটি শূন্যের সমান হতে পারে না, আমরা পাই `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

ভগ্নাংশের লবকে শূন্যে সমান করি: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। তারপর `sin x=0` বা `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

প্রদত্ত ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, সমাধানগুলি হল `x=2\pi n, n \in Z` এবং `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

উত্তর। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

ত্রিকোণমিতি, এবং বিশেষ করে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি জ্যামিতি, পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলের প্রায় সব ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়। 10 তম গ্রেড থেকে অধ্যয়ন শুরু হয়, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য সবসময় কাজ থাকে, তাই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমস্ত সূত্র মনে রাখার চেষ্টা করুন - সেগুলি অবশ্যই আপনার জন্য কার্যকর হবে!

যাইহোক, আপনাকে সেগুলি মুখস্থ করারও দরকার নেই, মূল জিনিসটি সারাংশটি বোঝা এবং এটি অর্জন করতে সক্ষম হওয়া। এটা যতটা কঠিন মনে হয় ততটা কঠিন নয়। ভিডিওটি দেখে নিজেই দেখুন।

বাধ্যতামূলক ন্যূনতম জ্ঞান

sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
বা
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, k Z
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

বাধ্যতামূলক ন্যূনতম জ্ঞান

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

বাধ্যতামূলক ন্যূনতম জ্ঞান

tg x = a, a R
x = arctan a + n, n Z
cot x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg(-a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a সমীকরণটিকে একটি ফাংশনে কমিয়ে দিন
একটি যুক্তি কমানো
সমাধানের কিছু উপায়
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
ত্রিকোণমিতিক সূত্রের প্রয়োগ
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে
ফ্যাক্টরাইজেশন
sin x, cos x, tan x এর জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস
একটি সহায়ক যুক্তি প্রবর্তন দ্বারা
প্রথম ডিগ্রির একটি সমজাতীয় সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করে
(asin x +bcosx = 0) cos x দ্বারা
দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমজাতীয় সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করে
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) cos2 x দ্বারা

মৌখিক ব্যায়াম গণনা

arcsin ½
আর্কসিন (- √2/2)
arccos √3/2
আরকোস (-1/2)
আর্কটান √3
আর্কটান (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - আর্কোস ½ = - /3 = 2/3
= /3
= - /6

(একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে)
cos 2x = ½, x [- /2; ৩/২]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে মূল নির্বাচন করা যাক
উত্তরঃ-/6; /6; 5/6; ৭/৬

রুট নির্বাচনের বিভিন্ন পদ্ধতি

প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত সমীকরণের মূল খুঁজুন
sin 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
k এর মান গণনা করে মূল নির্বাচন করা যাক:
k = 0, x = /9 – ব্যবধানের অন্তর্গত
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – ব্যবধানের অন্তর্গত
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – ব্যবধানের অন্তর্গত নয়
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – ব্যবধানের অন্তর্গত
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – ব্যবধানের অন্তর্গত নয়
উত্তরঃ-4/9; /9; 2/9

রুট নির্বাচনের বিভিন্ন পদ্ধতি

প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত সমীকরণের মূল খুঁজুন
(বৈষম্য ব্যবহার করে)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
অসমতা ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করা যাক:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12
n = 3, x = – /12 + = 11/12
উত্তরঃ- 5/12; -/12; /4; 7/12; 11/12

10. রুট নির্বাচনের বিভিন্ন পদ্ধতি

প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত সমীকরণের মূল খুঁজুন
(গ্রাফ ব্যবহার করে)
cos x = – √2/2, x [–4; ৫/৪]
x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3/4 + 2 n, n Z
গ্রাফ ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করা যাক:
x = – /2 – /4 = – 3/4; x = – – /4 = – 5 /4
উত্তরঃ 5/4; 3/4

11. 1. 72cosx = 49sin2x সমীকরণটি সমাধান করুন এবং সেগমেন্টে এর মূল নির্দেশ করুন [; 5/2]

1. 72cosx = 49sin2x সমীকরণটি সমাধান কর
এবং সেগমেন্টে এর শিকড় নির্দেশ করুন [; ৫/২]
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0 ,
x = /2 + k, k Z
বা
1 - 2 সিনক্স = 0,
পাপ x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করা যাক
ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত:
x = 2 + /6 = 13 /6
উত্তরঃ
ক) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
খ) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. সমীকরণটি সমাধান করুন 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 রেখাংশে এর মূল খুঁজুন

2. সমীকরণটি সমাধান করুন 4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
সেগমেন্টে এর শিকড় খুঁজুন
4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = – 2.5
বা
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. আসুন একটি সেগমেন্টে রুট নির্বাচন করি (গ্রাফ ব্যবহার করে)

চলুন একটি অংশে শিকড় নির্বাচন করা যাক
(গ্রাফ ব্যবহার করে)
sin x = ½
y = sin x এবং y = ½ ফাংশন প্লট করা যাক
x = 4 + /6 = 25 /6
উত্তর: a) (-1)k /6 + k, k Z; খ) 25/6

14. 3. সমীকরণটি সমাধান কর রেখাংশে এর মূল খুঁজুন

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
যদি cos2 2x = 0 হয়, তাহলে sin2 2x = 0, যা অসম্ভব, তাই
cos2 2x 0 এবং সমীকরণের উভয় দিক cos2 2x দ্বারা ভাগ করা যায়।
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
ট্যান 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
বা
ট্যান 2x = 3,
2x = arctan 3 + k, k Z
x = ½ আর্কটান 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z বা x = ½ আর্কটান 3 + k/2, k Z
0 থেকে< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
সমাধান হয়
0 থেকে< /8 < /4 < 1,значит /8
এছাড়াও একটি সমাধান
অন্যান্য সমাধান অন্তর্ভুক্ত করা হবে না
তারা থেকে ফাঁক
সংখ্যা ½ arctan 3 এবং /8 থেকে প্রাপ্ত করা হয়
/2 এর গুণিতক সংখ্যা যোগ করা।
উত্তর: ক) /8 + n/2, n Z ; ½ আর্কটান 3 + k/2, k Z
খ) /8; ½ আর্কটান 3

