পূর্ণসংখ্যার বলয়ের উপর একটি বহুপদ বলা হয় আদিম, যদি এর সহগগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক 1 হয়। মূলদ সহগ সহ একটি বহুপদকে স্বতন্ত্রভাবে একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যাকে বলা হয় বিষয়বস্তুবহুপদী, এবং আদিম বহুপদী। আদিম বহুপদীর গুণফল একটি আদিম বহুপদী। এই সত্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ যদি মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য হয়, তবে এটি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের উপর হ্রাসযোগ্য। এইভাবে, মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে একটি বহুপদকে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলিতে পরিণত করার সমস্যাটি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের ক্ষেত্রে একই সমস্যায় হ্রাস পেয়েছে।
পূর্ণসংখ্যা সহগ এবং বিষয়বস্তু 1 সহ একটি বহুপদী হোক এবং এর মূলদ মূল হোক। একটি বহুপদীর মূলকে একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ হিসাবে কল্পনা করা যাক। বহুপদ চ(x) আদিম বহুপদগুলির একটি গুণফল হিসাবে উপস্থাপিত হয়। তাই,
উ: লব হল ভাজক,
B. হর – ভাজক
C. যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য kঅর্থ চ(k) – একটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি অবশিষ্ট ছাড়া বিভাজ্য ( bk-ক).
তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদেরকে একটি বহুপদীর যৌক্তিক মূলগুলিকে একটি সসীম অনুসন্ধানে খুঁজে পাওয়ার সমস্যাকে কমাতে দেয়। বহুপদী সম্প্রসারণে অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় চক্রোনেকার পদ্ধতি ব্যবহার করে মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলিতে। যদি একটি বহুপদ চ(x) ডিগ্রী nদেওয়া হয়, তারপর কারণগুলির মধ্যে একটির চেয়ে বেশি ডিগ্রি নেই n/2। এর দ্বারা এই ফ্যাক্টরটি বোঝানো যাক g(x) যেহেতু বহুপদীর সমস্ত সহগ পূর্ণসংখ্যা, তাই যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য কঅর্থ চ(ক) দ্বারা অবশিষ্টাংশ ছাড়া বিভাজ্য g(ক) এর নির্বাচন করা যাক m= 1+n/2 স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যা কআমি, i=1,…,মি. সংখ্যার জন্য g(ক i) একটি সীমিত সংখ্যক সম্ভাবনা রয়েছে (যেকোনো অ-শূন্য সংখ্যার ভাজকের সংখ্যা সসীম), তাই একটি সীমিত সংখ্যক বহুপদ রয়েছে যা ভাজক হতে পারে চ(x) একটি সম্পূর্ণ অনুসন্ধান চালানোর পরে, আমরা হয় বহুপদীটির অপরিবর্তনীয়তা দেখাব, বা এটিকে দুটি বহুপদীর গুণফলের মধ্যে প্রসারিত করব। আমরা প্রতিটি ফ্যাক্টরের জন্য নির্দেশিত স্কিমটি প্রয়োগ করি যতক্ষণ না সমস্ত ফ্যাক্টর অপরিবর্তনীয় বহুপদে পরিণত হয়।
মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে কিছু বহুপদীর অপরিবর্তনীয়তা একটি সাধারণ আইজেনস্টাইন মানদণ্ড ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে।
যাক চ(x) হল পূর্ণসংখ্যার বলয়ের উপর একটি বহুপদ। মৌলিক সংখ্যা থাকলে পি, কি
I. বহুপদীর সকল সহগ চ(x), সর্বোচ্চ ডিগ্রী জন্য সহগ ছাড়াও, বিভক্ত করা হয় পি
২. সর্বোচ্চ ডিগ্রির সহগ দ্বারা বিভাজ্য নয় পি
III. বিনামূল্যে সদস্য বিভক্ত করা হয় না
তারপর বহুপদ চ(x) মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়।
এটা উল্লেখ করা উচিত যে আইজেনস্টাইন মানদণ্ড দেয় যথেষ্ট শর্তবহুপদগুলির অপরিবর্তনীয়তা, কিন্তু প্রয়োজনীয় নয়। সুতরাং বহুপদ মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়, কিন্তু আইজেনস্টাইন মানদণ্ড পূরণ করে না।
