অংশ দ্বারা অখণ্ডের সমাধানের উদাহরণ, যার ইন্টিগ্র্যান্ডে লগারিদম, আর্কসাইন, আর্কটেনজেন্ট, সেইসাথে লগারিদম থেকে পূর্ণসংখ্যার শক্তি এবং বহুপদীর লগারিদম রয়েছে, বিশদভাবে বিবেচনা করা হয়।
বিষয়বস্তুআরও দেখুন: অংশ দ্বারা একীকরণ পদ্ধতি
অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সারণী
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার পদ্ধতি
মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্য
অংশ দ্বারা একীকরণ জন্য সূত্র
নীচে, উদাহরণগুলি সমাধান করার সময়, অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণ ব্যবহার করা হয়:
;
.
লগারিদম এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সম্বলিত পূর্ণাঙ্গের উদাহরণ
এখানে অখণ্ডগুলির উদাহরণ রয়েছে যা অংশ দ্বারা একীভূত হয়:
, , , , , , .
ইন্টিগ্রেট করার সময়, ইন্টিগ্র্যান্ডের যে অংশে লগারিদম বা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে তা u দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, বাকি অংশটি dv দ্বারা।
নীচে এই পূর্ণাঙ্গগুলির বিশদ সমাধান সহ উদাহরণ রয়েছে।
লগারিদম সহ সহজ উদাহরণ
চলুন একটি বহুপদী এবং লগারিদমের গুণফল সমন্বিত পূর্ণাঙ্গ গণনা করি:
এখানে ইন্টিগ্র্যান্ডে একটি লগারিদম রয়েছে। প্রতিস্থাপন করা
u = ln x, dv = x 2 dx।
,
.
তারপর
.
.
এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক.
.
তারপর
গণনার শেষে, ধ্রুবক C যোগ করুন।
2 এর শক্তির লগারিদমের উদাহরণ
আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে ইন্টিগ্র্যান্ড একটি পূর্ণসংখ্যা শক্তির লগারিদম অন্তর্ভুক্ত করে। এই ধরনের অখণ্ডগুলি অংশ দ্বারাও একত্রিত হতে পারে।
u = প্রতিস্থাপন করা(ln x) 2
,
.
, dv = x dx।
.
তারপর
.
আমরা অংশ দ্বারা অবশিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করি:
এর বিকল্প করা যাক একটি উদাহরণ যেখানে লগারিদম যুক্তি একটি বহুপদঅখণ্ডগুলিকে অংশ দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, যার ইন্টিগ্র্যান্ডে একটি লগারিদম রয়েছে যার যুক্তি একটি বহুপদী, যৌক্তিক বা
.
আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে ইন্টিগ্র্যান্ড একটি পূর্ণসংখ্যা শক্তির লগারিদম অন্তর্ভুক্ত করে। এই ধরনের অখণ্ডগুলি অংশ দ্বারাও একত্রিত হতে পারে।
u = অযৌক্তিক ফাংশন. একটি উদাহরণ হিসাবে, আসুন একটি লগারিদমের সাথে একটি পূর্ণাঙ্গ গণনা করি যার যুক্তিটি একটি বহুপদ।
এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক.
,
.
ln( x 2 - 1)
.
, dv = x dx। আমরা অবশিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করি:আমরা এখানে মডুলাস চিহ্ন লিখি না 2 - 1 > 0
ln | x 2 - 1|
.
যেহেতু ইন্টিগ্র্যান্ড x এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
.
.
আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে ইন্টিগ্র্যান্ড একটি পূর্ণসংখ্যা শক্তির লগারিদম অন্তর্ভুক্ত করে। এই ধরনের অখণ্ডগুলি অংশ দ্বারাও একত্রিত হতে পারে।
u = এর বিকল্প করা যাক,
.
এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক.
,
.
আর্কসিন উদাহরণ< 1 আসুন একটি অখণ্ডের উদাহরণ বিবেচনা করি যার ইন্টিগ্র্যান্ডে আর্কসাইন রয়েছে। arcsin xপরবর্তী, আমরা লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্র্যান্ডটি |x| এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ..
আসুন আমরা লগারিদমের অধীনে মডুলাসের চিহ্নটি প্রসারিত করি, এটি বিবেচনায় নিয়ে
1 - x > 0
.
তারপর
.
এবং
1 + x > 0 চাপ স্পর্শক উদাহরণআসুন আর্কটেনজেন্ট দিয়ে উদাহরণটি সমাধান করি: আসুন ভগ্নাংশের পুরো অংশটি নির্বাচন করি: x;
.
আসুন একীভূত করি:
.
অবশেষে আমরা আছে.
জটিল অখণ্ড
এই নিবন্ধটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিষয়ের সমাপ্তি করে, এবং অখণ্ডগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যা আমি বেশ জটিল বলে মনে করি। পাঠটি দর্শকদের বারবার অনুরোধে তৈরি করা হয়েছিল যারা তাদের ইচ্ছা প্রকাশ করেছিলেন যে সাইটে আরও কঠিন উদাহরণ বিশ্লেষণ করা হবে।
এটা অনুমান করা হয় যে এই পাঠ্যের পাঠক ভালভাবে প্রস্তুত এবং জানেন কিভাবে মৌলিক একীকরণ কৌশল প্রয়োগ করতে হয়। ডামি এবং যারা অবিচ্ছেদ্য বিষয়ে খুব আত্মবিশ্বাসী নয় তাদের প্রথম পাঠটি উল্লেখ করা উচিত - অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। সমাধানের উদাহরণ, যেখানে আপনি প্রায় প্রথম থেকেই বিষয় আয়ত্ত করতে পারেন। আরও অভিজ্ঞ শিক্ষার্থীরা কৌশল এবং একীকরণের পদ্ধতিগুলির সাথে পরিচিত হতে পারে যা এখনও আমার নিবন্ধগুলিতে আসেনি।
কি অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করা হবে?
প্রথমে আমরা শিকড় সহ অবিচ্ছেদ্যগুলি বিবেচনা করব, যার সমাধানের জন্য আমরা ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপনপরবর্তী, আমরা লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্র্যান্ডটি |x| এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে অংশ দ্বারা একীকরণ. অর্থাৎ, একটি উদাহরণে দুটি কৌশল একবারে একত্রিত করা হয়েছে। এবং আরও বেশি।
তারপর আমরা আকর্ষণীয় এবং মূল সঙ্গে পরিচিত হবে নিজের সাথে অবিচ্ছেদ্য হ্রাস করার পদ্ধতি. বেশ কয়েকটি অবিচ্ছেদ্য এইভাবে সমাধান করা হয়।
প্রোগ্রামের তৃতীয় সংখ্যাটি জটিল ভগ্নাংশ থেকে অবিচ্ছেদ্য হবে, যা পূর্ববর্তী নিবন্ধগুলিতে নগদ ডেস্কের অতীতে উড়ে গেছে।
চতুর্থত, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থেকে অতিরিক্ত পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ করা হবে। বিশেষ করে, এমন পদ্ধতি রয়েছে যা সময়-সাপেক্ষ সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন এড়ায়।
(2) ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনে, আমরা লবকে হর পদ দ্বারা পদ দ্বারা ভাগ করি।
(3) আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের রৈখিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি। শেষ অবিচ্ছেদ্য অবিলম্বে ডিফারেনশিয়াল সাইনের নিচে ফাংশনটি রাখুন.