16. 4. সমীকরণটি সমাধান করুন log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 সেগমেন্টে এর মূল খুঁজুন

4. log5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 সমীকরণটি সমাধান করুন
সেগমেন্টে এর শিকড় খুঁজুন
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
বা
1 - 2 সিনক্স = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

চলুন একটি অংশে শিকড় নির্বাচন করা যাক
আসুন সেগমেন্টে শিকড় নির্বাচন করি:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1.5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5/2
x = /2 + 3 = 7/2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17/6
উত্তর: ক) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
খ) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 সমীকরণটি সমাধান করুন [-5/2 অংশে এর শিকড় খুঁজুন; -3/2]

5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 সমীকরণটি সমাধান করুন
সেগমেন্টে এর শিকড় খুঁজুন [-5/2; -৩/২]
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x k
প্রতিস্থাপন 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = – 2,
sin x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
বা
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/sin x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
শিকড় এই সিরিজ বাদ দেওয়া হয়, কারণ -150º+ 360ºn সীমার বাইরে
নির্দিষ্ট ব্যবধান [-450º; -270º]

19.

চলুন সেগমেন্টে রুট নির্বাচন করা চালিয়ে যাই
আসুন শিকড়ের অবশিষ্ট সিরিজ বিবেচনা করি এবং শিকড়গুলির একটি নির্বাচন করি
সেগমেন্টে [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 এন -2/3, এন জেড
-1.5 n -1
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
উত্তর: ক) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
খ) -13/6; -3/2

20. 6. সমীকরণটি সমাধান করুন |sin x|/sin x + 2 = 2cos x রেখাংশে এর শিকড় খুঁজুন [-1; ৮]

আসুন সমীকরণটি সমাধান করি
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1) যদি sin x >0 হয়, তাহলে |sin x| = পাপ x
সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
2 cos x = 3,
cos x =1.5 – কোন শিকড় নেই
2) যদি পাপ x<0, то |sin x| =-sin x
এবং সমীকরণটি রূপ নেবে
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
যে পাপ এক্স বিবেচনা< 0, то
উত্তরের এক সিরিজ বাকি
x = - π/3 +2πk, k Z
এর জন্য শিকড় নির্বাচন করা যাক
সেগমেন্ট [-1; ৮]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 এর অন্তর্গত নয়
সেগমেন্ট
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; ৮]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 এর অন্তর্গত নয়
সেগমেন্ট
উত্তর: ক) - π/3 +2πk, k Z
খ) 5
π/3

21. 7. 4sin3x=3cos(x- π/2) সমীকরণটি সমাধান করুন ব্যবধানে এর মূল খুঁজুন

8. √1-sin2x= sin x সমীকরণটি সমাধান করুন
ব্যবধানে এর শিকড় খুঁজুন
√1-sin2x= sin x সমীকরণটি সমাধান করি।
sin x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sin x≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. চলুন একটি অংশে রুট নির্বাচন করি

চলুন একটি অংশে শিকড় নির্বাচন করা যাক
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y =sin x এবং y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
উত্তর: ক) (-১) কে /৪ + কে, খ) ১১/৪

26. 9. সমীকরণটি সমাধান করুন (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 ব্যবধানে এর মূল খুঁজুন [-5; -7/2]

9. সমীকরণটি সমাধান করুন (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
ব্যবধানে এর শিকড় খুঁজুন [-5; -৭/২]
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0।
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
sin x=0, x= n, n Z
বা
cos x+ sin x=0 | : cos x,
tan x= -1, x= - /4 + n, n Z
একাউন্টে DL গ্রহণ
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z

27. একটি প্রদত্ত সেগমেন্টে রুট নির্বাচন করা যাক

প্রদত্ত শিকড় নির্বাচন করা যাক
সেগমেন্ট [-5; -৭/২]
x= +2 n, n Z ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, এমন কিছু নেই
পুরো n.
উত্তর: ক) +2 n, n Z ;
3 /4 + 2 n, n Z ;
খ)-5।

28. 10. সমীকরণটি সমাধান করুন 2sin2x =4cos x –sinx+1 ব্যবধানে এর মূল খুঁজুন [/2; 3/2]

10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 সমীকরণটি সমাধান করুন
ব্যবধানে এর শিকড় খুঁজুন [ /2; ৩/২]
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
বা
4cos x +1= 0, cos x = -0.25
x = ± (-আরকোস (0.25)) + 2 n, n Z
চলুন এই সমীকরণের মূলগুলো ভিন্নভাবে লিখি
x = - arccos(0.25) + 2 n,
x = -(- arccos(0.25)) + 2 n, n Z

29. একটি বৃত্ত ব্যবহার করে মূল নির্বাচন করা যাক

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0.25)+2n,
x=-(-arccos(0.25)) +2 n, n Z,
x = - arccos(0.25),
x = + arccos(0.25)
উত্তর: ক) /2+2 n,
-আরকোস(0.25)+2 n,
-(-আরকোস(0.25)) +2 n, n Z;
খ) /2;
-আরকোস(0.25); +আরকোস(০.২৫)