আইজেনস্টাইনের মানদণ্ড অনুসারে বহুপদীটি অপরিবর্তনীয়। অতএব, মূলদ সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর আছে অপরিবর্তনীয় বহুপদডিগ্রী n, কোথায় nযে কোন প্রাকৃতিক সংখ্যা 1 এর বেশি।
একটি ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ বলা হয় যদি এই ক্ষেত্রের উপর কোনো বহুপদী না থাকে একটি ধ্রুবকের সমান, অন্তত একটি রুট আছে. বেজউটের উপপাদ্য থেকে এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই জাতীয় ক্ষেত্রের উপর যে কোনও অ-ধ্রুবক বহুপদকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলির একটি গুণে পরিণত করা যেতে পারে। এই অর্থে, বীজগণিতীয়ভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলি অ-বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলির তুলনায় গঠনে সহজ। আমরা জানি যে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে সবাই নয় দ্বিঘাত ত্রিনামিকএকটি মূল আছে, এইভাবে ক্ষেত্র ℝ বীজগণিতভাবে বন্ধ করা হয় না। দেখা যাচ্ছে যে তিনি বীজগণিত বন্ধের সামান্য ছোট। অন্য কথায়: একটি সমীকরণ সম্পর্কে একটি আপাতদৃষ্টিতে বিশেষ সমস্যা সমাধান করার পরে, আমরা একই সাথে অন্যান্য বহুপদী সমীকরণগুলি সমাধান করেছি।
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য।যে কোনো বহুপদী ক্ষেত্রের উপর ℂ যেটি একটি ধ্রুবকের সমান নয় তার অন্তত একটি জটিল মূল থাকে।
তদন্ত।আমরা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের ধ্রুবকের সমান নয় এমন যেকোন বহুপদীকে রৈখিক গুণনীয়কের গুণফলের মধ্যে প্রসারিত করতে পারি:
এখানে বহুপদীর অগ্রগণ্য সহগ; জটিল শিকড়বহুপদী - তাদের বহুগুণ। সমতা সন্তুষ্ট হতে হবে
ফলাফলের প্রমাণ হল বহুপদ ডিগ্রীর উপর একটি সরল আবেশ।
অন্যান্য ক্ষেত্রের তুলনায় বহুপদগুলির পচনশীলতার ক্ষেত্রে পরিস্থিতি এতটা ভালো নয়। আমরা একটি বহুপদীকে অপরিবর্তনীয় বলি যদি, প্রথমত, এটি একটি ধ্রুবক না হয় এবং, দ্বিতীয়ত, এটি নিম্ন ডিগ্রির বহুপদীর গুণফলের মধ্যে পচনশীল না হয়। এটা স্পষ্ট যে প্রতিটি রৈখিক বহুপদী (যেকোন ক্ষেত্রের উপরে) অপরিবর্তনীয়। ফলাফলকে নিম্নরূপ সংস্কার করা যেতে পারে: একক অগ্রণী সহগ সহ জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় বহুপদীগুলি (অন্য কথায়: একক) ফর্মের বহুপদী দ্বারা নিঃশেষ হয়ে যায়।
একটি চতুর্ভুজ ত্রিনামিকের পচনশীলতা কমপক্ষে একটি মূলের উপস্থিতির সমতুল্য। সমীকরণটিকে আকারে রূপান্তরিত করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের মূলটি বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি বৈষম্যকারীটি K ক্ষেত্রের কিছু উপাদানের বর্গ হয় (এখানে আমরা ধরে নিই যে K ক্ষেত্রের 2≠ 0)। এখান থেকে আমরা পাই
অফার K ক্ষেত্রের উপর একটি বর্গাকার ত্রিনমিক যেখানে 2≠ 0 অপরিবর্তনীয় যদি এবং শুধুমাত্র K ক্ষেত্রের কোনো শিকড় না থাকে। এটি এই সত্যের সমতুল্য যে বৈষম্যকারীটি K ক্ষেত্রের কোনো উপাদানের বর্গ নয়। বিশেষ করে , বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর বর্গাকার ত্রিনামিক অপরিবর্তনীয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি।
তাই বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে অন্তত দুটি ধরণের অপরিবর্তনীয় বহুপদ রয়েছে: রৈখিক এবং দ্বিঘাত এবং ঋণাত্মক বৈষম্য। দেখা যাচ্ছে যে এই দুটি ক্ষেত্রে ℝ এর উপরে অপরিবর্তনীয় বহুপদগুলির সেট নিঃশেষ হয়ে যায়।