(4) আমরা অবশিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করি। নোট করুন যে লগারিদমে আপনি মডুলাসের পরিবর্তে বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন, যেহেতু।
(5) আমরা সরাসরি প্রতিস্থাপন থেকে "te" প্রকাশ করে একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করি:
Masochistic ছাত্ররা উত্তর আলাদা করতে পারে এবং আসল ইন্টিগ্র্যান্ড পেতে পারে, যেমনটা আমি করেছি। না, না, আমি সঠিক অর্থে চেক করেছি =)
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সমাধানের সময় আমাদের দুটিরও বেশি সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়েছিল, তাই এই জাতীয় অখণ্ডগুলি মোকাবেলা করার জন্য আপনার আত্মবিশ্বাসী ইন্টিগ্রেশন দক্ষতা এবং বেশ কিছুটা অভিজ্ঞতা প্রয়োজন।
অনুশীলনে, অবশ্যই, বর্গমূল বেশি সাধারণ, এখানে তিনটি উদাহরণ রয়েছে স্বাধীন সিদ্ধান্ত:
উদাহরণ 2
খুঁজুন অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য
উদাহরণ 3
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
উদাহরণ 4
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
এই উদাহরণগুলি একই ধরণের, তাই নিবন্ধের শেষের সম্পূর্ণ সমাধানটি শুধুমাত্র উদাহরণ 2-এর জন্য একই উত্তর রয়েছে; সিদ্ধান্তের শুরুতে কোন প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে হবে, আমি মনে করি, সুস্পষ্ট। কেন আমি একই ধরনের উদাহরণ নির্বাচন করেছি? প্রায়শই তাদের ভূমিকায় পাওয়া যায়। আরো প্রায়ই, সম্ভবত, ঠিক মত কিছু 
.
কিন্তু সবসময় নয়, যখন আর্কট্যাঞ্জেন্ট, সাইন, কোসাইন, সূচকীয় এবং অন্যান্য ফাংশনের নীচে এর একটি মূল থাকে লিনিয়ার ফাংশন, আপনাকে একবারে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে। বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে, "সহজে নামানো" সম্ভব, অর্থাৎ প্রতিস্থাপনের পরপরই, একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়, যা সহজেই নেওয়া যেতে পারে। উপরে প্রস্তাবিত কাজগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল উদাহরণ 4, যেখানে, প্রতিস্থাপনের পরে, একটি তুলনামূলকভাবে সহজ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়।
অখণ্ডকে নিজের কাছে কমিয়ে দিয়ে
একটি মজাদার এবং সুন্দর পদ্ধতি। আসুন জেনারের ক্লাসিকগুলি একবার দেখে নেওয়া যাক:
উদাহরণ 5
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
মূলের নীচে একটি দ্বিপদী দ্বিপদ রয়েছে এবং এই উদাহরণটি একত্রিত করার চেষ্টা করা চা-পাতাটিকে ঘন্টার জন্য মাথাব্যথা দিতে পারে। এই ধরনের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশে নেওয়া হয় এবং নিজেই হ্রাস করা হয়। নীতিগতভাবে, এটা কঠিন নয়। আপনি যদি জানেন কিভাবে.
আমাদের বিবেচনাধীন অবিচ্ছেদ্য নির্দেশ করা যাক ল্যাটিন অক্ষরএবং এর সমাধান শুরু করা যাক: 
আসুন অংশ দ্বারা সংহত করা যাক: 
(1) টার্ম-বাই-টার্ম ডিভিশনের জন্য ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন প্রস্তুত করুন।
(2) আমরা integrand ফাংশন শব্দটিকে পদ দ্বারা ভাগ করি। এটি সবার কাছে পরিষ্কার নাও হতে পারে, তবে আমি এটি আরও বিশদে বর্ণনা করব:
(3) আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের রৈখিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি।
(4) শেষ অবিচ্ছেদ্য ("দীর্ঘ" লগারিদম) নিন।
এখন সমাধানের একেবারে শুরুতে দেখা যাক: 
এবং শেষ পর্যন্ত: 
কি হয়েছে? আমাদের কারসাজির ফলে, অখণ্ডটা নিজেই কমে গেল!
আসুন শুরু এবং শেষ সমান করা যাক: 
চিহ্নের পরিবর্তন সহ বাম দিকে সরান: 
এবং আমরা দুটি ডান দিকে সরানো. ফলস্বরূপ: 
ধ্রুবক, কঠোরভাবে বলতে গেলে, আগে যোগ করা উচিত ছিল, কিন্তু আমি এটি শেষে যোগ করেছি। আমি দৃঢ়ভাবে এখানে কঠোরতা কি পড়ার সুপারিশ করছি:
দ্রষ্টব্য:
আরও কঠোরভাবে, সমাধানের চূড়ান্ত পর্যায়টি এইরকম দেখায়:
এইভাবে:
ধ্রুবকটিকে দ্বারা পুনরায় ডিজাইন করা যেতে পারে। কেন এটি পুনরায় ডিজাইন করা যেতে পারে? কারণ তিনি এখনও এটি গ্রহণ করেন যেকোনোমান, এবং এই অর্থে ধ্রুবক এবং এর মধ্যে কোন পার্থক্য নেই।
ফলস্বরূপ:
ধ্রুবক সংস্কার সহ একটি অনুরূপ কৌশল ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. এবং সেখানে আমি কঠোর হব। এবং এখানে আমি আপনাকে অপ্রয়োজনীয় জিনিসগুলির সাথে বিভ্রান্ত না করার জন্য এবং ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতিতে সঠিকভাবে মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করার জন্য শুধুমাত্র এই ধরনের স্বাধীনতার অনুমতি দিচ্ছি।
উদাহরণ 6
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
স্বাধীন সমাধানের জন্য আরেকটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য। সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠ শেষে উত্তর। আগের উদাহরণের সাথে উত্তরের পার্থক্য থাকবেই!
অধীনে থাকলে বর্গমূলঅবস্থিত দ্বিঘাত ত্রিনামিক, তারপর যে কোনো ক্ষেত্রে সমাধান দুটি বিশ্লেষণ উদাহরণ নিচে আসে.
উদাহরণস্বরূপ, অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন 
. আপনাকে যা করতে হবে তা হল প্রথমে একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন:
.
এর পরে, একটি রৈখিক প্রতিস্থাপন করা হয়, যা "কোনও পরিণতি ছাড়াই" করে:
, অবিচ্ছেদ্য ফলে . পরিচিত কিছু, তাই না?
অথবা এই উদাহরণ, একটি দ্বিপদ দ্বিপদ সহ:
একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন:
এবং, রৈখিক প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা অবিচ্ছেদ্য পাই, যা ইতিমধ্যে আলোচনা করা অ্যালগরিদম ব্যবহার করেও সমাধান করা হয়।
আসুন নিজের সাথে একটি অবিচ্ছেদ্যকে কীভাবে হ্রাস করা যায় তার আরও দুটি সাধারণ উদাহরণ দেখি:
- সাইন দ্বারা গুণিত সূচকের অবিচ্ছেদ্য;
- কোসাইন দ্বারা গুণিত সূচকের অবিচ্ছেদ্য।
অংশ দ্বারা তালিকাভুক্ত অখণ্ডগুলিতে আপনাকে দুবার সংহত করতে হবে:
উদাহরণ 7
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
ইন্টিগ্র্যান্ড হল সাইন দ্বারা গুণিত সূচক।
আমরা দুইবার অংশ দ্বারা সংহত করি এবং অবিচ্ছেদ্যকে নিজের সাথে কমিয়ে দিই: 
যন্ত্রাংশ দ্বারা দ্বিগুণ একীকরণের ফলে, অখণ্ডটি নিজেই হ্রাস পেয়েছে। আমরা সমাধানের শুরু এবং শেষ সমান করি:
আমরা এটিকে চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে বাম দিকে নিয়ে যাই এবং আমাদের অবিচ্ছেদ্য প্রকাশ করি: 
প্রস্তুত. একই সময়ে, এটি ডান দিকে চিরুনি করার পরামর্শ দেওয়া হয়, i.e. বন্ধনী থেকে সূচকটি বের করুন এবং বন্ধনীতে সাইন এবং কোসাইনকে একটি "সুন্দর" ক্রমে রাখুন।
এখন উদাহরণের শুরুতে ফিরে যাওয়া যাক, বা আরও স্পষ্টভাবে, অংশগুলির দ্বারা একীকরণের জন্য: 
আমরা সূচকটিকে হিসাবে মনোনীত করেছি। প্রশ্ন উঠছে: এটি কি সেই সূচক যা সর্বদা দ্বারা চিহ্নিত করা উচিত? অগত্যা. আসলে, বিবেচিত অবিচ্ছেদ্য মধ্যে মৌলিকভাবে কোন ব্যাপার না, আমরা কি বলতে চাই, আমরা অন্য পথে যেতে পারতাম: 
কেন এটা সম্ভব? কারণ সূচকটি নিজের মধ্যে পরিণত হয় (উভয় পার্থক্য এবং একীকরণের সময়), সাইন এবং কোসাইন পারস্পরিকভাবে একে অপরে পরিণত হয় (আবার, উভয় পার্থক্য এবং একীকরণের সময়)।
অর্থাৎ, আমরা একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনও বোঝাতে পারি। কিন্তু, বিবেচিত উদাহরণে, এটি কম যুক্তিসঙ্গত, যেহেতু ভগ্নাংশ উপস্থিত হবে। আপনি যদি চান, আপনি দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করতে পারেন উত্তরগুলি অবশ্যই মিলবে;
উদাহরণ 8
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। আপনি সিদ্ধান্ত নেওয়ার আগে, একটি সূচকীয় বা একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হিসাবে মনোনীত করা এই ক্ষেত্রে আরও সুবিধাজনক কী তা নিয়ে ভাবুন? পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
এবং, অবশ্যই, বেশিরভাগ উত্তর ভুলে যাবেন না এই পাঠপার্থক্য দ্বারা চেক করা যথেষ্ট সহজ!
বিবেচিত উদাহরণগুলি সবচেয়ে জটিল ছিল না। অনুশীলনে, অখণ্ডগুলি বেশি সাধারণ যেখানে ধ্রুবকটি সূচক এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যুক্তিতে উভয়ই থাকে, উদাহরণস্বরূপ: . এমন অখণ্ডতায় অনেকেই বিভ্রান্ত হবেন, আমি নিজেও প্রায়ই বিভ্রান্ত হয়ে পড়ি। আসল বিষয়টি হ'ল সমাধানে ভগ্নাংশের উপস্থিতির উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে এবং অসাবধানতার মাধ্যমে কিছু হারানো খুব সহজ। উপরন্তু, চিহ্নগুলিতে একটি ত্রুটির উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে নোট করুন যে সূচকটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে এবং এটি অতিরিক্ত অসুবিধার পরিচয় দেয়।
চূড়ান্ত পর্যায়ে, ফলাফল প্রায়ই এই মত কিছু হয়:
এমনকি সমাধানের শেষে, আপনার অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত এবং ভগ্নাংশগুলি সঠিকভাবে বোঝা উচিত: 
জটিল ভগ্নাংশ একত্রিত করা
আমরা ধীরে ধীরে পাঠের বিষুবরেখার কাছে যাচ্ছি এবং ভগ্নাংশের অবিচ্ছেদ্যগুলি বিবেচনা করতে শুরু করছি। আবার, এগুলির সবগুলিই খুব জটিল নয়, এটি কেবল একটি কারণে বা অন্য কারণে অন্যান্য নিবন্ধগুলিতে উদাহরণগুলি কিছুটা "অফ টপিক" ছিল।
শিকড় থিম অব্যাহত
উদাহরণ 9
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
মূলের নীচে হরটিতে মূলের বাইরে একটি "X" আকারে একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক প্লাস একটি "অ্যাপেন্ডেজ" রয়েছে। এই ধরনের একটি অবিচ্ছেদ্য একটি স্ট্যান্ডার্ড প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।
আমরা সিদ্ধান্ত: 
এখানে প্রতিস্থাপন সহজ: 
আসুন প্রতিস্থাপনের পরে জীবন দেখি: 
(1) প্রতিস্থাপনের পর আমরা কমিয়ে দেই সাধারণ হরমূলের অধীনে পদ।
(2) আমরা এটি মূলের নিচ থেকে বের করি।
(3) লব এবং হর দ্বারা হ্রাস করা হয়। একই সময়ে, মূলের নীচে, আমি শর্তগুলিকে একটি সুবিধাজনক ক্রমে পুনর্বিন্যাস করেছি। কিছু অভিজ্ঞতার সাথে, মৌখিকভাবে মন্তব্য করা ক্রিয়া সম্পাদন করে পদক্ষেপ (1), (2) এড়িয়ে যেতে পারে।
(4) ফলস্বরূপ অবিচ্ছেদ্য, আপনি পাঠ থেকে মনে রাখবেন কিছু ভগ্নাংশ একত্রিত করা, সিদ্ধান্ত নেওয়া হচ্ছে সম্পূর্ণ বর্গ নিষ্কাশন পদ্ধতি. একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন।
(5) ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে আমরা একটি সাধারণ "দীর্ঘ" লগারিদম পাই।
(6) আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন চালায়। যদি প্রাথমিকভাবে, তারপর ফিরে: .
(7) চূড়ান্ত ক্রিয়াটি ফলাফলকে সোজা করার লক্ষ্যে করা হয়: মূলের নীচে আমরা আবার শর্তগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং সেগুলিকে মূলের নীচে থেকে বের করে দিই৷
উদাহরণ 10
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এখানে একাকী "X" এর সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা হয়েছে এবং প্রতিস্থাপনটি প্রায় একই: 
শুধুমাত্র আপনাকে যা করতে হবে তা হল প্রতিস্থাপন করা থেকে "x" প্রকাশ করা: 
পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
কখনও কখনও এই ধরনের একটি অবিচ্ছেদ্য মধ্যে মূলের নীচে একটি দ্বিপদী দ্বিপদ থাকতে পারে, এটি সমাধানের পদ্ধতি পরিবর্তন করে না, এটি আরও সহজ হবে। পার্থক্য অনুভব করুন:
উদাহরণ 11
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
উদাহরণ 12
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
পাঠের শেষে সংক্ষিপ্ত সমাধান এবং উত্তর। এটা উল্লেখ করা উচিত যে উদাহরণ 11 ঠিক আছে দ্বিপদ অবিচ্ছেদ্য, যার সমাধান পদ্ধতি ক্লাসে আলোচনা করা হয়েছিল অযৌক্তিক ফাংশনের অখণ্ড.