থিওরেম।আমরা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর যেকোন বহুপদীকে রৈখিক ফ্যাক্টর এবং নেতিবাচক বৈষম্য সহ দ্বিঘাত গুণনীয়কের গুণফলের মধ্যে পচন করতে পারি:
এখানে বহুপদীর সমস্ত ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে, তাদের বহুত্ব, সমস্ত বৈষম্য শূন্যের চেয়ে কম এবং দ্বিঘাত ত্রিপদীগুলি সবই আলাদা।
প্রথমে আমরা লেমা প্রমাণ করি
লেমা।যদি কোনটির জন্য হয়, তাহলে কনজুগেট সংখ্যাটিও বহুপদীর মূল।
প্রমাণ। যাক, এবং একটি বহুপদীর একটি জটিল মূল। তারপর
যেখানে আমরা সাথী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি। তাই, . সুতরাং, এটি বহুপদীর মূল। □
উপপাদ্যের প্রমাণ। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর যে কোনো অপরিবর্তনীয় বহুপদী হয় রৈখিক বা একটি ঋণাত্মক বৈষম্যের সাথে দ্বিঘাত। একক অগ্রণী সহগ সহ একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদী হতে দিন। ক্ষেত্রে আমরা অবিলম্বে কিছু বাস্তব জন্য প্রাপ্ত. ধরা যাক যে. জটিল সংখ্যার বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে বিদ্যমান এই বহুপদীর যেকোন জটিল মূল দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। যেহেতু এটি অপরিবর্তনীয়, তাহলে (বেজউটের উপপাদ্য দেখুন)। তারপর, লেমা দ্বারা, বহুপদীর আরেকটি মূল হবে, এর থেকে আলাদা।
একটি বহুপদী প্রকৃত সহগ আছে। উপরন্তু, Bezout এর উপপাদ্য অনুযায়ী বিভাজন। যেহেতু এটি অপরিবর্তনীয় এবং একটি ইউনিট লিডিং সহগ আছে, তাই আমরা সমতা পাই। এই বহুপদীর বৈষম্যকারী নেতিবাচক, কারণ অন্যথায় এর প্রকৃত শিকড় থাকবে।□
উদাহরণ ক.চলুন বহুপদকে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত করি। ধ্রুব পদ 6-এর ভাজকগুলির মধ্যে, আমরা বহুপদীর মূলের সন্ধান করি। আমরা নিশ্চিত করি যে 1 এবং 2 মূল। এইভাবে বহুপদী দ্বারা বিভক্ত। বিভক্ত থাকার, আমরা খুঁজে
ক্ষেত্রের উপর চূড়ান্ত সম্প্রসারণ, কারণ বর্গক্ষেত্রের ত্রিনামিকের বৈষম্য ঋণাত্মক এবং তাই, এটিকে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর আরও প্রসারিত করা যায় না। আমরা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে একই বহুপদীর সম্প্রসারণ পাই যদি আমরা বর্গাকার ত্রিনয়কের জটিল মূল খুঁজে পাই। তারাই সারমর্ম। তারপর
এই বহুপদীর সম্প্রসারণ
B. আসুন বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রগুলিকে প্রসারিত করি। যেহেতু এই বহুপদীটির কোনো প্রকৃত শিকড় নেই, তাই এটি নেতিবাচক বৈষম্য সহ দুটি বর্গাকার ত্রিনামলে পরিণত হতে পারে।
যেহেতু বহুপদী দ্বারা প্রতিস্থাপিত হলে এটি পরিবর্তিত হয় না, তাই এই ধরনের প্রতিস্থাপনের সাথে বর্গাকার ত্রিনমীয়কে প্রবেশ করতে হবে এবং এর বিপরীতে। এখান থেকে। আমরা প্রাপ্ত সহগগুলির সমীকরণ বিশেষ করে, তারপর সম্পর্ক থেকে (প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রাপ্ত আমরা নিষ্কাশন করি, এবং অবশেষে, . তাই,
বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর সম্প্রসারণ।
যাতে এই বহুপদকে প্রসারিত করা যায় জটিল সংখ্যা, সমীকরণ সমাধান বা. এটা স্পষ্ট যে শিকড় থাকবে। আমরা সব বিভিন্ন শিকড় পেতে. তাই,
জটিল সংখ্যার উপর প্রসারণ। হিসাব করা সহজ
এবং আমরা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদকে প্রসারিত করার সমস্যার আরেকটি সমাধান পাই।
কাজ শেষ -
এই বিষয়টি বিভাগের অন্তর্গত:
মৌলিক এবং কম্পিউটার বীজগণিত
সূচনা
আপনার প্রয়োজন হলে অতিরিক্ত উপাদানএই বিষয়ে, অথবা আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে পাননি, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধান ব্যবহার করার পরামর্শ দিই:
প্রাপ্ত উপাদান দিয়ে আমরা কী করব:
যদি এই উপাদানটি আপনার জন্য উপযোগী হয়, আপনি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে আপনার পৃষ্ঠায় এটি সংরক্ষণ করতে পারেন:
| টুইট |
এই বিভাগে সমস্ত বিষয়:
N.I. Dubrovin
Spassky সেটেলমেন্ট 2012 বিষয়বস্তু ভূমিকা. 4 প্রতীক এবং পদের তালিকা। 5 1 বেসিক সম্পর্কে একটু। 6 2 নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব। 9
বেসিক সম্পর্কে একটু
গণিত সংখ্যার মতো বস্তু নিয়ে কাজ করে ভিন্ন প্রকৃতির(প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, বাস্তব, জটিল), এক এবং একাধিক ভেরিয়েবলের বহুপদ, ম্যাট্রিস
নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব
একটি গাণিতিক পাঠ্য সংজ্ঞা এবং বিবৃতি নিয়ে গঠিত। কিছু বিবৃতি, তাদের গুরুত্ব এবং অন্যান্য বিবৃতির সাথে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে, নিম্নলিখিত পদগুলির মধ্যে একটি বলা হয়:
কার্টেসিয়ান পণ্য
একটি আদেশযুক্ত জোড়া, বা সহজভাবে উপাদানগুলির একটি জোড়া, গণিতের মৌলিক নির্মাণগুলির মধ্যে একটি। আপনি এটিকে দুটি স্থান সহ একটি তাক হিসাবে কল্পনা করতে পারেন - প্রথম এবং দ্বিতীয়। অনেক সময় গণিতে তা হয় না
প্রাকৃতিক সংখ্যা
সংখ্যাগুলি (1,2,3,...), যা যোগ করে একটি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, তাদেরকে প্রাকৃতিক সংখ্যা বলা হয় এবং ℕ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। স্বতঃসিদ্ধ বর্ণনা প্রাকৃতিক সংখ্যাএই মত হতে পারে (দেখুন
পুনরাবৃত্তি
স্বতঃসিদ্ধ N1-N3 থেকে যারা সবার কাছে পরিচিত প্রাথমিক বিদ্যালয়প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপ, একে অপরের সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার তুলনা এবং ফর্মের বৈশিষ্ট্য "পদগুলির স্থানগুলিকে বিপরীত করা থেকে, যোগফল হয় না
স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে অর্ডার করুন প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজ্যতা পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতা ইউক্লিডের অ্যালগরিদম ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা যুক্তির উপাদান অভিব্যক্তিপূর্ণ ফর্ম ম্যাট্রিক্স বীজগণিত নির্ধারক রৈখিক সমতল রূপান্তর জটিল সংখ্যা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের নির্মাণ সংযুক্ত জটিল সংখ্যা একটি জটিল সংখ্যাকে বলা হয় কনজুগেট টু, এবং ম্যাপ একটি ভেক্টর হিসাবে একটি জটিল সংখ্যা উপস্থাপন করা যাক। এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য, যেমন পরিমাণকে একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয়। আমরা পরিমাণকে সংখ্যার আদর্শ বলব; কখনও কখনও এটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক অনুচ্ছেদের নিয়ম (2) আমাদের একটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক সংখ্যার সূচক নির্ধারণ করার অধিকার দেয়: প্রকৃতপক্ষে, এইভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: & একটি রৈখিক বহুপদে সর্বদা একটি মূল থাকে। বর্গাকার ত্রিনামিক আর সব সময় বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর মূল থাকে না। সমতা সম্পর্ক তত্ত্ব ধরুন “ ” সেট M-এ একটি সমতুল্য সম্পর্ক। একটি উপাদানের জন্য আমরা এটিকে সমতুল্য শ্রেণী দ্বারা চিহ্নিত করি। তারপর সেট M সমতুল্য শ্রেণীর একটি ইউনিয়নে বিভক্ত; M থেকে প্রতিটি উপাদান যেকোনো জটিল সংখ্যা সমতলে একটি বিন্দু নির্দিষ্ট করে। আর্গুমেন্টগুলি একটি জটিল সমতলে অবস্থিত হবে, ফাংশনের মানগুলি অন্য জটিল সমতলে অবস্থিত হবে। F(z) হল একটি জটিল চলকের জটিল ফাংশন। একটি জটিল ভেরিয়েবলের জটিল ফাংশনগুলির মধ্যে, অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের শ্রেণীটি দাঁড়িয়েছে। Def: একটি জটিল চলকের একটি জটিল ফাংশনকে অবিরত বলা হয় যদি, যেমন, .+< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше . জ্যামিতিক অর্থ নিম্নরূপ: সমষ্টি: জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে বহুপদীর মডুলাস একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। উপপাদ্য 2: - জটিল সহগ সহ বহুপদীর একটি বলয়, তারপরে এমন মানগুলি যে . উপপাদ্য 3. (একটি বহুপদীর মডুলাসের সীমাহীন বৃদ্ধি সম্পর্কে): বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য: ডিগ্রী 0 না হওয়া জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের যেকোনো বহুপদীর জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে অন্তত একটি মূল থাকে। (প্রমাণে আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি ব্যবহার করব): D.: 1. যদি a n =0, তাহলে z=0 হল f(z)-এর মূল। 2. যদি একটি n 0 হয়, তাহলে উপপাদ্য 3 দ্বারা, অসমতা জটিল সমতলে একটি অঞ্চলকে সংজ্ঞায়িত করে যা S ব্যাসার্ধের বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। এই অঞ্চলে কোন শিকড় নেই, কারণ অতএব, বহুপদী f(z) এর শিকড়গুলি অঞ্চলের ভিতরে অনুসন্ধান করা উচিত। আসুন T1 থেকে বিবেচনা করা যাক। এটি অনুসরণ করে যে f(z) অবিচ্ছিন্ন। Weierstrass-এর উপপাদ্য অনুসারে, এটি একটি বদ্ধ অঞ্চলে কোনও সময়ে তার সর্বনিম্ন পর্যায়ে পৌঁছায়, অর্থাৎ . আসুন দেখাই যে বিন্দুটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু। কারণ 0 ই, তারপর, কারণ f-ii এর মানের E অঞ্চলের বাইরে, তারপর z 0 হল সমগ্র জটিল সমতলের সর্বনিম্ন বিন্দু। আসুন দেখাই যে f(z 0)=0। আসুন ধরে নিই যে এটি এমন নয়, তাহলে ডি'আলেমবার্টের লেমা দ্বারা, আমরা একটি দ্বন্দ্ব পাই, কারণ z 0 সর্বনিম্ন পয়েন্ট। বীজগণিত বন্ধ: Def: একটি ক্ষেত্র P কে বীজগণিতভাবে বন্ধ বলা হয় যদি এই ক্ষেত্রের উপর অন্তত একটি মূল থাকে। উপপাদ্য: জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ। (d-বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে)। মূলদ এবং বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ করা হয় না। পচনশীলতা: উপপাদ্য: 1 এর উপরে ডিগ্রী জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের যেকোন বহুপদকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলির একটি গুণফল হিসাবে পচানো যেতে পারে। সমষ্টি 1. জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর ডিগ্রী n এর বহুপদীর ঠিক n মূল রয়েছে। পরবর্তী 2: 1-এর বেশি ডিগ্রীর জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের যেকোন বহুপদ সর্বদা হ্রাসযোগ্য। Def: সংখ্যার বহুগুণ C\R, অর্থাৎ a+bi ফর্মের সংখ্যা, যেখানে b 0 এর সমান নয়, কাল্পনিক বলা হয়। 2. একটি ক্ষেত্রের উপর বহুপদ। দুটি বহুপদ এবং ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের GCD। একটি বহুপদকে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর এবং এর স্বতন্ত্রতার একটি গুণে পরিণত করা। ডিফঅজানাতে বহুপদ (বহুপদ) এক্সমাঠের উপরে আরডাকা পূর্ণসংখ্যার অ-ঋণাত্মক শক্তির বীজগণিতীয় যোগফল এক্স, ক্ষেত্র থেকে কিছু সহগ সঙ্গে নেওয়া আর. কোথায় aiÎP বা বহুপদ বলা হয় সমান, যদি তাদের সহগ অজানাদের সংশ্লিষ্ট শক্তির জন্য সমান হয়। বহুপদীর ডিগ্রি বলা হয়।অজানা সূচকের বৃহত্তম মান, যার সহগ শূন্য থেকে আলাদা। দ্বারা নির্দেশিত: N(f(x))=n একটি ক্ষেত্রের উপর সমস্ত বহুপদীর সেট আরদ্বারা চিহ্নিত: P[x]। শূন্য ডিগ্রির বহুপদগুলি ক্ষেত্রের উপাদানগুলির সাথে মিলে যায় আর, শূন্য থেকে ভিন্ন