শক্তির 2য় ডিগ্রীর একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীর অখণ্ড
(হরে বহুপদ)
একটি আরো বিরল ধরনের অবিচ্ছেদ্য, কিন্তু তবুও ব্যবহারিক উদাহরণের সম্মুখীন হয়।
উদাহরণ 13
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
তবে আসুন ভাগ্যবান সংখ্যা 13 সহ উদাহরণে ফিরে আসি (সত্যি বলতে, আমি সঠিকভাবে অনুমান করিনি)। এই অবিচ্ছেদ্যটিও সেইগুলির মধ্যে একটি যা আপনি যদি সমাধান করতে না জানেন তবে বেশ হতাশাজনক হতে পারে।
সমাধানটি একটি কৃত্রিম রূপান্তর দিয়ে শুরু হয়: 
আমি মনে করি সবাই ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছে কিভাবে লবকে হর পদ দ্বারা পদ দ্বারা ভাগ করা যায়।
ফলস্বরূপ অবিচ্ছেদ্য অংশে নেওয়া হয়: 
ফর্মের একটি অবিচ্ছেদ্য জন্য (- স্বাভাবিক সংখ্যা) প্রত্যাহার পৌনঃপুনিকহ্রাস সূত্র:
, কোথায় 
- একটি ডিগ্রী কম অবিচ্ছেদ্য.
আসুন আমরা সমাধানকৃত অখণ্ডের জন্য এই সূত্রটির বৈধতা যাচাই করি।
এই ক্ষেত্রে: , , আমরা সূত্র ব্যবহার করি: 
আপনি দেখতে পারেন, উত্তর একই.
উদাহরণ 14
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। নমুনা সমাধানটি পরপর দুবার উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে।
ডিগ্রির অধীনে থাকলে অবিভাজ্যবর্গাকার ত্রিনমিক, তারপর সমাধানটি নিখুঁত বর্গকে বিচ্ছিন্ন করে একটি দ্বিপদীতে হ্রাস করা হয়, উদাহরণস্বরূপ:
লবটিতে অতিরিক্ত বহুপদী থাকলে কী হবে? এই ক্ষেত্রে, পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় অনিশ্চিত সহগ, এবং ইন্টিগ্র্যান্ডটি ভগ্নাংশের সমষ্টিতে প্রসারিত হয়। তবে আমার অনুশীলনে এমন উদাহরণ রয়েছে দেখা হয়নি, তাই আমি নিবন্ধে এই কেস মিস ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত ফাংশনের অখণ্ড, আমি এখন এটা এড়িয়ে যাব. আপনি যদি এখনও এমন একটি অবিচ্ছেদ্য সম্মুখীন হন তবে পাঠ্যপুস্তকটি দেখুন - সেখানে সবকিছু সহজ। আমি মনে করি না যে উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত করা যুক্তিযুক্ত (এমনকি সাধারণও), মুখোমুখি হওয়ার সম্ভাবনা যা শূন্যের দিকে থাকে।
জটিল ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একত্রিত করা
বেশিরভাগ উদাহরণের জন্য বিশেষণ "জটিল" আবার মূলত শর্তসাপেক্ষ। এর স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট দিয়ে শুরু করা যাক উচ্চ ডিগ্রী. ব্যবহৃত সমাধানের পদ্ধতির দৃষ্টিকোণ থেকে, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট প্রায় একই জিনিস, তাই আমি স্পর্শক সম্পর্কে আরও কথা বলব, এটি বোঝায় যে অখণ্ড সমাধানের জন্য প্রদর্শিত পদ্ধতিটি কোট্যাঞ্জেন্টের জন্যও বৈধ।
উপরের পাঠে আমরা দেখেছি সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপনথেকে একটি নির্দিষ্ট ধরনের ইন্টিগ্রেল সমাধান করতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন. সার্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপনের অসুবিধা হল যে এটির ব্যবহার প্রায়ই কঠিন গণনার সাথে জটিল অখণ্ডের পরিণতি পায়। এবং কিছু ক্ষেত্রে, সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন এড়ানো যেতে পারে!
আসুন আরেকটি ক্যানোনিকাল উদাহরণ বিবেচনা করি, সাইন দ্বারা বিভক্ত একটির অবিচ্ছেদ্য:
উদাহরণ 17
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
এখানে আপনি সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে পারেন এবং উত্তর পেতে পারেন, তবে আরও যুক্তিযুক্ত উপায় আছে। আমি প্রতিটি পদক্ষেপের জন্য মন্তব্য সহ সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করব:
(1) ব্যবহার করুন ত্রিকোণমিতিক সূত্রদ্বিকোণের সাইন।
(2) আমরা একটি কৃত্রিম রূপান্তর করি: হরকে ভাগ করুন এবং দ্বারা গুণ করুন।
(3) দ্বারা পরিচিত সূত্রহর-এ আমরা ভগ্নাংশটিকে স্পর্শক-এ পরিণত করি।
(4) আমরা ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে নিয়ে আসি।
(5) অবিচ্ছেদ্য নিন।
জোড়া সহজ উদাহরণস্বাধীন সমাধানের জন্য:
উদাহরণ 18
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
দ্রষ্টব্য: খুব প্রথম ধাপটি হ্রাস সূত্র ব্যবহার করা উচিত 
এবং সাবধানে পূর্ববর্তী উদাহরণের অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করুন।
উদাহরণ 19
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
ওয়েল, এটি একটি খুব সহজ উদাহরণ.
পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
আমি মনে করি এখন পূর্ণাঙ্গ নিয়ে কারও সমস্যা হবে না: 
ইত্যাদি
পদ্ধতি সম্পর্কে ধারণা কি? ধারণাটি হল রূপান্তর এবং ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে শুধুমাত্র স্পর্শক এবং স্পর্শক ডেরিভেটিভকে ইন্টিগ্র্যান্ডে সংগঠিত করা। অর্থাৎ, আমরা সম্পর্কে কথা বলছিপ্রতিস্থাপন সম্পর্কে: 
. উদাহরণ 17-19-এ আমরা আসলে এই প্রতিস্থাপনটি ব্যবহার করেছি, কিন্তু অখণ্ডগুলি এতই সহজ যে আমরা একটি সমতুল্য ক্রিয়া দিয়ে পেয়েছি - ডিফারেনশিয়াল চিহ্নের অধীনে ফাংশনটিকে সাবম করে।
অনুরূপ যুক্তি, যেমন আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য করা যেতে পারে।
উপরের প্রতিস্থাপনটি প্রয়োগ করার জন্য একটি আনুষ্ঠানিক পূর্বশর্তও রয়েছে:
কোসাইন এবং সাইনের শক্তির যোগফল একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা EVEN সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ:
পূর্ণসংখ্যার জন্য - একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনকি সংখ্যা।
! দ্রষ্টব্য : যদি ইন্টিগ্র্যান্ডে শুধুমাত্র একটি সাইন বা শুধুমাত্র একটি কোসাইন থাকে, তাহলে ইন্টিগ্র্যালটিকে নেতিবাচক বিজোড় ডিগ্রির জন্যও নেওয়া হয় (সরলতম ক্ষেত্রে উদাহরণ নং 17, 18 এ রয়েছে)।
আসুন এই নিয়মের উপর ভিত্তি করে আরও কিছু অর্থপূর্ণ কাজ দেখি:
উদাহরণ 20
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
সাইন এবং কোসাইনের শক্তির যোগফল: 2 – 6 = –4 হল একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা EVEN সংখ্যা, যার মানে হল পূর্ণসংখ্যাটিকে স্পর্শক এবং এর ডেরিভেটিভগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে: 
(1) এর হরকে রূপান্তর করা যাক।
(2) সুপরিচিত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা প্রাপ্ত।
(3) এর হরকে রূপান্তর করা যাক।
(4) আমরা সূত্র ব্যবহার করি 
.