একটি শূন্য বহুপদী, এর মাত্রা অনির্দিষ্ট। বহুপদে ক্রিয়াকলাপ। 1. সংযোজন। ধরুন n³s, তারপর , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s)। <P[x],+> 2. গুণ। বীজগাণিতিক গঠন অন্বেষণ<P[x],*> <P[x],*>- পরিচয় উপাদান সহ সেমিগ্রুপ (ম্যানয়েড) বন্টনমূলক আইন সন্তুষ্ট, তাই,<P[x],+,*>পরিচয় সহ একটি পরিবর্তনশীল রিং। বহুপদীর বিভাজ্যতা ODA:বহুপদ f(x), f(x)OP[x], P– ক্ষেত্রটি বহুপদী দ্বারা বিভাজ্য g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x],যদি এমন একটি বহুপদ বিদ্যমান থাকে h(x)OP[x], যে f(x)=g(x)h(x) বিভাজ্যতা বৈশিষ্ট্য: উদাহরণ:, একটি কলাম gcd দ্বারা ভাগ করুন =( x+3) অবশিষ্টাংশ সহ বিভাজন উপপাদ্য:যে কোনো বহুপদীর জন্য চ (x), g(x)OP[x],শুধুমাত্র একটি বহুপদ আছে q(x) এবং r(x)যেমন f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) নথির ধারণা: আমরা বিদ্যমান দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করি n ODA:চ (x) এবং g(x), f(x), g(x)OP[x], h(x)OP[x]বলা হয় GCD f (x) এবং g(x)যদি ইউক্লিডের অ্যালগরিদম অনুক্রমিক বিভাজনের প্রক্রিয়াটি লিখি f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1) g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2) r 1 (x) = r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3), ইত্যাদি। r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k) r k-1 (x) = r k (x) q k+1 (x) (k+1) GCD(f(x), g(x))=d(x)=r k (x) ধারণাটি প্রমাণ: আমরা দেখাই যে 1 ) f(x):(সম্পূর্ণ) d(x) এবং g(x:(সম্পূর্ণ) d(x); 2) f(x:(সম্পূর্ণ) h(x) এবং g(x):(সম্পূর্ণ) h(x)আমরা তা দেখাই d(x):(সম্পূর্ণরূপে) h(x). GCD এর রৈখিক উপস্থাপনা টি: যদি d(x) - বহুপদীর gcd f (x) এবং g(x), তারপর বহুপদ v আছে (x) এবং u(x)OP[x],কি f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Def: f(x) এবং g(x)OP[x]সর্বদা সাধারণ ভাজক থাকে, যেমন ডিগ্রী শূন্যের বহুপদ, যদি অন্য কোন সাধারণ ভাজক না থাকে, তাহলে f(x) এবং g(x) কপ্রিম। (পদবী: (f(x), g(x))=1) ত: চ (x) এবং g(x) তুলনামূলকভাবে প্রধান i.i.t.k. v(x) এবং u(x)OP[x] এর মত বহুপদ আছে f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. কপ্রাইম বহুপদীর বৈশিষ্ট্য ODA:বহুপদী f(x), f(x)OP[x] বলা হয় দেওয়া P ক্ষেত্রের উপরে, যদি এটি এমন ফ্যাক্টরগুলিতে পচনশীল হতে পারে যার ডিগ্রী 0 এর চেয়ে বেশি এবং ডিগ্রী f(x) এর চেয়ে কম, যেমন চ (x)=f 1 (x)f 2 (x), যেখানে ডিগ্রি f 1 এবং f 2 >0, বহুপদগুলির হ্রাসযোগ্যতা নির্ভর করে যে ক্ষেত্রে তারা বিবেচনা করা হয় তার উপর। একটি বহুপদ হল অপরিবর্তনীয় (একটি বহুপদী যা নিম্নতর ডিগ্রির গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করা যায় না) Q ক্ষেত্রের উপর এবং R ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য। অপরিবর্তনীয় বহুপদগুলির বৈশিষ্ট্য: 1) বহুপদ চ (x)এবং p(x) তুলনামূলকভাবে প্রধান 2) f(x:(সম্পূর্ণ) p(x)
সেটের একটা সম্পর্ক আছে লিনিয়ার অর্ডার. ধরা যাক যে n