(5) আমরা ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে নিয়ে আসি।
(6) আমরা প্রতিস্থাপন সঞ্চালন. আরও অভিজ্ঞ শিক্ষার্থীরা প্রতিস্থাপনটি নাও চালাতে পারে, তবে একটি অক্ষর দিয়ে স্পর্শক প্রতিস্থাপন করা এখনও ভাল - বিভ্রান্ত হওয়ার ঝুঁকি কম।
উদাহরণ 21
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ।
সেখানে দাঁড়াও, চ্যাম্পিয়নশিপ রাউন্ড শুরু হতে চলেছে =)
প্রায়শই ইন্টিগ্র্যান্ডে একটি "হজপজ" থাকে:
উদাহরণ 22
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
এই অবিচ্ছেদ্য প্রাথমিকভাবে একটি স্পর্শক রয়েছে, যা অবিলম্বে একটি পরিচিত চিন্তার দিকে নিয়ে যায়:
আমি কৃত্রিম রূপান্তরটি একেবারে শুরুতে ছেড়ে দেব এবং অবশিষ্ট পদক্ষেপগুলি মন্তব্য ছাড়াই, যেহেতু সবকিছু ইতিমধ্যে উপরে আলোচনা করা হয়েছে।
আপনার নিজের সমাধানের জন্য কয়েকটি সৃজনশীল উদাহরণ:
উদাহরণ 23
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
উদাহরণ 24
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
হ্যাঁ, তাদের মধ্যে, অবশ্যই, আপনি সাইন এবং কোসাইনের শক্তি কমাতে পারেন এবং একটি সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে পারেন, তবে সমাধানটি আরও বেশি দক্ষ এবং ছোট হবে যদি এটি স্পর্শকের মাধ্যমে করা হয়। পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর
অংশ দ্বারা একীকরণ. সমাধানের উদাহরণ
আবার হ্যালো. আজ পাঠে আমরা শিখব কিভাবে অংশ দ্বারা সংহত করা যায়। অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতিটি ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের অন্যতম ভিত্তি। পরীক্ষা বা পরীক্ষার সময়, ছাত্রদের প্রায় সবসময়ই নিম্নলিখিত ধরনের ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করতে বলা হয়: সরল অখণ্ড (নিবন্ধ দেখুন)অথবা একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন দ্বারা একটি অবিচ্ছেদ্য (নিবন্ধ দেখুন)অথবা অবিচ্ছেদ্য চালু আছে অংশ পদ্ধতি দ্বারা একীকরণ.
সর্বদা হিসাবে, আপনার হাতে থাকা উচিত: অখণ্ডের সারণীপরবর্তী, আমরা লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্র্যান্ডটি |x| এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ডেরিভেটিভ টেবিল. যদি আপনার কাছে এখনও সেগুলি না থাকে, তাহলে অনুগ্রহ করে আমার ওয়েবসাইটের স্টোরেজ রুমে যান: গাণিতিক সূত্র এবং টেবিল. আমি পুনরাবৃত্তি করতে ক্লান্ত হব না - সবকিছু মুদ্রণ করা ভাল। আমি ধারাবাহিকভাবে সমস্ত উপাদান উপস্থাপন করার চেষ্টা করব, সহজভাবে এবং অংশগুলিকে একত্রিত করতে কোনও বিশেষ অসুবিধা নেই।
অংশ দ্বারা একীকরণ পদ্ধতি কোন সমস্যা সমাধান করে? অংশ দ্বারা একীকরণ পদ্ধতি খুব সমাধান করে গুরুত্বপূর্ণ কাজ, এটি আপনাকে টেবিলে অনুপস্থিত কিছু ফাংশন সংহত করতে দেয়, কাজফাংশন, এবং কিছু ক্ষেত্রে - এমনকি ভাগফল। আমরা মনে রাখি, কোন সুবিধাজনক সূত্র নেই: 
. কিন্তু এই একটি আছে: 
- ব্যক্তিগতভাবে অংশ দ্বারা একীকরণের জন্য সূত্র। আমি জানি, আমি জানি, আপনিই একমাত্র - আমরা তার সাথে পুরো পাঠ জুড়ে কাজ করব (এটি এখন সহজ)।
এবং সঙ্গে সঙ্গে স্টুডিওতে তালিকা. নিম্নলিখিত ধরণের অখণ্ডগুলি অংশ দ্বারা নেওয়া হয়:
1) , 
, – লগারিদম, লগারিদম কিছু বহুপদ দ্বারা গুণিত।
2) ,
কিছু বহুপদ দ্বারা গুণিত একটি সূচকীয় ফাংশন। এতে পূর্ণাঙ্গগুলিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেমন - একটি সূচকীয় ফাংশন একটি বহুপদ দ্বারা গুণিত, কিন্তু বাস্তবে এটি 97 শতাংশ, অখণ্ডের নীচে একটি সুন্দর অক্ষর "e" রয়েছে। ... প্রবন্ধটি কিছুটা গীতিময় হয়ে উঠল, ওহ হ্যাঁ ... বসন্ত এসেছে।
3) , 
, কিছু বহুপদী দ্বারা গুণিত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
4) , – বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ("খিলান"), "খিলান" কিছু বহুপদী দ্বারা গুণিত।
কিছু ভগ্নাংশও অংশে নেওয়া হয়;
লগারিদমের ইন্টিগ্রেল
উদাহরণ 1
ক্লাসিক। সময়ে সময়ে এই অবিচ্ছেদ্যটি টেবিলে পাওয়া যেতে পারে, তবে এটি একটি প্রস্তুত-তৈরি উত্তর ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয় না, যেহেতু শিক্ষকের বসন্তের ভিটামিনের ঘাটতি রয়েছে এবং ভারীভাবে শপথ করবে। কারণ বিবেচনাধীন অবিচ্ছেদ্যটি কোনওভাবেই সারণী নয় - এটি অংশে নেওয়া হয়। আমরা সিদ্ধান্ত:
আমরা মধ্যবর্তী ব্যাখ্যা জন্য সমাধান বাধা.
আমরা অংশ সূত্র দ্বারা সংহতকরণ ব্যবহার করি: 
সূত্রটি বাম থেকে ডানে প্রয়োগ করা হয়
আমরা বাম দিকে তাকান: . স্পষ্টতই, আমাদের উদাহরণে (এবং অন্য সকলে যা আমরা বিবেচনা করব) কিছু হিসাবে মনোনীত করা প্রয়োজন, এবং কিছু হিসাবে।
বিবেচনাধীন প্রকারের অখণ্ডগুলিতে, লগারিদম সর্বদা নির্দেশিত হয়।
প্রযুক্তিগতভাবে, সমাধানের নকশাটি নিম্নরূপ প্রয়োগ করা হয় আমরা কলামে লিখি:
অর্থাৎ, আমরা লগারিদমকে এবং হিসাবে চিহ্নিত করেছি বাকিসংহত অভিব্যক্তি।
পরবর্তী পর্যায়ে: পার্থক্য খুঁজুন:
একটি ডিফারেনশিয়াল প্রায় ডেরিভেটিভের মতোই; আমরা পূর্ববর্তী পাঠে এটিকে কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা নিয়ে আলোচনা করেছি।
এখন আমরা ফাংশন খুঁজে. ফাংশন খুঁজে পেতে আপনাকে সংহত করতে হবে ডান দিকেনিম্ন সমতা:
এখন আমরা আমাদের সমাধান খুলি এবং সূত্রের ডান দিকটি তৈরি করি:।
যাইহোক, এখানে কিছু নোট সহ চূড়ান্ত সমাধানের একটি নমুনা রয়েছে:
কাজের একমাত্র পয়েন্ট হল যে আমি অবিলম্বে অদলবদল করেছি এবং , যেহেতু লগারিদমের আগে ফ্যাক্টরটি লেখার প্রথা আছে।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পার্টস সূত্র দ্বারা ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করার ফলে আমাদের সমাধান দুটি সরল ইন্টিগ্রালে কমে গেছে।
কিছু ক্ষেত্রে যে দয়া করে নোট করুন অবিলম্বে পরেসূত্রের প্রয়োগ, একটি সরলীকরণ অগত্যা অবশিষ্ট অখণ্ডের অধীনে বাহিত হয় - বিবেচনাধীন উদাহরণে, আমরা ইন্টিগ্র্যান্ডকে "x" এ কমিয়েছি।
এর চেক করা যাক. এটি করার জন্য, আপনাকে উত্তরটির ডেরিভেটিভ নিতে হবে:
মূল ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনটি পাওয়া গেছে, যার মানে ইন্টিগ্র্যালটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে।
পরীক্ষার সময়, আমরা পণ্যের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করেছি: 
. এবং এটি কোন কাকতালীয় নয়।
অংশ দ্বারা একীকরণ জন্য সূত্র 
এবং সূত্র 
- এই দুটি পারস্পরিক বিপরীত নিয়ম।
উদাহরণ 2
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
ইন্টিগ্র্যান্ড হল লগারিদম এবং বহুপদীর গুণফল।
সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক।
আবার আমি নিয়ম প্রয়োগের পদ্ধতি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করব, ইন আরও উদাহরণআরও সংক্ষিপ্তভাবে উপস্থাপন করা হবে, এবং যদি আপনার নিজের থেকে এটি সমাধান করতে অসুবিধা হয় তবে আপনাকে পাঠের প্রথম দুটি উদাহরণে ফিরে যেতে হবে।
ইতিমধ্যেই উল্লিখিত হিসাবে, লগারিদম বোঝাতে হবে (এটি একটি শক্তি যে বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ নয়)। আমরা দ্বারা চিহ্নিত বাকিসংহত অভিব্যক্তি।
আমরা কলামে লিখি:
প্রথমে আমরা পার্থক্য খুঁজে পাই:
এখানে আমরা পার্থক্য নিয়ম ব্যবহার করি জটিল ফাংশন 
. এটি কোন কাকতালীয় বিষয় নয় যে বিষয়টির প্রথম পাঠে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। সমাধানের উদাহরণআমি এই বিষয়টিতে ফোকাস করেছি যে ইন্টিগ্রেলগুলি আয়ত্ত করার জন্য, ডেরিভেটিভগুলিকে "আপনার হাত পেতে" প্রয়োজন। আপনাকে একাধিকবার ডেরিভেটিভস মোকাবেলা করতে হবে।
এখন আমরা ফাংশন খুঁজে, এই জন্য আমরা সংহত ডান দিকেনিম্ন সমতা:
ইন্টিগ্রেশনের জন্য আমরা সবচেয়ে সহজ ট্যাবুলার সূত্র ব্যবহার করেছি 
এখন সবকিছু ফর্মুলা প্রয়োগ করার জন্য প্রস্তুত 
. একটি তারকাচিহ্ন দিয়ে খুলুন এবং ডান দিক অনুসারে সমাধানটি "নির্মাণ" করুন:
অখণ্ডের অধীনে আমাদের আবার লগারিদমের জন্য একটি বহুপদ আছে! অতএব, সমাধানটি আবার বিঘ্নিত হয় এবং অংশ দ্বারা একীকরণের নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা হয়। ভুলে যাবেন না যে অনুরূপ পরিস্থিতিতে লগারিদম সর্বদা নির্দেশিত হয়।
এতক্ষণে আপনি যদি মৌখিকভাবে সহজতম অখণ্ড এবং ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করতে জানতেন তবে ভাল হবে৷
(1) লক্ষণ সম্পর্কে বিভ্রান্ত হবেন না! খুব প্রায়ই এখানে বিয়োগ হারিয়ে যায়, এছাড়াও নোট করুন যে বিয়োগ বোঝায় সকলের কাছেবন্ধনী 
, এবং এই বন্ধনী সঠিকভাবে প্রসারিত করা প্রয়োজন।
(2) বন্ধনী খুলুন। আমরা শেষ অবিচ্ছেদ্য সরলীকরণ.
(3) আমরা শেষ অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করি।
(4) উত্তর "আঁচড়ান"।
দুইবার (বা এমনকি তিনবার) অংশ দ্বারা একীকরণের নিয়ম প্রয়োগ করার প্রয়োজন খুব কমই দেখা যায় না।
এবং এখন আপনার নিজের সমাধানের জন্য কয়েকটি উদাহরণ:
উদাহরণ 3
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
এই উদাহরণটি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করে সমাধান করা হয়েছে (বা ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে এটি প্রতিস্থাপন করে)! কেন নয় - আপনি এটিকে অংশে নেওয়ার চেষ্টা করতে পারেন, এটি একটি মজার জিনিস হয়ে উঠবে।
উদাহরণ 4
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
কিন্তু এই অবিচ্ছেদ্য অংশ (প্রতিশ্রুত ভগ্নাংশ) দ্বারা একত্রিত হয়.