প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে বিভাগ অপারেশন সবসময় সম্ভব হয় না। এটি আমাদেরকে বিভাজ্যতার সম্পর্ক প্রবর্তন করার অধিকার দেয়: ধরা যাক যে সংখ্যাটি n সংখ্যাটিকে m ভাগ করে যদি m=nk কিছু উপযুক্ত k∈ এর জন্য
পূর্ণসংখ্যার বলয় দ্বারা বোঝানো যাক। "রিং" শব্দটির অর্থ হল আমরা একটি সেট R নিয়ে কাজ করছি যার উপর দুটি ক্রিয়াকলাপ দেওয়া হয়েছে - যোগ এবং গুণন, পরিচিত আইন মেনে চলা।
এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়েছে (m,n)। আমরা n কে সংখ্যা 1 সহ একটি অবশিষ্টাংশ হিসাবে বিবেচনা করি। ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপ হল m কে একটি অবশিষ্টাংশের সাথে n দ্বারা ভাগ করা এবং তারপর অবশিষ্টটিকে নতুন প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ দ্বারা ভাগ করা, যতক্ষণ না এটি নতুনভাবে প্রাপ্ত হয়।
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের একটি ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা দেওয়া যাক (ম্যাট্রিসের জন্য, পরবর্তী অনুচ্ছেদটি দেখুন)। চলুন ম্যাট্রিক্স আকারে অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগের ক্রমটি পুনরায় লিখি: প্রতিটিতে প্রতিস্থাপন করা
গণিতবিদরা বস্তুর সাথে ডিল করেন, যেমন, যেমন, সংখ্যা, ফাংশন, ম্যাট্রিস, প্লেনে লাইন ইত্যাদি, এবং বিবৃতি নিয়েও কাজ করে। একটি উচ্চারণ এক ধরনের আখ্যান
অভিব্যক্তি একটি বিবৃতি হবে? না, এই রেকর্ডটি একটি পরিবর্তনশীলের একটি অভিব্যক্তিপূর্ণ রূপ। যদি আমরা একটি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে বৈধ মান প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা বিভিন্ন বিবৃতি পাই
রিং R এর উপর ম্যাট্রিক্স বীজগণিত (R হল পূর্ণসংখ্যার বলয়, মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্র, বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র) হল ক্রিয়াকলাপের একটি সেট সহ সর্বাধিক ব্যবহৃত বীজগণিত ব্যবস্থা
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক হল এর সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য, বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ছোট-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স 1,2,3 এর নির্ধারক দিয়ে শুরু করা যাক: সংজ্ঞা। পু
এটা জানা যায় যে সমতল ϕ-এর যেকোন রূপান্তর, দূরত্ব রক্ষা করে, হয় একটি ভেক্টরের সমান্তরাল অনুবাদ, অথবা একটি কোণ α দ্বারা O বিন্দুর চারপাশে ঘূর্ণন, অথবা সোজার সাপেক্ষে প্রতিসাম্য।
এই বিভাগে আমরা শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্র অধ্যয়ন করি - জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র ℂ। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি একটি সমতল, এবং একটি বীজগণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি
আমরা আসলে ইতিমধ্যেই আগের অনুচ্ছেদে জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র তৈরি করেছি। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের ব্যতিক্রমী গুরুত্বের কারণে, আমরা এর সরাসরি নির্মাণ উপস্থাপন করি। সঙ্গে একটি স্থান বিবেচনা করুন
জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রটি আমাদের একটি নতুন সম্পত্তি দেয় - একটি অ-অভিন্ন অবিচ্ছিন্ন স্বয়ংক্রিয়তার উপস্থিতি (নিজেই আইসোমরফিজম)।
জটিল সংখ্যা লেখার ত্রিকোণমিতিক রূপ
জটিল সূচক
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা
জটিল সংখ্যা () এর ক্ষেত্রের উপরে একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক হতে দিন। কনভয়