এগুলি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য উদাহরণ, পাঠের শেষে সমাধান এবং উত্তর।
মনে হচ্ছে 3 এবং 4 উদাহরণে ইন্টিগ্র্যান্ডগুলি একই রকম, কিন্তু সমাধান পদ্ধতি ভিন্ন! ইন্টিগ্রেলগুলি আয়ত্ত করার ক্ষেত্রে এটিই প্রধান অসুবিধা - আপনি যদি কোনও অবিচ্ছেদ্য সমাধানের জন্য ভুল পদ্ধতিটি বেছে নেন, তবে আপনি এটির সাথে ঘন্টার পর ঘন্টা টিঙ্কার করতে পারেন, যেমন একটি বাস্তব ধাঁধার মতো। অতএব, আপনি যত বেশি বিভিন্ন ইন্টিগ্রেল সমাধান করবেন, তত ভাল, পরীক্ষা এবং পরীক্ষা তত সহজ হবে। এ ছাড়া দ্বিতীয় বর্ষেও থাকবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এবং ইন্টিগ্রেল এবং ডেরিভেটিভস সমাধানের অভিজ্ঞতা ছাড়া সেখানে কিছু করার নেই।
লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে, এটি সম্ভবত যথেষ্ট বেশি। পাশাপাশি, আমি এটাও মনে রাখতে পারি যে ইঞ্জিনিয়ারিং শিক্ষার্থীরা লগারিদম ব্যবহার করে মেয়েদের স্তন =)। যাইহোক, এটি হৃদয় দ্বারা প্রধান এর গ্রাফিক্স জানতে দরকারী প্রাথমিক ফাংশন: সাইন, কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট, সূচকীয়, তৃতীয়, চতুর্থ ডিগ্রির বহুপদ ইত্যাদি। না, অবশ্যই, পৃথিবীতে একটি কনডম
আমি এটি প্রসারিত করব না, তবে এখন আপনি বিভাগ থেকে অনেক কিছু মনে রাখবেন গ্রাফ এবং ফাংশন =).
একটি বহুপদ দ্বারা গুণিত একটি সূচকের অখণ্ড
উদাহরণ 5
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
একটি পরিচিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা অংশগুলির দ্বারা সংহত করি:
আপনার যদি অবিচ্ছেদ্য নিয়ে অসুবিধা হয় তবে আপনার নিবন্ধে ফিরে আসা উচিত অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পদ্ধতি.
আপনি যা করতে পারেন তা হল উত্তরটি পরিবর্তন করুন:
কিন্তু যদি আপনার গণনা কৌশল খুব ভাল না হয়, তাহলে সবচেয়ে লাভজনক বিকল্প হল উত্তর হিসাবে এটি ছেড়ে দেওয়া 
অথবা এমনকি 
অর্থাৎ শেষ অখণ্ডটি নেওয়া হলে উদাহরণটিকে সমাধান করা হয়। এটি একটি ভুল হবে না; এটি অন্য বিষয় যে শিক্ষক আপনাকে উত্তরটি সরল করতে বলতে পারেন।
উদাহরণ 6
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এই অবিচ্ছেদ্য অংশ দ্বারা দুইবার একত্রিত হয়. লক্ষণগুলিতে বিশেষ মনোযোগ দেওয়া উচিত - তাদের মধ্যে বিভ্রান্ত হওয়া সহজ, আমরা এটিও মনে রাখি যে এটি একটি জটিল ফাংশন।
প্রদর্শক সম্পর্কে আর কিছু বলার নেই। আমি কেবল যোগ করতে পারি যে সূচকীয় এবং প্রাকৃতিক লগারিদম পারস্পরিক বিপরীত ফাংশন, এটি আমি উচ্চতর গণিতের গ্রাফের বিনোদনের বিষয়ে =) থামুন, থামুন, চিন্তা করবেন না, লেকচারার শান্ত।
বহুপদী দ্বারা গুণিত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অখণ্ড
সাধারণ নিয়ম: সর্বদা একটি বহুপদকে বোঝায়
উদাহরণ 7
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
আসুন অংশ দ্বারা সংহত করা যাক:
হুমম, ...এবং মন্তব্য করার কিছু নেই।
উদাহরণ 8
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ
উদাহরণ 9
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন
ভগ্নাংশ সহ আরেকটি উদাহরণ। আগের দুটি উদাহরণের মতো, একটি বহুপদকে বোঝায়।
আসুন অংশ দ্বারা সংহত করা যাক: 
আপনার যদি অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পেতে কোন অসুবিধা বা ভুল বোঝাবুঝি থাকে, আমি পাঠে যোগ দেওয়ার পরামর্শ দিই ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অখণ্ড.
উদাহরণ 10
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন 
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ।
ইঙ্গিত: অংশ পদ্ধতি দ্বারা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করার আগে, আপনার কিছু ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা উচিত যা দুটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণফলকে একটি ফাংশনে পরিণত করে। অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতি প্রয়োগ করার সময়ও সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে, যেটি আপনার জন্য আরও সুবিধাজনক।
যে সম্ভবত এই অনুচ্ছেদ সব. কিছু কারণে আমি পদার্থবিদ্যা এবং গণিত স্তোত্র থেকে একটি লাইন মনে পড়ে "এবং সাইন গ্রাফ অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর তরঙ্গের পর তরঙ্গ চালায়"….
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অখণ্ড।
বহুপদী দ্বারা গুণিত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অখণ্ড
সাধারণ নিয়ম: সবসময় বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বোঝায়.
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে রয়েছে আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট। রেকর্ডের সংক্ষিপ্ততার জন্য আমি তাদের "খিলান" বলব
লগারিদমের ইন্টিগ্রেল
অংশ দ্বারা একীকরণ. সমাধানের উদাহরণ
সমাধান।
যেমন.
অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন:
অখণ্ডের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে (রৈখিকতা), ᴛ.ᴇ. , আমরা এটিকে একটি টেবুলার ইন্টিগ্র্যালে হ্রাস করি, আমরা এটি পাই
আবার হ্যালো. আজ পাঠে আমরা শিখব কিভাবে অংশ দ্বারা সংহত করা যায়। অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতিটি অখণ্ড গণনার অন্যতম ভিত্তি। পরীক্ষা বা পরীক্ষার সময়, ছাত্রদের প্রায় সবসময়ই নিম্নলিখিত ধরনের ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করতে বলা হয়: সরল অখণ্ড (নিবন্ধ দেখুনঅনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। সমাধানের উদাহরণ ) অথবা একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন দ্বারা একটি অবিচ্ছেদ্য (নিবন্ধ দেখুনএকটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পদ্ধতি ) অথবা অবিচ্ছেদ্য চালু আছে অংশ পদ্ধতি দ্বারা একীকরণ.
সর্বদা হিসাবে, আপনার হাতে থাকা উচিত: অখণ্ডের সারণীপরবর্তী, আমরা লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্র্যান্ডটি |x| এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ডেরিভেটিভ টেবিল. যদি আপনার কাছে এখনও সেগুলি না থাকে, তাহলে অনুগ্রহ করে আমার ওয়েবসাইটের স্টোররুমে যান: গাণিতিক সূত্র এবং টেবিল. আমি পুনরাবৃত্তি করতে ক্লান্ত হব না - সবকিছু মুদ্রণ করা ভাল। আমি ধারাবাহিকভাবে সমস্ত উপাদান উপস্থাপন করার চেষ্টা করব, সহজভাবে এবং অংশগুলিকে একত্রিত করতে কোনও বিশেষ অসুবিধা নেই।
অংশ দ্বারা একীকরণ পদ্ধতি কোন সমস্যা সমাধান করে? অংশ পদ্ধতি দ্বারা একীকরণ একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা সমাধান করে এটি আপনাকে কিছু ফাংশন সংহত করতে দেয় যা টেবিলে নেই, কাজফাংশন, এবং কিছু ক্ষেত্রে - এমনকি ভাগফল। আমরা মনে রাখি, কোন সুবিধাজনক সূত্র নেই: . কিন্তু এই আছে: - ব্যক্তিগত অংশ দ্বারা একীকরণ জন্য সূত্র. আমি জানি, আমি জানি, আপনিই একমাত্র - আমরা তার সাথে পুরো পাঠ জুড়ে কাজ করব (এটি এখন সহজ)।
এবং সঙ্গে সঙ্গে স্টুডিওতে তালিকা. নিম্নলিখিত ধরণের অখণ্ডগুলি অংশ দ্বারা নেওয়া হয়:
1) , – লগারিদম, লগারিদম কিছু বহুপদী দ্বারা গুণিত।
2) , একটি সূচকীয় ফাংশন যা কিছু বহুপদ দ্বারা গুণিত হয়। এতে পূর্ণাঙ্গগুলিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেমন - একটি বহুপদ দ্বারা গুণিত একটি সূচকীয় ফাংশন, কিন্তু বাস্তবে এটি 97 শতাংশ, অখণ্ডের নীচে একটি সুন্দর অক্ষর রয়েছে ʼʼеʼʼ। ... প্রবন্ধটি কিছুটা গীতিময় হয়ে উঠল, ওহ হ্যাঁ ... বসন্ত এসেছে।
3) , – ত্রিকোণমিতিক ফাংশন কিছু বহুপদ দ্বারা গুণিত।
4) , – বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ('খিলান'), 'খিলান', কিছু বহুপদ দ্বারা গুণিত।
কিছু ভগ্নাংশও অংশে নেওয়া হয়;
উদাহরণ 1
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।
ক্লাসিক। সময়ে সময়ে এই অবিচ্ছেদ্যটি টেবিলে পাওয়া যেতে পারে, তবে এটি একটি প্রস্তুত-তৈরি উত্তর ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয় না, যেহেতু শিক্ষকের বসন্তের ভিটামিনের ঘাটতি রয়েছে এবং ভারীভাবে শপথ করবে। কারণ বিবেচনাধীন অবিচ্ছেদ্যটি কোনওভাবেই সারণী নয় - এটি অংশে নেওয়া হয়। আমরা সিদ্ধান্ত:
আমরা মধ্যবর্তী ব্যাখ্যা জন্য সমাধান বাধা.
আমরা অংশ সূত্র দ্বারা সংহতকরণ ব্যবহার করি:
লগারিদমের ইন্টিগ্রেল - ধারণা এবং প্রকার। 2017, 2018 "লগারিদমের ইন্টিগ্রালস" বিভাগের শ্রেণিবিন্যাস এবং বৈশিষ্ট্য।
Antiderivative এবং অবিচ্ছেদ্য
1. অ্যান্টিডেরিভেটিভ। F(x) ফাংশনটিকে ব্যবধান X-এর f(x) ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয় যদি X থেকে যেকোনো x এর জন্য সমতা F"(x)=f(x) ধরে থাকে।
T.7.13 (যদি F(x) ব্যবধান X-এ একটি ফাংশন f(x) এর জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হয়, তাহলে ফাংশন f(x) এর অসীমভাবে অনেকগুলি অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে এবং এই সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির ফর্ম F (x) + C, যেখানে C হল একটি নির্বিচারে ধ্রুবক (অ্যান্টিডেরিভেটিভের প্রধান সম্পত্তি)।
2. অ্যান্টিডেরিভেটিভের সারণী। বিবেচনা করে যে একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা হল পার্থক্যের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, এবং ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে শুরু করে, আমরা অ্যান্টিডেরিভেটিভের নিম্নলিখিত সারণী পাই (সরলতার জন্য, টেবিলটি একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ F(x) দেখায়, এবং নয় সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গিঅ্যান্টিডেরিভেটিভস F(x) + C:
|
অ্যান্টিডেরিভেটিভ |
অ্যান্টিডেরিভেটিভ |
||
অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং লগারিদমিক ফাংশন
লগারিদমিক ফাংশন, সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত। L. f. দ্বারা চিহ্নিত
এর মান y, আর্গুমেন্ট x-এর মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, বলা হয় প্রাকৃতিক লগারিদমসংখ্যা x। সংজ্ঞা অনুসারে, সম্পর্ক (1) সমতুল্য
(e একটি Neper সংখ্যা)। যেহেতু যেকোন বাস্তব y এর জন্য ey > 0, তাহলে L.f. শুধুমাত্র x > 0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আরও সাধারণ অর্থে, L. f. ফাংশন কল
অ্যান্টিডেরিভেটিভ পাওয়ার ইন্টিগ্রাল লগারিদম
যেখানে a > 0 (a? 1) লগারিদমের একটি নির্বিচারে ভিত্তি। যাইহোক, মধ্যে গাণিতিক বিশ্লেষণইনএক্স ফাংশন বিশেষ গুরুত্ব বহন করে; logaX ফাংশন সূত্র ব্যবহার করে এটিতে হ্রাস করা হয়েছে:
যেখানে M = 1/ ক. L. f. - প্রধান প্রাথমিক ফাংশন এক; এর গ্রাফ (চিত্র 1) কে লগারিদমিক্স বলা হয়। L. f এর মৌলিক বৈশিষ্ট্য। সূচকীয় ফাংশন এবং লগারিদমের সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করুন; উদাহরণস্বরূপ, L. f. কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে
জন্য- ১< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
রৈখিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে অনেকগুলি অখণ্ডকে প্রকাশ করা হয়; যেমন
L. f. গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং এর প্রয়োগে ক্রমাগত ঘটে।
L. f. 17 শতকের গণিতবিদদের কাছে সুপরিচিত ছিল। প্রথমবারের মতো, পরিবর্তনশীল পরিমাণের মধ্যে নির্ভরতা, L. f. দ্বারা প্রকাশ করা, জে. নেপিয়ার (1614) দ্বারা বিবেচনা করা হয়েছিল। তিনি সমান্তরাল রেখা বরাবর চলমান দুটি বিন্দু ব্যবহার করে সংখ্যা এবং তাদের লগারিদমের মধ্যে সম্পর্ক উপস্থাপন করেছেন (চিত্র 2)। তাদের মধ্যে একটি (Y) সমানভাবে চলে, C থেকে শুরু করে, এবং অন্যটি (X), A থেকে শুরু করে, B এর দূরত্বের সমানুপাতিক গতিতে চলে। যদি আমরা SU = y, XB = x রাখি, তাহলে, অনুযায়ী এই সংজ্ঞা,
dx/dy = - kx, কোথা থেকে।
L. f. জটিল সমতলে একটি বহু-মূল্যবান (অসীম-মূল্যবান) ফাংশন আর্গুমেন্ট z-এর সমস্ত মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়? 0 Lnz দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ফাংশনের একক-মূল্যবান শাখা, হিসাবে সংজ্ঞায়িত
Inz = In?z?+ i arg z,
যেখানে arg z হল জটিল সংখ্যা z এর আর্গুমেন্ট, যাকে লিনিয়ার ফাংশনের প্রধান মান বলা হয়। আমরা আছে
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
L. f এর সকল অর্থ। নেতিবাচক জন্য: বাস্তব z হয় জটিল সংখ্যা. L. f এর প্রথম সন্তোষজনক তত্ত্ব। জটিল সমতলে এল. অয়লার (1749) দিয়েছিলেন, যিনি সংজ্ঞা থেকে এগিয়েছিলেন
